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河北省衡水中学11-12学年高二数学下学期期末考试 理【会员独享】

2011—2012 学年度第二学期高二年级期末考试 高二年级(理科)数学试卷
一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的 序号填涂在答题卡上)
Z 1.已知 Z1 ? 3 ? i, Z 2 ? 1 ? i, Z1是Z1的共轭复数 , i为虚数单位 ,则 1 ? ( Z2



A. 1 ? i

B. 1 ? i

C. 2 ? i

D. 2 ? i ( )

2.若 m ? 0 ,则 | x ? a |? m 和 | y ? a |? m 是 | x ? y |? 2m 的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 3. B.必要而不充分条件 D.既不充分有必要条件 ( ) C. ? ? 1 D. ? ? 1

?

1

?1

( 1 ? x 2 ? x)dx ?
B.

A. ?

? 2

π 4. 在极坐标方程中,曲线 C 的方程是 ρ =4sinθ ,过点(4, )作曲线 C 的切线,则切线长 6 为( A.4 5. a ? ) B. 7 C.2 2
2

D.2 3 )

?

2

0

xdx, b ?? e x dx, c ? ? sin xdx, 则 a、b、c 大小关系是(
0 0

2

A a?c?b

Ba ? b ? c

C c?b?a

Dc ? a ? b

6 .如图,过点P作圆O的割线PBA与切线PE,E为切点,连接AE,BE,∠APE的平分线分别与AE、 BE相交于C、D,若∠AEB= 30 0 ,则∠PCE等于( A 1500 B 750 C 1050 ) D 600 D E C 第6题 A P B

7.关于 x 的不等式 | cos x ? lg(1 ? x ) |?| cos x | ? | lg(1 ? x ) | 的解集为
2 2





A.(-1,1)

B. ( ?

?

, ?1) ? (1, ) 2 2

?

C. ( ?

? ?

, ) 2 2

D.(0,1)

1 ? x ? 1 ? t ? 2 ? 8..直线 ? (t 为参数)和圆 x 2 ? y 2 ? 16 交于 A、 B 两点, 则 AB 的中点坐标为 3 ? y ? ?3 3 ? t ? ? 2
( ) A.(3,-3) B.(- 3,3) C.( 3,-3) D.(3,- 3)

9.如图所示,AB 是圆 O 的直径,直线 MN 切圆 O 于 C,CD⊥AB,AM⊥MN,BN ⊥MN,则下列结论中正确的个数是( ①∠1=∠2=∠3 ③CM=CD=CN A. 4 )

②AM·CN=CM·BN ④△ACM∽△ABC∽△CBN. B.3 C.2 D. 1

10.已知非零向量 a , b 满足: | a |? 2 | b | ,若函数 f ( x) ? 值,设向量 a , b 的夹角为 ? ,则 cos ? 的取值范围为( A.[ [ ,1]

1 3 1 x ? | a | x 2 ? a ? bx 在 R 上有极 3 2
) D. [ ?1, ) 2S ; a+b+c

1 2

B. ( ,1]

1 2

C. [ ?1, ]

1 2

1 2

11.设△ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r ,则 r=

类比这个结论可知:四面体 S-ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球的半径为 R,四面体 P-ABC 的体积为 V,则 R=( V A. S1+S2+S3+S4 3V C. S1+S2+S3+S4 ) B. 2V S1+S2+S3+S4

4V D. S1+S2+S3+S4 ( )

2 2 2 12.若实数 x , y , z 满足 x ? y ? z ? 1 则 xy ? yz ? zx 的取值范围是

A.[-1,1]

B.[ ?

1 ,1] 2

C.[-1, ]

1 2

D. [ ?

1 1 , ] 2 2

二、填空题(每题 5 分,共 20 分。把答案填在题中横线上) 13. 以 Rt ?ABC 的直角边 AB 为直径作圆 O ,圆 O 与斜边 AC 交于 D ,过 D 作圆 O 的切线与 BC 交于 E ,若 BC ? 3 , AB ? 4 ,则 OE =_________ 14. 已 知 曲 线 C1 、 C2 的 极 坐 标 方 程 分 别 为 ? ? ?2 cos(? ?

?
2

) ,

2 ? cos(? ? ) ? 1 ? 0 ,则曲线 C1 上的点与曲线 C2 上的点的最远距离为 4

?

15.设 a ?

x 2 ? xy ? y 2 , b ? p xy , c ? x ? y , 若对任意的正实数 x , y , 都存在以 a, b, c 为三
.

边长的三角形,则实数 p 的取值范围是

16.在求某些函数的导数时,可以先在解析式两边取对数,再求导数,这比用一般方法求导 数更为简单,如求 y

?xe

x

的导数,可先在两边取对数,得 ln y ? ln x e ? e x ln x ,再

x

在两边分别对 x 求导数,得

1 1 1? ? ' ? y ' ? e x ln x ? e x ? 即为 y x ? y ?e x ln x ? e x ? ? ,即 y x x? ?

x 导数为 y ? x e ? ?e ln x ?

x

? ?

ex x

? ? 若根据上面提供的方法计算函数 y ? x x 的导数, 则y ' ? ?。 ?

三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 10 分)已知 a ? b ? 1 ,对 ?a, b ? (0, ??) , 求 x 的取值范围。

1 4 ? ?| 2 x ? 1| ? | x ? 1| 恒成立, a b

18.(本题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ?

? x ? ?2 ? 3t (t为参数) ? y ? 2 ? 4t

(y-2) ? x ? 1 交于 A、B 两点。 它与曲线 C:
2 2

(1)求|AB|的长 (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 P 的极坐标为 (2 2, 求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离。

3? ), 4

19. (本题满分 12 分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们 刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同 样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形.

(1)求出 f (2) , f (3) f (4) f (5) 并猜测 f ( n ) 的表达式;

P

C

A E

.

O

B

D

(2)求证:

1

f



1

f

+ -1 f

1

+…+ -1 f

1

n -1

?

3 . 2

20. (本题满分 10 分) 如图, ?ABC 内接于⊙ O , AB 是⊙ O 的直径, PA是过点 A 的直线, 且 ?PAC ? ?ABC . (Ⅰ) 求证: PA是⊙ O 的切线; (Ⅱ)如果弦 CD 交 AB 于点 E , AC ? 8 ,

CE : ED ? 6 : 5 , AE : EB ? 2 : 3 , 求 sin ?BCE .
21.(本题满分 14 分)某园林公司计划在一块 O 为圆心, R ( R 为常数,单位为米)为半径的半 圆形(如图)地上种植花草树木,其中弓形 CMDC 区域用于观赏样板 地, ?OCD 区域用于种植花木出售,其余区域用于种植草皮出售.已 知观赏样板地的成本 是每平方米 2 元,花木的利润 是每平方米 8 元, .. ..
C M D

O D 草皮的利润 是每平方米 3 元. (1) 设 ?C ..

? ? (单位:弧度) , 用? 表
A O B

示弓形 CMDC 的面积 S弓 ? f (? ) ;(2)园林公司应该怎样规划这块土 地,才能使总利润最大? 并求相对应的 ? (参考公式:扇形面积公式 S ?

1 2 1 R ? ? Rl , l 表示扇形的弧长) 2 2

22.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2ln x (a ? R) 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? x 2 ? 2 x ,若对任意 x1 ? (0, 2] ,均存在 x2 ? (0, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 a 的取值范围.

高二年级(理科) 期末数学答案 一、选择题:DABCD 二、填空题 13. CADBD CB 14. 2 ? 1 15. (1,3) 16. x (1 ? ln x )
x

5 2

三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 10 分)解:∵ a>0,b>0 且 a+b=1 ∴ 9, 故

1 4 1 4 b 4a + =(a+b)( + )=5+ + ≥ a b a b a b
小 值 为 9 ,

1 a

+

4 b





------------------------5 分 因为对 a,b∈(0,+∞),使 ≤9, -7 分

1 4 + ≥|2x-1|-|x+1|恒成立,所以,|2x-1|-|x+1| a b

当 x≤-1 时,2-x≤9, ∴ -7≤x≤-1, ∴ -1 < x <

当 -1<x< ∴

1 1 ,当 x≥ 时 ,x-2 ≤ 9 , 2 2

1 时,-3x≤9, 2 1 ≤ x ≤ 11, ∴ -7 ≤ x ≤ 11 2

------------- 10 分 18. 解:(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得

7t 2 ? 12t ? 5 ? 0
设 A , B 对应的参数分别为 t1 , t 2 ,则 t1 ? t 2 ?
2 2

12 5 , t1t 2 ? ? . 7 7
2

……3 分

所以 AB ? (?3) ? (?4) t1 ? t 2 ? 5 (t1 ? t2 ) ? 4t1t2 ?

10 71 . 7

……5 分

(Ⅱ)易得点 P 在平面直角坐标系下的坐标为 (?2,2) ,根据中点坐标的性质可得 AB 中点

M 对应的参数为

t1 ? t 2 6 ? . 2 7

……8 分

所以由 t 的几何意义可得点 P 到 M 的距离为

PM ? (?3) 2 ? (?4) 2 ?

6 30 ? . 7 7

……10 分

20. 解: (1)∵ f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,∴ f(5)=25+4×4=41. ∵ f(2)-f(1)=4=4×1,f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4) =16=4×4, 由上式规律得出 f(n+1)-f(n)=4n. ∴ f(n)-f(n-1)=4(n-1), f(n-1)-f(n-2) =4·(n-2),

f(n-2)-f(n-3)=4·(n-3),… f(2)-f(1)=4×1,
∴ f(n) - f(1) = 4[(n - 1) + (n - 2) +…+ 2 + 1] = 2(n -1)·n ,∴ f(n) = 2n - 2n + 1(n≥2), 又 n=1 时,f(1)也适合 f(n). ∴ f(n)=2n -2n+1. (2)当 n≥2 时, ∴ 1 +
2 2

--------6 分 = 1 1 1? 1 - ?, = 1

? ? f n -1 2n2-2n+1-1 2?n-1 n?
1 + -1 f 1 +…+ -1 f

1

f

f

n -1

1 1 1? 1 1 1 - ? =1+ ?1- + - +…+ n-1 n? 2? 2 2 3 ? 1? 1? 3 1 =1+ ?1- ?= - . 2? n? 2 2n ---------------12 分

20. (Ⅰ)证明: AB 为直径,? ?ACB ?

?
2

,

P

C

?CAB ? ?ABC ?

?
2

? ?PAC ? ?ABC ? ?PAC ? ?CAB ?

?
2

A E

.

O

B

? PA ? AB, AB 为直径,? PA 为圆的切线
…………………… 3 分 (Ⅱ) CE ? 6k , ED ? 5k , , AE ? 2m, EB ? 3m

D

? AE ? EB ? CE ? ED ? m ? 5k BD 3m ? ?AEC ∽ ?DEB ? ? ? BD ? 4 5 8 6k BC 2 25m 2 ? 64 3k 2 2 5 ? ?CEB ∽ ?AED ? ? ? ( ) ? m ? 2, k ? 2 2 m 5 AD 25m ? 80 BD 4 5 2 5 ? AB ? 10, BD ? 4 5 在直角三角形 ADB 中 sin ?BAD ? ? ? AB 10 5
? ?BCE ? ?BAD ? sin ?BCE ?
21 【解析】 (1) S扇 ?

2 5 …………………… 10 分 5

1 2 R ? , S?OCD ? 1 R2 sin? , S弓 ? f (? ) ? 1 R2 (? ? sin? ) .………3 分 2 2 2

(2)设总利润为 y 元,草皮利润为 y1 元,花木地利润为 y2 ,观赏样板地成本为 y3

1 1 1 1 y1 ? 3( ? R2 ? R2? ) , y2 ? R2 sin ? ? 8 , y3 ? R2 (? ? sin ? ) ? 2 , 2 2 2 2 1 1 1 1 ? y ? y1 ? y2 ? y3 ? 3( ? R2 ? R2? ) ? R2 sin? ? 8 ? R2 (? ? sin? ) ? 2 . 2 2 2 2 1 ? R2 [3? ? (5? ? 10sin? )] 2
……8 分 设 g (? ) ? 5? ? 10sin ?

M C

D

? ? (0, ? ) .

A

O

B

1 ? g ' (? ) ? 5 ? 10cos? , g ' (? ) ? 0,cos? ? , g (? )在? ? 上为减函数; (0, ) 2 3 1 ? 上为增函数. ……12 分 g ' (? ) ? 0,cos? ? , g(? )在? ? ( ,?) 2 3
当? ?

?
3

时, g (? ) 取到最小值,此时总利润最大.

答:所以当园林公司把扇形的圆心角设计成 22.解: f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ?

?
3

时,总利润最大. ---------2 分

………14 分

2 ( x ? 0) . x

(Ⅰ) f ?(1) ? f ?(3) ,解得 a ? (Ⅱ) f ?( x) ?

(ax ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) . x ①当 a ? 0 时, x ? 0 , ax ? 1 ? 0 , 在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ??) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) ,单调递减区间是 (2, ??) . 1 1 1 1 ②当 0 ? a ? 时, ? 2 , 在区间 (0, 2) 和 ( , ??) 上, f ?( x ) ? 0 ;在区间 (2, ) 上 a a a 2 f ?( x) ? 0 , 1 1 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( , ??) ,单调递减区间是 (2, ) . a a 2 1 ( x ? 2) ③当 a ? 时, f ?( x) ? , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ??) . 2 2x 1 1 1 1 ④当 a ? 时, 0 ? ? 2 , 在区间 (0, ) 和 (2, ??) 上, f ?( x ) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上 2 a a a f ?( x) ? 0 , 1 1 故 f ( x ) 的 单 调 递 增 区 间 是 (0, ) 和 (2, ??) , 单 调 递 减 区 间 是 ( , 2) . a a
(Ⅲ) 由已知, 在 (0, 2] 上有 f ( x)max ? g ( x)max . --------9 分 ---------10

2 . ---------3 分 3

分 由已知, g ( x)max ? 0 ,由(Ⅱ)可知,

1 时, f ( x ) 在 (0, 2] 上单调递增, 2 故 f ( x)max ? f (2) ? 2a ? 2(2a ? 1) ? 2ln 2 ? ?2a ? 2 ? 2ln 2 , 所以, ?2a ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,解得 a ? ln 2 ? 1, 1 故 ln 2 ? 1 ? a ? . 2 1 1 1 ②当 a ? 时, f ( x ) 在 (0, ] 上单调递增,在 [ , 2] 上单调递减, 2 a a 1 1 ? 2 ln a . 故 f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ? a 2a 1 1 1 由 a ? 可知 ln a ? ln ? ln ? ?1 , 2 ln a ? ?2 , ?2 ln a ? 2 , 2 2 e 所以, ?2 ? 2 ln a ? 0 , f ( x)max ? 0 , a ? ln 2 ? 1 综 上 所 述 ,
①当 a ? ---------14 分

.