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高中数学第二章随机变量及其分布2.2二项分布及其应用2.2.3课件新人教a选修2_3

2.2.3
独立重复试验与二项分布

主题1

独立重复试验

1.抛掷一枚质地均匀的硬币n次,每一次的试验结果受
其他试验结果的影响吗? 提示:不会受其他结果的影响.

2.抛掷一枚质地均匀的骰子n次,每一次的试验结果受 其他试验结果的影响吗?每次试验间有什么关系吗? 提示:不会受其他结果的影响,每次试验都是独立的,相 互间没有关系.

3.以上两种试验为何每一次的试验结果都不会受其他 试验结果的影响? 提示:因为每个试验都是在“相同的条件下”进行的.

结论: n次独立重复试验: 在_____条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验. 相同

【微思考】 1.在n次独立重复试验中,每次的试验的前提是什么? 提示:在同样的条件下进行. 2.在n次独立重复试验中,每一次试验中的事件是否是

相互独立的?
提示:各次试验中的事件是相互独立的.

3.在n次独立重复试验中,每一次的试验中某事件发生 的概率是否相同? 提示:每次试验中某事件发生的概率是相同的.

主题2

二项分布

连续掷一枚图钉3次,用Ai(i=1,2,3)表示事件“第i次 掷得针尖向上”,且每次针尖向上的概率为p,Bk(k=0, 1,2,3)表示出现k次针尖向上,回答下列问题:

(1)事件A1,A2,A3是否是相互独立事件?
提示:是相互独立事件.

(2)试写出事件B0,B1,B2,B3的概率. 提示:P(B0)=P(

A1 A 2 A3 +P( A2 )+P( A3)=3(1-p)2p, A1 A2 A1 A3 P(B2)=P(A1A2 )+P(A1 A3)+P( A 2A 3)

)=(1-p)3,P(B1)=P(A1

A 2 A3

)

A3)=P(A A A 3. A1 =3(1-p)p2,P(B A )=p 2 3 1 2 3

(3)能否将上面四个概率写成一个通式? 提示:能.P(Bk)=
k C3

pk(1-p)3-k,k=0,1,2,3.

结论: 二项分布 在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次 试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验 中,事件A恰好发生k次的概率为___________________, P(X=k)= k pk(1-p)n-k Cn ,记作 k=0,1,2,…,n.此时称随机变量X服从二项分布 __________,并称p为_________. X~B(n,p) 成功概率

【微思考】 1.二项分布是一个离散型随机变量分布列吗?

提示:二项分布实际上试验结果只有发生、不发生两个 ,
可用数字表示,所以是一个离散型随机变量概率分布列.

2.二项分布中就两个概率值对吗? 提示:不对,二项分布不同于两点分布,二项分布中有

n+1个概率值,两点分布只有两个概率值.

【预习自测】 1.独立重复试验满足的条件是 ( )

①每次试验之间是相互独立的;②每次试验只有发生与
不发生两种情况;③每次试验中发生的机会是均等的;

④每次试验发生的事件是互斥的.
A.①② B.②③ C.①②③ D.①②④

【解析】选C.由独立重复试验的定义可知①②③正确, 而④是错误的.

2.每次试验的成功率为p(0<p<1),重复进行10次试验, 其中前7次都未成功后3次都成功的概率为 ( )

A.

p3(1-p)7

B.

p3(1-p)3

3 C C.p310 (1-p)7

3 C7 D.p 10 (1-p)3

【解析】选C.成功率为p,则不成功的概率为(1-p),前7 次都未成功概率为(1-p)7,后3次成功概率为p3,故C正确.

3.已知随机变量X服从二项分布,X~B(6, 1 ),则P(X=2) 3 等于 ( )

3 4 13 80 A. B. C. D. 16 243 243 243 【解析】选 D.已知X~ B(6, ),P(X=k)= pk(1-p)n-k 1 k C n 当X=2,n=6,p= 时, 3 1 有P(X=2)= 3 12 1 6?2 80 2 C6 ? ( ) ? (1 ? ) ? . 3 3 243

4.①随机变量X表示重复投掷一枚硬币n次正面向上的 次数;②有一批产品共有N件,其中M件是次品,采取有放

回抽取的方法,则X表示n次抽取中出现次品的件数;
③随机变量X为n次射击命中目标的次数.上述三个随机

变量X服从二项分布的是________.

【解析】由二项分布的定义可知:①②③中的随机变量 X均服从二项分布.

答案:①②③

5.某射手每次射击击中目标的概率是 2 ,且各次射击 3 的结果互不影响.假设这名射手射击5次,则恰有2次击

中目标的概率为__________.

【解析】设X为射手在5次射击中击中目标的次数,因为 每次射击击中目标的概率是 2 ,所以X~B(5, 2 ),所以 3 3 在5次射击中,恰有2次击中目标的概率 P(X=2)=

22 2 3 40 C ? ( ) ? (1 ? ) ? . 答案: 3 3 243 40 243
2 5

6.某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都 是 1 ,求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概 4 率是多少 ?(结果保留两位有效数字)(仿照教材P57例3 的解析过程)

【解析】记事件A=“1小时内,1台机床需要人照管”, 1小时内5台机床需要照管相当于5次独立重复试验.

1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率P5(0)=
1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的

15 35 (1 ? )P5? ( ), 概率 (1)= 所以1小时内5台机床中至少2 4 4 1 4 P=1-[P (0)+P (1)]≈0.37. 1 1 台需要工人照管的概率为 C5 ? ? (1 ? ) , 5 5 4 4

类型一

独立重复试验

【典例1】(1)将一枚硬币连掷5次,如果出现k次正面的 概率等于出现k+1次正面的概率,那么k的值为 A.0 B.1 C.2 D.3 ( )

(2)(2017·贵阳高二检测)位于直角坐标原点的一个质 点P按下列规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方

向向左或向右,并且向左移动的概率为

1 3 的概率是 概率为 ,则质点P移动五次后位于点(1,0) 2 ( ) 3

,向右移动的

4 A. 243

8 B. 243

40 C. 243

80 D. 243

【解题指南】(1)先分析该试验是否符合独立重复试验 的条件,然后再套用公式求解.

(2)质点P移动5次,可理解为5次独立重复试验.

【解析】(1)选C.由 Ck ( 1 )k ( 1 )5?k 5 2 2 k ?1 1 k ?1 1 5?k ?1 ? C5 ( ) ( ) , 2 2 得 即k+(k+1)=5,所以k=2. k k ?1 C5 ? C5 , (2)选D.依题意得,质点P移动五次后位于点(1,0),则这

五次移动中必有某两次向左移动,另三次向右移动,因
此所求的概率等于

1 2 2 3 80 C ( ) ( ) ? . 3 3 243
2 5

【延伸探究】 1.若典例(2)中的条件不变,求移动五次后质点P位于点

(-1,0)的概率.
【解析】依题意得,质点P移动五次后位于点(-1,0),

则这五次移动中必有某两次向右移动,另三次向左移动,
因此所求的概率等于

2 2 1 3 40 C ( ) ( ) ? . 3 3 243
2 5

2.若典例(2)中的条件不变,问该质点能否位于(0,0)处? 【解析】不能.质点P按下列规则移动:质点每次移动一

个单位,移动的方向向左或向右;在这五次移动中,该质
点向左或向右移动的次数不同且其起点为(0,0),所以,

移动五次后,该质点不可能位于(0,0)处.

【方法总结】独立重复试验求概率的三个关注点 (1)关注判断问题中所涉及的试验是否为独立重复试验,

即条件相同,要么A发生,要么A不发生.
(2)关注概率公式:P(X=k)= pk(1-p)n-k就是[(1-p)

+p]n展开式中的第k+1项.

C

k n

(3)关注“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰 有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”

等词语的意义.

【补偿训练】将一枚硬币抛掷6次,则正面出现的次数 比反面出现的次数多的概率为________.

【解析】由题意知,正面可以出现6次,5次,4次,所求概 率

1 6 5 1 6 4 1 6 1 ? 6 ? 15 11 P=C ( ) ? C6 ( ) ? C6 ( ) ? ? . 2 2 2 64 32 答案: 11 32
6 6

类型二

二项分布及其应用

【典例2】从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,

假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且
概率都是 ,设X为途中遇到红灯的次数,求随机变量X

2 的分布列.5

【解题指南】根据二项分布的概率公式及相互独立事 件的概率公式分别求随机变量X=0,1,2,3的概率即可.

【解析】依题意X~B(3, 2 ),则 5

2 0 3 3 27 P ? X ? 0? ? C ( ) ( ) ? , 5 5 125 54 1 2 3 2 P ? X ? 1? ? C3( )( ) ? , 5 5 125 36 2 2 2 3 P ? X ? 2 ? ? C3 ( ) ( ) ? , 5 5 125 8 3 2 3 3 0 P ? X ? 3 ? ? C3 ( ) ( ) ? , 5 5 125
0 3

所以X的分布列为

【方法总结】二项分布的解题步骤 (1)判断随机变量X是否服从二项分布.

看两点:①是否为n次独立重复试验;②随机变量是否为
在这n次独立重复试验中某事件发生的次数.

(2)建立二项分布模型. (3)确定X的取值并求出相应的概率.

(4)写出分布列.

【拓展延伸】二项分布、超几何分布的区别与联系 二项分布是由n次独立重复试验所得,超几何分布

是由古典概型所得,这两种分布的关系是:在产品抽样
中如果采用有放回抽样,则次品数服从二项分布,若采

用不放回抽样,则次品数服从超几何分布.

超几何分布与二项分布的区别就在于是不放回抽 样,还是有放回抽样.若产品总数N很大时,那么不放回

抽样可以近似地看成有放回抽样.
因此,当N→+∞时,超几何分布的极限分布就是二

项分布,即当产品总数N很大时可用二项分布估计超几
何分布.

【巩固训练】 100件产品中有3件不合格品,每次取一件,有放回地抽

取3次,求取得不合格品的件数X的分布列.

【解析】X可能取的值为0,1,2,3.由于是有放回地每次 取一件,连续取三次,所以这相当于做3次独立重复试验,

一次抽取到不合格品的概率p=0.03.
因此P(X=0)= 0.030·(1-0.03)3=0.912673,

P(X=1)=

0 C 3 1·(1-0.03)2=0.084681, 0.03

2·(1-0.03)1=0.002619, P(X=2)= C1 0.03 3
2 C3

P(X=3)= C3 0.033·(1-0.03)0=0.000027.
3

分布列为: X 0 1 2 3

P

0.912 673

0.084 681

0.002 619 0.000 027

【补偿训练】如果袋中有6个红球,4个白球,从中任取1 球,记住颜色后放回,连续抽取4次,设X为取得红球的次

数.求X的概率分布列.

【解析】采用有放回地取球,每次取得红球的概率都相 等,均为 3 ,取得的红球次数X可能的取值为0,1,2,3,4.

5 由以上分析,知随机变量X服从二项分布,
P(X=k)= (k=0,1,2,3,4).

3k 3 4-k C ( ) (1- ) 5 5
k 4

随机变量X的分布列为

X

0

1

2

3

4

P

16 625

96 625

216 625

216 625

81 625

【课堂小结】 1.知识总结

2.方法总结 识别二项分布的方法


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