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2012届江苏省高考数学文二轮总复习专题导练课件专题15 圆锥曲线与方程


1 直线与圆锥曲线的位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、相离。由二次曲线的本质,可从它们的方程 组解的情况来确定属哪种关系。由方程组消元后得到形式上的一元二次方程,必须讨论二次项的系 数是否为零.若不为零,再通过判别式△讨论根的个数,从而得到直线与圆锥曲线的相交、相切或相 离位置关系的判定;若二次项系数为零,消元后的方程实际上是个一次方程,通过讨论它是否有满足 方程组的根,进而得知直线与圆锥曲线相交(方程组有一解)或相离(方程组无解)。操作如下: 1.1 联立直线方程与曲线方程,得方程组 Ax+By+C=0F(x,y)=0 1.2 方程组消去 y(或消去 x)得到关于 x 的方程:ax2+bx+c=0(或关于 y 的方程 ax2+bx+c=0) 1.3 判断第二步中方程的解的个数。 1.3.1 若 a=0,且 b=0,则方程无解,此时,直线与圆锥曲线相离。 1.3.2 若 a=0,且 b≠0,即得一元一次方程 bx+c=0,方程仅有一解,此时,直线与圆锥曲线相交。 1.3.3 若 a≠0,即得一元二次方程 ax2+bx+c=0,其中△=b2-4ac.① >0?方程有两解?圳直线与 △ 圆锥曲线相交于不同两点;② =0?方程有一解?直线与圆锥曲线相切;③ <0?方程无解?直线与圆锥 △ △ 曲线相离。 值得注意的是:对于抛物线来说,平行或重合于对称轴的直线与抛物线相交于一点,但并不是相 切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,但并不相切。因此直线与抛物线、 双曲线仅有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件,但不是充分条件。 例 1:直线 l 过点( ,0)且与双曲线 x2-y2=2 仅有一个公共点,这样的直线有() A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、4 条 分析:正确选项是 C,除了通过右顶点( ,0)垂直于 x 轴的切线 x= 外,还应有通过右顶点( ,0)平行 于渐近线且斜率为 k±1 的两条直线。 2 论直线与圆锥曲线的相交弦问题 直线与圆锥曲线的相交弦问题往往涉及中点弦、弦长或其它综合性问题,可利用联立方程组消 元后所得一元二次方程中根与系数关系(韦达定理)对相交弦问题设而不求(如例 3)、整体处理。操 作如下: 2.1 设线(直线和圆锥曲线的方程)设点(弦端点坐标) 2.2 联立直线方程与圆锥曲线方程,由方程组消元得:ax2+bx+c=0(或 ay2+by+c=0) 2.3 由韦达定理知根与系数的关系:x1+x2=- ,x1x2=- ;且须满足 a≠0△>0 2.4 将题设条件翻译成关于弦端点的坐标条件,然后整体代入韦达定理,从而求出所设参数,最后 检验是否满足 a≠0△>0.第四步中常常用到下列公式: 弦的斜率:kAB= ;弦中点坐标: x0= y0= 弦长公式:AB= · x1-x2= ·= 或 AB= · y1-y2= ·= 例 2:O 为坐标原点,过点 P(2,0)且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 y2=2x 于 M(x1,y1),N(x2,y2)两点。 ① 写出直线 l 的方程;② x1x2 与 y1y2 的值;③ 求 求证:OM⊥ ON. 分析:① 已知点 P(2,0)且斜率为 k 的直线可得方程为 y=k(x-2)k≠0;② 联立直线方程与圆锥曲线方 程,消元得:kx2-(4k2+2)x+4k2=0,由韦达定理知根与系数的关系:x1x2= 得 x1x2=4;同理,可得

y1y2=-4;③ OM⊥ 即证 kOM· 证 ON kON=-1,从题目条件可知:kOM· kON= ·,结合② 解可 得:kOM· kON= = =-1,从而得证。 另外,解圆锥曲线与弦的中点或中点弦的问题,除利用韦达定理外,也可以运用点差法。 例 3:过椭圆 + =1 内一点 M(2,1)引一条弦,使弦被 M 点平分,求此弦所在直线的方程。 分析:设弦所在直线的方程为 y-1=k(x-2),其中 k 待定。 设弦与椭圆的交点为 C(x1,y1)、D(x2,y2),从点 M(2,1)平分弦可得:x1+x2=4,y1+y2=2,且点 C、 点 D 满足方程 + =1,得:x+4y=16……① ;x+4y=16……② -① ;② :x-x+4(y-y)=0;4(x2-x1)+4· (y2-y1)=0; 2· = ,即 k= 得直线方程 x+2y-4=0. 总之,在处理直线与圆锥曲线的相关问题过程中,要加强对基础知识的综合运用,重视圆锥曲线 是二次曲线的本质,以代数的角度出发将问题转化为对一个二元一次方程与二元二次方程组成的方 程组的解的研究,如若能数形结合,借助图形的几何性质则更为简便。


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