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0984 高三数学-泰州中学2015届高三11月月考数学试题(教师版)


2015 届一轮复习结束 11 月月考数学试题教师版
2014/11/29 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题 纸的指定位置上. 1. 已知集合 A={1,3}, B={1,2,m}, 若 A ? B, 则 A? B ? 2.复数 ?1 ? 2i ? 的共轭复数是
2

{1, 2,3} .
i ?1 x?4
While

. ?3 ? 4i

3.圆柱的底面周长为 5cm,高为 2cm,则圆柱的侧面积为 cm2.10 4.右图程序运行结果是 . 16 5.设 a , b, c 是单位向量,且 a ? b ? c ,则向量 a,b 的夹角等于 .

? 3

i <10 x ? x?i i ?i?3

End While Print x

6.在区间 [?5,5] 内随机地取出一个数 a ,使得 1?{x | 2 x2 ? ax ? a2 ? 0} 的概率为 . 0.3

7.将函数 y ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 的图象向左平移 数,则 ? 的值为 .

? 6

? 个单位后,所得的函数恰好是偶函 6 A

8.设 E , F 分别是 Rt ABC 的斜边 BC 上的两个三等分点, 已知 AB ? 3, AC ? 6 ,则 AE ? AF ? 9.已知直线 x ? a (0 ? a ? . 10

B

E

F

C

?
4

) 与函数 f(x)=cosx,g(x)=sin2x 和 h(x)=sinx 的图象及
2 2

x 轴依次交于点 P,M,N,Q,则 PN +MQ 的最小值为



3 4

10.设 m,n 是不同的直线, ? , ? , ? 是不同的平面,则下列四个命题,其中正确命题的 序号是________.①④ ①若 ? ? , m ? ? ,则 m ? ③若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? 或 ? ? ? ②若 m∥α, n ? ? ,则 m ∥n ④若 m⊥α,m∥β,则 ? ? ?

11 .已知递增的等比数列 {an } 满足 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2是a2 , a4 的等差中项,若

bn ? log2 an?1 ,则数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn =

.

n( n ? 3) 2

12.在正三棱锥 S-ABC 中,M 为棱 SC 上异于端点的点,且 SB⊥AM,若侧棱 SA= 3 ,则 正三棱锥 S-ABC 的外接球的表面积是
. 9?

1

13. 已知圆 C : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ,相互垂直的两条直线 l1 、 l2 都过点 A(2, 0) . 若圆心为

M (1, m)


(m ? 0)

的 圆 和 圆 C 外 切 且 与 直 线 l1 、 l2 都 相 切 , 则 圆 M 的 方 程

. ( x ?1)2 ? ( y- 7)2 ? 4

b 则 14. 已 知 △ ABC 的 三 边 长 a, b, c 满 足 b ? 2 c ? 3 a, c? 2 a? 3,
为 .?

b 的取值范围 a

?3 5? , ? ? 4 3?

二、 解答题: 本大题共 6 小题, 计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.(本小题满分 14 分)

3 ,点 P, Q 分别在角 A 的两边上. 5 (Ⅰ)若 AP ? 5, PQ ? 3 5 ,求 AQ 的长; 12 (Ⅱ)设 ?APQ ? ? , ?AQP ? ? ,且 cos ? ? ,求 sin(2? ? ? ) 的值. 13 3 解: (Ⅰ)因为角 A 为钝角,且 sin A ? ,所以 5 Q 4 cos A ? ? …………………………2 分 5 在 ?APQ 中,由 PQ2 ? AP2 ? AQ2 ? 2 AP ? AQ cos A , A P 2 ? 4? 2 2 第 15 题 得 3 5 ? 5 ? AQ ? 10 ? AQ ? ? ? ? ……………………5 分 ? 5? 解得 AQ ? 2 或 AQ ? ?10 (舍),即 AQ 的长为 2………………7 分 12 5 (Ⅱ)由 cos ? ? ,得 sin ? ? …………………………………………………9 分 13 13 3 4 又 sin(? ? ? ) ? sin A ? , cos( ? ? ? ) ? ? cos A ? ………………………………11 分 5 5 所以 sin(2? ? ? ) ? sin?(? ? ? ) ? ? ? ? sin(? ? ? ) cos? ? cos(? ? ? ) sin ? 3 12 4 5 56 ? ? ? ? ? ……………………………………………………………………14 分 5 13 5 13 65
如图所示,角 A 为钝角,且 sin A ?

? ?

16. (本题满分 14 分) 如图,斜三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中,侧面 AA1C1C ? 底面 ABC, 侧面 AA1C1C 是菱形, ?A1 AC ? 60 ,E、F 分别是 A1C1 、AB 的中点. A1 求证: (1)EF∥平面 BB1C1C ; (2)平面 CEF⊥平面 ABC. 证明: (1)取 BC 中点 M,连结 FM, C1M . 在△ABC 中,因为 F,M 分别为 BA,BC 的中点, 1 所以 FM ∥ AC. …………3 分 A 2 F B 因为 E 为 AC 1 1 的中点,AC ∥ AC 1 1 ,所以 FM ∥ EC1 . E B1 C1

C

2

从而四边形 EFMC1 为平行四边形, 所以 EF ∥C1M .

…………5 分

又因为 C1M ? 平面 BB1C1C , EF ? 平面 BB1C1C ,所以 EF∥平面 BB1C1C . ……7 分 (2) 在平面 AA1C1C 内,作 A1O ? AC ,O 为垂足. 因为∠ A1 AC ? 600 ,所以 AO ?

1 1 AA1 ? AC ,从而 O 为 AC 的中点. 2 2

……9 分

所以 OC ∥ A1 E ,因而 EC ∥ AO . 1

…………11 分

因为侧面 AA 1C1C ⊥底面 ABC,交线为 AC, A1O ? AC ,所以 A1O ? 底面 ABC. 所以 EC ? 底面 ABC. 又因为 EC ? 平面 EFC, 所以平面 CEF⊥平面 ABC. …………14 分

17. (本题满分 14 分) 某人准备购置一块占地 1800 平方米的矩形地块(如图),长、宽分别是 x 米、y 米,中间 建三个矩形温室大棚,大棚周围均是宽为 1 米的小路, 大棚所占地面积为 S 平方米,其中 a∶b=1∶2. (1)试用 x,y 表示 S; (2)若要使 S 最大,则 x,y 的值各为多少? 解: (1)由题意可得: xy ? 1800 , b ? 2a 则 y ? a ? b ? 3 ? 3a ? 3 ………………4 分

S ? ( x ? 2)a ? ( x ? 3)b ? (3x ? 8)a ? (3x ? 8)

y ?3 8y ? 1808 ? 3x ? …………8 分 3 3 8y 8 1800 1600 ? 1808 ? 3 x ? ? ? 1808 ? 3( x ? ) ……………10 分 (2) S ? 1808 ? 3 x ? 3 3 x x
≤ 1808 ? 3 ? 2

x

1600 ? 1808 ? 240 ? 1568 …………………………………12 分 x

当且仅当 x ?

1600 1800 ? 45 ,即 x ? 40 时取等号, S 取得最大值.此时 y ? x x

所以当 x ? 40 , y ? 45 时, S 取得最大值.……………………………………14 分 18. (本题满分 16 分) 平面直角坐标系 xOy 中,直线 x-y+1=0 截以原点 O 为圆心的圆所得的弦长为 6. (1)求圆 O 的方程; (2)若直线 l 与圆 O 切于第一象限,且与坐标轴交于 D,E,当 DE 长最小时,求直线 l 的方程; (3)设 M,P 是圆 O 上任意两点,点 M 关于 x 轴的对称点为 N,若直线 MP、NP 分别交
3

于 x 轴于点(m,0)和(n,0),问 mn 是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说 明理由. 解 (1)因为 O 点到直线 x-y+1=0 的距离为 所以圆 O 的半径为 1 , 2

? 1 ?2+? 6?2= 2,故圆 O 的方程为 x2+y2=2……………5 分 ? 2? ? 2 ?

x y (2)设直线 l 的方程为 + =1(a>0,b>0),即 bx+ay-ab=0, a b 1 1? |ab| 1 1 1 即 2+ 2= , DE2=a2+b2=2(a2+b2)? 2 2= 2, ?a2+b2?≥8, a b 2 a +b 当且仅当 a=b=2 时取等号,此时直线 l 的方程为 x+y-2=0. ……………10 分 2 2 2 (3)设 M(x1,y1),P(x2,y2),则 N(x1,-y1),x2 1+y1=2,x2+y2=2, 由直线 l 与圆 O 相切, 得 直线 MP 与 x 轴交点? 直线 NP 与 x 轴交点?

?x1y2-x2y1,0?,m=x1y2-x2y1, ? y2-y1 ? y2-y1 ?

?x1y2+x2y1,0?,n=x1y2+x2y1, ? y2+y1 ? y2+y1 ?

2 2 2 2 2 2 2 x1y2-x2y1 x1y2+x2y1 x2 1y2-x2y1 ?2-y1?y2-?2-y2?y1 mn= · = 2 2 = =2,故 mn 为定值 2. ……16 分 2 y2-y1 y2+y1 y2-y1 y2 2-y1

19. (本题满分 16 分) 已知数列 {an } 的奇数项是首项为 1 的等差数列, 偶数项是首项为 2 的等比数列.数列 {an } 前

n 项和为 Sn ,且满足 S3 ? a4 , a3 ? a5 ? 2 ? a4
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {an } 前 2 k 项和 S 2 k ; (3)在数列 {an } 中,是否存在连续的三项 am , am?1 , am? 2 ,按原来的顺序成等差数列?若存 在,求出所有满足条件的正整数 m 的值;若不存在,说明理由 解: (1)设等差数列的公差为 d ,等比数列的公比为 q , 则 a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 1 ? d , a4 ? 2q, a5 ? 1 ? 2d

S3 ? a4 ,?1 ? 2(1 ? d ) ? 2q,即4 ? d ? 2q
又 a3 ? a5 ? 2 ? a4 , (1 ? d )(1 ? 2d ) ? 2 ? 2q,即3d ? 2q ,解得 d ? 2, q ? 3 ∴对于 k ? N ,有 a2k ?1 ? 1 ? (k ?1) ? 2 ? 2k ?1, a2k ? 2 ? 3k ?1 故 an ? ?
?

n, ? ? ? ?2 ? 3

n ? 2k ? 1
n ?1 2

, n ? 2k

, k ? N ? ----------------------5 分

4

(2) S2 k ?

(1 ? 2k ? 1)k 2(1 ? 3k ) ? ? k 2 ? 1 ? 3k -----------------8 分 2 1? 3

(3)在数列 {an } 中,仅存在连续的三项 a1 , a2 , a3 ,按原来的顺序成等差数列,此 时正整数 m 的值为 1,下面说明理由-----------------------------------------------10 分 若 am ? a2k ,则由 am ? am?2 ? 2am?1 ,得 2 ? 3k ?1 ? 2 ? 3k ? 2(2k ? 1) 化简得 4 ? 3
k ?1

? 2k ? 1 ,此式左边为偶数,右边为奇数,不可能成立-----12 分

若 am ? a2k ?1 ,则由 am ? am?2 ? 2am?1 ,得 (2k ?1) ? (2k ? 1) ? 2 ? 2 ? 3k ?1 化简得 k ? 3 令 Tk ?
k ?1

------------------------------------------------------------14 分

k k ?1 k 1 ? 2k , (k ? N ? ) ,则 Tk ?1 ? Tk ? k ? k ?1 ? k ? 0 k ?1 3 3 3 3
,故只有 T1 ? 1 ,此时 k ? 1, m ? 2 ?1 ? 1 ? 1

因此, 1 ? T1 ? T2 ? T3 ?

综上,在数列 {an } 中,仅存在连续的三项 a1 , a2 , a3 ,按原来的顺序成等差数列,此 时正整数 m 的值为 1-----------------------------------------------------------16 分 20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1(a ? R), f ? ( x)是f ( x) 的导函数. (1)若 x ?[?2, ?1] ,不等式 f ( x) ≤ f ?( x) 恒成立,求 a 的取值范围; (2)解关于 x 的方程 f ( x) ?| f ?( x) | ; (3)设函数 g ( x) ? ?

? f ?( x), f ( x) ≥ f ?( x) ,求 g ( x)在x ?[2, 4] 时的最小值. ? f ( x), f ( x) ? f ?( x)

解:(1)因为 f ( x) ≤ f ?( x) ,所以 x2 ? 2 x ? 1≤ 2a(1 ? x) ,又因为 ?2 ≤ x ≤ ?1 , 所以 a ≥

x2 ? 2x ? 1 x2 ? 2 x ? 1 1 ? x 3 ? ≤ , 在 x ? [?2, ? 1] 时恒成立,因为 2(1 ? x) 2(1 ? x) 2 2

3 2 ⑵因为 f ( x) ? f ?( x) ,所以 x2 ? 2ax ? 1 ? 2 x ? a ,

所以 a ≥ .……………………………………………………………………………4 分

所以 ( x ? a)2 ? 2 x ? a ? 1 ? a 2 ? 0 ,则 x ? a ? 1 ? a 或 x ? a ? 1 ? a . ……………7 分 ① 当 a ? ?1 时, x ? a ? 1 ? a ,所以 x ? ?1 或 x ? 1 ? 2 a ; ② 当 ?1 ≤ a ≤ 1 时, x ? a ? 1 ? a 或 x ? a ? 1 ? a , 所以 x ? ?1 或 x ? 1 ? 2 a 或 x ? ?(1 ? 2a) ; ③ 当 a ? 1 时, x ? a ? 1 ? a ,所以 x ? 1 或 x ? ?(1 ? 2a) .…………………………10 分

5

? f ?( x), f ( x) ≥ f ?( x) , ⑶ 因为 f ( x) ? f ?( x) ? ( x ?1)[ x ? (1 ? 2 a)] , g ( x) ? ? ? f ( x), f ( x)? f ?( x),
① 若 a ≥ ? ,则 x ?? 2,4? 时, f ( x) ≥ f ?( x) ,所以 g ( x) ? f ?( x) ? 2 x ? 2a , 从而 g ( x) 的最小值为 g (2) ? 2a ? 4 ; ………………………………12 分

1 2

② 若 a ? ? ,则 x ?? 2,4? 时, f ( x) ? f ?( x) ,所以 g ( x) ? f ( x) ? x2 ? 2ax ? 1 , 当 ?2 ≤ a ? ? 时, g ( x) 的最小值为 g (2) ? 4a ? 5 , 当 ?4 ? a ? ?2 时, g ( x) 的最小值为 g (?a) ? 1 ? a2 , 当 a ≤ ?4 时, g ( x) 的最小值为 g (4) ? 8a ? 17 .…………………………………14 分

3 2

3 2

? x2 ? 2ax ? 1, x ?[2,1 ? 2a) 3 1 ③ 若 ? ≤ a ? ? ,则 x ?? 2,4? 时, g ( x) ? ? 2 2 x ?[1 ? 2a,4] ?2 x ? 2a,
当 x ? [2,1 ? 2a) 时, g ( x) 最小值为 g (2) ? 4a ? 5 ; 当 x ? [1 ? 2a, 4] 时, g ( x) 最小值为 g (1 ? 2a) ? 2 ? 2a .

3 1 2 2 所以 g ( x) 最小值为 4a ? 5 .综上所述,
?8a ? 17, a ≤ ?4, ? 2 ? 4 ? a ? ?2, ?1 ? a , ? ? ?4a ? 5, ? 2 ≤ a ? ? 1 , 2 ? ? 1 ?2a ? 4, a ≥ ? 2 ?

因为 ? ≤ a ? ? , (4a ? 5) ? (2 ? 2a) ? 6a ? 3 ? 0 ,

? ? g ? x ?? ? min

…………………………………………16 分

理科附加题
21. 二阶矩阵 M 对应的变换将向量 ?

? 1 ? ? ? 2? ? 3 ? ? ? 2? , ? ? 分别变换成向量 ? ? , ? ? ,直线 l ? ?? 1? ? 1 ? ? ? 2? ? ? 1 ? 在 M 的变换下所得到的直线 l ' 的方程是 2 x ? y ? 1 ? 0 ,求直线 l 的方程. ?a b ? ?a b ? ? 1 ? ? 3 ? ,则由题知 ? ? ? ?? 1? ? ?? 2?, c d c d ? ? ? ?? ? ? ? ? a b ? ? ? 2? ? ? 2? ? c d ? ? 1 ? ? ? ? 1 ?, 所以 ? ?? ? ? ?

解:设 M ? ?

? a?b ? 3 ?a ? ?1 ? c ? d ? ?2 ?b ? ?4 ? ? 1 ? 4? ? ? ,解得 ? ,所以 M ? ? 。 ? 5? ?3 ? ?? 2a ? b ? ?2 ? c?3 ? ? ?? 2c ? d ? ?1 ?d ?5
设点 P ( x, y ) 是直线 l 上任一点,在 M 变换下对应的点为 P ' ( x 0 , y 0 ) ,那么

……(5 分)

? ? 1 ? 4? ? x ? ? x 0 ? ? x 0 ? ? x ? 4 y ?3 ? ? y ? ? ? y ?, 即 ? y ? 3 x ? 5 y 。 5 ? ?? ? ? 0 ? ? 0
6

……(8 分)

因为 2 x 0 ? y 0 ? 1 ? 0 ,? 2(? x ? 4 y ) ? (3 x ? 5 y ) ? 1 ? 0, 即 5 x ? 13 y ? 1 ? 0 , 因此直线 l 的方程是 5 x ? 13 y ? 1 ? 0 。 ……(10 分)

22. 在极坐标系中,已知直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ?

?
4

) ? 1 ? 2 ,圆 C 的圆心是

C ( 2, ) ,半径为 2 。 4
(1)求圆 C 的极坐标方程; (2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长。 (Ⅰ)圆 C 的极坐标方程为: ? ? 2 2 sin(? ?

?

?
4

)

· · · · · · · · · 5 分

· · · · · · · · · · · 10 分 (Ⅱ)圆心到直线距离为 1 ,圆半径为 2 ,所以弦长为 2 23.如图, 四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是正方形,PD ? CD ,侧棱 PD ? 底面 ABCD , P E 是 PC 的中点. (1)求二面角 B ? DE ? C 的平面角的余弦值; (2)在棱 PB 上是否存在点 F ,使 PB ? 平面 DEF ? 证明你的 结 E 论. 解:(1) 以 D 为坐标原点,分别以 DA、DC、DP 所在直线为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系, 设 PD=CD=2, 则 A(2,0,0), P(0,0,2), → → → E(0,1,1),B(2,2,0), PA =(2,0,-2), DE =(0,1,1), DB =(2,2,0)。 · · · · · · · · · · 1分
A D B C

→ 设 n =(x,y,z)是平面 BDE 的一个法向量, →→ ? ?n1· DE =0 → ?y +z=0 则由?→ → ,得 ?2x+2y=0;取=-1,n1=(1,-1,1), ? ? n · DB =0 ? → → 又n2= DA =(2,0,0)是平面 DEC 的一个法向量。· · · · · · · · · · 3分 →→ 设二面角 B-DE-C 的平面角为 θ,由图可知 θ=<n1,n2>, →→ →→ n1· n2 2 3 ∴ cosθ=cos<n1,n2>= → → = = 3 , 3 ×2 |n1 |· |n2| 3 故二面角 B-DE-C 余弦值为 3 。 · · · · · · · · · · 5分
D A B C P

E

→ → →→ (2)∵ PB =(2,2,-2), DE =(0,1,1),∴ PB · DE =0+2-2=0,∴PB⊥DE。· · · · · · · · · · 7分

7

→ → 假设棱 PB 上存在点 F,使 PB ? 平面 DEF,设 PF =λ PB (0<λ<1), → → → → 则 PF =(2λ, 2λ,-2λ), DF = DP + PF =(2λ, 2λ,2-2λ), →→ 1 由 PF · DF =0 得 4λ2 +4λ2-2λ(2-2λ)=0,∴ λ= 3 ∈(0,1) · · · · · · · · · · 9分 1 1 此时 PF= 3 PB,即在棱 PB 上存在点 F,PF= 3 PB,使得 PB⊥平面 DEF。· · · · · · · · · · 10 分 24.已知 f(x)=(1+x) (1+
α

1

x

)β (α,β,x∈R+),

(1)求 f(x)的最小值(用 ? , ? 表示) ; (2)如果 y>0,求证: ( α+β α+β α α β β ) ≤( ) · ( ); x+y x y

(3)如果 α1,α2,… αn,β1,β2,…βn>0, n ? 2, n ? N 求证: ( α1+α2+…+αn α1+α2+…+αn α α α ≤( 1)α1·( 2)α2 …( n)αn ) β β βn β1+β2+…+βn 1 2
1

(1)解:f ′ (x)= α(1+x)α-1(1+ =

x

)β+(1+x)α· β(1+

1

x

)β-1· (-1)·

1

x2

? (1 ? x)? ? ? ?1
x
? ?1

· (x-

β ) ,· · · · · · · · · · 1分 α

β β ,∞)时 f ′ (x)>0,x∈(0, )时,f ′ (x)<0. α α β α +β α α + β β ∴f(x)min = f( )=( )( ) 。· · · · · · · · · · 4分 α α β β y α+β α α+β β x+y α x+y β (2)证:∵f( )≤f( ),∴( )· ( ) ≤( ) · ( ), α x α β x y α+β α+β α α β β 即( ) ≤( ) · ( ) 。· · · · · · · · · · 6分 x+y x y α1+α2 α1+α2 α1 α1 α2 α2 (3)当 n=2 时,由(2)可知( ) ≤( ) · ( ) , β 1+ β 2 β1 β2 ∵x∈( 设 n=k 时,( α1+α2+…+αn α1+α2+…+αn α α α ≤( 1)α1·( 2)α2 …( n)αn,· ) · · · · · · · · · 7分 β1 β2 βn β1+β2+…+βn α1+α2+…+αn+αn+1 α1+α2+…+αn+αn+1 ) β1+β2+…+βn+βn+1
(α1+α2+…+αn)+αn+1 (α1+α2+…+αn)+αn+1 ] (β1+β2+…+βn)+βn+1

当 n=k+1 时,(

=[

8

≤( ≤(

α1+α2+…+αn α1+α2+…+αn αn+1 αn+1 · ) ( ) βn+1 β1+β2+…+βn α 1 α1 α 2 α2 αn αn+1 αn+1 ) ·( ) …( )αn· ( ) 。 β1 β2 βn βn+1
· · · · · · · · · · 10 分

所以,结论对一切 n 成立。

9


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