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江西省吉安市2013届高三第一次模拟考试 数学理

2013 届高三模拟试卷数 学 ( 理 ) 试 卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页, 满分 150 分,考试时间 120 分钟. 考生注意: 1. 答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上,考生要认真核对答题卡 上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2. 第 I 卷每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 用 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作 答.若在试题卷上作答,答案无效. 3. 考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.

第Ⅰ卷
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每题只有一个正确答案)
?1? i ? 1.已知 i 是虚数单位,则 ? ? ? 2 ?
2013

在复平面内对应的点位于

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.执行如图所示的程序框图,若输入 x==2,则输出 y 的值为 A. 5 B. 9 C. 14 D. 41 3.设 p : x ? 1, q :
2

1? x |x|

2

? 0 ,则 ? q 是 p

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4. 已知 F1 , F 2 是双曲线的两个焦点, 是双曲线上任一点 Q (不是顶点) 从某一焦点引 ? F1 QF 2 , 的平分线的垂线,垂足为 P,则点 P 的轨迹是 A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 5. 已知函数 f ( x ) 对定义域 R 内的任意 x 都有 f ( x ) = f ( 4 ? x ) , 且当 x ? 2 时其导函数 f ? ( x ) 满足 xf ? ( x ) ? 2 f ? ( x ), 若 2 ? a ? 4 则 A. f ( 2 ) ? f (3) ? f (lo g 2 a )
a

B. f (3) ? f (lo g 2 a ) ? f ( 2 )
a

C. f (lo g 2 a ) ? f (3) ? f ( 2 )
a

D. f (lo g 2 a ) ? f ( 2 ) ? f (3)
a

6.一组数据共有 7 个数,记得其中有 10,2,5,2,4,2,还有一个数没记清,但知道这组数的平均 数、中位数、众数依次成等比数列,这个数的所有可能值的和为 A. 9 B. 3 C. 20 D. -11 7.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图是 ..

3 1 正视图 2 俯视图 俯视图 2 正视图

3

3 1 正视图 2 俯视图 俯视图 2 正视图

3

侧视图

侧视图 1

侧视图

侧视图 1

A.
a

B.

C.

D.

?4x ? 3 y ? 4 ? 0 ? 8.如果幂函数 y ? x ( a ? R ) 图像经过不等式组 ? x ? y ? 6 ? 0 表示的区域,则 a 的取 值范 ?y ? 2 ?

围是 A. ? ? 1, 0 ? ? ? , ? ? ? ?2 ? C. ? ? 1, 0 ? ? [ , 2 ]
2 1
?1 ?

B. ? ? ? , ? 1 ? ? ? , ? ? ? ?2 ? D. ? ? ? , ? 1 ? ? [ , 2 ]
2 1

?1

?

9 . 设 数 列 { a n } 的 前 n 项 和 为 S n , a1 ? 1 , a n ?
S1 ? S2 2 ? S3 3 ?? ? Sn n ? ( n ? 1) ? 2013 ,则 n 的值为
2

Sn n

? 2 ( n ? 1), ( n ? N ) , 若
*

A.1007 B.1006 C.2012 D.2013 10.如图,三棱锥 P ? A B C 的底面是正三角形,各条侧棱均相等, ? A P B ? 6 0 ? .设点
D

、 E 分别在线段 P B 、 P C 上,且 D E // B C ,记 P D ? x , ? A D E

周长为 y ,则 y ? f

? x ? 的图象可能是

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

A
O x

B

C 第Ⅱ卷

D

注意事项: 第Ⅱ卷共 3 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题卷上作答,答案无 效. 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
? ? ? ? x ? 1( ? 1 ? x ? 0 ) ? | x |? ? 11.已知实数 x,y 满足 ? 的图象与坐 2 , 则 点 ( x , y )在 函 数 f ( x ) ? ? ? ? | y |? 1 ? cos x (0 ? x ? ) ? ? 2

标轴所围成的封闭图形的内部的概率为

? m 1 ? x 2 , x ? ( ? 1,1] ? T ? 4 为周期的函数 f ( x ) ? ? 12.已知以 ,其中 m ? 0 。若方程 1 ? x ? 2 , x ? (1, 3] ? ? A
3 f ( x ) ? x 恰有 5 个实数解,则 m 的取值范围为

13.如图,在扇形 OAB 中, ? A O B ? 6 0 ? , C 为弧 AB 上的一个动点.若
O C ? x O A ? y O B ,则 x ? 3 y 的取值范围是
??
?? ??

C



O
(第 13 题)

B

14.若函数 f ( x ) 在给定区间 M 上存在正数 t,使得对于任意 x ? M ,有 x ? t ? M ,且 f ( x ? t ) ? f ( x ) ,则称 f ( x ) 为 M 上的 t 级类增函数。给出 4 个命题 ①函数 f ( x ) ?
4 x ? x 是 (1, ? ? ) 上的 3 级类增函数

②函数 f ( x ) ? | lo g 2 ( x ? 1) | 是 (1, ? ? ) 上的 1 级类增函数 ③若函数 f ( x ) ? s in x ? a x 是 ? , ? ? ? 上的 级类增函数,则实数 a 的最小值为 2 3 ?2 ? ④设 f ( x ) 是定义 R 在上的函数,且满足:1.对任意 x ? ?0 ,1? ,恒有 f ( x ) ? 0 ;2.对任意
x1 , x 2 ? ?0 ,1 ? ,恒有
f ( x1 ) f ( x2 ) ? f (1 ? x 1 ) f (1 ? x 2 ) ? 2 ;3. 对任意 x ? R ,
f (x) ? 1 f (x ? 1 2 )

??

?

?

,若函数 f ( x ) 是

?1, ? ? ? 上的 t 级类增函数,则实数 t 的取值范围为 ( 0 , ?? ) 。
以上命题中为真命题的是 三、选做题:请考生在下列两题中选一题,则按所做的一题评分。本题共 5 分 15. (考生注意:请在下列两题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题评分) A. 不等式选讲) ( 已知函数 f ( x ) ? log 2 ( 2 x ? 1 ? x ? 2 ? m ) . 若关于 x 的不等式 f ( x ) ? 1 的解集是 R ,则的取值范围是 B . 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 极 坐 标 系 中 , 已 知 曲 线 ? ? 2 cos ? 与 直 线 ( 3 ? c o s ? 4 s i ? ? a ? 相切,则实数 a 的值为_______ ? ? n 0 四、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,其中第 16—19 小题每题 12 分,第 20 题 13 分, 第 21 题 14 分) 16. (本小题满分 12 分) ? 2? ? ] 上单调递减; 已知函数 f ( x ) ? sin ? x ( ? ? 0 ) 在区间 [0 , ] 上单调递增,在区间 [ ,
3
3 3

如图,四边形 O A C B 中, a , b , c 为 △ A B C 的内角 A, B, C 的对边,
4?

且满足

sin B ? sin C

? cos B ? cos C

?

3

.

sin A cos A (Ⅰ)证明: b ? c ? 2 a ; (Ⅱ)若 b ? c ,设 ? AOB ? ? , (0 ? ? ? ? ) ,
O A ? 2 O B ? 2 ,求四边形 O A C B 面积的最大值.

C

B

?
O

A

17.(本小题满分 12 分) 某商场共五层,从五层下到四层有 3 个出口,从三层下到二层有 4 个出口,从二层下到 一层有 4 个出口,从一层走出商场有 6 个出口。安全部门在每层安排了一名警员值班,负责 该层的安保工作。假设每名警员到该层各出口处的时间相等,某罪犯在五楼犯案后,欲逃出 商场,各警员同时接到指令,选择一个出口进行围堵。逃犯在每层选择出口是等可能的。已 知他被三楼警员抓获的概率为
1 9



(Ⅰ)问四层下到三层有几个出口? (Ⅱ)天网恢恢,疏而不漏,犯罪嫌疑人最终落入法网。设抓到逃犯时,他已下了 ? 层楼,写 出 ? 的分布列,并求 E ? 。

18. (本小题满分 12 分) 如图,直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直. A B ∥ C D , AB ? BC , AB ? 2 CD ? 2 BC , E A ? E B .
E

B C D

A

(Ⅰ)求直线 EC 与平面 A B E 所成角的正弦值; (Ⅱ)线段 EA 上是否存在点 F ,使 EC // 平面 FBD ?若存在,求出 理由. 19. (本小题满分 12 分)
? 已知 n ? N ,数列 ?d n ? 满足 d n ?

EF EA

;若不存在,说明

3 ? ( ? 1) 2

n

,数列 ?a n ? 满足 a n ? d 1 ? d 2 ? d 3 ? ? ? ? ? d 2 n ;

m n 又知数列 ?b n ? 中, b 1 ? 2 ,且对任意正整数 m , n , b n ? b m .

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 和数列 ?b n ? 的通项公式; (Ⅱ)将数列 ?b n ? 中的第 a 1 项,第 a 2 项,第 a 3 项, ……,第 a n 项,……删去后,剩余 . . . . 的项按从小到大的顺序排成新数列 ?c n ? ,求数列 ?c n ? 的前 2013 项和.

20.(本题满分 13 分) 如图,F1,F2 是离心率为 C:
x a
2 2

2 2

的椭圆
1 2

?

y b

2 2

?1

(a>b>0)的左、右焦点,直线 l :x=-

将线段 F1F2 分成两段,其长度之比

为 1 : 3.设 A,B 是 C 上的两个动点,线段 AB 的中点 M 在直线 l 上,线段 AB 的中垂线与 C 交于 P,Q 两点. (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 是否存在点 M,使以 PQ 为直径的圆经过点 F2,若存在,求出 M 点坐标,若不存在,请 y 说明理由.
P M A F1 O F2 x B

x=- 1 2

Q

第 20 题图

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? a ln ( x ? b ) , g ( x ) ? a e x ? 1 (其中 a ? 0 , b ? 0 ) ,且函数 点 A (0, f (0 )) 处的切线与函数 g ( x ) 的图象在点 B (0 , g (0 )) 处的切线重合. (Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)若 ? x 0 ,满足
x0 ? m g ( x0 ) ? 1 ? x0

f (x)

的图象在

,求实数 m 的取值范围;

2013 届高三模拟试卷 数学(理)试卷参考答案
一、选择题 1 题号 C 答案 二、填空题 11、
3 4?

2 D

3 C

4 B

5 C

6 C

7 D

8 B

9 A

10 C

12、 (

15 3

,

7)

13、 [1, 3]
1 2

14、①④ 三、解答题

15、A: m ? ?

;B: 2 或 ? 8

16.解: (Ⅰ)由题意知:
? sin B ? sin C sin A ?

2?

? 3 2 - cos B - cos C
cos A

?

4?

,解得: ? ?

3 2



………………………2 分

? sin B cos A ? sin C cos A ? 2 sin A - cos B sin A - cos C sin A ? sin B cos A ? cos B sin A ? sin C cos A ? cos C sin A ? 2 sin A

? sin ( A ? B ) ? sin ( A ? C ) ? 2 sin A ………………………………………4 分
? sin C ? sin B ? 2 sin A ?? b ? c ? 2 a ……………………………………6 分

(Ⅱ)因为 b ? c ? 2 a, b ? c ,所以 a ? b ? c ,所以 △ A B C 为等边三角形
S OACB ? S ?OAB ? S ?ABC ? 1 2
?
3

O A ? O B sin ? ?

3 4

AB

2

…………8 分

? sin ? -

3 cos ? ?

5 3 4

? 2 s in ( ? -

)?

5 3 4

,……………10 分

? ? ? (0 , ? ) ,? ? -

?
3

?(-

?

2? , ), 3 3
5? 6

当且仅当 ? -

?
3

?

?
2

, ? ? 即

时取最大值, S OACB 的最大值为 2 ?

5 3 4

………12 分

17.解: (1)设四层下到三层有 n 个出口,恰好被三楼的警员抓获,说明五层及四层的警员均 没有与他相遇。
? (1 ? 1 3 )( 1 ? 1 n )? 1 4 ? 1 9

,解得 n ? 3 ………………………3 分

(2) ? 可能取值为 0,1,2,3,4,5
p (? ? 0 ) ? 1 3 p ( ? ? 2 ) ? (1 ? 1 3 )( 1 ? 1 3 )? 1 4 , p ( ? ? 1) ? (1 ? 1 3 ? 1 9 )? 1 3 ? 2 9

p ( ? ? 3 ) ? (1 ? p ( ? ? 4 ) ? (1 ?

1 3 1

)( 1 ? )( 1 ?

1 3 1

)( 1 ? )( 1 ?

1 4 1

)?

1 4

? 1

1 12 )? 1 ? 1

)( 1 ?

3 3 4 4 6 24 1 2 1 1 1 5 p (? ? 5 ) ? 1 ? ? ? ? ? ? ………………………8 分 3 9 9 12 24 24

所以,分布列为

?
p

0
1 3

1
2 9

2
1 9

3
1 12

4
1 24

5
5 24

………………………………………………………………………………10 分
E? ? 0 ? 1 3 ? 1? 2 9 ? 2? 1 9 ? 3? 1 12 ? 4? 1 24 ? 5? 5 24 ? 137 72

………………………12 分

18.解: (1)解法 1:因为平面 ABE ? 平面 ABCD ,且 AB ? BC 所以 BC⊥平面 ABE ,则 ? CEB 即为直线 EC 与平面 A B E 所成的角………2 分 设 BC=a,则 AB=2a, BE ?
2 a ,所以 CE ?
CB CE ? 1 3
3a

则直角三角形 CBE 中, sin ? CEB ?

?

3 3

即直线 EC 与平面 A B E 所成角的正弦值为

3 3

. ………………………6 分

解法 2:因为平面 ABE ? 平面 ABCD ,且 EO ? AB , 所以 EO ? 平面 ABCD ,所以 EO ? OD . 由 OB , OD , OE 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz . 因为三角形 EAB 为等腰直角三角形,所以 OA ? OB ? OD ? OE ,设 OB ? 1 , 则 O (0, 0, 0 ), A ( ? 1, 0, 0 ), B (1, 0, 0 ), C (1,1, 0 ), D (0,1, 0 ), E (0, 0,1) . 所以 EC ? (1,1, ? 1) ,平面 A B E 的一个法向量为 O D ? (0 ,1, 0 ) .…………3 分 设直线 EC 与平面 A B E 所成的角为 ? ,
???? ???? ???? ???? | EC ?OD | 3 所以 s in ? ? | c o s ? E C , O D ? | ? ???? ???? ? , 3 | E C || O D |
????

即直线 EC 与平面 A B E 所成角的正弦值为
EF EA 1 3

3 3

. …………………………6 分

(2)存在点 F ,且

?

时,有 EC // 平面 FBD .

证明如下:由 EF ?

1 3

EA ? ( ?

1 3

,0 ,?

1 3

) , F (?

1 3

,0 ,

2 3

) ,所以 FB ? (

4 3

,0 ,?

2 3

).

???? ? v ? B D ? 0, ? 设平面 FBD 的法向量为 v ? ( a , b , c ) ,则有 ? ??? ? ?v ? FB ? 0. ?
? ? a ? b ? 0, ? 所以 ? 4 2 ? a ? z ? 0. 3 ?3

取 a ? 1 ,得 v ? (1,1, 2 ) .………………………………9 分

因为 EC ? v ? (1,1, ? 1) ? (1,1, 2 ) ? 0 ,且 EC ? 平面 FBD ,所以 EC // 平面 FBD . 即点 F 满足
EF EA ? 1 3

时,有 EC // 平面 FBD .……………………………………12 分
3 ? ( ? 1) 2
n

19.解:

? dn ?

,? a n ? d 1 ? d 2 ? d 3 ? ? ? ? ? d 2 n ?

3 ? 2n 2

? 3n

……………3 分

2 2 3 3 n n 又由题知:令 m ? 1 ,则 b 2 ? b1 ? 2 , b 3 ? b1 ? 2 ? b n ? b1 ? 2
n m nm n mn m n 若 b n ? 2 ,则 b n ? 2 , b m ? 2 ,所以 b n ? b m 恒成立 n n m n 若 b n ? 2 ,当 m ? 1 , b n ? b m 不成立,所以 b n ? 2

……………5 分

…………………………………6 分

(Ⅱ)由题知将数列 ?b n ? 中的第 3 项、第 6 项、第 9 项……删去后构成的新数列 ?c n ? 中的奇 数列与偶数列仍成等比数列,首项分别是 b1 ? 2 , b 2 ? 4 公比均是 8 , …………9 分
T 2 0 1 3 ? ( c1 ? c 3 ? c 5 ? ? ? ? ? c 2 0 1 3 ) ? ( c 2 ? c 4 ? c 6 ? ? ? ? ? c 2 0 1 2 )
? 2 ? (1 ? 8 1?8
1007

)

?

4 ? (1 ? 8 1?8

1006

)

?

20 ? 8

1006

?6

………………………………………12 分

7

c?

1 2 1 2

20.解:(Ⅰ) 设 F2(c,0),则
c?
x
2

= ,所以 c=1.因为离心率 e=
3

1

2 2

,所以 a= 2 .

所以椭圆 C 的方程为

? y

2

?1.

…………………………………………4 分
1 2

2

(Ⅱ) 当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 方程为 x=- 此时 P( ?
2

,……………………6 分

,0)、Q(

2

,0) , F 2 P ? F 2 Q ? ? 1 .不合;
1 2

???? ???? ? ?

当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设存在点 M(-

,m) (m≠0),直线 AB 的斜率为 k, A ( x1 , y 1 ) ,

B ( x 2 , y 2 ) .由

? ? ? ? ? ? ?

x1

2

2 x2 2
2

? y 1 ? 1,
2

得 ( x1 ? y 1 ) ? 2 ( x 2 ? y 2 ) ?
? y 2 ? 1,
2

y1 ? y 2 x1 ? x 2

? 0

,则 -1+4mk=0,

故 k= 即

1 4m

.此时,直线 PQ 斜率为 k 1 .

? ?4m

,PQ 的直线方程为 y

? m ? ?4m (x ?

1 2

)



y ? ?4mx ? m

? y ? ?4 mx ? m ? 联立 ? x 2 2 ? y ?1 ? ? 2

消去 y,整理得

(32 ? m
2

1x) ?
2

1m x ? 6
2

m ? 2
2

?. 0 2

所以 x1 ? x 2 ? ?

16m
2

2

32m ? 1
?

, x1 x 2 ?

2m ? 2
2

32m ? 1
2

.………………………………8 分

由题意 F 2 P ? F 2 Q
F2 P ? F2 Q ?
2

0,于是
x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? ( 4 mx 1 ? m )( 4 mx 2 ? m )
2

(x1-1)(x2-1)+y1y2 ?
2

? (1 ? 16 m ) x1 x 2 ? ( 4 m

? 1)( x1 ? x 2 ) ? 1 ? m

?

(1 ? 1 6 m )( 2 m ? 2 )
2 2

32m ? 1
2

?

( 4 m ? 1)( ? 1 6 m )
2 2

32m ? 1
2

?1? m

2

?

19m ? 1
2

32m ? 1
2

=0. ? m ? ?

19 19

因为 M 在椭圆内,? m ?
2

7 8

?m ? ?

19 19

符合条件;……………………12 分
1 2 19 19
a x?b
a b

综上,存在两点 M 符合条件,坐标为 M ( ? 21.解: (Ⅰ)∵ 则 则
f (x)

,?

) .……………………13 分

f ( x ) ? a ln ( x ? b )

,∴

f ?( x ) ?



在点 A (0, a ln b ) 处切线的斜率 k 在点 A (0, a ln b ) 处切线方程为 y
a e ? 1 ,∴ g ? ( x ) ? a e
x x

? f ?( 0 ) ?

,切点 A (0, a ln b ) , ,……………………2 分

f (x)

?

a b

x ? a ln b

又 g (x) ?


? g ? (0 ) ? a

则 g ( x ) 在点 B (0 , a 则 g ( x ) 在点 B (0 , a

? 1) ? 1)

处切线的斜率 k 处切线方程为 y

,切点 B (0 , a

? 1)

, 分 分

? a x ? a ? 1 ,…………………………4

?a ? ? a, 由?b ? a ln b ? a ? 1, ?

解得 a

? 1 , b ? 1 .…………………………………………6

(Ⅱ)由

x?m g ( x) ? 1
x?

?

x


x

x? m e
x

?

x

,故 m

? x?

x ?e

x

在 [0, ? ? ) 上有解,

令 h(x) ?

x ?e

,只需 m

? h ( x ) m ax

.……………………………………8 分

①当 x ②当 x

? 0

时, h ( x ) ?

x?

x ?e ? 0
x

,所以 m
x

? 0

;………………………………10 分
1 2 x
1 2 x ? x )e ?
x

? 0

时,∵ h ? ( x ) ? 1 ? (
2
1 2 x 1 2

e

x

? x

x ?e ) ?1? (

?

x )e

x



∵x

? 0

,∴

?

x ? 2

?

2

,ex

? 1 ,∴ (

2



故 h ?( x ) ? 1 ? (
2

1 x

?

x )e ? 0
x

,即函数 h ( x ) ?
? 0

x?

x ?e

x

在区间 [0, ? ? ) 上单调递减,

所以 h ( x ) m ax

? h (0 ) ? 0

,此时 m

.…………………………………………13 分

综合①②得实数 m 的取值范围是 ( ? ? , 0 ) .………………14 分


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