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【精品】边消防军考数学5年真题及答案德方军考汇编(2013-2017)


边消防军考数学五年真题及答案详解汇编 (2013-2017)
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2013 年边消防军考数学真题 ................................................................................................................... 错误!未定义书签。 2014 年边消防军考数学真题 ................................................................................................................... 错误!未定义书签。 2015 年边消防军考数学真题 ................................................................................................................... 错误!未定义书签。 2016 年边消防军考数学真题 ................................................................................................................... 错误!未定义书签。 2017 年边消防军考数学真题 ................................................................................................................... 错误!未定义书签。 2013 年边消防军考数学真题参考答案 ................................................................................................... 错误!未定义书签。 2014 年边消防军考数学真题参考答案 ................................................................................................... 错误!未定义书签。 2015 年边消防军考数学真题参考答案 ................................................................................................... 错误!未定义书签。 2016 年边消防军考数学真题参考答案 ................................................................................................... 错误!未定义书签。

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2013 年边消防军考数学真题
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一.单项选择题

1.设集合 A={-2,-1,0,1,2},B={x |-1<x<2},则 A∩B=( A.{0} B.{1} C.{0,1}
1

) D.{-1,1} ) D.9 )

2.在各项均为实数的等比数列{an}中,若 a1=3,a4=9,则 11 =(
9

A.-3

B.3

C.-9

3.已知平面向量 a(1,2) ,b(m,3) ,若 a· b=4,则实数 m=( A.-2 B.-1 C.1 ) D.2

4.函数y = 2 + 1(?1 ≤ < 0)的反函数为( A.y = √1 ? (0 ≤ ≤ 1) C. y = ?√1 ? (0 ≤ ≤ 1)

B. y = √ ? 1(1 ≤ ≤ 2) D. y = ?√ ? 1(1 ≤ ≤ 2) )

5.若 a=0,b=log 2 3,c=log 2 0.4,则 a,b,c 的大小关系是( A. < < C. c < <
π

B. < < D. c < <

6.将函数y = sin (x + 3 ) (x ∈ R) 的图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的 2 倍,所得图 象对应的解析式为( A.y = sin (2 + 3 ) C.y = sin (2 + 3 )
x π π

) B. y = sin (2 +
π 2π 3

)

D. y = sin (2 + 6 )

7.已知圆 O 的方程为 2 + y 2 = 1,过点 P (-2, 0) 作圆的两条切线, 切点分别为 A, B, 则四边形 PAOB
2 / 39

的面积为( A. √3

) B.
√3 2

C.2

D. 2√3
y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 x -1 -2 -3 -4

8.函数() = + b(a>0,且 a≠1)的图象如图所示,则 a+b A. 2 C.-2 B. 4 D. -4

的值为(



9.过抛物线y 2 = 4x的焦点且倾斜角为 45?的直线交抛物线于 A,B 两点,则线段 AB 的长为( A. 5 B. 6 C.7 D. 8 )



10.对于空间两条直线 m,n 和两个平面 α,β,使得 m∥n 成立的一个条件为( A. m ∥α,n∥β,α∥β C. m ∥α,n∥β,α⊥β 11.函数y = A.
1 4 4 2 +1

B. m⊥α,n⊥β,α∥β D. m⊥α,n⊥β,α⊥β ) C.2 D. 4 )

(x>0)的最大值为( B.
1 2

12.将 5 名战士分配到 4 个行动小组中去, 每个行动小组至少分到一名, 则不同的分配种数为 ( A. 120 B. 240 C.360 D. 480

二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

13.已知角 α 的终边经过点 P(-3,4) ,则tan α= 14.在数列{ }中,a1=1,an+1=an+3,(n∈N*),则 a8=

。 。 。

15.已知集合 A={x| |2x+1|<3,x∈R},B={x|x2-2x<0, x∈R },则 A∪B= 16.在(x + x) 的二项展开式中,常数项为
1 6

(用数字作答) 将?ABC 沿 CD 异面直线 BE 与

17.在?ABC 中,∠A=90°,∠C=90°,D 是 AB 的中点, 折成如图所示的直二面角 B-CD-A,设 E 为 AC 的中点,则 AD 所成的角为
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18.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x∈(0,+∞)时,f(x)=-x(x+1),若 f(m2-m)>f(2),则 m 的取值范围 是 。

三、解答题(本大题共 5 小题,共 60 分)

19.(10 分)已知sin x = 7 ,0 < < (I)求tan x的值; (II)求cos (x + 6 )的值。
π

1

π 2

20.(12 分)设函数() = 2 + b + c(其中 b,c∈R) (I)若关于 x 的方程() = 1的解集为{0,1},求 b,c 的值。 (II)若关于 x 的不等式f(x)≤2的解集为[?2,0],求函数()在[?3,3]上的最大值和最小值。

21.(12 分)已知数列{an}的通项公式为 = 2n + 2n + c,其中 c∈R,n∈N*,且 a1=2 (I)求 c 的值; (II)设 bn=an-2n ,n∈N*,证明{bn}是等差数列; (III)求数列{an}的前 n 项和 Sn。
1

1

4 / 39

22.(12 分)如图,正四棱柱 A1B1C1D1-ABCD 中,底面边长为 2,高为 3,设 AC 与 BD 相交与 O 点, E 为棱 BB1 的中点。 (I)求二面角 A-CD-A1 正切值 (II)证明 OE∥平面 A1B1CD (III)求点 B 到平面 A1B1CD 的距离

23.(14 分)已知椭圆 C: x 2 ?
a

2

y2 5 ? 1 (a>b>0)的离心率为 3 b2

,长轴的两个端点分别为 A(-3,0) ,B

(3,0)
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(I)求椭圆 C 的方程; (II)设 P 是椭圆上异于 AB 的任意一点,k1,k2 分别是 PA 与 PB 的斜率,求证: k1 ? k 2 是定值; (III)设直线 l 过椭圆 C 的右焦点,且与椭圆相较于 M,N 两点,若 OM ? ON,求直线 l 的方程。

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2014 年边消防军考数学真题
首先预祝你 2018 年军考取得好成绩!历年军考真题的参考意义巨大,希望你好好利用这份军考真题。德 方 方军考倾力推出军考最近 5 年真题(2013-2017)汇编,助力 2018 年军考考生!
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一.单项选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1.已知集合A = {x| ? 1 ≤ x < 1},B = {?1,0,1,2},则A ∩ B =( A.{0,1} B.{?1,0} C.{?1,0,1} D.{0}



2.已知平面向量a = (1,3),b = (3, ? 2),则a ? b的值是( A.?3 3.sin A.2
1 7π 6



B.?1 的值是( ) B.? 2
1

C.7

D.5

C. 2

√3

D.?

√3 2

4.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C 的两个顶点坐标分别为(?3,0),(3,0),焦距为 10, 则双曲线 C 的方程为( A. 9 + 16 = 1
x2 y2 x2


y2 9

B.16 +

=1

C. 9 ? 16 = 1

x2

y2

D.16 ?

x2

y2 9

=1 )

5.用数字 1,2,3,4 组成没有重复数字的两位数,其中偶数的个数为( A.4 B.6 C.8 D.12 )

6.已知圆锥的底面半径为 1,母线长为 2,则该圆锥的体积是( A.
3 ? 3

B.

? 3


C. 3?

D. ?

7.函数 y ? log3 x 的反函数为(
x A. y ? 3 ? x ? 0 ?

3 B. y ? x ? x ? R ?

3 C. y ? x ? x ? 0 ?

x D. y ? 3 ? x ? R ?

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?? ? 8.函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的部分图像可能是( 3? ?



9.设等比数列 ?an ? 的公比为 q ? q ? 1? ,前 n 项和为 S n 。若 S3 ? 3a3 ,则 q 的值为( A.2 B. ?2 C.
1 2



D. ?

1 2

10.已知 m,n 是两条不重合的直线, ? , ? 是两个不重合的平面,下列四个命题中正确的是( A.若 m ? n, n ? ? ,则 m / /? C.若 m ? ? , n ? ? ,则 m / / n B.若 m / / n, n ? ? ,则 m / /? D.若 m / /? , m / / ? ,则 ? / / ?



11.已知 x ? 0, y ? 0, x ?

1 1 ? 4 ,则 ? y 的最小值为( y x
5 2



A.4

B.

C.

4 3

D.1 )

2 12.若 f ? x ? ? ln ax ? x ? b ? a ? 0, b ? R ? 是 R 上的奇函数 ,则 a+b 的值为(

?

?

A.0

B.1

C.2

D.4

二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

13.函数 f ? x ? ? 1 ? 2 x 的定义域为 14.在 ? 2 x ? 1? 的展开式中, x 3 的系数为
4

. (用数字作答) . .

15.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 C ? 60?, a ? 2, b ? 3 ,则 c=

16.在平面直角坐标系 xOy 中,若椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点在 y 轴上,离心率 4 m

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3 ,则实数 m 的值为 3



17. D 是棱 A1C1 的中点,AB ? 2, AA1 ? 2 , 如图, 在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 则异面直线 AD 与 BC1 所成角的大小为 . .

18.若关于 x 的不等式 4x ? m ? 2x ? m ?1 ? 0 在 R 恒成立,则实数 m 的取值范围是
三、解答题(本大题共 5 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

19. (本小题满分 10 分)
3 1 ? ?? ? ?? 已知 ? ? ? 0, ? , ? ? ? 0, ? ,sin ? ? , cos ? ? . 5 5 ? 2? ? 2?

(1)求 tan 2? 的值; (2)求 cos ?? ? ? ? 的值

20. (本小题满分 12 分) D, E 分别是棱 PB, PC 的中点, 如图, 在三棱锥P ? ABC中, 已知 PA⊥平面 ABC, PB ? BC, PA ? 3 AB 。 (1)求证:直线 BC∥平面 ADE; (2)求二面角P ? BC ? A的大小.

9 / 39

21. (本小题满分 12 分)
2 2 已知函数 f ? x ? ? a x ? ? a ? 3? x ? 1 ,其中 a 为实数.

(1)若一元二次方程 f ? x ? ? 0 有两个相等的实数根,求 a 的值; (2)求 f ? x ? 在区间 ? ?3,1? 上为单调减函数,求 a 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分)
2 已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 2 ,公差 d ? 0, a2 ? 2a4 .

(1)求 d 的值;
* (2)证明:对任意的 n ? N , an , a2 n , a4 n 成等比数列;

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(3)设 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , bn ?

1 n ? N * ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 ? Sn

23. (本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C: ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1 ,过点 P(0,2)的两条直线 l1,l2
2 2

都与圆 C 相切。 (1)求线段 PC 的长; (2)求直线 l1,l2 的方程; (3)若圆 C1 过点 M(3,3) ,且与 l1,l2 均相切,求圆 C1 的标准方程。

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2015 年边消防军考数学真题
首先预祝你 2018 年军考取得好成绩!历年军考真题的参考意义巨大,希望你好好利用这份军考真题。德 方 方军考倾力推出军考最近 5 年真题(2013-2017)汇编,助力 2018 年军考考生!
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一.单项选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合A = {x|1 ≤ x < 3},B = {x|0 < x < 2},则A ∪ B =( A.{x|1 ≤ x < 3} C.{x|0 < x < 2} 2.sin 300°的值是( A. 2
√2



B.{x|0 < x < 3} D.{x|1 ≤ x < 2} )
1

B.2

C.? 2

1

D.?

√3 2

3.在某省公安系统搏击技能比赛中,甲乙丙三人获得前三名,甲说“我不是第三名”,乙说“我不是第 一名”,丙说“我不是第二名也不是第三名”,若三人所说的都是真的,则下列判断正确的是( A.甲是第一名,乙是第二名,丙是第三名 B.甲是第三名,乙是第一名,丙是第二名 C.甲是第二名,乙是第三名,丙是第一名 D.甲是第三名,乙是第二名,丙是第一名 4.在平面直角坐标系 xoy 中,双曲线x 2 ? y 2 = 1的两条渐近线方程是( A.x ± y = 0 B. x ± y = 1 C. x = ±1 D. y = ±1 ) D.9 ) ) )

5.在等差数列{an }中,若a3 = 3, a7 = 11,则a5 的值是( A.4 B.5 C.7

6. 在平面直角坐标系 xoy 中, 若x 2 + y 2 ? 4x ? 8y + 2m = 0是圆的方程, 则实数 m 的取值范围是 ( A.(1,10) B.(0,10) C.(10, +∞) D.(?∞, 10)

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7.函数y = x (x ≠ 0)的反函数为( A. y = x (x ≠ 0) B. y = 2
2 x

2

) C. y = 2x (x ≠ 0) D. y = 2x )
π 4 1

8.函数y = sin2x图像的一条对称轴方程是( A.x = ? 6
π

B. x = ? 12

π

C. x =

D. x =

π 2

9.设 > 0且a ≠ 1,函数(x) = ax + 3的图像恒过定点 P,则点 P 的坐标是( A.(0,3) B.(0,4) 2x ,x ≤ 0, log 4 x,x > 0, C.(1,3) 则f(f(?2))的值是( C.-2 D.(1,4) )



10.已知函数f(x) = { A.2

B.4

D.-1 )

11.已知 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个互不相同的平面,则下列命题中正确的是( A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n C.若 m∥α,m∥β,则 α∥β B.若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β D.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n

12.某连队有 4 名士兵报考军事院校,每人须从 3 所军事院校中选 1 所报考,且每所院校至少有 1 人报考,则不同的报考方式共有( A.24 种 B.36 种 ) C.72 种 D.81 种

二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

13.函数(x) = log 5 (4x ? 3)的定义域为

. . . .

14.已知?ABC的面积为√3, AB = 2, A = 60°,则 AC 的长为 15.已知平面向量a ? = (?1,4), ? b = (t, ?2),若a ? ∥? b,则实数 t 的值为

16.设Sn 是数列{an }的前 n 项和,且an = (?1)n n(n ∈ N? ),则S100的值为 17.设(x + 1)4 = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4 ,则a0 + a1 + a2 + a3 + a4 的值 为 (用数字作答) .

18.如图,在边长为 2 的等边三角形 ABC 中, 边长的高.如果将三角形 ABC 沿 AD 折成 60°
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AD 是 BC 的二面角

B′ ? AD ? C,那么三棱锥A ? B ′ CD的体积为



三、解答题(本大题共 5 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

19. (本小题满分 10 分) 已知cos α =
√5 5

,其中α为第一象限角.
π

(1)求sin (α + 2 )的值; (2)求tan 2α的值.

20. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥P ? ABC中,已知 PA⊥平面 ABC,∠BAC = 90°, PA = AB = √2, AC = 1. (1)求证:AC⊥平面 PAB; (2)求二面角A ? PB ? C的大小.

21. (本小题满分 12 分) 设函数(x) = x 2 ? 2|x ? 2|. (1)讨论(x)的单调性; (2)求(x)在闭区间[?2,5]上的最大值和最小值.

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22. (本小题满分 12 分) 随着改革开放的不断深入和国际交流的不断发展,我国出入境人员的数量迅速增加.据对某边防口岸 近年来出入境人员统计资料的分析, 该口岸我国居民和外籍人员每年出入境的人次分别成等比数列和 等差数列, 已知我国居民和外籍人员第一年出入境分别为 10 万人次和 2 万人次, 第三年分别为 22. 5 万人次和 4.5 万人次. (1)求该口岸第四年出入境人次; (2)求该口岸前 n 年出入境人员总人次(结果用含 n 的代数式表示) .

23. (本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 a2 + b2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 B(0, √2).设右焦点为 F. (1)求椭圆的标准方程;
x2 y2 √2 2

,且上顶点为

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(2)求过 B,F 两点且与右准线 l 相切的圆的方程; (3)过 F 且与坐标轴不垂直的直线 m 与椭圆交于 M,N 两点,线段 MN 的中点为 Q.记 S 为△ OFQ 的面积,求 S 的最大值及此时直线 m 的方程.

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2016 年边消防军考数学真题
首先预祝你 2018 年军考取得好成绩!历年军考真题的参考意义巨大,希望你好好利用这份军考真题。德 方 方军考倾力推出军考最近 5 年真题(2013-2017)汇编,助力 2018 年军考考生!
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一、单项选择题(共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的) 1.方程 x2+2x=0 的解集是( A.{0,2} ) C.{2} D.{-2} )

B.{0,-2}

2.将函数 y=2sinx 的图像向左平移 φ(0<φ<π)个单位后得到函数 y=2cosx 的图像,则 φ 等于( A.

? 6

B.

? 4

C.

? 2

D.

3? 4

3.在等差数列 ?an ? 中,若 a2 ? a8 ? 12 ,则 a1 ? a3 ? a7 的值为( A.1 4.椭圆 B.2 C.4 )

) D.6

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为( 16 12
B.

A.

1 2

2 2

C.

2


D.2

5.下列函数中,是奇函数且在区间 (0, ??) 上是单调递增的为( A. y ? 2
x

B. y ? ln x

C. y ?

3

x

D. y ?

1 x

6.新战士集训的最后三天安排 6 个科目的考核,每半天考核一个科目,其中射击科目必须放在第三天考核,其余科 目的考核可任意安排,则不同的安排方法有( A.120 种 B.240 种
2

) D.480 种 )

C.360 种

7.设 a 是实数,则“a=3”是“直线 (a ? 2a) x ? y ? 0 和直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行”的( A.充分不必要条件 C.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件 D.充要条件 )

8.关于 x 的不等式 3x ? a ? 0 的正整数解为 1,2,3,则实数 a 的取值范围是( A. a ? 12 B. a ? 9 C. 9 ? a ? 12

D. 9 ? a ? 12

9.如图, 已知半球的球心是 O, A, B 是半球大圆上的两点, ∠AOB=90°, C 为该半球面上的动点, 若三棱锥 O-ABC
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体积的最大值为

9 ,则半球的表面积为( 2



A.9π

B.18π

C.27π

D.36π )

10.已知 m,n,l 是空间中互不重合的直线,α,β 是不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α B.若 m,n 是异面直线,m ? α,n∥α,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α C.若直线 l 上存在两个点到平面 α 的距离相等,则 l∥α D.若在平面 α 内存在四个点到平面 β 的距离相等,则 α∥β 11.两个函数 y ? A.3 和 5

1 ? 1 与 y ? ? x ? a 的图像把坐标系平面划分成五个区域,则实数 a 是( x
B.-3 和-5 C.3 和-5 D.-3 和 5
*



12.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 3 , an an?1 ? ?3 ? 22?n , n ? N ,则 S10 的值是( A.



31 16

B.

11 16

C. ?

11 16

D. ?

31 16

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 13.函数 y ? 5 x ? 1 的定义域是 (用区间表示). .

14.如图, 已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=1, ∠ACB=30°, E, F 分别为 A1B, C1D 的中点, 则 EF 的长为

15.平面向量 a 与 b 的夹角为 60°, a ? 1 , b ? 3 ,则 (2a ? b) 2 的值为 16.已知△ABC 的周长为 4,且 sinA+sinB=3sinC,则 AB 边的长为 17.列表定义函数 f(x): .

.

若函数 f(x)不存在反函数,则实数 m 的取值集合为
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.

18.为了解某军体节目 A 的关注程度是否与观众性别有关,节目组用问卷方式随机调查了 3000 名男观众和 3000 名 女观众,调查所得的关注程度用条形图表示如下: (其中矩形(一)反映男观众中“关注节目 A 的人”的比例,矩 形(二)反映“女观众中关注节目 A 的人”的比例)在男观众的问卷和女观众的问卷中各取一份,这两份问卷中有 且仅有一份“关注节目 A”的概率是 .

三、解答题(共 5 小题,共 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本小题满分 10 分)已知函数 f ? x ? ? 3 ?
x

3 ? 1. x

(1)求 f(1), f(2); (2)试判断函数 f(x)在区间 (0, ??) 上的单调性,并说明理由.

20. (本小题满分 10 分) 设△ABC 的三个内角 A, B, C 的对边分别为 a,b, c,已知 b=2,c=3,sin(2 A ? A 为锐角. (1)求角 A 及边 a 的值; (2)求 cos(A-B)的值.

?
3

) ? 0,

21. (本小题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90°,AC=BC=AA1=2,D 是侧棱 AA1 的中 点.
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(1)求证:B1C1⊥平面 ACC1A1 (2)求二面角 B1-CD-C1 的余弦值.

22. (本小题满分 14 分) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 首项为 a1 , 公差为 d,n ? N , 已知 a3 ? 5 ,S6 ? 4a5 .
*

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

1 1 1 1 * , n? N . ? ? ? ??? ? an an ?1 an ?2 a2n
*

①证明: bn ?1 ? bn , n ? N ; ②若正整数 m 满足:对于任意 n ? N ,不等式 bn ?
*

m 恒成立,求 m 的最小值. 10

x2 y 2 23. (本小题满分 14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 A(0,2) ,F a b
是右焦点,且△AOF 的面积为 2 3 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 3x ? 2 y ? m ? 0 与椭圆 C 有公共点,求实数 m 的取值范围
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(3)若直线 3x ? 2 y ? m ? 0 与椭圆交于 M,N 两点,求线段 MN 的中线的轨迹方程.

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2017 年边消防军考数学真题
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2013 年边消防军考数学真题参考答案
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一、 单项选择题 (共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是最符合题目要求的) 。 1-5CCADD 6-10DDCCB 11-12BB 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 13.?
4 3

14.22 15. {x| -2<x<1 或 0<x<2 , x ∈ R}

16.20

17.60° 18. (-1,2)

三 、 解 答 题 ( 本 大 题 共 5 小 题 , 共 60 分 ) 19. 【 解 答 】 解 : ( I ) ∵0 < x < 2, 所 以 cos x > 0
2 2 由 sin2 x + cosx = 1得 cos x = √1 ? sinx = 4√3 7 π

∴tan x

=

sin x cos x

=

1 7 4√3 7

=

1 4√3

=
π

√3 ∴tan x 12

=
π

√3 12
π

( II ) cos (x + 6 ) = cos x · cos 6 ? sin x · sin 6

=
f(0) = c = 1 b = ?1 ∴{ ,解得{ f(1) = 1 + b + c = 1 c=1

4√3 7

×

√3 2

? × = ?
7 2 7

1

1

3

3 14

=

3 14

∴cos (x +

π

) = 14 6

3

20. 【 解 答 】 解 : ( I ) ∵关 于 x 的 方 程 f(x) = 1的 解 集 为 {0, 1}, 即 0 和 1 是 方 程 f(x) = 1 的 两 个 根 。

( II ) ∵关 于 x 的 不 等 式 f(x)≤2的 解 集 为 [?2, 0], 由 于 二 次 函 数 的 对 称 性 , f(?2) = 4 ? 2b + c = 2 b=2 函 数 f ( x ) 在 x=-2 和 x=0 处 取 到 f(x) = 2∴{ ,解得{ f(0) = c = 2 c=2 ∴f(x)的 解 析 式 为 f(x) = x 2 + 2x + 2可 知 函 数 在 x=-1 处 取 最 小 值 1 f(?3) = 5, f(3) = 17, 即 最 大 值 为 17 ∴函 数 f(x)在 [?3, 3]上 的 最 大 值 为 17 和 最 小 值 为 1 。 21. 【 解 答 】 解 : ( I ) 当 n=1 时 , a 1 = ( II ) b n = an ?
1 2n 2n

1 2

+ 2 + c=2 , 解 得 =2? =
2 1

c=3 2

1 2

=

1

+ 2n ?

1 ? 21n= 2n ? 1 , b1 2 2 1 1

bn+1 ? bn = [2(n + 1) ? ] ? (2n ? ) = 2为 定 值 2 2
∴数 列 {b n } 是 以 为 首 项 , 2 为 公 差 的 等 差 数 列
2 3

( III ) an =

1 2n

+ 2n ?

1 2

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Sn ?

1 ?1? ? ? ? ? 2?

3 ? 1 ?2 7 ? 1 ?3 11 1 ?n?1 4 n?5 ? 1 ?n 4 n?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ...... ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 2 ?2? ?2? 2 ? 2? 2 ? 2? 2

n?1 1 n ? ? 1 ?1 ? 1 ?2 ? 1 ?3 4n?5 4n?1 ? ?1? ? ? ? 3 7 11 = ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ?......?? ? ?? ? ? + ? ? ? ?......? ? ?? 2 ? ? 2 ? ? ? 2? ? 2? ? 2? ? ?
?2 2 2 2 2 ?

1 ? 1 ?n 1 ? 3 4 n ?1 ? ?? ? ? ? ? n ??n 1 ?n ? 2 n?1??n n ?1? = 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 2 ? ?1?? ? ?1?? ? ? n2? ? ? 1 2 2 2 2 2 ? ? ? ? 1? 2

1 ?n 2 n 故 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 S n 为 1?? ? ? ?n ? 。 ?2? 2

22.【 解 答 】 解 : ( I ) 正四棱柱 A1B1C1D1-ABCD 中,可知四边形 ABCD 和 四边形 CD D1 C1 都是矩形,则 CD ? AD,CD ? DD1,则 CD ? 面 AD D1 A1, 所以 CD ? A1D,所以 ? A1DA 就是二 面 角 A-CD-A 1 的 平 面 角
A 3 又 A1A ? AD, ? tan ? A1DA ? A1 = AD

2

(II)连接 B1D, ∵点 O 和 E 分 别 为 BD 和 BB 1 的 中 点 , ∴OE∥ B 1 D , ∴OE∥ 平 面 A 1 B 1 CD ( III ) 过 点 B 作 BF ? B1C 于点 F,则 BF 即为点 B 到 平 面 A 1 B 1 CD 的 距 离
B1C ? 2 B1B ?CB2 ? 32? 22 ? 13

用等面积法S?B1BC= B1B?BC ? BF ?B1C ,解得 BF= 13 2 2 23. 【解答】解 : ( I ) 可 知 a ? 3 ,又 e ? ? 故 b= a2 ?c2 =2,故椭圆方程为 x ?
9 2 y2 ?1 4 4

1

1

6 13

c a

5 ,解得 c= 5 3

x 2 y 2 ( II ) 设 P ( x0,y0) , 则 满 足 0 ? 0 ? 1, 9

则 k1 ? k 2 ?

y0 x0?3

?

y0 x 0?3

?

2 y0 4 代入上式,解得 k1 ? k 2 ? ? , 2 9 x0 ?9

故 k1 ? k 2 是定值 ( III ) 设 M ( x1,y1) N ( x2,y2) , 直 线 l 方 程 为 y ? k ( x ? 2)
2 x 2 ? y ?1 4 则联立方程 { y9 ,得到 9k 2?4 x2 ? 36k 2x ? 36k 2 ? 1 ? 0 , ? k ( x ? 2)

?

?

36k 2 36k 2?1 , x1 ? x 2 ? , 9 k 2? 4 9 k 2? 4 ?16k 15k 2 可得 y1 ? y 2 ? 2 , y1 ? y2 ? 2 9k ? 4 9k ?4

根据韦达定理有 x1 ? x 2 ?

又 OM ? ON , 即 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 代入解得 k ?
51 51 51 ( x ? 2) 。 51

故直线方程为 y ?
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2014 年边消防军考数学真题参考答案
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一、选择题 1-5CABCD 二、填空题 13.

6 -12ADBDCDC

? 1? ?x x ? ? 2? ?
3 3

14.

-4

15.

7

16. 6

17. arccos 三、解答题

18.

? ??, ?1?
sin ? 1 ? sin 2 ? ? 3 4

19. 【解答】解: (I)

?? ? ? ? 0, ? ,? tan ? ? 2
?

? tan 2? ?
(II) ? ? ? 0,

2 tan ? 24 ? 2 1 ? tan ? 7

??

?? 3 1 ? , ? ? ? 0, ? ,sin ? ? , cos ? ? 2? 2? 5 5

4 2 6 ? cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? ,sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 5 5 4 1 3 2 6 4?6 6 ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 5 5 5 5 25
20. 【解答】解: (I) PBC 中 D,E 分别是 PB 和 PC 的中点? BC DE ,

DE ? 平面ADE ? BC 平面ADE
(II)

PA ? 平面ABC,BC ? 面ABC ? PA ? BC

PB ? BC, 且 PA 与 PB 相交与 P 点? BC ? 平面ABP
AB ? 平面ABP, ? BC ? AB 平面ABC和平面PBC,相交与棱BC,BC ? AB,PA ? BC
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??PBA 就是二面角 P-BC-A 的平面角

? tan ?PBA ?
21. 【解答】解: (I)

PA ? ? 3 ,??PBA= AB 3

f ? x ? ? a 2 x2 ? ? a ? 3? x ? 1 ? 0 有两个相等的实数根
?? ? ? a ? 3? ? 4a 2 ? 0 解得 a ? 1 或 a ? ?3
2

(II)当 a ? 0 时, f ? x ? ? ?3x ? 1 在 R 上单调递减,满足条件 当 a ? 0 时, f ? x ? ? a x ? ? a ? 3? x ? 1 是开口向上,以 ?
2 2

a ?3 为对称轴的二次函数 2a 2

f ? x ? 在 ? ?3,1? 为单调减函数
?? a ?3 3 ? 3 ? ? 1 解得 ? ? a ? 1 故 a 的取值范围为 ?a ? ? a ? 1或a ? 0? 2 2a 2 2 ? ?
2

22. 【解答】解: (I)等差数列 ?an ? 中, a ? a1 ? d ? 2 ? d
2

a4 ? a1 ? 3d ? 2 ? 3d ,

?? 2 ? d ? ? 2 ? 2 ? 3d ? 解得 d=2 或 d=0(舍去)故 d=2
(II)由(I)可知 an ? 2n 故 a2 n ? 4n, a4 n ? 8n

a4 n a a a ? 2, 2 n ? 2 ? 4 n ? 2 n 故 an , a2 n , a4 n 成等比数列 a2 n an a2 n an
(III)根据等差数列求和公式,得到 Sn ? n ? n ? 1?

? bn ?

1 1 1 ? 1? ? 1 1? ? ? ?Tn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? n ? n ? 1? n n ? 1 ? 2? ? 2 3?
? ?0 ? ? ?2 ?? ? ? ? 2 ? 1? ? 5
2 2

1 n 1 ? ?1 ? ?? ? ? ? 1? n ?1 n ?1 ? n n ?1 ?

23. 【解答】解: (I)可知 C 坐标为(-2,1) 根据两点间距离公式 PC ? (II)当图象可知直线 l1 , l2 , 设直线的斜率为 k ,则切线方程为 y ? kx ? 2 联立方程 ?

?? x ? 2 ?2 ? ? y ? 1?2 ? 1 ? 2 2 ,得到 ? k ? 1? x ? ? 2k ? 4 ? x ? 4 ? 0, y ? kx ? 2 ? ?

4 2 ? ? ? 2k ? 4 ? ? 4 ? 4 ? k 2 ? 1? ? 0 解得 k1 ? , k2 ? 0 3
故直线 l1 , l2 方程分别为 y ?
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4 x ? 2, y ? 2 3

(III)设圆 C1 方程为 ? x ? x1 ? ? ? y ? y1 ? ? R
2 2

2

由图象可知圆心 C1 在直线 CP 上,可知 CP 方程为 y ?

1 1 x ? 2 故 y1 ? x1 ? 2 2 2

1 ? y1 ? x1 ? 2 ? 2 ? 2 2 5 ? ?? 3 ? x1 ? ? ? 3 ? y1 ? ? R 2 R? ? ? 2 ? R ?1 2 ? ? y1 ? 2 ? ? R 2 ? ? 解得 ? x1 ? 5 或 ? x1 ? 2 ? 4 ? ? 9 ? y1 ? x1 ? 2 ? y1 ? 3 ? y1 ? ? 3 ?R 2 ? ? 2 4 ? ? ? 1? ? ? ? ?3? ?
9? ?5? 2 2 ? 2 故圆 C1 的方程为 ? x ? 5 ? ? ? y ? ? ? ? ? 或者 ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 2 2 ? ? ? ?
2 2 2

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2015 年边消防军考数学真题参考答案
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一、单项选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1-5BDCAC 6-10DACBD 11-12DB

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 13.( , + ∞)
4 3

14.2 17.16 18.4
1

15.

1 2

16.50

三、解答题(本大题共 5 小题,共 60 分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.解: (1)因为cos = 所以sin ( + ) = cos = 2
√5 5 √5 5

, . ,

(2)sin = √1 ? cos 2 = 从而tanα = 2, 故tan2α =
2 1?2

2√5 5

=? .
3

4

20.证明: (1)因为 PA⊥平面 ABC,AC 在平面 ABC 内,所以 AC⊥PA.又∠BAC=90°,即 AC⊥AB,AB 在平 面 PAB 内,PA 在平面 PAB 内,PA∩AB=A,故 AC⊥平面 PAB.

(2) 取 PB 的中点 D, 连结 AD, CD. 因为 PA=AB=√2, 且 PA⊥AB, 所以 AD⊥PB, 且 AD=1. 由条件可知 PC=BC=√3, 从而 CD⊥PB,因此∠ADC 是二面角 A-PB-C 的平面角.由(1)知,△ACD 为直角三角形,因为 AC=AD=1,所 以∠ADC=45°.因此二面角 A-PB-C 的大小为 45°.
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21.解: (1)当x ≥ 2 时,f() = 2 ? 2 + 4 = ( ? 1)2 + 3, 当x < 2 时,f() = 2 + 2 ? 4 = ( + 1)2 ? 5, 所以函数f()在(?∞,?1]上单调递减,在[?1,+∞)单调递增. (2)由(1)知,f()在[?2, ?1]上单调递减,在[?1,5]上单调递增. 则f()在闭区间[?2,5]上的最小值为f(?1) = ?5.又因为f(?2) = ?4, (5) = 19, 则f()在闭区间[?2,5]上的最大值为f(5) = 19. 22.解: (1)设 , 分别表示该边防口岸我国居民和外籍人员第 n 年出入境的人次(单位:万人次) , 由题意知,数列{ }为等比数列,{ }为等差数列, 设 q,d 分别表示它们的公比和公差,则 = 1 ?1 , = 1 + (n ? 1). 由1 = 10, 3 = 22.5,得 q = ;由1 = 2, 3 = 4.5,得 d = .
2 4 3 5

所以4 = 10 × (2) = 33.75, 4 = 2 + 3 × 4 = 5.75. 第 4 年出入境人次为4 + 4 = 33.75 + 5.75 = 39.5. 答:该口岸第 4 年出入境为 39.5 万人次. (2)设前 n 年出入境总人次为 ,因为 3 1 ? (2) 3 ?1 3 ∑ = ∑ 10 × ( ) = 10 × = 20 × [( ) ? 1], 3 2 2 1? k=1 =1 2
n

3 3

5

∑ = 2 +
=1

( ? 1) 5 52 11 × = + , 2 4 8 8

所以 3 52 11 = ∑ + ∑ = 20 × ( ) + + ? 20 2 8 8
k=1 =1 n

答:该口岸前 n 年出入境总人次为20 × (2) + 23. (1)由题意,得 =
√2 ,且b 2

3

52 8

+

11 8

? 20万.

= √2,2 = 2 + 2,
2 2 2

解得 a=2,所以椭圆的标准方程为 4 +

= 1.

(2)由(1)知,F(√2,0),B(0,√2), 所以线段 BF 的垂直平分线的方程为 y=x,故可设圆心坐标为(t,t) ,半径为 r. 又因为右准线方程为x = 2√2,从而 2 = 2 + ( ? √2) = (2√2 ? ) , 解得t = √2或t = ?3√2,
32 / 39
2 2

所以圆的方程为( ? √2) + ( ? √2) = 2或( + 3√2) + ( + 3√2) = 50. (3)设直线 m 的方程为y = k( ? √2),M(1 ,1 ),N(2 ,2 ),Q(0 ,0 ), 将直线 m 的方程代入椭圆方程,得(1 + 2 2 ) 2 ? 4√2 2 + 4( 2 ? 1) = 0, 则1 + 2 =
1 4√2 2 1+2 2

2

2

2

2

,可得0 =
||

2√2 2 1+2 2

,0 =
1

?√2 1+2 2



所以S = 2 ? || ? |0 | = 1+2 2 = 且当且仅当k = ±

1 2||+||



√2 , 4

√2 时,等号成立. 2 √2 ( 2

故 S 取得最大值 ,此时直线 m 的方程为y = ±

√2 4

? √2).

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2016 年边消防军考数学真题参考答案
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一、单项选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1-5BCDAC 6-10BADCB 11-12DA

二、 填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 13. ? , ? ??

?1 ?5

? ?

14. 3

15.19

16.1

17.{3,-2,1,5}

18.0.56

三、解答题(5 小题,共 60 分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.解: (1)f(1)=1, f(2)=

17 2

3 +1,其中 3x 是指数函数,因为 3>1,所以 3x 是增函数; x 3 3 又因为 在(0,+ ? )是减函数,所以- 在(0,+ ? )是增函数, x x 3 从而 f(x)=3 x - +1 在区间(0,+ ? )是增函数。 x π π π 20.(1)因为 sin(2A+ )=0,A 为锐角,所以 2A+ =π,得 A= ; 3 3 3

(2) 因为 f(x)=3x-

由余弦定理得 a= b 2 ? c 2 ? 2bc ? cosA =

22 ? 32 ? 2 ? 2 ? 3 ?

1 ? 7。 2

( 2 )由余弦定理得 cosB=

3 a 2 ? c2 ? b2 7 2 ? 32 ? 22 2 ,所以 sinB= ;所以 cos ( A-B ) ? ? 2ac 7 2? 7?3 7

1 2 3 3 5 7 =cosAcosB+sinAsinB= ? 。 ? ? ? 2 14 7 2 7

21.(1)因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 CC1 ? 平面 A1B1C1, 所以 CC1 ? B1C1;又因为 ? A1C1B1= ? ACB= 90? ,所以 B1C1 ? A1C1, 又 B1C1 ? A1C1=C1,所以 B1C1 ? 平面 ACC1A1。 (2)由(1)知 B1C1 ? 平面 CC1D,过 C1 作 C1E ? CD,连 B1E, 由三垂线定理知 B1E ? CD,所以 ? B1EC1 为二面角 B1-CD-C1 的平面角。
1 因为 ΔC1CD 的面积是四边形 ACC1A1 面积的一半,所以 S?C1CD = ? 2 ? 2 ? 2 , 2
34 / 39

1 1 4 又 S?C1CD = × CD× C1E= × 5 × C1E=2,得 C1E= , 2 2 5

在 ΔC1B1E 中,B1C1=2,C1E=
4 2 所以 cos ? B1EC1= 5 ? 。 6 3 5

4 6 , ? B1C1E= 90? ,所以 B1E= , 5 5

?a1 ? 2d ? 5 ?a ? 1 解得? 1 22.(1)由 a3=5,S6=4a5 可得 ? , ?d ? 2 ?6a1 ? 15d ? 4(a1 ? 4d )
所以数列{an}的通项公式为 an=1+(n-1)× 2=2n-1(n ? N ? ). (2)①因为 bn ? 所以 bn?1 ?
1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? 2n ? 1 2 n ? 1 2 n ? 3 4n ? 1 an an?1 an? 2 a2 n

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? an?1 an? 2 an?3 a2( n?1) 2n ? 1 2n ? 3 2 n ? 5 4n ? 3
1 1 1 2 1 ?3 ? ? ? ? ? ?0, 4n ? 1 4n ? 3 2n ? 1 4n ? 1 2n ? 1 (4n ? 1)(2n ? 1)

两式相减得 bn?1 ? bn ? 所以 bn?1 ? bn 。

②由? bn?1 ? bn ? bn?1 ? ? b1 ,要满足对于任意 n ? N ? ,不等式 bn ? 只需 b1 ?
m 40 1 1 m ,即 ? ? ,解得 m> , 10 3 a1 a2 10

m 恒成立, 10

又因为 m 为正整数,所以 m 的最小值为 14. 23.(1)? 椭圆 C:
x2 y2 =1(a>b>0)过点 A(0,2) ,? b=2, ? a 2 b2

1 又? ΔAOF 的面积为 2 3 ,? bc ? 2 3 ,? c= 2 3 ,a=4, 2
x2 y2 ? 1。 ? 椭圆 C 的标准方程为 ? 16 4
? x2 y2 ?1 ? ? (2)由 ?16 4 消 y 得 10x2+6mx+m2-16=0, ?3x ? 2 y ? m ? 0 ?

令 Δ= 36m2 ? 40(m2 ? 16) 2 ? ?4m2 ? 640 ? 0, 得 ? 4 10 ? m ? 4 10 。
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(3)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2)
3 ? x1 ? x 2 ? ? m ? ? 5 由(2)得 ? ? y1 ? y ? 3 x ? m ? 3 x ? m ? 3 ( x ? x ) ? m ? 1 m 2 1 2 1 2 ? 2 2 2 2 2 10 ? x ?x 3 ? x? 1 2 ?? m ? 1 ? 2 10 设线段 MN 中点为 G(x,y) ,则有 ? ,消 m 得 y ? ? x ; 6 ? y ? y1 ? y 2 ? ? 1 m ? 2 20 ?

又? ? 4 10 ? m ? 4 10 ,? ?

6 10 3 6 10 6 10 6 10 ?? m? ,即 ? ?x? 5 10 5 5 5

1 6 10 6 10 所以线段 MN 中点的轨迹方程 y ? ? x(? ?x? )。 6 5 5

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一、 选择题 1-5DBBA B 二、填空题 13. -2 16(2, 5).
9

6-12CCDB ACD ( ? 1)2 + ( ? 1)2 = 2
1 2

14.

15.

17.(-1,8)

18.2

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