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【创新方案】2015高考数学(理)一轮突破热点题型:第7章 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质


第五节

直线、平面垂直的判定及其性质

高频考点

考点一

直线与平面垂直的判定与性质

1.直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容,题型多为解答题,难度适中, 属中档题. 2.高考对直线与平面垂直的判定与性质的考查常有以下几个命题角度: (1)同真假命题的判断相结合考查; (2)以多面体为载体,证明线面垂直问题; (3)以多面体为载体,考查与线面垂直有关的探索性问题. [例 1] (1)(2013· 浙江高考)设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面( ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m∥α,m∥β,则 α∥β C.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α D.若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β (2)(2013· 广东高考)如图 1,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 上 的点,AD=AE,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G.将△ABF 沿 AF 折起,得到如图 2 所 2 示的三棱锥 ABCF,其中 BC= . 2

①证明:DE∥平面 BCF; ②证明:CF⊥平面 ABF; 2 ③当 AD= 时,求三棱锥 FDEG 的体积 VFDEG. 3 [自主解答] (1)设直线 a?α,b?α,a∩b=A,

∵m⊥α,∴m⊥a,m⊥b.又 n∥m,∴n⊥a,n⊥b,∴n⊥α. (2)①证明:在等边三角形 ABC 中,AB=AC. AD AE ∵AD=AE,∴ = ,∴DE∥BC, DB EC ∴DG∥BF,又 BF?平面 BCF,DG?平面 BCF, ∴DG∥平面 BCF.同理可证 GE∥平面 BCF.

∵DG∩GE=G,∴平面 GDE∥平面 BCF, 又 DE?平面 GDE,∴DE∥平面 BCF. ②证明:在等边三角形 ABC 中,F 是 BC 的中点, 1 1 2 ∴AF⊥CF,∴BF=FC= BC= .在图 2 中,∵BC= ,∴BC2=BF2+FC2,∴∠BFC 2 2 2 =90° ,∴CF⊥BF.∵BF∩AF=F,BF?平面 ABF,AF?平面 ABF, ∴CF⊥平面 ABF. 2 1 ③∵AD= ,∴BD= ,AD∶DB=2∶1,在图 2 中,AF⊥FC,AF⊥BF, 3 3 又 BF∩FC=F,∴AF⊥平面 BCF,由①知平面 GDE∥平面 BCF,∴AF⊥平面 GDE. 3 3 1 3 2 2 1 1 在等边三角形 ABC 中,AF= AB= ,∴FG= AF= ,DG= BF= × = =GE, 2 2 3 6 3 3 2 3 1 1 1 3 ∴S△DGE= DG· EG= ,∴VFFG= . DGE= S△DGE· 2 18 3 324 [答案] (1)C 线面垂直问题的常见类型及解题策略 (1)与命题真假判断有关的问题.解决此类问题的方法是结合图形进行推理,或者依据 条件举出反例否定. (2)线面垂直的证明.证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线 面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. (3)线面垂直的探索性问题.此类问题的解决方法同“线面平行的探索性问题”的求解 方法(见本章第四节的[通关锦囊]). 如图 1 所示,在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一点,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如图 2 所示.

(1)求证:DE∥平面 A1CB; (2)求证:A1F⊥BE; (3)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由. 解:(1)证明:因为 D,E 分别为 AC,AB 的中点, 所以 DE∥BC. 又因为 DE?平面 A1CB,BC?平面 A1CB, 所以 DE∥平面 A1CB. (2)证明:由已知得 AC⊥BC 且 DE∥BC, 所以 DE⊥AC. 所以 DE⊥A1D,DE⊥CD. 又 A1D∩CD=D,A1D?平面 A1DC,CD?平面 A1DC, 所以 DE⊥平面 A1DC. 因为 A1F?平面 A1DC,所以 DE⊥A1F. 又因为 A1F⊥CD,CD∩DE=D,CD?平面 BCDE,DE?平面 BCDE,所以 A1F⊥平面 BCDE,

又 BE?平面 BCDE, 所以 A1F⊥BE. (3)线段 A1B 上存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ. 理由如下:

如图所示,分别取 A1C,A1B 的中点 P,Q,则 PQ∥BC. 又因为 DE∥BC,所以 DE∥PQ. 所以平面 DEQ 即为平面 DEP. 由(2)知,DE⊥平面 A1DC, 所以 DE⊥A1C. 又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点, 所以 A1C⊥DP. 又 DP∩DE=D,DP?平面 DEP,DE?平面 DEP, 所以 A1C⊥平面 DEP. 从而 A1C⊥平面 DEQ. 故线段 A1B 上存在点 Q,使得 A1C⊥平面 DEQ. 考点二 [例 2] (2014· 济南模拟) 面面垂直的判定与性质

如图,四棱锥 PABCD 中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N 分别为 PB,AB,BC,PD,PC 的中点.求证: (1)CE∥平面 PAD; (2)平面 EFG⊥平面 EMN. [自主解答] (1)法一:

取 PA 的中点 H,连接 EH,DH.因为 E 为 PB 的中点, 1 1 所以 EH∥AB,EH= AB.又 AB∥CD,CD= AB,所以 EH∥CD,EH=CD, 2 2 因此四边形 DCEH 是平行四边形.所以 CE∥DH. 又 DH?平面 PAD,CE?平面 PAD,所以 CE∥平面 PAD.

法二:连接 CF. 1 1 因为 F 为 AB 的中点,所以 AF= AB.又 CD= AB,所以 AF=CD. 2 2 又 AF∥CD,所以四边形 AFCD 为平行四边形.因此 CF∥AD. 又 CF?平面 PAD,AD?平面 PAD,所以 CF∥平面 PAD. 因为 E,F 分别为 PB,AB 的中点,所以 EF∥PA. 又 EF?平面 PAD,PA?平面 PAD,所以 EF∥平面 PAD. 因为 CF∩EF=F,故平面 CEF∥平面 PAD. 又 CE?平面 CEF,所以 CE∥平面 PAD. (2)因为 E,F 分别为 PB,AB 的中点,所以 EF∥PA. 又 AB⊥PA,所以 AB⊥EF.同理可证 AB⊥FG. 又 EF∩FG=F,EF?平面 EFG,FG?平面 EFG,因此 AB⊥平面 EFG. 又 M,N 分别为 PD,PC 的中点,所以 MN∥CD. 又 AB∥CD,所以 MN∥AB,所以 MN⊥平面 EFG. 又 MN?平面 EMN,所以平面 EFG⊥平面 EMN. 【互动探究】 在本例条件下,证明:平面 EMN⊥平面 PAC. 证明:因为 AB⊥PA,AB⊥AC,且 PA∩AC=A,所以 AB⊥平面 PAC. 又 MN∥CD,CD∥AB,所以 MN∥AB,所以 MN⊥平面 PAC. 又 MN?平面 EMN,所以平面 EMN⊥平面 PAC. 【方法规律】 面面垂直的性质应用技巧 (1)两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.这是把面面垂 直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”. (2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,那么它们的交线也垂直于第三个平面,此性 质是在课本习题中出现的,在不是很复杂的题目中,要对此进行证明.

如图所示,三棱柱 ABCA1B1C1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABC,且各棱长均相等,D,E,F 分别为棱 AB,BC,A1C1 的中点.求证: (1)EF∥平面 A1CD; (2)平面 A1CD⊥平面 A1ABB1. 证明:(1)如图所示,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,AC∥A1C1,

且 AC=A1C1,连接 ED,在△ABC 中,因为 D,E 分别为 AB,BC 的中点,

1 所以 DE= AC,且 DE∥AC. 2 1 1 又 F 为 A1C1 的中点,所以 A1F= A1C= AC,且 A1F∥A1C1∥AC,所以 A1F=DE,且 2 2 A1F∥DE,即四边形 A1DEF 为平行四边形,所以 EF∥DA1. 又 EF?平面 A1CD,DA1?平面 A1CD,所以 EF∥平面 A1CD. (2)由于底面 ABC 是正三角形,D 为 AB 的中点, 故 CD⊥AB,又侧棱 A1A⊥底面 ABC,CD?平面 ABC,所以 AA1⊥CD, 又 AA1∩AB=A,因此 CD⊥平面 A1ABB1, 而 CD?平面 A1CD,所以平面 A1CD⊥平面 A1ABB1. 考点三 [例 3] 垂直关系的综合应用

如图所示,在四棱锥 PABCD 中,AB⊥平面 PAD,AB∥CD,PD=AD,E 是 1 PB 的中点,F 是 DC 上的点且 DF= AB,PH 为△PAD 中 AD 边上的高. 2

(1)证明:PH⊥平面 ABCD; (2)若 PH=1,AD= 2,FC=1,求三棱锥 EBCF 的体积; (3)证明:EF⊥平面 PAB. [自主解答] (1)证明:由于 AB⊥平面 PAD,PH?平面 PAD,故 AB⊥PH. 又∵PH 为△PAD 中 AD 边上的高,∴AD⊥PH. ∵AB∩AD=A,AB?平面 ABCD,AD?平面 ABCD,∴PH⊥平面 ABCD. 1 (2)由于 PH⊥平面 ABCD,E 为 PB 的中点,PH=1,故 E 到平面 ABCD 的距离 h= PH 2 1 1 1 2 = .又∵AB∥CD,AB⊥AD,∴AD⊥CD,故 S△BCF= · FC· AD= ×1× 2= . 2 2 2 2 1 1 2 1 2 因此 VEh= × × = . BCF= S△BCF· 3 3 2 2 12 (3)证明:

过 E 作 EG∥AB 交 PA 于 G,连接 DG.由于 E 为 PB 的中点,所以 G 为 PA 的中点. ∵AD=PD,∴DG⊥PA.∵AB⊥平面 PAD,DG? 平面 PAD,∴AB⊥DG. 又∵AB∩PA=A,AB? 平面 PAB,PA? 平面 PAB,∴DG⊥平面 PAB. 1 1 1 1 又∵GE∥ AB,GE= AB,DF∥ AB,DF= AB∴GE∥DF. GE=DF. 2 2 2 2 ∴四边形 DFEG 为平行四边形,故 DG∥EF.∴EF⊥平面 PAB. 【方法规律】 垂直关系综合题的类型及解法 (1)三种垂直的综合问题.一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.

(2)垂直与平行结合问题.求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. (3)垂直与体积结合问题.在求体积时,可根据线面垂直得到表示高的线段,进而求得 体积. 如图所示,在直三棱柱 ABC A1B1C1 中(侧棱垂直于底面的三棱柱叫直三棱柱),AB= BB1,AC1⊥平面 A1BD,D 为 AC 的中点.求证:

(1)B1C∥平面 A1BD; (2)B1C1⊥平面 ABB1A1. 证明:

(1)如图所示,连接 AB1,交 A1B 于点 O,则 O 为 AB1 的中点.连接 OD, ∵D 为 AC 的中点, ∴在△ACB1 中, 有 OD∥B1C.又∵OD?平面 A1BD, B1C?平面 A1BD. ∴B1C∥平面 A1BD. (2)∵AB=B1B,三棱柱 ABCA1B1C1 为直三棱柱,∴四边形 ABB1A1 为正方形. ∴A1B⊥AB1.又∵AC1⊥平面 A1BD,A1B?平面 A1BD,∴AC1⊥A1B. 又∵AC1?平面 AB1C1,AB1?平面 AB1C1,AC1∩AB1=A,∴A1B⊥平面 AB1C1. 又∵B1C1?平面 AB1C1,∴A1B⊥B1C1. 又∵A1A⊥平面 A1B1C1,B1C1?平面 A1B1C1,∴A1A⊥B1C1. 又∵A1A?平面 ABB1A1,A1B?平面 ABB1A1,A1A∩A1B=A1, ∴B1C1⊥平面 ABB1A1. 考点四 线面角、二面角的求法

[例 4] (2014· 杭州模拟)在几何体中,AA1⊥平面 ABC,AB⊥BC,CC1∥AA1,AB=BC= AA1=2,CC1=1,D,E 分别是 AB,AA1 的中点. (1)求证:BC1∥平面 CDE; (2)求二面角 EDCA 的正切值.

[自主解答] (1)证明:连接 AC1 交 EC 于点 F,连接 EC1,由题意知四边形 ACC1E 是矩 形,则 F 是 AC1 的中点,连接 DF,

∵D 是 AB 的中点, ∴DF 是△ABC1 的中位线, ∴BC1∥DF, ∵BC1?平面 CDE,DF?平面 CDE, ∴BC1∥平面 CDE.

(2)过点 A 作 AH⊥直线 CD,垂足为 H,连接 HE, ∵AA1⊥平面 ABC,∴AA1⊥CD, 又 AH∩AA1=A,AH,AA1?平面 AHE, ∴CD⊥平面 AHE,∴CD⊥EH, ∴∠AHE 是二面角 EDCA 的平面角. ∵D 是 AB 的中点, ∴AH 等于点 B 到 CD 的距离, 2 5 2 5 在△BCD 中,求得点 B 到 CD 的距离为 ,则 AH= . 5 5 AE 5 在△AEH 中,tan ∠AHE= = , AH 2 即所求二面角的正切值为 5 . 2

【方法规律】 1.求斜线与平面所成的角的步骤 (1)作图:作(或找)出斜线在平面上的射影,将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面 角(两条相交直线所成的锐角), 作射影要过斜线上一点作平面的垂线, 再过垂足和斜足(有时 可以是两垂足)作直线,注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关,才能 便于计算. (2)证明:证明某平面角就是斜线与平面所成的角. (3)计算:通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算. 2.求二面角的步骤 (1)作出二面角的平面角; (2)证明该角就是二面角的平面角; (3)计算该角的大小. 以上 3 步简记为作、证、算. 3.作二面角平面角的方法 法一:(定义法)在二面角的棱上找一特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线. 如图①,∠AOB 为二面角 αaβ 的平面角.

法二: (垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面, 该平面与二面角的两个半角平面产生交线, 这两条交线所成的角,即为二面角的平面角. 如图②,∠AOB 为二面角 αlβ 的平面角. 法三:(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利 用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角. 如图③,∠AFE 为二面角 ABCD 的平面角.

(2012· 广东高考) 如图所示,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥平面 BDE. (1)证明:BD⊥平面 PAC; (2)若 PA=1,AD=2,求二面角 BPCA 的正切值.

解:(1)证明:∵PA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD, ∴PA⊥BD.同理由 PC⊥平面 BDE 可证得 PC⊥BD. 又∵PA∩PC=P,PA,PC?平面 PAC, ∴BD⊥平面 PAC. (2)如图,设 BD 与 AC 交于点 O,连接 OE. ∵PC⊥平面 BDE,BE、OE?平面 BDE, ∴PC⊥BE,PC⊥OE. ∴∠BEO 即为二面角 BPCA 的平面角.

由(1)知 BD⊥平面 PAC. 又∵OE、AC?平面 PAC, ∴BD⊥OE,BD⊥AC. 故矩形 ABCD 为正方形,

∴BD=AC=2 2, 1 BO= BD= 2. 2 由 PA⊥平面 ABCD,BC?平面 ABCD,得 PA⊥BC. 又∵BC⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB? 平面 PAB, ∴BC⊥平面 PAB. 而 PB?平面 PAB,∴BC⊥PB. 在 Rt△ PAB 中,PB= PA2 ? AB2 = 5, 在 Rt△ PAC 中,PC= PA2 ? AC 2 =3, 2 5 在 Rt△ PBC 中,由 PB·BC=PC·BE,得 BE= . 3 2 在 Rt△ BOE 中,OE= BE 2 ? EO2 = . 3 BO ∴tan ∠BEO= =3, OE 即二面角 B-PC-A 的正切值为 3.

————————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 1 个转化——三种垂直关系的转化 判定 线线垂直
判定 性质

线面垂直

判定 性质

面面垂直

性质 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线, 若图中不存在这样的直 线,则可通过作辅助线来解决.如有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线 的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直. 3 种方法——三种垂直关系的证明 (1)判定线线垂直的方法 ①定义:两条直线所成的角为 90° ; ②平面几何中证明线线垂直的方法; ③线面垂直的性质:a⊥α,b?α?a⊥b; ④线面垂直的性质:a⊥α,b∥α?a⊥b. (2)判定线面垂直的常用方法 ①利用线面垂直的判定定理; ②利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”; ③利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个,则与另一个也垂直”; ④利用面面垂直的性质. (3)判定面面垂直的方法 ①利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角; ②判定定理:a?α,a⊥β?α⊥β.


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