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高中数学 第一章 三角函数 1.7.1 正切函数的定义 1.7.2 正切函数的图像与性质讲义2 北师大版必修4

1.7.1 正切函数的定义 1.7.2 正切函数的图像与性质

【知识提炼】
1.正切函数的定义
在直角坐标系中
(1)角α 的终边与单位圆交于点P(a,b);
b
(2)把比值_a__叫作角α 的正切函数;记作y=tanα .

2.正切函数的图像与性质 (1)正切线:如图所示,线段_A_T_为角α 的正切线.

(2)正切函数y=tan x(x∈R,x≠ ? +kπ ,k∈Z)的图像与性质:
2

性质

函数

y=tan x

图像

性质

函数

定义域

值域 奇偶性

y=tan x
{x|x?R,x???k?,k?Z } 2
_R _ _奇__函__数__

周期性

周期函数,周期是kπ (k∈Z,k≠0),最小正 周期是_π__

性质

函数

单 增区间 调 性 减区间

渐近线

y=tan x
(???k?,??k?)(k?Z) 22

x???k?(k?Z) 2

【即时小测】 1.思考下列问题 (1)正切函数是奇函数,图像关于原点对称,那么正切函数的对称中心 只有一个吗? 提示:正切函数的对称中心除了原点外,诸如(π ,0)等都是对称中心, 正切函数有无数个对称中心.

(2)正切函数在定义域上是增加的吗?
提示:正切函数在每一个区间 (-??k?,??k?) ,k∈Z都是增加的,但
22
在定义域上不是增加的.

2.tan ( 2 x ? ? ) 的最小正周期为__________.
3
【解析】周期T= ? .
2
答案: ?
2

3.tan ( ? 1 1 ? ) =________.

3

【解析】tan(?11?)= tan?? 3.

3

3

答案:
3

【知识探究】 知识点 正切函数的图像与性质 观察图形,回答下列问题:
问题:三角函数性质有何共同的特点?

【总结提升】 1.对正切函数值符号的理解 正切函数值的符号是由a,b的符号决定的,故当角α 为第一、三象限角 时,a,b同号,正切函数值为正;当角α 为第二、四象限角时,a,b异号, 正切函数值为负.

2.作正切函数的图像的两种方法

(1)几何法:利用单位圆中的正切线来作出正切函数的图像,该方法作

图较为精确,但画图时较烦琐.

(2)三点两线法:“三点”是指(- ? ,-1),(0,0), ( ? , 1 ) ;“两线”

4

4

是指x=- ? 和x= ? .在三点、两线确定的情况下,类似于五点法作图,

2

2

可大致画出正切函数在 ( ? ? ,? ) 上的简图,然后向左、向右扩展即得

22

正切曲线.

【知识拓展】(1)几种特殊角的正切值

(2)三角函数在各个象限的符号规律 只记住在各个象限为正值的三角函数,其他的则为负值,记忆口诀: “一象全,二正弦,三正切,四余弦”. (3)函数y=Atan(ω x+φ)+B的周期T= ? .
|? |

【题型探究】 类型一 正切函数的定义、图像 【典例】1.(2015·阜阳高一检测)函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在 区间 ( ? , 3 ? ) 内的图像大致是 ( )
22

2.(2015·天水高一检测)函数y=tan ( x ? ? ) 的定义域为________.
4
3.点P(-1,2)在角α 的终边上,则 t a n ? =________.
c o s 2?

【解题探究】1.怎样由函数解析式作函数的图像? 提示:应分情况去掉绝对值号,得到函数的解析式后作图像. 2.正切函数的定义域是什么? 提示:正切函数的定义域是 {x|x???k?,k?Z}
2

3.由点P的坐标怎样求角α 的三角函数值? 提示:可根据任意角三角函数的定义求角的三角函数值.

【解析】1.选D.函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|
?2tanx,tanx<sinx, ???2sinx,tanx?sinx,
由正弦函数与正切函数的图像可知D正确.

2.令 x ? ? ? ? ? k ? ,k ? Z , 得 x ? ? ? k ? ,k ? Z .

42

4

答案:{x|x???k?,k?Z}
4

3.|OP|? 1?4? 5,

所以 cos??- 5 5, tan??- 2, 所 以 c to as n 2 ? ??- 1 2?- 10.

答案:-10

5

【方法技巧】 1.当题目给出角α 终边所在直线方程时,求sinα ,cosα ,tanα 经常 采用的步骤

2.求函数y=Atan(ω x+φ)+B定义域的方法 令ω x+φ≠ ? +kπ ,k∈Z,解出x即得到函数的定义域.
2

cos( ? ? x)sin(-?-x)

【变式训练】已知角x终边上的一点P(-4,3),则 2

cos( ?-x)sin( 9 ? ? x)

的值为________.

2

2

【解析】由题意tanx=- 3 ,

4

cco oss((? 2 ?- ?x x))ssiin n((- 9? ?- ?x x))?- sisninxc xo sisnxx?- tanx?4 3.

2

2

答案: 3

4

类型二 与正切函数相关的范围问题

【典例】在(0,2π )内,使tanx>1成立的x的取值范围是 ( )

A.(?,?)?(?, 5?)

42

4

C.(?,5?) 44

B.(?, ?) 4
D.(?,?)?(5?, 3?) 42 4 2

【解题探究】函数满足y=tanx>1的图像是哪一部分?

提示:正切曲线在直线y=1上方的部分.

【解析】选D.由tanx>1,可得 k???> x> k???, k? Z.

2

4

再根据x∈(0,2π),求得 x?(?,?)?(5?, 3?).
42 4 2

【延伸探究】

1.(变换条件)在R内,tanx<1,求不等式的解集.

【解析】由tanx<1,解得 - ??k??x???k?,k? Z ,

2

4

故不等式的解集为 {x |- ??k??x???k? ,k? Z } .

2

4

2.(变换条件)在(0,2π )内,使1<tanx< 3 成立的x的取值范围.

【 在解( ?析2 , 3】2? 在) 内( 0满, ?2足) 内1<,t满an足x<1<3 ta的nxx<范围3 的为x( 范54?围, 43为? ),( ?4

,

? 3

),

在 ( 3 ? , 2 ? ) 内无满足1<tanx<
2

3

的x值.

故所求x的取值范围为 (?,?)?(5?,4?).
43 4 3

【方法技巧】数形结合求范围的策略 (1)遇到与三角函数有关的范围问题时,首先是作出函数的图像,确定 满足不等式的图像部分,再选取一个恰当的周期,在这个周期内确定求 出满足不等式的范围,最后结合函数的周期拓展到全体实数上. (2)解题此类题目的关键一是作图,二是确定范围端点的未知量的值.

【补偿训练】(2015·益阳高一检测)若y= tan x? ,3求函数的定义 域为________.

【解析】令tanx+ 3 ≥0,即tanx≥- 3 ,

解得 - ??k??x???k?,k? Z ,

3

2

则函数的定义域为 {x|- ??k ??x???k ? ,k? Z } .

3

2

答案: {x|- ??k ??x???k ? ,k? Z }

3

2

类型三 正切函数的单调性的应用

【典例】(2015·宜春高一检测)已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,

则( )

A.a<b<c

B.c<b<a

C.b<c<a

D.b<a<c

【解题探究】弧度为1,2,3的角分别在哪一个象限?2,3在哪一个区 间内? 提示:1弧度的角在第一象限,2,3弧度的角在第二象限.2,3在区间( ? , ? ).
2

【解析】选C.因为1弧度的角在第一象限,2,3弧度的角在第二象限,故
a>0,b<0,c<0,又因为正切函数在区间 ( ? , ? ) 上是增加的,故b<c,因此
2
b<c<a.

【方法技巧】比较三角函数值大小的方法 (1)首先确定角的范围,必要时可用诱导公式转化确定与其终边相同的 角亦可,其次利用单调性、界点值等比较大小. (2)判断大小的顺序是先与0比较,同号的再根据单调性、界点值比较.

【变式训练】若f(x)=tan ( x ? ? ) ,则 ( )
4

A.f(0)>f(-1)>f(1)

B.f(0)>f(1)>f(-1)

C.f(1)>f(0)>f(-1)

D.f(-1)>f(0)>f(1)

【解题指南】y=tanx在 ( ? ? , ? )上是增加的.根据诱导公式把 x ? ?

22

4

转化到 ( ? ? , ? ) 上再比较大小.
22

【解析】选A.f(1)= tan(1??)?tan(1?3?),

4

4

又???1?3????1??, 所以f(0)>f(-1)>f(1).

2 44 4

【补偿训练】(2015·九江高一检测)设 a? sin5? , b? c o s2? , c? ta n2 ? ,

7

7

7

则( )

A.a<b<c

B.a<c<b

C.b<c<a

D.b<a<c

【解析】选A.因为 a ? s in 5 ? ? s in 2 ? , 所 以 s in 2 ? ? c o s2 ? ,

77

77

因为 c o s2 ? ? c o s? ? 1 , ta n 2 ? ? ta n ? ?3? 1 ,

7 62 7 6 3 2

故 sin2??cos2??tan2?, 即a<b<c.
777

易错案例 正切函数图像、性质的应用

【典例】(2015·武汉高一检测)函数y=2tan(3x+φ) (-?<?<?)

2

2

的图像的一个对称中心为 ( ? , 0 ) ,则φ=_____.

4

【失误案例】

【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗? 提示:出错的根本原因在于对正切函数的图像理解不准确,弄错了对称 中心.

【自我矫正】因为函数的图像的对称中心为 ( k ? , 0 ) (k∈Z),
2

令3x+φ= k ? ,k∈Z,

2

由题意知, 3 ? ? ? ? ? k ? , k ? Z , 即 ? ? k ? - 3 ? , k ? Z ,

42

24

因为 -?<?<?, 所以

2

2

当k=1时,φ=- ? ,当k=2时,φ= ? ,即φ=- ? 或 ? .

4
答案:- ? 或?

4

44

44

【防范措施】 1.正切函数图像与性质的灵活应用 解题时,要注意正切函数图像与性质的灵活应用,如本例,对正切函数 的对称中心要把握准确,不能误认为对称中心是(kπ ,0)(k∈Z). 2.函数解析式中参数的取值范围 解题时,要注意参数是否有特殊的限定条件,如本例,如果没注意到φ 的范围,从而未对k的取值分情况讨论,将造成漏解.