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高考大一轮总复习选修4-4坐标系与参数方程


选4系列 坐标系与参数方程、不等式选讲

§选修4-4

坐标系与参数方程

考纲展示?

1.理解坐标系的作用.了解在平面直角坐标系

伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 2.会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标 和直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点 或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程. 4.了解参数方程,了解参数的意义. 5.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程. 6.掌握直线的参数方程及参数的几何意义,能用直线的参 数方程解决简单的相关问题.

考点1 直角坐标方程 与极坐标方程的互化

1.极坐标系 (1)设M是平面内一点,极点O与点M的距离OM叫做点M的

极径 ______________ ,记为ρ,以极轴Ox为始边,射线OM为终边的
角叫做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标, 记作M(ρ,θ).一般地,不作特殊说明,我们认为ρ≥0,0≤θ< 2π.

(2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极 点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单 位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为 ρcos θ ,y=________. ρsin θ 另一 (ρ,θ),则它们之间的关系为x=________ y 2 2 x +y ,tan θ=________( x 种关系为ρ2=________ x≠0).

2.常用简单曲线的极坐标方程 (1)几个特殊位置的直线的极坐标方程 ①直线过极点:θ=θ0和θ=π+θ0; ②直线过点M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a;
? π? ③直线过M?b,2?且平行于极轴:ρsin ? ?

θ=b.

(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程
r ①当圆心位于极点,半径为r:ρ=________ ;

2acos θ ; ②当圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=________
? π? 2asin θ ③当圆心位于M?a,2?,半径为a:ρ=________. ? ?

[典题1]

(1)在极坐标系下,已知圆O:ρ=cos θ+sin θ和直 2 2.

? π? 线l:ρsin?θ-4?= ? ?

①求圆O和直线l的直角坐标方程; ②当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.

[ 解]

①圆O:ρ=cos θ+sin θ,

即ρ2=ρcos θ+ρsin θ, 圆O的直角坐标方程为x2+y2=x+y, 即x2+y2-x-y=0.
? π? 直线l:ρsin?θ-4?= ? ?

2 ,即ρsin θ-ρcos θ=1, 2

则直线l的直角坐标方程为y-x=1,即x-y+1=0.
2 2 ? ?x +y -x-y=0, ②由? ? ?x-y+1=0,

? ?x=0, 得? ? ?y=1,

? π? 故直线l与圆O公共点的一个极坐标为?1,2?. ? ?

(2)[2017· 河南洛阳统考]已知圆O1和圆O2的极坐标方程 π 分别为ρ=2,ρ -2 2ρcosθ-4=2.
2

①将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程; ②求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
[解] ①由ρ=2知,ρ2=4,所以x2+y2=4.
2

因为ρ -2 2ρcos 所以ρ -2
2

? π? ?θ- ?=2, 4? ?

? 2ρ?cos ?

π π? θcos 4+sin θsin 4?=2, ?

所以x2+y2-2x-2y-2=0. ②将两圆的直角坐标方程相减,得 经过两圆交点的直线方程为x+y=1. 化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1,
? π? 即ρsin?θ+4?= ? ?

2 2.

[点石成金]

(1)直角坐标方程化为极坐标方程,只要运用

公式x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入并化简即可; (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形,构造形如 ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同 乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程 进行变形时,方程必须同解,因此应注意对变形过程的检验.

考点2

参数方程与普通方程的互化

1.曲线的参数方程 在平面直角坐标系xOy中,如果曲线上任意一点的坐标x,y
? ?x=f?t?, 都是某个变量t的函数 ? ? ?y=g?t?.

并且对于t的每一个允许值,上

式所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为该曲线的

参数 参数方程 ________,其中变量t称为________ .

2.一些常见曲线的参数方程 (1)过点P0(x0,y0),且倾斜角为α的直线的参数方程为 x +tcos α ? , ?x= 0 ? (t为参数). y + t sin α 0 ? ?y= (2)圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为 ? ?x= a+rcos θ, ? (θ为参数). b+rsin θ ? y = ? x2 y2 (3)椭圆方程 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程为 a b acos θ , ? ?x= ? (θ为参数). b sin θ ? ?y=

3.直线参数方程的标准形式的应用 (1)过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是
? ?x=x0+tcos α, ? ? ?y=y0+tsin α

(t是参数,t可正、可负、可为0).

若M1,M2是l上的两点,其对应参数分别为t1,t2,则 (1)M1,M2两点的坐标分别是(x0+t1cos t2cos α,y0+t2sin α). (2)|M1M2|=|t1-t2|. α,y0+t1sin α),(x0+

t1+t2 (3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t,则t= ,中 2
?t1+t2? ? 点M到定点M0的距离|MM0|=|t|=? ? 2 ?. ? ?

[典题2] (1)把下列参数方程化为普通方程,并说明它 们各表示什么曲线: 1 ? ?x=1+2t, ①? (t为参数); 3 ?y=2+ t 2 ? 2 ? ?x=1+t , ②? (t为参数); ? ?y=2+t 1 ? ?x=t+ t , ③? ?y=1-t t ? (t为参数).

1 [解] ①由x=1+ t,得t=2x-2, 2 3 ∴y=2+ (2x-2), 2 ∴ 3x-y+2- 3=0,此方程表示直线. ②由y=2+t,得t=y-2, ∴x=1+(y-2)2, 即(y-2)2=x-1,此方程表示抛物线. 1 ? ?x=t+ t ,① ③? ?y=1-t,② t ? ∴①2-②2,得x2-y2=4,此方程表示双曲线.

(2)[2017· 重庆巴蜀中学模拟]已知曲线C的参数方程是 ? ?x=1+ 5t, ? 5 ?x=cos α, ? ? (α为参数),直线l的参数方程为 ? ? 2 5 ?y=m+sin α ? y=4+ 5 t ? ? 为参数), ①求曲线C与直线l的普通方程; 4 5 ②若直线l与曲线C相交于P,Q两点,且|PQ|= ,求实数 5 m的值.

(t

[解]

? ?x=cos α, ①由? ? ?y=m+sin α,



? ?x=cos α,① ? ? ?y-m=sin α,②

①的平方加②的平方,得曲线C的普通方程为 x2+(y-m)2=1. 5 5 由x=1+ 5 t,得 5 t=x-1, 2 5 代入y=4+ 5 t得 y=4+2(x-1), 所以直线l的普通方程为y=2x+2.

|-m+2| ②圆心(0,m)到直线l的距离为d= , 5 所以由勾股定理,得
?|-m+2|? ? ? ? ?2 ?2 5?2 +? =1, ? ? ? 5 ? ? 5 ? ?

解得m=3或m=1.

[点石成金] 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参 数,常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角 的或代数的)消去法,不要忘了参数的范围.

1 ? ?x=3+2t, 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 ? ?y= 3t 2 ?

(t

为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ=2 3sin θ. (1)写出⊙C的直角坐标方程; (2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的 直角坐标.

解:(1)由ρ=2 3sin θ,得ρ2=2 3ρsin θ, 从而有x2+y2=2 3y, 所以x2+(y- 3)2=3.
? 1 ? (2)设P?3+ t, 2 ?

3? ? t?,又C(0, 3), 2 ?
? 3 ?2 t - 3 ? 2 ?

则|PC|=

? 1 ?2 ? ?3+ t? +? 2? ? ? ?

= t2+12, 故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,P点的直角坐标为 (3,0).

考点3

极坐标、参数方程 的综合应用

[典题3] ? ?x=3- 2t, 2 ? ? 2 ? y= 5+ t ? 2 ?

在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为

(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相

同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆 C的方程为ρ=2 5sin θ. (1)求圆C的直角坐标方程; (2)设圆C与直线l交于点A,B,若点P的坐标为(3, 5 ),求 |PA|+|PB|.

[解] (1)由ρ=2 5sin θ,得ρ2=2 5ρsin θ, ∴x2+y2=2 5y,即x2+(y- 5)2=5. (2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得 ? ? ? 2? ? ?2 ? 2 ?2 2 + = 5 ,即 t -3 2t+4=0. 3 - t t ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? 由于Δ=(-3 2 )2-4×4=2>0,故可设t1,t2是上述方程的 ? ?t1+t2=3 2, 两实根,所以? ? t2=4. ? t1 · 又直线l过点P(3, 5), 故由上式及t的几何意义,得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|= 3 2.

[点石成金]

1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解

的一般方法是分别化为普通方程后求解.当然,还要结合题目 本身特点,确定选择何种方程. 2.过定点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程的标准
? ?x=x0+tcos α, 形式为 ? ? ?y=y0+tsin α

(t为参数),t的几何意义是直线上的点P

→ 到点P0(x0,y0)的数量,即|t|=| P0P |,t可正,可负.使用该式时 直线上任意两点P1,P2对应的参数分别为t1,t2,则|P1P2|=|t1- 1 t2|,P1P2的中点对应的参数为2(t1+t2).

[2017· 黑龙江大庆模拟]在平面直角坐标方程xOy中,已知直
?1 ? π ? ? , 1 线l经过点P 2 ,倾斜角α=6.在极坐标系(与直角坐标系xOy取 ? ?

相同的长度单位,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆 C的极坐标方程为ρ=2
? π? 2cos?θ-4?. ? ?

(1)写出直线l的参数方程,并把圆C的极坐标方程化为直角 坐标方程; (2)设l与圆C相交于A,B两点,求|PA|+|PB|的值.

? 1 ?x=2+tcos 解:(1)直线l的参数方程为 ? ?y=1+tsin ? 数), ? 1 3 ?x=2+ 2 t, 即? ?y=1+1t 2 ? 由ρ=2 2cos

π 6, π 6

(t为参

(t为参数).

? π? ?θ- ?,得 4? ?

ρ=2cos θ+2sin θ, ∴ρ2=2ρcos θ+2ρsin θ, ∴x2+y2=2x+2y, 故圆C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2. ? 1 3 ?x=2+ 2 t, (2)把 ? ?y=1+1t 2 ? 3 7 2,得t - 2 t-4=0,
2

(t为参数)代入(x-1)2+(y-1)2=

设点A,B对应的参数分别为t1,t2, 3 7 则t1+t2= 2 ,t1t2=-4, ∴|PA|+|PB|=|t1-t2| 31 = ?t1+t2? -4t1t2= 2 .
2

[方法技巧]

1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互

化思路:对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ=x,ρsin θ=y,ρ2=x2+y2,但有时需要作适当的变化,如将式子的 两边同时平方、两边同时乘以ρ等. 2.参数方程化普通方程常用的消参技巧:代入消元、 加减消元、平方后加减消元等,经常用到公式:cos2θ+ 1 sin θ=1,1+tan θ=cos2θ.
2 2

3.利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简 捷方便,是我们解决这类问题的好方法. [易错防范] 1.极径ρ是一个距离,所以ρ≥0,但有时ρ可以

小于零.极角θ规定逆时针方向为正,极坐标与平面直角坐标不 同,极坐标与P点之间不是一一对应的,所以我们又规定 ρ≥0,0≤θ<2π,来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应 的,但仍然不包括极点. 2.在将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注意其中的 x,y的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程 与参数方程的等价性.

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