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代数结构学习教材PPT课件


第六章 代数结构 代数结构的主要研究对象是各种各样的代数系 统,即具有一些元运算的集合,本章介绍的群就 是具有一个二元运算的代数系统. 本章以群为例讨论代数结构,它的思想和 方法已经渗透到现代科学的许多分支、它的结 果已应用到计算机的不少方面,因此计算机科 学工作者应初步掌握其基本的理论和方法. 读者通过对群的学习应初步掌握对代数系统研 究的一般方法,从简单到复杂、从具体到一般, 从而发现代数系统的一般规律.本章的内容较为 抽象、难学.可根据具体情况删减一些内容. 返回首页 1 2018/4/28 第一节 ? 代数结构概述 我们在前面已经研究过集合,那时没有 过多地考虑一个集合内部元素之间的联 系 . 现在我们要在一个集合的内部引入 运算,并研究其运算规律,主要内容为: ? 1. 代数系统的定义 , 然后用例子说明代 数系统的丰富性; ? 2.代数系统的运算的常用记法和运算表 的概念. 返回本章首页 2 2018/4/28 第二节 ? 置换(1) 群论的研究始于置换群.置换群在群论 里有重要的地位.例如,五次以上方程 不能用根号求解的问题的证明就用到置 换群.置换概念本身在计算机科学中也 起作重要作用.同时置换群的记法简单, 运算方便. ? 本节的概念有:置换、循环置换、不相 交置换、对换、奇置换、偶置换等; 返回本章首页 3 2018/4/28 第二节 ? 置换(2) 本节的结论有: 1.置换的乘法(即合成)满足结合律; 2.两个不相交的循环置换的乘法满足交换 律; 3.任意置换均可惟一地分解成不相交循环 置换的乘积(不考虑因子的次序) ; 4.每个置换都能分解成对换的乘积,且偶 置换只能分解成偶数个对换的乘积,奇置 换只能分解成奇数个对换的乘积; 5.在n个元素的所有置换中,奇偶置换各半. 返回本章首页 4 2018/4/28 第三节 ? 群 本节给出了群 的定义及群 的简单性质. ? 主要概念有:左(右)单位元、单位元、 左(右)逆元、逆元、可除条件、消去律、 有限群、无限群、交换群; ? 主要结论有: 1.群的定义中条件(2) 、(3)可分别用左 单位元、左逆元替代,也可分别用右单 位元、右逆元替代,还可以用可除条件 替代; 2.任意群中消去律成立. 返回本章首页 5 2018/4/28 第四节 ? 子群 与集合的子集、向量空间的子空间一样. 群也有子群的概念.子群作为群的一部 分.它的结构对群的结构有重要影响. ? 主要概念有:平凡子群、非平凡子群、 由某个元素生成的子群、循环群、生成 元、元素的周期. ? 讨论了一个群的非空子集构成子群的条 件;在某个元素生成的子群的基础上定 义循环群,把循环群的结构研究清楚了. 返回本章首页 6 2018/4/28 第五节 陪集与正规子群 ? 本节利用群 G 的一个子群 H 来作 G 的一个分类, 并由这样的分类来引入正规子群的概念. 1.利用群G的一个子群H,定义了G的一个等价 关系,这个等价关系决定了G的一个分类,每 个类Ha称为右陪集,类似地也定义了左陪集; 2.在左、右陪集的基础上定义了群的正规子 群,并讨论了子群为正规子群的条件,正规子 群是群的一类重要子群,有很好的代数性质, 应很好掌握它. 返回本章首页 7 2018/4/28 第六节 ? 拉格朗日定理 拉格朗日定理反映了有限群的元数与其 子群的元数之间的关系.是群论的最基 本定理之一. ? 拉格朗日定理是:设G是有限群,H是G的 子群,则有公式|G|=|H|(G:H). ? 本节

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