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2014年4月杨浦区初三数学基础测试卷答案

上海市杨浦区 2014 年 4 月初三数学基础测试卷
(完卷时间 100 分钟 一、选择题(本大题每小题 4 分,满分 24 分) 1.下列数中属于无理数的是 (A) 满分 150 分) 2014.4 ( ▲ )
1

22 ; 7

(B) 16 4 ;

& (C) 0.1 ;

(D) 8 . ( ▲ ) (D) x ? 1 ? 3 .

2. 下列关于 x 的方程一定是一元一次方程的是

1 (A) ? x ? 1 ; x

(B) (a 2 ? 1) x ? b ;

(C) ax ? b ;

3.布袋中装有大小一样的 3 个白球、2 个黑球,从布袋中任意摸出一个球,则下列事件中 是必然事件的是 ( ▲ ) (A)摸出的是白球或黑球; (C)摸出的是白球; (B)摸出的是黑球; (D)摸出的是红球.

4.某外贸公司要出口一批食品罐头,标准质量为每听 454 克,现抽取 10 听样品进行检测, 它们的质量与标准质量的差值(单位:克)如下:-10,+5,0,+5,0,0,-5,0,+5,+10。 则这 10 听罐头质量的平均数及众数为 ( ▲ )

r r r r r r r 5.已知非零向量 a, b, c ,其中 c ? 2a ? b 。下列各向量中与 c 是平行向量的是
(A) m ? a ? 2b ;

(A)454,454;

(B)455,454;

(C)454,459;

(D)455,0. ( ▲ )

u r

r

r

(B) n ? b ? 2a ;

r

r

r

(C) q ? 4a ? 2b ; (D) g ? 2a ? 4b .

r

r

r

u r

r

r

6. 下列每个图中都有一对全等三角形, 其中的一个三角形只经过一次旋转运动即可和另一 个三角形重合的是 ( ▲ )

(A) (B); 二、填空题(本大题每小题 4 分,满分 48 分) 7.当 x ? 2 时,化简: x ? 2 = ▲ .

(C);

(D).

2 8.若关于 x 的一元二次方程 x ? x ? 2 ? m ? 0 有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围

是 9.函数 y ?

.

3? x ?

1 的定义域是 x?2



. ▲

10.点 A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y2 ) 在一次函数 y ? ?2 x ? b 的图像上, 若 x1 ? x2 ,则 y1

y2

(填“<”或“>”或“=” ). 11.抛物线 y ? 2 x 2 ? 4 x ? 2 的顶点坐标是 ▲ .

12.某区在初一年级一次数学期末考试后,随机抽查了部分 同学的成绩,整理成频数分布直方图如右,则本次抽查的样 本的中位数所在的区间是 ▲ . ▲ cm.

13.如果矩形的周长是 20cm,相邻两边长之比为 2:3,那么对角线长为

14.内角为 108°的正多边形是 ▲ 对称图形. 15. 如图, △ABC 中∠ABC=70°, ∠BAC 的外角平分线与∠ACB 的外角的平分线交于点 O, 则∠ABO= ▲ 度. 16.如图,等腰△ABC 中,AB=AC,BC=8。已知重心 G 到点 A 的距离为 6,则 G 到点 B 的 距离是_ ▲ .

17.我们把四边形两条对角线中点的连线段称为“奇异中位线” 。现有两个全等三角形,边 长分别为 3cm、 4cm、 5cm。 将这两个三角形相等的边重合拼成凸四边形, 如果凸四边形的 “奇 异中位线”的长不为 0,那么“奇异中位线”的长是 ▲ cm。

18.如图,扇形 OAB 的圆心角为 2? ,点 P 为弧 AB 上一点,将此扇形翻折,当点 O 和点 P 重合时折痕恰巧过点 B,且 A

AB 6 ? ,则 ? 正切值为 PB 5
A O



. A

B (第 15 题图)

C

B
(第 16 题图)

C

O
(第 18 题图)

B

三、解答题(第 19~22 题每题 10 分,第 23~24 题每题 12 分,第 25 题 14 分,满分 78 分) 19.(本题满分 10 分) 计算: ? 3 ? 27+2sin 60 0+ ? ? .

?1? ? 3?

?1

? x 2 ? 3 xy ? 2 y 2 ? 0 ? 20.(本题满分 10 分) 解方程组: ? 2 2 ? ?x ? y ? 5

21. (本题满分 10 分) 如图,矩形 ABCD 中,AB=3,AD=5,点 E 在 AD 上,且 AE:ED=1:4, 联结 BE,射线 EF⊥BE 交边 DC 于点 F。求 CF 的长. A E D F B
(第 21 题图)

C

22.(本题满分 10 分) 某商店第一次用 600 元购进某种型号的铅笔若干支,第二次又用 600 元购进该款铅笔,但这次每支的进价比第一次贵 1 元,所以购进数量比第一次少了 30 支. (1)求第一次每支铅笔的进价及购进的数量. (2)若将这两次购进的铅笔按同一单价 x(元/支)全部销售完毕,并要求获利不低于 420 元,求获利 y(元)关于单价 x(元/支)的函数关系式及定义域,并在直角坐标系内画出 它的大致图像。

0

(第 22 题图) 23.(本题满分 12 分) 如图,在平行四边形 ABCD 中,AE⊥BC 于 E,AF⊥CD 于 F。 (1)求证: CD ? DF ? BC ? BE ; (2)若 M、N 分别是 AB、AD 中点,且∠B=60°,求证:EM//FN. A D

F B E
(第 23 题图)

C

24.(本题满分 12 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 4 分,第(3)小题 4 分,) 已知抛物线 y ? ax ? 2ax ? 4 与 x 轴交于点 A、B(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C,
2

△ABC 的面积为 12. (1)求抛物线的对称轴及表达式; (2)若点 P 在 x 轴上方的抛物线上,且 tan∠PAB=

1 ,求点 P 的坐标; 2

(3)在(2)的条件下,过 C 作射线交线段 AP 于点 E,使得 tan∠BCE= 问 BE 与 BC 是否垂直?请通过计算说明。

1 ,联结 BE,试 2
y

O

x

(第 24 题图)

25. (本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 5 分) 已知 AM 平分∠BAC,AB=AC=10,cos∠BAM=

4 。点 O 为射线 AM 上的动点,以 O 为圆心, 5

BO 为半径画圆交直线 AB 于点 E(不与点 B 重合)。 (1)如图(1),当点 O 为 BC 与 AM 的交点时,求 BE 的长; (2)以点 A 为圆心,AO 为半径画圆,如果⊙A 与⊙O 相切,求 AO 的长; (3)试就点 E 在直线 AB 上相对于 A、B 两点的位置关系加以讨论,并指出相应的 AO 的取 值范围; A A E

B

O M 图(1)

C

B M 备用图

C

(第 25 题图)

杨浦区初三数学基础测试卷答案及评分标准 2014.4
一、 选择题 1、D;2、B;3、A;4、B;5、C;6、D 二、 填空题

9 ;9、m ? 3 且 m ? 2 ;10、? ;11、 (-1,-4) ;12、80~90;13、2 13 ; 4 7 3 14、轴;15、35;16.5;17. ;18. 10 4
7、x-2;8、m ? 三、 解答题 19.解:原式= 3 ? 3 3 ? 2 ?

3 ? 3 ----------------------------------8 分 2

= 3 ? 3 ----------------------------------2 分 20. 解:由方程 1 得: ( x ? y)( x ? 2 y) ? 0 ,∴ x ? y ? 0 或 x ? 2 y ? 0 -----------3 分
2 2 2 2 ?x ? y ? 5 ?x ? y ? 5 ? x1 ? 2 ? x2 ? ?2 解(Ⅰ)得 ? ,--------------------------------------2 分 ,? ? y1 ? 1 ? y2 ? ?1 1 1 ? ? x3 ? 10 ? x4 ? ? 10 ? ? ? 2 2 解(Ⅱ)得 ? ------------------------------2 分 ,? ? y ? 1 10 ? y ? ? 1 10 ? 3 2 ? 4 ? ? 2 1 1 ? ? x ? 10 x ? ? 10 3 4 ? ? ? x1 ? 2 ? x2 ? ?2 ? ? 2 2 ∴原方程组的解为: ? ,? ---------1 分 ,? ,? ? y1 ? 1 ? y2 ? ?1 ? y ? 1 10 ? y ? ? 1 10 3 4 ? ? ? 2 ? 2

∴原方程组转化为(Ⅰ) ?

?x ? 2 y ? 0

或(Ⅱ) ?

?x ? y ? 0

,-----------2 分

21. 解:∵AE:ED=1:4,AD=5, ∴AE=1,ED=4, -----------------2 分 ∵矩形 ABCD,∴∠A=∠D=90°,∴∠AEB+∠ABE=90° ∵EF⊥BE,∴∠AEB+∠DEF=90°, ∴∠ABE=∠DEF, ∴△ABE∽△DEF,-----------------------------------3 分

AB ED ? ,-----------------------------------1 分 AE DF 3 4 4 ∴ ? ,∴ DF ? ----------------------------2 分 1 DF 3 4 5 ∴ CF ? 3 ? ? ,-----------------------------2 分 3 3
∴ 22. 解:(1)设第一次每支铅笔的进价为 a 元/支, 则据题意得:

600 600 ? ? 30 ,--------------------------------(2 分) a a ?1 ∴ a1 ? 4, a2 ? ?5 (舍)----------------------------------(2 分)

600 ? 150 ------------------------------------------------(1 分) 4
答:第一次每支铅笔的进价是 4 元,购进 150 支。-------------------------------(1 分) (2)由题意得:y=(x-4)150+(x-5)120=270x-1200 即获利 y(元)关于单价 x(元/支)的函数关系为: y=270x-1200( x ? 6 )----------------------------------------------(1 分,1 分) y(元) 420 O -12 00 23. 证明:(1)∵平行四边形 ABCD,∴∠ABD=∠ADC,-------1 分 ∵AE⊥BC 于 E,AF⊥CD 于 F,∴∠AEB=∠AFD=90°,-------1 分 ∴△ABE∽△ADF, ∴

40 6 9

x(元/支)

-------------------------(2 分)

AB BE ? ,---------------1 分 AD DF

∵平行四边形 ABCD,∴AB=CD,AD=BC,---------2 分 ∴

CD BE ? ,即 CD ? DF ? BC ? BE ----------1 分 BC DF
M

(2) 延长 EM 交 DA 的延长线于点 Q, ∵平行四边形 ABCD,∴DQ//BC,∠Q=∠MEB,

A

N

D

1 ∵AE⊥BC 于 E,M 是 AB 中点,∴ME= AB ? MB 2

F E C

B ∴∠MEB=∠B, ∴∠Q=∠B, ∵∠B=60°,∴∠Q=60°,-----------------------------3 分 ∵AF⊥CD 于 F,N 是 AD 中点,∴NF=

1 AD ? ND,∠GBE=∠D, 2

∵平行四边形 ABCD,∴∠D=∠B=60°, ∴∠GBE=∠D=60°, ∴∠DNF=60°, ---------------------------2 分 ∴∠DNF=∠Q,∴EM//FN.-------------------------------------1 分 24. 解:(1)∵抛物线 y ? ax2 ? 2ax ? 4 ,∴与 y 轴交点 C(0,-4) ∴对称轴为直线 x ?

2a ? 1 ,---------------------------------1 分 2a

∵抛物线与 x 轴交于点 A、B,且△ABC 的面积为 12,∴AB=6 -----1 分 ∴点 A(-2,0),B(4,0)-----------------------------------1 分 ∵抛物线过点 A,∴ 0 ? 4a ? 4a ? 4 ,∴ a ? ∴抛物线表达式为 y ?

1 -----------------1 分 2

1 2 x ?x?4 2

(2)过 P 作 PH⊥x 轴,∵tan∠PAB=

1 ,∴设 PH=k,AH=2k,-------1 分 2

∴P 点的坐标是(2k-2,k)(k>0)--------------------------1 分 ∵点 P 在抛物线上,∴ k ? ∴P(5,

1 7 (2k ? 2) 2 ? (2k ? 2) ? 4 ,∴ k ? , 2 2

7 )-----------------------------------------------2 分 2

(3)是---------------------------------------------------1 分 证明:设 AE 交 y 轴于点 D, ∵A(-2,0),C(0,-4),∴tan∠ACO=

1 1 ,∵tan∠PAB= ,∴∠PAB=∠ACO, 2 2

∵∠ACO+∠OAC= 90 ? ,∴∠PAB+∠OAC= 90 ? ,∴PA⊥AC, -------------------------1 分

1 ,∴∠ACO=∠BCE,∴∠ACE=∠OCB 2 ∵B(4,0), C(0,-4),∴∠OCB= 45 ? ,∠ACE= 45 ? ,
∵tan∠BCE= ∵A(-2,0),C(0,-4),∴AO=2,OC=4,∴AO= 2 5 ,∴CE= 2 10 ,-----------1 分 ∵B(4,0), C(0,-4), ∴BC= 4 5 在△AOC 和△EBC 中,

AC CE 5 AC 2 5 5 CE 2 10 , ,∴ = , ? ? ? ? OC CB OC 4 2 CB 4 2 2
y

又∠ACO=∠BCE,∴△AOC∽△EBC,---------1 分 ∴∠EBC=∠AOC= 90 ? ,∴BE⊥BC。

P E D A O B x

25. 解(1)∵AM 平分∠BAC,AB=BC, ∴AM⊥BC,

C

3 4 ∵cos∠BAM= ,AB=10,∴cos∠B= ,BO=6,AO=8,---------------(1 分,1 分) 5 5
作 OH⊥AE,∵O 为圆心,∴BH=EH,----------------------------------------(1 分) 在 Rt△BOH 中, ∴BE=2BH=

3 18 BH ? cos B ,∴ BH ? 6 ? ? , 5 5 BO

A

36 .--------------------------------------------------------(1 分) 5
O P

(2) ∵⊙A 与⊙O 相切,AO 为⊙A 半径, ∴⊙A 与⊙O 只可能相内切,且⊙A 在⊙O 的内部,------------(1 分) ∴OA=OB-OA,∴OB=2OA,-------------------------------(1 分) B 设 OA=x,则 OB=2x,

C

M

作 BP⊥AM,则 AP=8,BP=6,OP=8-x, 在 Rt△BPO 中, OP2 ? BP2 ? OB2 ,即 (8 ? x)2 ? 62 ? 4 x2 ,-----------(1 分) ∴ 3x 2 ? 16 x ? 100 ? 0 ,∴ x ?

?8 ? 2 91 ?8 ? 2 91 , (负舍) ,∴OA= x ? .-------(2 分) 3 3
25 ,-----------------(1 分) 4

(3)过 AB 中点作 AM 的垂线交 AM 于点 O1,可得 AO1= 过 B 作 AM 的垂线交 AM 于点 O2,可得 AO2= 当 0 ? AO ?

25 ,-----------------(1 分) 2

25 时,点 E 在 BA 的延长线上;--------------------(1 分) 4 25 25 ? AO ? 当 时,点 E 在线段 AB 上;--------------------(1 分) 4 2 25 当 AO ? 时,点 E 在 AB 的延长线上。--------------------(1 分) 2


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