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湖北省孝感高级中学2014届高三上学期期末测试数学文试题


孝感高中 2014 届高三上学期期末测试

数学(文)
考试时间:2014 年元月 25 号下午 15:00——17:00 命题人:代丽萍 一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 1.在复平面内,复数 A.第一象限

1 1 ? i 3 对应的点位于 1? i 4
B.第二象限



) D.第四象限

C.第三象限

2.设集合 U = ?1,2,3,4? , M = x ? U x 2 ? 5 x + p = 0 ,若 CU M = ?2,3? ,则实数 p 的值为( ) A. ?4 B. 4 C. ?6 D. 6

?

?

3.为了得到函数 f ( x) ? 3sin(2 x ?

?

) 的图像,只要把 f ( x) ? 3sin( x ? ) 上所有的点( 6 6

?



A. 横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变 B. 横坐标缩短为原来的

1 ,纵坐标不变 2 1 ,横坐标不变 2

C. 纵坐标伸长为原来的 2 倍,横坐标不变 D. 纵坐标缩短为原来的

4.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入 x 的值为 ? 5 , 则输出的 y 值是( A.1 B.2 ) C.-1 D.-2

5.下列四种说法中,正确的是 A. A ? ?1, 0? 的子集有 3 个; B.“若 am ? bm , 则a ? b ”的逆命题为真;
2 2

?

C.“命题 p ? q 为真”是“命题 p ? q 为真”的必要不充分条件; D.命题“ ?x ? R ,均有 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R, 使得 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 6.四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相 等的圆口酒杯,如图所示,盛满酒后他们约定:先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左 到右依次为 h1 , h2 , h3 , h4 ,则它们的大小关系正确的是( )

A. h3 ? h2 ? h4

B. h2 ? h4 ? h1

C. h2 ? h1 ? h4

D. h1 ? h2 ? h3 )

7.若圆(x-3)2 +(y+5) 2=r 2 上有且只有两个点到直线 4x-3y-2=0 的距离等于 1,则半径 r 的取值是( A.(4,6) B. [4,6) C.(4,6] D. [4,6]

8.在数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a2 ? 7, an ? 2 等于 an an ?1 (n ? N ?) 的个位数,则 a2014 等于( A.8 9.曲线 B.6 C.4 D.2 ) D.焦距相等



y2 x2 y2 x2 ? ? 1 与曲线 ? ? 1(16 ? k ? 25) 的( 25 16 25 ? k k ? 16 A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等

10.在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”,记为 ? k ? , 即 ? k ? ? ?5n ? k n ? Z? , k ? 0,1, 2,3, 4 .给出如下四个结论: ① 2013 ? ?3? ;② ?2 ? ? 2? ;③ Z ? ? 0?∪?1?∪? 2?∪?3?∪? 4? ; ④ 整数 a, b 属于同一“类”的充要条件是“ a ? b ? ? 0? ”. 其中,正确结论为( A.①②④ B.①③④ ) . C.②③④ D.①②③

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分。 11.已知两条直线 l1 : (2 ? m) x ? 4 y ? 5 ? 3m , l2 : 2 x ? (5 ? m) y ? 8 互相垂直,则 m=__________. 12.已知 | a |? 6 , | b |? 3 , a ? b ? ?12 ,则向量 a 在向量 b 方向上的投影是 13.一块边长为 10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰 三角形加工成一个正四棱锥形容器,则容器的容积 V 表示为 x 的函数为 V ? x ? ?

1+cos2α+8sin2α 14.已知 tanα=4,则 的值为 sin2α 15.设矩形 ABCD 的周长为 24, 把它关于 AC 折起来, 连结 BD, 得到一个空间四边形, 则它围成的 四面体 ABCD 的体积的最大值为 .

? y ? x, ? 16.已知不等式组 ? y ? ? x, 表示的平面区域 S 的面积为 4 ,则 a ? ? x?a ?
若点 P( x, y) ? S ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 .



17.如下图所示将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有 n(n>l,n∈N*)个点,相 应的图案中总的点数记为 an,则

9 a 2 a3

+

9 a3 a 4

+

9 a 4 a5

+…+

9 a2013 a2014

=

三、解答题:本题共 6 小题,共 75 分 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 18.(本小题满分 12 分) 已知函数.

? ? 1 a = (cos x, ) , b =(
2

? ? 3sin x,cos 2x),x∈R,设函数 f ( x ) ? a ? b ? 1

2

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ)当 x ? (0, ) 时,求 f ( x) 的取值范围.

2? 3

19.(本小题满分 12 分) 已知数列{ an }的前 n 项和 S n =2 an - 2
n+1

+2 (n 为正整数) . (2)求数列{ an }的通项公式;

(1) 记 cn ? a n , 证明数列{cn }为等差数列: 2n (3) 令 bn = log 2 a1 + log 2

a 1 a2 +…+ log 2 n ,求数列{ }的前 n 项和 Tn . bn 2 n

20.(本小题满分 13 分) 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 侧 面 PCD ? 底 面 ABCD , PD ? CD , 底 面 ABCD 是 直 角 梯

形, AB // CD , ?ADC ? 90? , AB ? AD ? PD ? 1 , CD ? 2 . (1)求证: BC ? 平面 PBD ; (2)设 Q 为侧棱 PC 的中点,求三棱锥 Q-PBD 的体积; (3)若 N 是棱 BC 的中点,则棱 PC 上是否存在点 M, 使 MN 平行于平面 PDA?若存在,求 PM 的长;若不存在请说明理由。

21.(本小题满分 14 分) 从椭圆 C :

x2 y2 垂足恰为左焦点 F1 .A,B 分别是椭 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P 向 X 轴作垂线, a2 b2
6? 3.

圆的右顶点和上顶点,且 OP∥AB, | F1 A |? (1)求椭圆 C 的方程;

(2)已知圆 O: x ? y ? 2 的切线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,问以 AB 为直径的圆是
2 2

否经过定点?若是,求出定点的坐标;否则,说明理由.

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? ln x(a ? 0) . (1)若 a ? 0, 讨论f ( x)的单调区间; (2)若 a ? 1, 求f ( x)的最小值 ;
2 2 2 2 (3)证明 ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? ln( n ? 1) ? n ? ( 1 ? 1 (n ) ? N * , 且n ? 2) . 2 n?2 22 32 n2 (n ? 1) 2

孝感高中 2014 届高三上学期期末考试数学(文)答案
1-10 : DBBCC,CAADC
11-17 : 12; -4;

1 2 2011 65 ; 8 3 ;2,6; . x 100 ? x 2 , x ? (0,10) ; 6 2012 4 1 )? , 6 2
…………………………………… 4 分

18.(本小题满分 12 分)

f ( x) ? sin(2 x ?

?

T ? ? , 减区间为(k ? ?

?
6

, k? ?

2? ), (k ? Z ) ; 3

………………… 6 分 …………………12 分

3 1 f ( x) ? (? , ] 2 2
19.(本小题满分 12 分) .

S n ? 2a n ? 2 n ?1 ? 2, 得 S n ?1 ? 2a n ?1 ? 2 n ? 2 ? 2 作差得a n ?1 ? 2a n ?1 ? 2a n ? 2 n ?1 ,
(1) 由 即a n ?1 ? 2a n ? 2
n ?1

a n ?1 a n ? ? 1, n ? 1时,a 1 ? 2, c1 ? 1 2 n ?1 2 n 所以,c n ?1 ? c n ? 1, 故数列{c n }是首项为1的等差数列;?? 4分

(2) 由(1)知, c n ? n, 又c n ?

an ,? an ? n ? 2 n ; 2n

……………… 8 分

an a n(n ? 1) 1 2 1 1 ? 2 n , log 2 n ? n, bn ? , ? ? 2( ? ) n n 2 bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 Tn ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 2 3 n n ?1 1 ? 2(1 ? ) ………………………………12 分 n ?1

20.(本小题满分 12 分) (1)∵面 PCD⊥底面 ABCD,面 PCD∩底面 ABCD=CD,PD ? 面 PCD,且 PD⊥CD ∴PD⊥面 ABCD, 又 BC ? 面 ABCD,∴BC⊥PD ① 取 CD 中点 E,连结 BE,则 BE⊥CD,且 BE=1 在 Rt△ABD 中, BD ?

2 ,在 Rt△BCE 中,BC= 2


∵ BD 2 ? BC 2 ? ( 2 ) 2 ? ( 2 ) 2 ? 22 ? CD 2 , ∴BC⊥BD

由①、②且 PD∩BD=D ∴BC⊥面 PBD ………………………………………………………… 4 分 (2) VQ ? PBD ? VP ?CBD ? VQ ?CBD ?

1 1 1 1 VP ?CBD ? ? ? S ?CBD ? PD ? 2 2 3 6

…………8 分

(3)存在,M 是 PC 的四等分点,靠近 C 点,理由如下: 取 PC 的中点 K,易证 BK 平行于平面 PDA,又 BK 平行 MN,所以 MN 平行与平面 PDA ………………………………………………13 分 21.(选修 1—1 P68 B 第 2 题)

a?c ? 6 ? 3
(1) 由已知,

b2 b ? , 得 b ? c , 又a 2 ? b 2 ? c 2 ac a ? a ? 6, b ? 3

椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1; 6 3

………………………………………………5 分

(2)

当切线与 x 轴垂直时, l : x ? ? 2 ,

椭圆中,令 l : x ? ? 2 ,得 y ? ? 2 ,

?以AB为直径的圆的方程为:(x

? 2 ) 2 ? y 2 ? 2 ,两圆唯一的公共点为(0,0) ;

………………………………………………………………………………………… 8 分

当切线与 x 轴不垂直时,可设切线的方程为; y ? kx ? m

联立方程 x ? 2 y ? 6, 得(1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2(m ? 3) ? 0
2 2 2 2 2

由直线与圆相切得,

|m| 1? k
2

? 2 ,即 m 2 ? 2(1 ? k 2 ) …………………………10 分

设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), 则x1 ? x 2 ?

? 4km 2(m 2 ? 3) , x x ? , 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2
则 ? x1 x 2 ? (kx1 ? m)( kx2 ? m) ? (1 ? k 2 ) x1 x 2 ? km( x1 ? x 2 ) ? m 2
2 2(m 2 ? 3) 4k 2 m 2 3(m 2 ? 2k 2 ? 2) 2 1 ? 2k ? ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

? (1 ? k 2 )

? m 2 ? 2(1 ? k 2 ),? m 2 ? 2k 2 ? 2 ? 0,? OA ? OB ? 0

即以 AB 为直径的圆过(0,0).

综上得,以 AB 直径的圆经过定点(0,0).…………………………………… 14 分

22.(选修 1—1 P99 B ) (1) x ? 0,当x ? a时, f ( x) ? x ? a ? ln x ,

1 x ?1 ? , x ? (0,1), f ' ( x) ? 0, f ( x)单调递减; x x ' x ? (1,??0, f ( x) ? 0, f ( x)单调递增. f ' ( x) ? 1 ?

,? ?) 上单调递增; 若 a ? 1, 则f ( x)在[a,1)上单调递减, 在( 1
若 a ? 1, 则f ( x)在(a,??)上单调递增; 当 x ? a时,f ( x) ? a ? x ? ln x

f ' ( x) ? ?1 ?

1 ? 0恒成立, ? f ( x)在(0, a)上单调递减 x

综上得:

a ? (0,1), 单调增区间( 1,? ?);

单调减区间( 0, 1);

a ? [1,??), 单调增区间(a ,??); 单调减区间( 0,a ).

…………6 分

1 ) 上减, 在( 1,? ?) 上增,f ( x) min ? f (1) ? 0. (2)由(1)知, f ( x)在( 0,
………………………………………………………………… 9 分 (3) 由(2)可知,当 a ? 1, x ? 1时, 有 f ( x) ? f (1) ? 0,

即ln x ? x ? 1 ,?

ln x 1 ? 1? x x

ln 2 2 ln 3 2 ln n 2 ln(n ? 1) 2 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ? ? n ? ( 2 ? 2 ??? 2 ? ) 2 2 3 n (n ? 1) 2 3 n (n ? 1) 2

1 1 1 1 n ? 2时, 2 ? ?( ? ) n(n ? 1) n n ?1 n
? ?(

…………………… 12 分

1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? ) ? ?( ? ), 2 2 2 n?2 2 3 n (n ? 1)

?n ? (

1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? ) ? n?( ? ) 2 2 2 n?2 2 3 n (n ? 1)

…………… 14 分


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