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「精品」人教A版高中数学选修1-2课件3.2《复数代数形式的四则运算》2(新选修1—2)-精品课件_图文

3.2.2 复数代数形式的乘除运 算

我们规定,复数乘法法则如下 : 设z1 ? a ? bi,z2 ? c ? di是任意两个复数,那么它
们的积?a ? bi??c ? di? ? ac ? bci ? adi ? bdi2 ? ?ac ? bd? ? ?ad ? bc?i.
可以看出,两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,
只要在所得的结果中把 i2 换成 ? 1,并且把实部与 虚部分别合并即可. 两个复数的积是一个确定的复数. 探究 复数的乘法是否满足交 换律、结合律 ? 乘法对加法满足分配律 吗?
容易得到,对于任意z1,z2,z3 ? C,有z1 ? z2 ? z2 ? z1,
?z1 ? z2 ?? z3 ? z1 ? ?z2 ? z3 ?,z1?z2 ? z3 ? ? z1z2 ? z1z3.

例2 计算?1? 2i??3 ? 4i??? 2 ? i?. 解 ?1? 2i??3 ? 4i??? 2 ? i? ? ?11? 2i??? 2 ? i? ? ?20 ? 15i. 例3 计算 : ?1??3 ? 4i??3 ? 4i?; ?2??1? i?2 .
分析 本例可以用复数乘法法 则计算,也可以用乘法 公式???计算.
???指的是与实数系中的乘 法公式相对应的公式.
解 ?1??3 ? 4i??3 ? 4i?? 32 ? ?4i?2 ? 9 ? ??16? ? 25.
?2??1? i?2 ? 1? 2i ? i2 ? 1? 2i ? 1 ? 2i. 本例?1?中的两个复数3 ? 4i,3 ? 4i称为共轭复数.

一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数 时,这两个复数叫做互为 共轭复数 (conjugate co? mplex number ).虚部不等于0的两个共轭复数也 叫做共轭虚数.

思考 若z1,z2是共轭复数,那么
?1?在复平面内,它们所对应的点有怎样 的位置关系? ?2?z1 ? z2是一个怎样的数 ?
探究 类比实数的除法是乘法 的逆运算,我们规定复

数的除法是乘法的逆运 算.试探求复数除法的法则.

复数除法的法则是 :

?a

?

bi? ?

?c

?

di?

?

ac c2

? ?

bd d2

?

bc c2

? ?

ad d2

i

?c

?

di

?

0?.

由此可见 ,两个复数相除 ?除数不为 0?,所得的商
是一个确定的复数.
在进行复数除法运算时,通常先把 ?a ? bi? ? ?c ? di?
写成 a ? bi 的形式,再把分子与分母都乘于 分母的 c ? di
共轭复数 c ? di ,化简后就可得到上面的 结果.这与 作根式除法时的处理是 很类似的.在作根式除法时, 分子分母都乘以分母的" 有理化因式",从而使分母 " 有理化 " .这里分子分母都乘以分 母的 " 实数化因 式" (共轭复数 ), 从而使分母"实数化".

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例4 计算 ?1? 2i? ? ?3 ? 4i?.

解 ?1? 2i? ? ?3 ? 4i?? 1? 2i
3 ? 4i

?

?1? ?3 ?

2i??3 4i??3

? ?

4i? 4i?

3 ? 8 ? 6i ? 4i ? 32 ? 42

? ? 5 ? 10i ? ? 1 ? 2 i.

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