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三年高考两年模拟——数学等差数列、等比数列的概念及求和


第六章
第一节

数列

等差数列、 等差数列、等比数列的概念及求和 第一部分 三年高考体题荟萃 2010 2010 年高考题

一、选择题 1.( 浙江理) (3)设 Sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 + a5 = 0 ,则 1.(2010 浙江理) (A)11 (B)5 (C) ?8 (D) ?11

S5 = S2

解析:通过 8a2 + a5 = 0 ,设公比为 q ,将该式转化为 8a 2 + a 2 q 3 = 0 ,解得 q =-2,带入 所求式可知答案选 D, 本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式, 属中档题 ( ( .如果等差数列 {an } 中, 3 + a4 + a5 = 12 , a 那么 a1 + a2 + ... + a7 = 2. 2010 全国卷 2 理)4) (A)14 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】 a3 + a4 + a5 = 3a4 = 12, a4 = 4,∴ a1 + a2 + L + a7 = (B)21 (C)28 (D)35

7( a1 + a7 ) = 7 a4 = 28 2

3.( ( 辽宁文) (3) Sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 设 已知 3S3 = a4 ? 2 ,3S 2 = a3 ? 2 , 3. 2010 辽宁文) 则公比 q = (A)3 【答案】 B 解析:选 B. 两式相减得, 3a3 = a4 ? a3 , a4 = 4a3 ,∴ q = (B)4 (C)5 (D)6

a4 = 4. a3

4. 2010 辽宁理)6) n}是有正数组成的等比数列, n 为其前 n 项和。 ( 辽宁理) 设{a ( S 已知 a2a4=1, S3 = 7 , 则 S5 = (A) 【答案】B
1

15 2

(B)

31 4

(C)

33 4

(D)

17 2

【命题立意】 本题考查了等比数列的通项公式与前 n 项和公式, 考查了同学们解决问题的能 力。 【解析】由 a2a4=1 可得 a1 q = 1 ,因此 a1 =
2 4

1 2 ,又因为 S3 = a1 (1 + q + q ) = 7 ,联力两式 2 q
4 ? (1 ? 1 ) 25 = 31 ,故选 B。 1 4 1? 2

有 ( + 3)( ? 2) = 0 ,所以 q=

1 q

1 q

1 ,所以 S5 = 2

5.( ? 5.(2010 全国卷 2 文)(6)如果等差数列 {an } 中, a3 + a4 + a5 =12,那么 a1 + a2 +?…+ a7 = (A)14 【答案】C C 【解析】本题考查了数列的基础知识。 解析】本题考查了数列的基础知识。 (B) 21 (C) 28 (D) 35

1 a1 + a2 + L + a7 = × 7 × (a1 + a7 ) = 7 a4 = 28 a + a4 + a5 = 12 a =4 2 ∵ 3 ,∴ 4
6.( 安徽文) 6.(2010 安徽文)(5)设数列 {an } 的前 n 项和 S n = n ,则 a8 的值为
2

(A) 15 【答案】 A

(B)

16

(C)

49

(D)64

【解析】 a8 = S8 ? S 7 = 64 ? 49 = 15 . 【方法技巧】直接根据 an = S n ? S n ?1 ( n ≥ 2) 即可得出结论. 7.( 浙江文) 7.(2010 浙江文)(5)设 sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 + a5 = 0 则 (A)-11 (C)5 (B)-8 (D)11

S5 = S2

3 解析:通过 8a2 + a5 = 0 ,设公比为 q ,将该式转化为 8a 2 + a 2 q = 0 ,解得 q =-2,带入

所求式可知答案选 A, 本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式 8.( 重庆理) (1)在等比数列 {an } 中, a2010 = 8a2007 ,则公比 q 的值为 8.(2010 重庆理) A. 2 【答案】A B. 3 C. 4 D. 8

2

解析:

a 2010 =q 3 = 8 a 2007

∴q = 2

9.( 广东理) 9.(2010 广东理)4. 已知 {an } 为等比数列,Sn 是它的前 n 项和。若 a2 ? a3 = 2a1 , 且 a4 与 2 a7 的等差中项为 A.35 【答案】C 解析: an }的公比为 q , 设{ 则由等比数列的性质知,a2 ? a3 = a1 ? a4 = 2a1 , a4 = 2 。 a4 即 由 与 2 a7 的等差中项为 ∴q =
3

5 ,则 S5 = 4
B.33 C.31 D.29

5 5 1 5 1 5 1 知, a4 + 2a7 = 2 × ,即 a7 = (2 × ? a4 ) = (2 × ? 2) = . 4 4 2 4 2 4 4

a7 1 1 1 = ,即 q = . a4 = a1q 3 = a1 × = 2 ,即 a1 = 16 . a4 8 2 8

10.( 广东文) 10.(2010 广东文)

11.(2010 山东理) 11.(2010 山东理)

3

12.( 重庆文) (2)在等差数列 {an } 中, a1 + a9 = 10 ,则 a5 的值为 12.(2010 重庆文) (A)5 (C)8 【答案】 A 解析:由角标性质得 a1 + a9 = 2a5 ,所以 a5 =5 二、填空题 (14)设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S3 = 3,S6 = 24 ,则 1. ( 2010 辽宁 文 ) (B)6 (D)10

a9 =



解析:填 15.

3× 2 ? ? S3 = 3a1 + 2 d = 3 ? a = ?1 ? ,解得 ? 1 ,∴ a9 = a1 + 8d = 15. ? 6×5 ?d = 2 ? S = 6a + d = 24 1 ? 6 2 ?

2.( 福建理) 2.(2010 福建理)11.在等比数列 {a n } 中,若公比 q=4 ,且前 3 项之和等于 21,则该数列的 通项公式 an = 【答案】 4n-1 【解析】由题意知 a1 + 4a1 + 16a1 = 21 ,解得 a1 = 1 ,所以通项 an = 4n-1 。 【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用,属基础题。 3. 2010 江苏卷) 函数 y=x (x>0)的图像在点(ak,ak )处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k ( 江苏卷) 8、 为正整数,a1=16,则 a1+a3+a5=_________ 解析:考查函数的切线方程、数列的通项。
4
2



2

在点(ak,ak )处的切线方程为: y ? ak = 2ak ( x ? ak ), 当 y = 0 时,解得 x =
2

2

ak , 2

所以 ak +1 = 三、解答题

ak , a1 + a3 + a5 = 16 + 4 + 1 = 21 。 2

1.( 上海文)21.(本题满分 个小题, 1.(2010 上海文)21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第一个小题满分 6 分,第 2 个 小题满分 8 分。 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S n = n ? 5a n ?85 , n ∈ N (1)证明: {an ? 1} 是等比数列; (2)求数列 {S n } 的通项公式,并求出使得 S n +1 > S n 成立的最小正整数 n .
5 解析:(1) 当 n=1 时,a1=?14;当 n≥2 时,an=Sn?Sn?1=?5an+5an?1+1,所以 an ? 1 = (an ?1 ? 1) , 6
*

又 a1?1=?15≠0,所以数列{an?1}是等比数列;
?5? (2) 由(1)知: an ? 1 = ?15 ? ? ? ?6? ?5? Sn = 75 ? ? ? ?6?
n ?1 n ?1

?5? ,得 an = 1 ? 15 ? ? ? ?6?

n ?1

,从而

+ n ? 90 (n∈N*);
n?1

?5? 由 Sn+1>Sn,得 ? ? ?6?

<

2 2 , n > log 5 + 1 ≈ 14.9 ,最小正整数 n=15. 5 6 25

2.( 陕西文) 2.(2010 陕西文)16.(本小题满分 12 分) 已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项; 解 (Ⅱ)求数列{2 }的前 n 项和 Sn.
an

(Ⅰ)由题设知公差 d≠0,

由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 解得 d=1,d=0(舍去) , (Ⅱ)由(Ⅰ)知 2
2 3 n

1 + 2d 1 + 8d = , 1 1 + 2d

故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n.

am

=2 ,由等比数列前 n 项和公式得

n

2(1 ? 2 n ) n+1 Sm=2+2 +2 +…+2 = =2 -2. 1? 2
3.( (18) (本小题满分 12 分) 3.(2010 全国卷 2 文) 已知 {an } 是各项均为正数的等比数列,且
5

a1 + a2 = 2(

1 1 1 1 1 + ) , a3 + a4 + a5 = 64( + + ) a1 a2 a3 a4 a5

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn = ( an +

1 2 ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 an

【解析】本题考查了数列通项、前 n 项和及方程与方程组的基础知识。 (1)设出公比根据条件列出关于

a1

与 d 的方程求得

a1

与 d ,可求得数列的通项公式。

(2)由(1)中求得数列通项公式,可求出 BN 的通项公式,由其通项公式化可知其和可分 成两个等比数列分别求和即可求得。 4.( 江西理) 4.(2010 江西理)22. (本小题满分 14 分) 证明以下命题: (1) 对任一正整 a,都存在整数 b,c(b<c),使得 a ,b ,c 成等差数列。
2 2 2

(2) 存在无穷多个互不相似的三角形△ n ,其边长 an,bn,cn 为正整数且 an ,bn ,cn
2 2

2

成等差数列。 【解析】作为压轴题,考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 (1)考虑到结构要证 a + c = 2b , ;类似勾股数进行拼凑。
2 2 2

证明:考虑到结构特征,取特值 12 , 52 , 7 2 满足等差数列,只需取 b=5a,c=7a,对一切正整 数 a 均能成立。 结合第一问的特征, 将等差数列分解, 通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角 形,再证明互不相似,且无穷。 证明:当 an,bn ,cn 成等差数列,则 bn ? an = cn ? bn ,
2 2 2 2 2 2 2

分解得: (bn + an )(bn ? an ) = (cn + bn )(cn ? bn ) 选取关于 n 的一个多项式, 4n( n 2 ? 1) 做两种途径的分解

4n(n 2 ? 1) = (2n ? 2)(2n 2 + 2n) = (2n 2 ? 2n)(2n + 2) 4n(n 2 ? 1)

6

? an = n 2 ? 2 n ? 1 ? 2 对比目标式,构造 ? bn = n + 1 ( n ≥ 4) ,由第一问结论得,等差数列成立, ? c = n 2 + 2n ? 1 ? n
考察三角形边长关系,可构成三角形的三边。 下证互不相似。 任取正整数 m,n,若△m,△ n 相似:则三边对应成比例

m 2 ? 2m ? 1 m 2 + 1 m 2 + 2m ? 1 = = , n 2 ? 2n ? 1 n 2 + 1 n 2 + 2n ? 1
由比例的性质得:

m ?1 m + 1 = ? m = n ,与约定不同的值矛盾,故互不相似。 n ?1 n + 1

5.( 安徽文) (21) (本小题满分 13 分) 5.(2010 安徽文) 设 C1 , C2 ,L , Cn ,L 是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在 x 轴的正半轴上,且都与直线

y=

3 x 相切, 对每一个正整数 n ,圆 Cn 都与圆 Cn +1 相互 3

外切,以 rn 表示 Cn 的半径,已知 {rn } 为递增数列. (Ⅰ)证明: {rn } 为等比数列; (Ⅱ)设 r1 = 1 ,求数列 { } 的前 n 项和. 【命题意图】本题考查等比列的基本知识,利用错位相减法求和等基本方法,考察抽象概括 能力以及推理论证能力. 【解题指导】 (1)求直线倾斜角的正弦,设 Cn 的圆心为 (λn , 0) ,得 λn = 2rn ,同理得

n rn

λn +1 = 2rn+1 , 结合两圆相切得圆心距与半径间的关系, 得两圆半径之间的关系, {rn } 中 rn +1 即
与 rn 的关系,证明 {rn } 为等比数列; (2)利用(1)的结论求 {rn } 的通项公式,代入数列 然后用错位相减法求和.

n , rn

7

3 3 1 , sin θ = , x的倾斜角记为,则有tanθ = 3 3 2 r 1 设Cn的圆心为(λn,0),则由题意得知 n = ,得λn = 2rn;同理 λn 2 解:(1)将直线y=

λn+1 = 2rn+1,从而λn+1 = λn + rn + rn+1 = 2rn+1,将λn = 2rn 代入,
解得rn+1 = 3rn 故 rn 为公比q = 3的等比数列。 (∏)由于rn = 1,q = 3,故rn = 3n ?1,从而 记Sn = n 1 2 + + ..... + , 则有 r1 r2 rn n = n *31? n , rn

Sn = 1 + 2*3?1 + 3*3?2 + ......n *31? n Sn = 1*3?1 + 2*3?2 + ...... + (n ? 1)*31? n + n *3? n 3 ① ? ②,得 2Sn = 1 + 3?1 + 3?2 + ... + 31? n ? n *3? n 3 1 ? 3? n 3 3 = ? n *3? n = ? (n + )*3? n , 2 2 2 3 9 1 3 9 ? (2n + 3)*31? n ∴ S n = ? (n + ) *31? n = 4 2 2 4
【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题,通常利用几何知识,并结合图形,得出关 于数列相邻项 an 与 an +1 之间的关系,然后根据这个递推关系,结合所求内容变形,得出通 项公式或其他所求结论.对于数列求和问题,若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成 的数列时,通常是利用前 n 项和 Sn 乘以公比,然后错位相减解决. 6.( 重庆文) (16) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 6.(2010 重庆文) 已知 {an } 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, Sn 为 {an } 的前 n 项和. (Ⅰ)求通项 an 及 Sn ; (Ⅱ) {bn ? an } 是首项为 1, 设 公比为 3 的等比数列, 求数列 {bn } 的通项公式及其前 n 项和 Tn .

8

7.( 浙江文) (19) (本题满分 14 分)设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数 7.(2010 浙江文) 列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 S5 S6 +15=0。 (Ⅰ)若 S5 =5,求 S6 及 a1; (Ⅱ)求 d 的取值范围。

8.( 北京文) (16) (本小题共 13 分) 8.(2010 北京文) 已知 | an | 为等差数列,且 a3 = ?6 , a6 = 0 。 (Ⅰ)求 | an | 的通项公式; (Ⅱ)若等差数列 | bn | 满足 b1 = ?8 , b2 = a1 + a2 + a3 ,求 | bn | 的前 n 项和公式 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d 。 因为 a3 = ?6, a6 = 0

9

所以 ?

?a1 + 2d = ?6 ?a1 + 5d = 0

解得 a1 = ?10, d = 2

所以 an = ?10 + ( n ? 1) ? 2 = 2n ? 12 (Ⅱ)设等比数列 {bn } 的公比为 q 因为 b2 = a1 + a 2 + a3 = ?24, b = ?8 所以 ?8q = ?24 即 q =3

所以 {bn } 的前 n 项和公式为 S n =

b1 (1 ? q n ) = 4(1 ? 3n ) 1? q

9.( 四川理) (21) (本小题满分 12 分) 9.(2010 四川理) 已知数列{an}满足 a1=0,a2=2,且对任意 m、n∈N 都有
*

a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2
(Ⅰ)求 a3,a5; (Ⅱ)设 bn=a2n+1-a2n-1(n∈N ),证明:{bn}是等差数列; (Ⅲ)设 cn=(an+1-an)q
n-1
*

(q≠0,n∈N ),求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

*

本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想,以及推理论证、分析与解决 问题的能力. 解:(1)由题意,零 m=2,n-1,可得 a3=2a2-a1+2=6 再令 m=3,n=1,可得 a5=2a3-a1+8=20………………………………2 分 (2)当 n∈N 时,由已知(以 n+2 代替 m)可得
*

a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8
于是[a2(n+1)+1-a2(n+1)-1]-(a2n+1-a2n-1)=8 即

bn+1-bn=8

所以{bn}是公差为 8 的等差数列………………………………………………5 分 (3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为 b1=a3-a1=6,公差为 8 的等差数列 则 bn=8n-2,即 a2n+=1-a2n-1=8n-2 另由已知(令 m=1)可得

a n=

a2 n +1 + a1 2 -(n-1) . 2

10

那么 an+1-an=

a2 n +1 + a2 n ?1 -2n+1 2 8n ? 2 -2n+1 = 2
=2n
n-1

于是 cn=2nq

.

当 q=1 时,Sn=2+4+6+……+2n=n(n+1) 当 q≠1 时,Sn=2·q +4·q +6·q +……+2n·q 两边同乘以 q,可得
0 1 2

n-1

.

qSn=2·q1+4·q2+6·q3+……+2n·qn.
上述两式相减得 (1-q)Sn=2(1+q+q +……+q
2

n-1

)-2nq

n

1 ? qn n =2· -2nq 1? q
=2·

1 ? (n + 1)q n + nq n +1 1? q

所以 Sn=2·

nq n +1 ? (n + 1)q n + 1 (q ? 1) 2

?n(n + 1) (q = 1) ? …………………………12 分 综上所述,Sn= ? nq n +1 ? ( n + 1) q n + 1 (q ≠ 1) 2 ?2 (q ? 1) ?

10.(2010 全国卷 1 理) 10.( (22)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) (注意: ......... 已知数列 {an } 中, a1 = 1, an +1 = c ?

1 . an

(Ⅰ)设 c =

5 1 , bn = ,求数列 {bn } 的通项公式; 2 an ? 2

(Ⅱ)求使不等式 an < an +1 < 3 成立的 c 的取值范围 .

11

11.( 山东理) (18) (本小题满分 12 分) 11.(2010 山东理) 已知等差数列 {an } 满足: a3 = 7 , a5 + a7 = 26 , {an } 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn=

1 * (n ∈ N ),求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

【解析】 (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d,因为 a3 = 7 , a5 + a7 = 26 ,所以有

?a1 + 2d = 7 ,解得 a1 = 3,d = 2 , ? ?2a1 + 10d = 26
所以 an = 3 + (n ? 1)=2n+1 ; Sn = 3n+ 2

n(n-1) × 2 = n 2 +2n 。 2

12

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an = 2n+1 ,所以 bn=

1 1 1 1 1 1 1 = = ? = ?( ), 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

所以 Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? (1- + ? + L + ) = ? (1)= , 4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4(n+1) n 。 4(n+1)

即数列 {bn } 的前 n 项和 Tn =

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟 练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。

2009 年高考题

一、选择题 1.(2009 年广东卷文)已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 = A.
2

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2

【答案】B 【解析】设公比为 q ,由已知得 a1q 2 ? a1q 8 = 2 a1q 4 比为正数,所以 q =

(

) ,即 q
2

2

= 2 ,又因为等比数列 {an } 的公

2 ,故 a1 =

a2 1 2 ,选 B = = q 2 2
,则 等

2.(2009 安徽卷文)已知 于 A. -1 B. 1

为等差数列,

C. 3

D.7

【解析】∵ a1 + a3 + a5 = 105 即 3a3 = 105 ∴ a3 = 35 同理可得 a4 = 33 ∴公差 d = a4 ? a3 = ?2 ∴
a20 = a4 + (20 ? 4) × d = 1 .选 B。

【答案】B 3.(2009 江西卷文)公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a4 是 a3与a7 的等比中 项, S8 = 32 ,则 S10 等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90

【答案】C
13

【 解 析 】 由 a4 = a3 a7 得 ( a1 + 3d ) = ( a1 + 2d )( a1 + 6d ) 得 2a1 + 3d = 0 , 再 由
2 2

56 d = 32 得 2 90 S10 = 10a1 + d = 60 ,.故选 C 2 S8 = 8a1 +

2a1 + 7 d = 8 则 d = 2, a1 = ?3 , 所 以

4.(2009 湖南卷文)设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,已知 a2 = 3 , a6 = 11 ,则 S7 等于 ( ) B.35 C.49 D. 63

A.13 【解析】 S7 = 或由 ?

7(a1 + a7 ) 7(a2 + a6 ) 7(3 + 11) = = = 49. 故选 C. 2 2 2

?a2 = a1 + d = 3 ?a = 1 ?? 1 , a7 = 1 + 6 × 2 = 13. ?a6 = a1 + 5d = 11 ?d = 2

7(a1 + a7 ) 7(1 + 13) = = 49. 故选 C. 2 2 5.(2009 福建卷理)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于
所以 S7 = A.1 【答案】 :C [解析]∵ S3 = 6 = B

5 3

C.- 2

D 3

3 (a1 + a3 ) 且 a3 = a1 + 2d a1 =4 ∴ d=2 .故选 C 2

6.(2009 辽宁卷文)已知 {an } 为等差数列,且 a7 -2 a4 =-1, a3 =0,则公差 d= A.-2 B.-

1 2

C.

1 2

D.2

【解析】a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1 ? d=- 【答案】B

1 2

7.(2009 四川卷文)等差数列{ a n }的公差不为零,首项 a1 =1, a2 是 a1 和 a5 的等比中 项,则数列的前 10 项之和是 A. 90 【答案】B 答案】
2 【解析】设公差为 d ,则 (1 + d ) = 1 ? (1 + 4d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S10 =100 解析】

B. 100

C. 145

D. 190

8.(2009 宁夏海南卷文)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 am ?1 + am +1 ? am = 0 ,
2

14

S 2 m ?1 = 38 ,则 m =
A.38 【答案】C 【解析】 因为 {an } 是等差数列, 所以,am ?1 + am +1 = 2am , am ?1 + am +1 ? am = 0 , 由 得: a m 2
2

B.20

C.10

D.9

- a m =0,所以, a m =2,又 S 2 m ?1 = 38 ,即
2

(2m ? 1)(a1 + a 2 m ?1 ) =38,即(2m-1)×2 2

=38,解得 m=10,故选.C。 9..(2009 重庆卷文)设 {an } 是公差不为 0 的等差数列, a1 = 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列,则

{an } 的前 n 项和 Sn =(
A.



n 2 7n + 4 4

B.

n 2 5n + 3 3

C.

n 2 3n + 2 4

D. n + n
2

【答案】A 【解析】设数列 {an } 的公差为 d ,则根据题意得 (2 + 2d )2 = 2 ? (2 + 5d ) ,解得 d =

1 或 2

d = 0 (舍去) ,所以数列 {an } 的前 n 项和 S n = 2n +
二、填空题

n(n ? 1) 1 n 2 7 n × = + 2 2 4 4

10.(2009 全国卷Ⅰ理) 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 = 72 ,则 a2 + a4 + a9 = 答案 24 解析

Q{an } 是等差数列,由 S9 = 72 ,得∴ S9 = 9a5 , a5 = 8

∴ a2 + a4 + a9 = (a2 + a9 ) + a4 = (a5 + a6 ) + a4 = 3a5 = 24 .
11.(2009 浙江理)设等比数列 {an } 的公比 q = 答案:15

1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 = 2 a4



a1 (1 ? q 4 ) s4 1 ? q4 3 解析 对于 s4 = , a4 = a1q ,∴ = 3 = 15 a4 q (1 ? q ) 1? q
12.(2009 北京文)若数列 {an } 满足: a1 = 1, an +1 = 2an ( n ∈ N ) ,则 a5 = 前 8 项的和 S8 = .(用数字作答)
15
?



答案 225 .解析 本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题. 属于基础知识、基本运

算的考查.

a1 = 1, a2 = 2a1 = 2, a3 = 2a2 4, a4 = 2a3 = 8, a5 = 2a4 = 16 ,
易知 S8 =

28 ? 1 = 255 ,∴应填 255. 2 ?1
×

13. 2009 全国卷Ⅱ文) ( 设等比数列{ a n }的前 n 项和为 s n 。 a1 = 1, s 6 = 4 s 3 , a 4 = 若 则 答案:3 : 解析:本题考查等比数列的性质及求和运算,由 a1 = 1, s 6 = 4 s 3 得 q =3 故 a4=a1q =3
3 3

14.(2009 全国卷Ⅱ理)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a5 = 5a3 则 解析 Q{an } 为等差数列,∴ 答案 9

S9 = S5

S9 9a5 = =9 S5 5a3

15.(2009 辽宁卷理)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 6 S5 ? 5S3 = 5, 则 a4 = 解析 ∵Sn=na1+ n(n-1)d ∴S5=5a1+10d,S3=3a1+3d ∴6S5-5S3=30a1+60d-(15a1+15d)=15a1+45d=15(a1+3d)=15a4 答案
1 3

1 2

三、解答题 16.(2009 浙江文)设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, S n = kn + n , n ∈ N ,其中 k 是常数.
2
*

(I) 求 a1 及 an ; (II)若对于任意的 m ∈ N , am , a2 m , a4 m 成等比数列,求 k 的值.
*

解(Ⅰ)当 n = 1, a1 = S1 = k + 1 ,

n ≥ 2, a n = S n ? S n?1 = kn 2 + n ? [k (n ? 1) 2 + (n ? 1)] = 2kn ? k + 1 ( ? )
经验, n = 1, ( ? )式成立,

∴ a n = 2kn ? k + 1
2

(Ⅱ)Q a m , a 2 m , a 4 m 成等比数列,∴ a 2 m = a m .a 4 m ,

16

即 ( 4km ? k + 1) 2 = ( 2km ? k + 1)(8km ? k + 1) ,整理得: mk ( k ? 1) = 0 , 对任意的 m ∈ N ? 成立,

∴ k = 0或k = 1
?

17.(2009 北京文)设数列 {an } 的通项公式为 an = pn + q ( n ∈ N , P > 0) . 数列 {bn } 定义 如下:对于正整数 m, bm 是使得不等式 an ≥ m 成立的所有 n 中的最小值. (Ⅰ)若 p =

1 1 , q = ? ,求 b3 ; 2 3

(Ⅱ)若 p = 2, q = ?1 ,求数列 {bm } 的前 2m 项和公式; (Ⅲ)是否存在 p 和 q,使得 bm = 3m + 2( m ∈ N ) ?如果存在,求 p 和 q 的取值范围;如 果不存在,请说明理由. 【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质,考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题. 解(Ⅰ)由题意,得 an = ∴
?

1 1 1 1 20 n ? ,解 n ? ≥ 3 ,得 n ≥ . 2 3 2 3 3

1 1 n ? ≥ 3 成立的所有 n 中的最小整数为 7,即 b3 = 7 . 2 3

(Ⅱ)由题意,得 an = 2n ? 1 , 对于正整数,由 an ≥ m ,得 n ≥ 根据 bm 的定义可知 当 m = 2k ? 1 时, bm = k k ∈ N * ;当 m = 2k 时, bm = k + 1 k ∈ N * . ∴ b1 + b2 + L + b2 m = ( b1 + b3 + L + b2 m ?1 ) + ( b2 + b4 + L + b2 m )

m +1 . 2

(

)

(

)

= (1 + 2 + 3 + L + m ) + ? 2 + 3 + 4 + L + ( m + 1) ? ? ? = m ( m + 1) 2 + m ( m + 3) 2 = m 2 + 2m . m?q . p

(Ⅲ)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn + q ≥ m 及 p > 0 得 n ≥
?

∵ bm = 3m + 2( m ∈ N ) ,根据 bm 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有

3m + 1 <

m?q ≤ 3m + 2 ,即 ?2 p ? q ≤ ( 3 p ? 1) m < ? p ? q 对任意的正整数 m 都成立. p
17

当 3 p ? 1 > 0 (或 3 p ? 1 < 0 )时,得 m < ? 这与上述结论矛盾! 当 3 p ? 1 = 0 ,即 p =

p+q 2p+ q (或 m ≤ ? ) , 3 p ?1 3 p ?1

1 2 1 2 1 时,得 ? ? q ≤ 0 < ? ? q ,解得 ? ≤ q < ? . 3 3 3 3 3
?

∴ 存在 p 和 q,使得 bm = 3m + 2( m ∈ N ) ;

p 和 q 的取值范围分别是 p =

1 2 1 , ? ≤ q < ? .. 3 3 3
+

18.(2009 山东卷文)等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,已知对任意的 n ∈ N 均在函数 y = b x + r (b > 0 且 b ≠ 1, b, r 均为常数)的图像上. (1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记

, ( n, S n ) , 点

bn =
+

n +1 (n ∈ N + ) 4 an

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn
x

解:因为对任意的 n ∈ N ,点 (n, S n ) , 均在函数 y = b + r (b > 0 且 b ≠ 1, b, r 均为常数)的图 像上.所以得 S n = b + r ,
n

当 n = 1 时, a1 = S1 = b + r , 当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = b + r ? (b
n n ?1

+ r ) = b n ? b n ?1 = (b ? 1)b n ?1 ,
所以 an = (b ? 1)b
n ?1

又因为{ an }为等比数列, 所以 r = ?1 , 公比为 b , (2)当 b=2 时, an = (b ? 1)b 则 Tn =
n ?1

= 2 n ?1 ,

bn =

n +1 n +1 n +1 = = n +1 n ?1 4 an 4 × 2 2

2 3 4 n +1 + 3 + 4 + L + n +1 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n +1 Tn = + 4 + 5 + L + n +1 + n + 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n +1 相减,得 Tn = 2 + 3 + 4 + 5 + L + n +1 ? n + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 × (1 ? n ?1 ) 1 23 n +1 3 1 n +1 2 + ? n + 2 = ? n +1 ? n + 2 1 2 2 4 2 2 1? 2 3 1 n +1 3 n + 3 所以 Tn = ? n ? n +1 = ? n +1 2 2 2 2 2
18

【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 Sn 求 an 的基本题型,并 运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前 n 项和 Tn . 19.(2009 全国卷Ⅱ文)已知等差数列{ a n }中, a 3 a 7 = ?16, a 4 + a 6 = 0, 求{ a n }前 n 项 和 sn . 解析:本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力,利用方程的思想可求解。 解:设 {an } 的公差为 d ,则

?( a1 + 2d )( a1 + 6d ) = ?16 ? ? ?a1 + 3d + a1 + 5d = 0 ?

?a12 + 8da1 + 12d 2 = ?16 即? ?a1 = ?4d
解得 ?

?a1 = ?8, ?a1 = 8 或? ?d = 2, ? d = ?2

因此 S n = ?8n + n ( n ? 1) = n ( n ? 9 ),或S n = 8n ? n ( n ? 1) = ?n ( n ? 9 ) 20.(2009 安徽卷文)已知数列{ } 的前 n 项和 ,数列{ }的前 n 项和

(Ⅰ)求数列{ (Ⅱ)设

}与{

}的通项公式; <

,证明:当且仅当 n≥3 时,

( n = 1) ? a1 【思路】由 a = ? ? sn ? sn ?1 ( n ≥ 2)

可求出 an 和 bn ,这是数列中求通项的常用方法之一,在

求出 an 和 bn 后,进而得到 cn ,接下来用作差法来比较大小,这也是一常用方法。 【解析】(1)由于 a1 = s1 = 4 当 n ≥ 2 时, an = sn ? sn ?1 = (2n + 2n) ? [2( n ? 1) + 2( n ? 1)] = 4n ∴ am = 4n( n ∈ N )
2 2 *

又当 x ≥ n 时 bn = Tn ? Tn ?1 ? (2 ? 6 m ) ? (2 ? bm ?1 ) ∴ 2bn = bn ?1

1 1 ∴ 数列 {bn } 项与等比数列,其首项为 1,公比为 ∴ bn = ( ) n ?1 2 2
19

1 n ?1 C 2 2 (2)由(1)知 C1 = a1 ? bn = 16n ? ( ) ∴ n +1 = 2 Cn

1 16(n + 1) 2 ? ( )( n +1) ?1 (n + 1) 2 2 = 1 2n 2 16n 2 ? ( ) n ?1 2

Cn +1 (n + 1) 2 < 1得 < 1 即 n 2 ? 2n ? 1 > 0 ∴ n > 1 + 2 即 n ≥ 3 由 Cn 2n
又n ≥ 3时

C (n + 1)2 < 1 成立,即 n +1 < 1 由于 Cn > 0 恒成立. 2 2n Cn

因此,当且仅当 n ≥ 3 时, Cn +1 < Cn 21.(2009 江西卷文)数列 {an } 的通项 an = n (cos
2 2

nπ nπ ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn . 3 3

(1) 求 Sn ; (2) bn =

S3 n , 求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . n ? 4n nπ 2nπ 2 nπ 解: (1) 由于 cos ? sin 2 = cos ,故 3 3 3
S3k = (a1 + a2 + a3 ) + (a4 + a5 + a6 ) + L + (a3k ? 2 + a3k ?1 + a3k ) 12 + 22 4 2 + 52 (3k ? 2) 2 + (3k ? 1) 2 2 2 = (? + 3 ) + (? + 6 ) + L + (? + (3k ) 2 )) 2 2 2 = 13 31 18k ? 5 k (9k + 4) + +L + = , 2 2 2 2 k (4 ? 9k ) S3k ?1 = S3k ? a3 k = , 2 k (4 ? 9k ) (3k ? 1) 2 1 3k ? 2 1 = S3k ?1 ? a3 k ?1 = + = ?k = ? ? , 2 2 2 3 6

S3 k ? 2



n 1 ? n = 3k ? 2 ? ?3 ? 6, ? ? (n + 1)(1 ? 3n) Sn = ? , n = 3k ? 1 6 ? ? n(3n + 4) , n = 3k ? 6 ?

(k ∈N )
*

(2) bn =

S3 n 9n + 4 = , n n?4 2 ? 4n 1 13 22 9n + 4 Tn = [ + 2 + L + ], 2 4 4 4n 1 22 9n + 4 4Tn = [13 + + L + n ?1 ], 2 4 4
20

两式相减得

9 9 ? 1 9 9 9n + 4 1 4 4n ? 9n + 4 ] = 8 ? 1 ? 9n , 3Tn = [13 + + L + n ?1 ? ] = [13 + 1 2 4 4 4n 2 4n 22 n ?3 2 2 n +1 1? 4 8 1 3n 故 Tn = ? ? 2 n +1 . 2 n ?3 3 3? 2 2
22. (2009 天津卷文)已知等差数列 {a n } 的公差 d 不为 0,设 S n = a1 + a 2 q + L + a n q
n ?1

Tn = a1 ? a 2 q + L + (?1) n ?1 a n q n?1 , q ≠ 0, n ∈ N *
(Ⅰ)若 q = 1, a1 = 1, S 3 = 15 ,求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)若 a1 = d , 且S1 , S 2 , S 3 成等比数列,求 q 的值。

1 (Ⅲ)若 q ≠ ±1, 证明( ? q)S 2 n ? (1 + q )T2 n

2dq (1 ? q 2 n ) = ,n ∈ N* 2 1? q
2

(1)解:由题设, S 3 = a1 + ( a1 + d ) q + ( a1 + 2d ) q , 将q = 1, a1 = 1, S 3 = 15 代入解得 d = 4 ,所以 a n = 4n ? 3 n ∈ N * (2)解:当 a1 = d , S1 = d , S 2 = d + 2dq, S 3 = d + 2dq + 3dq ,Q S1 , S 2 , S 3 成等比数列,
2

2 ( 所以 S 2 = S1 S 3 ,即 d + 2dq) = d(d + 2dq + 3dq 2 ) ,注意到 d ≠ 0 ,整理得 q = ?2 2

(3)证明:由题设,可得 bn = q

n ?1

,则 ① ②

S 2 n = a1 + a 2 q + a 3 q 2 + L a 2 n q 2 n ?1 T2 n = a1 ? a 2 q + a 3 q 2 ? L ? a 2 n q 2 n ?1
①-②得,

S 2 n ? T2 n = 2(a 2 q + a 4 q 3 + L + a 2 n q 2 n ?1 )
①+②得,

S 2 n + T2 n = 2(a1 q + a 3 q 2 + L + a 2 n ?1 q 2 n ? 2 )


2 2n?2

③式两边同乘以 q,得 q ( S 2 n + T2 n ) = 2( a1 q + a3 q + L + a 2 n ?1 q 所以 (1 ? q ) S 2 n ? (1 + q )T2 n = 2d ( q + q + L + q
3 2 n ?1

)

)=

2dq (1 ? q 2 n ) 1? q2

21

(3)证明: c1 ? c 2 = ( a k1 ? a l1 )b1 + ( a k 2 ? al2 )b2 + ( a k n ? a ln )bn
1

= ( k1 ? l1 ) db1 + ( k 2 ? l 2 ) db1 q + L + ( k n ? l n ) db1 q 因为 d ≠ 0, b1 ≠ 0 ,所以

n ?1

c1 ? c 2 = (k1 ? l1 ) + (k 2 ? l 2 )q + L + (k n ? l n )q n ?1 db1
若 k n ≠ l n ,取 i=n, 若 k n = l n ,取 i 满足 k i ≠ l i ,且 k j = l j , i + 1 ≤ j ≤ n 由(1) (2)及题设知, 1 < i ≤ n ,且

c1 ? c 2 = (k1 ? l1 ) + (k 2 ? l 2 )q + L + (k n ? l n )q n ?1 db1
① 当 k i < l i 时, k i ? l i ≤ ?1 ,由 q ≥ n , k i ? l i ≤ q ? 1, i = 1,2 L , i ? 1
i ?2

即 k1 ? l1 ≤ q ? 1 , ( k 2 ? l 2 ) q ≤ q ( q ? 1), L (k i ?1 ? l i ?1 ) q 所以

≤ q (q ? 1) i ?2

c1 ? c 2 1 ? q i ?1 ≤ (q ? 1) + (q ? 1)q + L + (q ? 1)q i ? 2 ? q i ?1 = (q ? 1) ? q i ?1 = ?1 db1 1? q

因此 c1 ? c 2 ≠ 0 ② 当 k i > li 时,同理可得

c1 ? c 2 ≤ ?1, 因此 c1 ? c 2 ≠ 0 db1

综上, c1 ≠ c 2

【考点定位】 本小题主要考查了等差数列的通项公式, 等比数列通项公式与前 n 项和等基本 知识,考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。 23. (2009 全国卷Ⅱ理)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 = 1, S n +1 = 4an + 2 (I)设 bn = an +1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。 有 解: I) a1 = 1, 及 S n +1 = 4an + 2 , a1 + a2 = 4a1 + 2, a2 = 3a1 + 2 = 5,∴ b1 = a2 ? 2a1 = 3 ( 由

22

由 S n +1 = 4an + 2 ,. ..①

则当 n ≥ 2 时,有 S n = 4an ?1 + 2 ...② ..

②-①得 an +1 = 4an ? 4an ?1 ,∴ an +1 ? 2an = 2( an ? 2an ?1 ) 又Q bn = an +1 ? 2an ,∴ bn = 2bn ?1 ∴{bn } 是首项 b1 = 3 ,公比为2的等比数列. (II)由(I)可得 bn = an +1 ? 2an = 3 ? 2
n ?1

,∴

an +1 an 3 ? = 2n +1 2 n 4

an 1 3 } 是首项为 ,公差为 的等比数列. n 2 2 4 an 1 3 3 1 ∴ n = + (n ? 1) = n ? , an = (3n ? 1) ? 2n ? 2 2 2 4 4 4
∴ 数列 {
评析:第(I)问思路明确,只需利用已知条件寻找 bn与bn ?1的关系即可 . 第(II)问中由(I)易得 an +1 ? 2an = 3 ? 2
n ?1

,这个递推式明显是一个构造新数列的模型:

an +1 = pan + q n ( p, q为常数),主要的处理手段是两边除以 q n +1 .
总体来说,09 年高考理科数学全国 I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列 (全国 I 还考查了利用错位相减法求前 n 项和的方法) ,一改往年的将数列结合不等式放缩 法问题作为押轴题的命题模式。 具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、 基本方法基本 技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 24. (2009 辽宁卷文)等比数列{ an }的前 n 项和为 sn ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列 (1)求{ an }的公比 q; (2)求 a1 - a3 =3,求 sn 解: (Ⅰ)依题意有

a1 + (a1 + a1 q ) = 2(a1 + a1 q + a1 q 2 )
由于 a1 ≠ 0 ,故

2q 2 + q = 0
又 q ≠ 0 ,从而 q = -

1 2 1 2
2

5分

(Ⅱ)由已知可得 a1 ? a1 ? ) = 3 ( 故 a1 = 4

23

1 n 41( ( ? ? )) 8 1 n 2 从而 S n = = (1 ? ? )) ( 1 3 2 1? ? ) ( 2

10 分

25. (2009 陕西卷文)已知数列 {an } 满足, a1= ’ 2 = 2, an+2= 1a

an + an +1 ,n∈ N*. 2

( Ι ) 令 bn = an+1 ? an ,证明: {bn } 是等比数列;
(Ⅱ)求 {an } 的通项公式。 (1)证 b1 = a2 ? a1 = 1, 当 n ≥ 2 时, bn = an +1 ? an = 所以 {bn } 是以 1 为首项, ?

an ?1 + an 1 1 ? an = ? (an ? an ?1 ) = ? bn ?1, 2 2 2

1 为公比的等比数列。 2 1 n ?1 (2)解由(1)知 bn = an +1 ? an = ( ? ) , 2
当 n ≥ 2 时, an = a1 + ( a2 ? a1 ) + ( a3 ? a2 ) + L + ( an ? an ?1 ) = 1 + 1 + ( ? ) + L + ( ? )

1 2

1 2

n? 2

1 1 ? (? ) n?1 2 1 5 2 1 2 = 1 + [1 ? (? ) n? 2 ] = ? (? ) n?1 , = 1+ 1 3 2 3 3 2 1 ? (? ) 2 5 2 1 1?1 当 n = 1 时, ? ( ? ) = 1 = a1 。 3 3 2 5 2 1 n ?1 * 所以 an = ? ( ? ) ( n ∈ N ) 。 3 3 2
26.(2009 湖北卷文)已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列, 且满足 a3a6=55, a2+a7=16.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式: (Ⅱ)若数列{an}和数列{bn}满足等式:an== {bn}的前 n 项和 Sn 解(1)解:设等差数列 {an } 的公差为 d,则依题设 d>0 由 a2+a7=16.得 2a1 + 7 d = 16 由 a3 ? a6 = 55, 得 ( a1 + 2d )( a1 + 5d ) = 55 ① ②
2

b1 b2 b3 b + 2 + 3 + ... n (n为正整数) ,求数列 2 2 2 2n

由①得 2a1 = 16 ? 7 d 将其代入②得 (16 ? 3d )(16 + 3d ) = 220 。即 256 ? 9d = 220
24

∴ d 2 = 4, 又d > 0,∴ d = 2, 代入①得a1 = 1 ∴ an = 1 + (n ? 1) ? 2 = 2n ? 1
(2)令 cn =

bn , 则有an = c1 + c2 + K + cn , an +1 = c1 + c2 + K + cn ?1 2n an +1 ? an = cn +1 ,由(1)得a1 = 1, an +1 ? an = 2
n +1

两式 相减得∴ cn +1 = 2, cn = 2( n ≥ 2), 即当n ≥ 2时,bn = 2

又当n=1时,b1 = 2a1 = 2

?2, (n = 1) ∴ bn = ? n +1 ?2 (n ≥ 2)
于是 S n = b1 + b2 + b3 K + bn = 2 + 2 + 2 + K + 2
3 4 n +1

= 2 + 2 + 2 + 2 +K + 2
2 3 4

n+1

-4=

2(2n +1 ? 1) ? 4 = 2n + 2 ? 6, 即S n = 2n + 2 ? 6 2 ?1

27. (2009 福建卷文)等比数列 {an } 中,已知 a1 = 2, a4 = 16 (I)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项, 若 试求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项和 Sn 。 解: (I)设 {an } 的公比为 q 由已知得 16 = 2q 3 ,解得 q = 2 (Ⅱ)由(I)得 a2 = 8 , a5 = 32 ,则 b3 = 8 , b5 = 32 设 {bn } 的公差为 d ,则有 ?

?b1 + 2d = 8 ?b1 = ?16 解得 ? ?d = 12 ?b1 + 4d = 32

从而 bn = ?16 + 12( n ? 1) = 12n ? 28 所以数列 {bn } 的前 n 项和 S n =

n(?16 + 12n ? 28) = 6n 2 ? 22n 2

28(2009 重庆卷文) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 3 分, (Ⅱ)问 4 分, (Ⅲ)问 5 分) 已知 a1 = 1, a2 = 4, an + 2 = 4an +1 + an , bn = (Ⅰ)求 b1 , b2 , b3 的值; (Ⅱ)设 cn = bn bn +1 , S n 为数列 {cn } 的前 n 项和,求证: S n ≥ 17 n ;
25

an +1 ,n∈ N?. an

(Ⅲ)求证: b2 n ? bn <

1 1 . 64 17 n ? 2

解: (Ⅰ)Q a2 = 4, a3 = 17, a4 = 72 ,所以 b1 = 4.b2 = (Ⅱ)由 an + 2 = 4an +1 + an 得

17 72 , b3 = 4 17

an + 2 a 1 = 4 + n 即 bn +1 = 4 + an +1 an +1 bn
(n ≥ 2)

所以当 n ≥ 2 时, bn > 4 于是 c1 = b1 , b2 = 17, cn = bn bn +1 = 4bn + 1 > 17 所以 S n = c1 + c2 + L + cn ≥ 17 n (Ⅲ)当 n = 1 时,结论 b2 ? b1 = 当 n ≥ 2 时,有 bn +1 ? bn =| 4 +

1 17 < 成立 4 64

b ?b 1 1 1 ?4? |=| n n ?1 |≤ | bn ? bn ?1 | bn bn ?1 bn bn ?1 17 (n ≥ 2)



1 1 1 1 | bn ?1 ? bn ? 2 |≤ L ≤ n ?1 | b2 ? b1 |< 2 17 17 64 17 n ? 2

所以

b2 n ? bn ≤ bn +1 ? bn + bn + 2 ? bn +1 + L + b2 n ? b2 n ?1

1 1 ( ) n ?1 (1 ? n ) 1 ? 1 n ?1 1 n 1 2 n ? 2 ? 1 17 17 < 1 1 (n ∈ N * ) ?(17 ) + (17 ) + L + (17 ) ? = 4 1 4? 64 17 n ? 2 ? 1? 17

2008 年高考题
一、选择题 1.(2008 天津)若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 = 25 ,且 a2 = 3 ,则 a7 = ( A.12 答案 B 2.(2008 陕西)已知 {an } 是等差数列,a1 + a2 = 4 , a7 + a8 = 28 ,则该数列前 10 项和 S10 等于( A.64 答案 B 3.(2008 广东)记等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 = A.16 B.24 C.36 ) B.100 C.110 D.120 B.13 C.14 D.15 )

1 , S 4 = 20 ,则 S6 = ( ) 2
D.48

26

答案 D 4.(2008 浙江)已知 {a n } 是等比数列, a 2 = 2,a 5 = ( ) B.6( 1 ? 2 ? n ) D.

1 ,则 a1 a 2 + a 2 a3 + L + a n a n +1 = 4

A.16( 1 ? 4 ? n ) C.

32 (1 ? 4 ? n ) 3

32 (1 ? 2 ? n ) 3

答案 C 5.(2008 四川)已知等比数列 ( an ) 中 a2 = 1 ,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是() A. ( ?∞, ?1] C. [3, +∞ ) 答案 D 6.(2008 福建)设{an}是公比为正数的等比数列,若 n1=7,a5=16,则数列{an}前 7 项的和 为( A.63 答案 C ) B.64 C.127 D.128 B. ( ?∞, 0 ) U (1, +∞ ) D. ( ?∞, ?1] U [ 3, +∞ )

二、填空题 17.(2008 四川)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S 4 ≥ 10, S5 ≤ 15 ,则 a4 的最大值为 ______. 答案 4 .

18.(2008 重庆)设 Sn=是等差数列{an}的前 n 项和,a12=-8,S9=-9,则 S16= 答案 -72

三、解答题 23.(2008 四川卷) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 ban ? 2 = ( b ? 1) Sn .
n

(Ⅰ)证明:当 b = 2 时, an ? n ? 2 n ?1 是等比数列; (Ⅱ)求 {an } 的通项公式 解 由题意知 a1 = 2 ,且 ban ? 2 = ( b ? 1) Sn
n

{

}

ban +1 ? 2n +1 = ( b ? 1) Sn +1
27

两式相减得 b ( an +1 ? an ) ? 2 = ( b ? 1) an +1
n

即 an +1 = ban + 2 n



(Ⅰ)当 b = 2 时,由①知 an +1 = 2 an + 2 n 于是 an +1 ? ( n + 1) ? 2 = 2an + 2 ? ( n + 1) ? 2
n n n

= 2 ( an ? n ? 2 n ?1 )
又 a1 ? 1 ? 2 n ?1 = 1 ≠ 0 ,所以 an ? n ? 2 n ?1 是首项为 1,公比为 2 的等比数列。 (Ⅱ)当 b = 2 时,由(Ⅰ)知 an ? n ? 2 n ?1 = 2 n ?1 ,即 an = ( n + 1) 2 当 b ≠ 2 时,由由①得
n ?1

{

}

an +1 ?

1 1 ? 2n +1 = ban + 2 n ? ? 2n +1 2?b 2?b b = ban ? ? 2n 2?b

1 ? ? = b ? an ? ? 2n ? 2?b ? ?
因此 an +1 ?

1 1 ? ? ? 2 n +1 == b ? an ? ? 2n ? 2?b 2?b ? ?

=

2 (1 ? b ) n ?b 2?b

n =1 ? 2 ? 得 an = ? 1 n n ?1 n≥2 ? 2 ? b ? 2 + ( 2 ? 2b ) b ? ? ? ?
24.(2008 江西卷)数列 {an } 为等差数列, an 为正整数,其前 n 项和为 Sn ,数列 {bn } 为等 比数列,且 a1 = 3, b1 = 1 ,数列 {ban } 是公比为 64 的等比数列, b2 S 2 = 64 . (1)求 an , bn ; (2)求证

1 1 1 3 + +L + < . S1 S 2 Sn 4

解: (1)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则 d 为正整数,

28

an = 3 + (n ? 1)d , bn = q n ?1
? ban+1 q 3+ nd = 3+ ( n ?1) d = q d = 64 = 26 ? q ① 依题意有 ? ban ? S 2b2 = (6 + d )q = 64 ?
由 (6 + d ) q = 64 知 q 为正有理数,故 d 为 6 的因子 1, 2,3, 6 之一, 解①得 d = 2, q = 8 故 an = 3 + 2( n ? 1) = 2n + 1, bn = 8
n ?1

(2) S n = 3 + 5 + L + (2n + 1) = n( n + 2) ∴

1 1 1 1 1 1 1 + +L + = + + +L + S1 S 2 S n 1× 3 2 × 4 3 × 5 n(n + 2)

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? + ? + ? + L + ? ) 2 3 2 4 3 5 n n+2 1 1 1 1 3 = (1 + ? ? )< 2 2 n +1 n + 2 4 =
25..(2008 湖北).已知数列 {an } 和 {bn } 满足:

a1 = λ , an +1 =

2 an + n ? 4, bn = (?1) n (an ? 3n + 21), 其中 λ 为实数, n 为正整数. 3

(Ⅰ)对任意实数 λ ,证明数列 {an } 不是等比数列; (Ⅱ)试判断数列 {bn } 是否为等比数列,并证明你的结论; (Ⅲ)设 0 < a < b , Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和.是否存在实数 λ ,使得对任意正整数 n ,都 有

a < S n < b ?若存在,求 λ 的取值范围;若不存在,说明理由.
本小题主要考查等比数列的定义、 数列求和、 不等式等基础知识和分类讨论的思想, 考查综合分析问题的能力和推理认证能力, (满分 14 分) (Ⅰ)证明:假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则有 a 2=a1a3,即
2

2 4 4 4 ( λ ? 3) 2 = λ ( λ ? 4) ? λ2 ? 4λ + 9 = λ2 ? 4λ ? 9 = 0, 矛盾. 3 9 9 9
所以{an}不是等比数列. (Ⅱ)解:因为 bn+1=(-1) [an+1-3(n-1)+21]=(-1) (
n+1 n+1

2 an-2n+14) 3

29

=

2 2 n (-1) · an-3n+21)=- bn ( 3 3
+

又 b1x-(λ+18),所以 当λ=-18,bn=0(n∈N ),此时{bn}不是等比数列: 当λ≠-18 时,b1=(λ+18) ≠0,由上可知 bn≠0,∴

ba +1 2 = ? (n∈N+). bn 3
2 为公比的等比数列. 3

故当λ≠-18 时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项,- (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求. ∴λ≠-18,故知 bn= -(λ+18)(- ·
n Sn=- (λ + 18)· ?1-(- )?.   5 3

2 n-1 ) ,于是可得 3

3

? ?

2 ? ?

要使 a<Sn<b 对任意正整数 n 成立, 即 a<-

3 2 n + (λ+18)· [1-(- ) ] n∈N ) 〈b( 5 3



a 2 1 ? (? ) n 3

3 < ? (λ + 18) < 5

b 2 1 ? (? ) n 3

          


2 令f (n) = 1 ? (? ),则 5 5 ;当n为正偶数时, ≤ f (n) < 1, 3 9 5 5 ∴f(n)的最大值为 f(1)= ,f(n)的最小值为 f(2)= , 3 9 5 3 3 于是,由①式得 a<- (λ+18),< b ? ?b ? 18 < λ < ?3a ? 18. 9 5 5
当 n 为正奇数时,1<f(n) ≤ 当 a<b ≤ 3a 时,由-b-18 ≥ =-3a-18,不存在实数满足题目要求; 当 b>3a 存在实数λ,使得对任意正整数 n,都有 a<Sn<2.

30

模拟题 第二部分 两年模拟题 2011 届高三模拟 模拟题 2011 届高三模拟题 题组一
一、选择题 1. 浙江省杭州二中 2011 届高三 11 月月考试题文) ( 月月考试题文) 已知数列 {an } 中, a1 = 1, an = 3an ?1 + 4 ( n ∈ N * 且 n ≥ 2) ,则数列 {an } 通项公式 an 为 ( ) B. 3n+1 ? 8 C. 3n ? 2 D. 3n

A. 3n?1 答案 C.

2. (甘肃省甘谷三中 2011 届高三第三次检测试题)已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 届高三第三次检测试题) 若 a4 = 18 ? a5 , 则S8 = ( A.18 答案 D. 3. (福建省安溪梧桐中学 2011 届高三第三次阶段考试理) 高三第三次阶段考试理) 已知公差不为 0 的等差数列 {an } 满足 a1 , a3 , a4 成等比数列, S n为{a n }的前n 项和,则 B. 36 ) C. 54 D. 72

S3 ? S 2 的值为( ) S5 ? S3
A.2 答案 A. 4. 福建省三明一中 2011 届高三上学期第三次月考理) ( 届高三上学期第三次月考理) 数列 {an } 是公差不为 0 的等差数列, 且 a1 , a3 , a7 为等比数列 {bn } 的连续三项,则数列 {bn } 的公比为( ) A. 答案 C. 5 . (福建省四地六校 2011 届高三上学期第三次联考试题理)已知数列{an}的通项公式为 届高三上学期第三次联考试题理 次联考试题理) B.3 C.

1 5

D.4

2

B.4

C.2

D.

1 2

an =

2 n ? 4n + 5
2

则{an}的最大项是( B.a2
31

) C.a3 D.a4

A.a1

答案 B. 6. 浙江省杭州二中 2011 届高三 11 月月考试题文) 月月考试题文) ( 等比数列 {an } 中, a3 = 2, a7 = 8, 则 a5 =



) A. ±4

B. 4

C. 6

D. ?4

答案 B. 7.(福建省厦门外国语学校 2011 届高三 11 月月考理) 已知等差数列 {an } 的公差为 ?2 , ( 月月考理) 且 a2 , a4 , a5 成等比数列,则 a2 等于( A.-4 答案 D. 8. 浙江省温州市啸秋中学 2010 学年第一学期高三会考模拟试卷)已知数列{an}的前 n 项 学年第一学期高三会考模拟试卷 模拟试卷) ( 和 S n= B.-6 ) c C.-8 D.8

n +1 ,则a3 = n+2 A. 1 20

B. 1

C. 1

D. 1

24

28

32

答案 A. 9. (广东省华附、中山附中 2011 届高三 11 月月考理)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 月月考理) 广东省华附、 且 S 2 = 10, S5 = 55 ,则过点 P ( n, an ) 和 Q ( n +
(n ? N )的直线的斜率是
*

2, an + 2 )
D.1

A.4 答案 A.

B.3

C.2

10. (甘肃省甘谷三中 2011 届高三第三次检测试题)设 {an } 是公差为正数的等差数列,若 届高三第三次检测试题)

a1 + a2 + a3 = 15 , a1a2 a3 = 80 ,则 a11 + a12 + a13 =
( A. 120 答案 B. 11. 北京四中 2011 届高三上学期开学测试理科试题) ( 届高三上学期开学测试理科试题) 已知等差数列 若 原点 A.100 答案 A. 12. (贵州省遵义四中 2011 届高三第四次月考理)在等差数列 {an } 中,a3 + a5 + 2a10 = 4 , 届高三第四次月考理)
32



B. 105

C. 90

D. 75

的前 项和为



,且 A、B、C 三点共线(该直线不过 ),则 B. 101 =( ) C. 200 D. 201

则此数列的前 13 项的和等于( A.13 答案 A. B.26

) C.8 D.16

13. (河南省郑州市四十七中 2011 届高三第三次月考文) 届高三第三次月考文) 在等比数列 {an } 中, 已知 a1a3 a11 = 8 , 那么 a2 a8 = (A)3 答案 B. 14.黑龙江大庆实验中学 2011 届高三上学期期中考试理) ( . 届高三上学期期中考试理) 若一个等差数列前 3 项的和为 34 , 最后 3 项的和为 146 ,且所有项的和为 390 ,则这个数列有( ) A.13 项 B.12 项 C.11 项 D.10 项 答案 A. 15. 浙江省杭州二中 2011 届高三 11 月月考试题文)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , ( 月月考试题文) 且 a3 + 3a7 + a11 = 15 ,则 S13 = ( ) A. 104 答案 D. 16. 福建省厦门双十中学 2011 届高三 12 月月考题理) ( 月月考题理) 如 果 数 列 {a n }( a n ∈ R )对任意m, n ∈ N 满足a m + n = a m ? a n , 且a 3 = 8, 那么a10 等 于
*

(B)4

(C)12

(D)16

B. 78

C. 52

D. 39

( ) A.256 答案 D.

B.510

C.512

D. 1024

17. 北京龙门育才学校 2011 届高三上学期第三次月考 ) ( 届高三上学期第三次月考) (理科)已知数列 {an } 满足

a1 = 33,
A .10 C .9 答案 B.

an +1 ? an a = 2, 则 n 的最小值为 n n
B.10.5 D .8





18. 重庆市重庆八中 2011 届高三第四次月考理)等差数列 {an } 满足: a2 + a9 = a6 ,则 S9 = ( 届高三第四次月考理) ( ) A. ?2 答案 B. 19. 重庆市南开中学高 2011 级高三 1 月月考理) ( 月月考理) 在数列 {an } 中, a1 = 1, an +1 ? an = n, ( n ∈ N ), 则a100 的值为
*

B.0

C.1

D.2





33

A.55050 答案 D.

B.5051

C.4950

D.4951

20. 浙江省诸暨中学 2011 届高三 12 月月考试题文)在等差数列{an}中,a1+3a8+a15= 月月考试题文) ( 120,则 2a6-a4 的值为 A.24 B.22 C.20 D.-8 答案 A. 21. 浙江省温州市啸秋中学 2010 学年第一学期高三会考模拟试卷)若{a n }为等差数列, ( 学年第一学期高三会考模拟试卷) 且 a 2 +a 5 +a 8 =39,则 a 1 +a 2 +…+a 9 的值为 A.117 答案 A. 22. (甘肃省甘谷三中 2011 届高三第三次检测试题)已知 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 届高三第三次检测试题) B.114 C.111 D.108

y = x 2 ? 2 x + 3 的顶点是 (b,c) ,则 ad 等于(
A.3 答案 B. B.2 C.1

) D. ?2

23. 浙江 省温州市啸秋中学 2010 学年第一学期高 三会考模拟试 卷 ) 数列 {an } 满足 (

1 ? ?2an (0 ≤ an < 2) ? an+1 = ? ?2a ?1 ( 1 ≤ a < 1) n ? n 2 ?
若 a1 =

6 ,则 a8 7

=
5 7 C.

A.

6 7

B.

3 7

D.

1 7

答案 B. 二、填空题
24. 浙江省杭州二中 2011 届高三 11 月月考试题文)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 月月考试题文) (

且 S13 > 0, S14 < 0, 若 at at +1 < 0 则 t = 答案: 答案:7. 25. 福建省厦门外国语学校 2011 届高三 11 月月考理)已知等比数列 {a n } 各项均为正数, ( 月月考理) 前 n 项和为 S n ,若 a2 = 2 , a1a5 = 16 .则 S5 = ▲▲. .

34

答案 31. 三、简答题 26. 浙江省温州市啸秋中学 2010 学年第一学期高三会考模拟试卷) 已知 {an } 为等比数列, ( 学年第一学期高三会考模拟试卷) 且 a3 + a6 = 36, a4 + a7 = 18. (1)若 an =

1 ,求 n ; (2)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,求 S8 . 2
n ?1

答案 解:设 an = a1q

?a1 = 128 1 n ?1 ? ,由题意,解之得 ? 1 ,进而 an = 128 ? ( ) 2 ?q = 2 ? = 1 ,解得 n = 9. 2
………3 分

(1)由 an = 128 ? ( )

1 2

n ?1

a1 (1 ? q n ) 1 = 256[1 ? ( ) n ] (2) S n = 1? q 2
1 ∴ S8 = 256[1 ? ( )8 ] = 255. 2
………3 分

27. 月月考试题文) (本小题满分 14 分) 27 (浙江省诸暨中学 2011 届高三 12 月月考试题文) 已知数列 {a n } 是公比为 d ( d ≠ 1) 的等比数列,且 a1 , a 3 , a 2 成等差数列. (Ⅰ) 求 d 的值; (Ⅱ) 设数列 {bn } 是以 2 为首项, d 为公差的等差数列,其前 n 项和为 S n , 试比较 S n 与 bn 的大小. 答案 (Ⅰ) 解:Q 2a 3 = a1 + a 2 , ∴ 2a1 d = a1 + a1 d , ∴ 2d ? d ? 1 = 0
2 2

Q d ≠ 1, ∴ d = ?

1 2

(Ⅱ) 解:Q bn = 2 + ( n ? 1) ? ? ?

n 5 ? 1? ?=? + , 2 2 ? 2?

Q Sn =

n(b1 + bn ) ? n 2 + 9n = , 2 4

? n 2 + 9n n 5 ? (n ? 1)(n ? 10) ∴ S n ? bn = ? (? + ) = 4 2 2 4 ∴ n = 1或n = 10时, S n = bn ;

  2 ≤ n ≤ 9时,

S n > bn ;
35

n ≥ 11时, S n < bn .

28. 重庆市南开中学高 2011 级高三 1 月月考理) ( 月月考理) (13 分)已知数列 {an } 是公比大于 1 的等 比数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, S3 = 7 ,且 a1 + 3,3a2 , a3 + 4 成等差数列。 (1)求数列 {an } 的通项; (2)令 bn = nan , 求数列{bn } 的前 n 项和 Tn . 答案

29. 重庆市重庆八中 2011 届高三第四次月考理) ( 届高三第四次月考理) (本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 = 1, an = (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2) 是否存在正整数 n 使得

Sn + 2(n ? 1), (n ∈ N * ). n

s s1 s2 2 + + .... + n ? ( n ? 1) = 2011 ?若存在, n 值; 求出 1 2 n

若不存在,说明理由. 答案

30. (河南省郑州市四十七中 2011 届高三第三次月考文) 届高三第三次月考文) (本小题满分 12 分) 已知 {an } 是公差不为零的等差数列, a1 = 1 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列. (I)求数列 {an } 的通项;
36

(II)记 bn = 2 n + n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn
a

答案 解:设公差为 d ,则: ( a1 + 2d ) = a1 ? ( a1 + 8d )
2

解得: d = 1

∴ an = n
bn = 2 n + n

S n = 2n +1 +

n(n ? 1) ?2 2

31. ( 31. ( 贵 州 省 遵 义 四 中 2011 届 高 三 第 四 次 月 考 理 ) 12 分 ) 已 知 数 列 {a n } 满 足

1 a1 = 0且 S n +1 = 2 S n + n(n + 1), (n ∈ N *) 2
(1)求 a 2 , a 3 , 并证明 : a n +1 = 2a n + n, (n ∈ N *); (4 分) (2)设 bn = a n +1 ? a n ( n ∈ N *), 求证: bn +1 = 2bn + 1 ; 分) (4 (3)求数列 {a n }( n ∈ N *) 的通项公式。 分) (4 (1)由已知 S 2 = 2 S1 + 1 ,即 a1 + a 2 = 2a1 + 1, a 2 = 1 答案 (理)解答:

S 3 = 2 S 2 + 3 ,即 a1 + a 2 + a 3 = 2(a1 + a 2 ) + 3, 有 a 3 = 4

1 1 n(n + 1) ,有 S n = 2 S n ?1 + (n ? 1)n(n ≥ 2) 2 2 1 1 ∴ S n +1 ? S n = 2( S n ? S n ?1 ) + n(n + 1) ? n(n ? 1) , 2 2


S n+1 = 2 S n +

即 a n +1 = 2a n + n, ( n ≥ 2)

同时, a 2 = 2a1 + 1 = 1,

∴ an +1 = 2an + n, (n ∈ N *)
(2)由(1) a n +1 = 2a n + n ,有 a n + 2 = 2a n +1 + n + 1 :

∴ a n + 2 ? a n +1 = 2(a n+1 ? a n ) + 1
(3)由(2) bn +1 + 1 = 2(bn + 1) : 而 b1 + 1 = a 2 ? a1 + 1 = 2 ,

即bn +1 = 2bn + 1

∴{bn + 1} 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列, ∴ bn + 1 = 2 ? 2 n ?1 = 2 n , bn = 2 n ? 1
即 a n +1 ? a n = 2 ? 1 ,而 a n +1 = 2a n + n ,
n

37

有: 2a n + n ? a n = 2 ? 1,
n

∴ a n = 2 n ? n ? 1(n ∈ N *)
(文)解答: (1) a 2 = 2a1 + 1 = 1, a3 = 2a 2 + 2 = 4 证明:Q ?

?a n + 2 = 2a n +1 + n + 1 ?a n +1 = 2a n + n

∴ a n + 2 ? a n +1 = 2(a n+1 ? a n ) + 1
(2)Q bn +1 = 2bn + 1 而 b1 + 1 = a 2 ? a1 + 1 = 2 ,

∴ bn+1 + 1 = 2(bn + 1)

∴{bn + 1} 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列;
(3)由(2)可知: bn + 1 = 2 ? 2
n n ?1

= 2 n , bn = 2 n ? 1

即 a n +1 ? a n = 2 ? 1 ,而 a n +1 = 2a n + n , 有: 2a n + n ? a n = 2 ? 1,
n

∴ a n = 2 n ? n ? 1(n ∈ N *)
32. 届高三上学期第三次月考) (本小题满分 13 分)在数列{ a n } 32 (北京龙门育才学校 2011 届高三上学期第三次月考) 中, 1 = a

1 1 , 并且对任意 n ∈ N ? , n ≥ 2 都有 a n ? a n ?1 = a n ?1 ? a n 成立, bn = 令 (n ∈ N ? ) . 3 an

(Ⅰ)求数列{ bn }的通项公式 ; (Ⅱ)求数列{

an }的前 n 项和 Tn . n

解: (1)当 n=1 时, b1 =

1 = 3 ,当 n ≥ 2 时, a1
1 1 ? = 1, 所以 bn ? bn?1 = 1 a n a n ?1

由 a n ? a n ?1 = a n ?1 ? a n 得

所以数列 {bn } 是首项为 3,公差为 1 的等差数列, 所以数列 {bn } 的通项公式为 bn = n + 2
38

an 1 1 1 1 = = ( ? ) LLLL8分 n n ( n + 2) 2 n n + 2 (2) 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ Tn = (1 ? + ? + ? + L + ? 2 3 2 4 3 5 n ?1 n +1
1 1 1 3 1 1 3n 2 + 5n ? ) = [ ?( + )] = LL11分 n n+2 2 2 n +1 n + 2 4(n 2 + 3n + 2) 3 4(n + 1) + 2 = ? 4 4(n + 1)(n + 2) +
33. (福建省四地六校 2011 届高三上学期第三次联考试题理) 届高三上学期第三次联考试题理) (本题满分 13 分) 数列 {a n } 满足 a1 = 1, a 2 = 2, a n + 2 = ?1 ?

? ?

1 nπ ? 2 nπ cos 2 , n = 1,2,3 ? ? ? ?a n + 2 sin 3 2 ? 2

(1)求 a 3, a 4 及数列 {a n } 的通项公式;(2)设 S n = a1 + a 2 + ? ? ? + a n ,求 S 2 n ; 答案 (本题满分 13 分) 数列 {a n } 满足 a1 = 1, a 2 = 2, a n + 2 = ?1 ?

? ?

1 nπ ? 2 nπ cos 2 , n = 1,2,3 ? ? ? ?a n + 2 sin 3 2 ? 2

(1)求 a 3, a 4 及数列 {a n } 的通项公式;(2)设 S n = a1 + a 2 + ? ? ? + a n ,求 S 2 n ; 解: (1)

π? π ? 1 a3 = ?1 ? cos 2 ?a1 + 2 sin 2 = a1 + 2 = 1 + 2 = 3 2? 2 ? 3
2π ? 2 4 ? 1 ? 1? 2 2π a 4 = ?1 ? cos 2 = ?1 ? ? a 2 = × 2 = ?a 2 + 2 sin 2 ? 2 ? 3? 3 3 ? 3

----2 分

2n ? 1 ? ? 1 2 2n ? 1 a 2 n +1 = ?1 ? cos 2 π = a 2 n ?1 + 2 ?a 2 n ?1 + 2 sin a a 2 ? 2 ? 3 一般地, 即 2 n +1 - 2 n ?1 =2
即数列{

a2 n ?1

}是以 a1 = 1 ,公差为 2 的等差数列。∴ a 2 n ?1 = 2n ? 1

----4 分

2n ? 2n 2 ? 1 又 Q a 2 m + 2 = ?1 ? cos 2 π ?a 2 n + 2 sin 2 π = a 2 n 2 ? 2 3 ? 3

2 n ?1 n ?1 ?2? ?2? a 即数列{ 2 n }是首项为 a 2 = 2 ,公比为 3 的等比数列∴ a 2 n = a 2 ? ? = 2? ? ?3? ? 3 ? --6 分

39

?n, n = 2m ? 1, m ∈ N ? ? ? n?2 综上可得a n = ? 2 2 ? ? ?2? ? , n = 2m, m ∈ N ? ? ?3? ?

----8 分

(2) S 2 n = a1 + a 2 + ? ? ? ? + a 2 n ?1 + a 2 n = (a1 + a 3 + ? ? ? + a 2 n ?1 ) + (a 2 + a 4 + ? ? ? + a 2 n )
n ?1 n ? 4 ?2? ? 2 = [1 + 3 + ? ? ? + (2n ? 1)] + ?2 + + ? ? ? + 2 ? ? ? ? = n 2 + 6 ? 6 ? ? ? ? ? 3 ? 3? ? ? 3 ? ---13 分 ? ? ?

34.(浙江省杭州二中 2011 届高三 11 月月考试题文) 本小题满分 15 分) ( 月月考试题文) ( 已知数列 {an } , {bn } 中, {an } 为公比 q > 0 的等比数列,且 S 4 = 20, S8 = 340, b1 = 1 ,

bn +1 = qTn (n ∈ N *) ,其中 S n , Tn 分别为数列 {an } , {bn } 的前 n 项和
(I)求数列 {an } 的通项公式; (II)求数列 {bn } 的通项公式; (III)求数列 {nbn } 的前 n 项和 H n ; 答案 (本小题满分 15 分) (1) an =

4 n ?1 2 3 n =1 ? 1 n?2 n≥2 ?2 3 1 1 + ( n ? ) 3n ?1 2 2

(2) bn = ? (3) Tn =

题组二 题组二
一、选择题 1.(2011 湖南嘉禾一中 若 ( x + 湖南嘉禾一中) 的系数为 A.6

1 n ) 的展开式中的二项式系数之和为 256,则展开式中 x4 2x
C.8 D.9

( ) B.7

答案 B.
2. 四川成都市玉林中学 2010—2011 学年度)等差数列 {an } 中,若 (四川成都市玉林中学 2010—

a 4 + a 6 + a8 + a10 + a12 = 120 ,则 S15 的值为:
(A)180 答案 C. (B)240 (C)360 (D)720

40

s 3.四川省成都外国语学校 2011 届高三 10 月理) ( 月理) 已知 {a n } 是首项为 1 的等比数列, n 是 {an }
的前 n 项和,且 9s3 = s6 ,则数列 ?

?1? ? 的前 5 项和为( ? an ?
C.



A.

15 或5 8

B.

31 或5 16

31 16

D.

15 8

答案 C. 4 .( 四 川 省 成 都 外 国 语 学 校 2011 届 高 三 10 月 理 ) 已 知 数 列 {a n } , 若 (

a1 , a 2 ? a1 , a3 ? a 2 , a 4 ? a 3 , L , a n ? a n ?1 是公比为 2 的等比数列, {a n } 的前 n 项和 S n 则
等于( )

A. a1 [ a n ?

1 ( n + 1)] 2

B. a1 (2 n ? n) D. a1 [ 2 n +1 ? ( n + 2)]

C. a1 [ 2 n +1 ? ( 2n + 1)] 答案 D

5. 四川省成都外国语学校 2011 届高三 10 月理 ) {a n } 是等差数列,首项 a1 >0, ( 月理)

a 2003 + a 2004 > 0 , a2003 ? a2004 < 0 ,则使前 n 项和 S n > 0 成立的的最大正整数 n 是
( ) A.2003 B.2004 C.4006 D.4007

答案 C 6. 四川省成都外国语学校 2011 届高三 10 月理 ) 设函数 y = ( 月理)
x≠

x2 ? x + n ( x ∈ R ,且 x2 + x + 1

n ?1 , n ∈ N * )的最小值为 an ,最大值为 bn 若 cn = (1 ? an )(1 ? bn ),则数列{ cn } 2

是 A.公差不等于 0 的等差数列 C.常数列 答案 C.

( ) B.公比不等于 1 的等比数列 D.以上都不是

7. 四川省成都外国语学校 2011 届高三 10 月理)已知函数 f (x) 是定义在 (0,+∞) 上的单调函 ( 月理) 数,且对任意的正数 x, y 都有 f ( x ? y ) = f ( x) + f ( y ) ,若数列{ a n }的前 n 项和为 Sn,且满 足 f (S n + 2) ? f (an ) = f (3)(n ∈ N * ) ,则 a3 =( )

41

A. 9 答案 C.

B.

3 2

C.

9 4

D.

4 9

8. 浙江省桐乡一中 2011 届高三理)在等差数列 {a n } 中,若前 5 项和 S 5 = 20 ,则 a 3 等于 ( 届高三理) (A)4 (B)-4 答案 A. 9. 四川省成都外国语学校 2011 届高三 10 月理)已知等比数列{ am }中,各项都是正数, ( 月理) 且 a1 , (C)2 (D)-2

1 a +a a3 , 2a2 成等差数列,则 9 10 = 2 a7 + a8
B. 1 ? 2 C. 3 + 2 2 D. 3 ? 2 2

A. 1 + 2 答案 C.

10. (浙江省吴兴高级中学 2011 届高三文)在等差数列{an } 中, a3 + 3a8 + a13 = 120 , 则 a3 + a13 ? a8 = (A)24
答案 A. 11. 广东省湛江一中 2011 届高三理) {an } 是公差不为 0 的等差数列,a1 = 2 且 a1 , a3 , a6 (广东省湛江一中 届高三理) 设 成等比数列,则 {an } 的前 n 项和 Sn =

(

) (C)20 (D) ? 8

(B)22

A.

n2 7n + 4 4

B.

n 2 5n + 3 3

C.

n 2 3n + 2 4

D. n + n
2

答案 A. 12.(福建省四地六校联考 2011 届高三文) 在等比数列 {an } 中,已知 a1a3 a11 = 8 ,那么 ( 届高三文)

a2 a8 =
A.3 C.12 答案 B. 13.(广东省湛江一中 2011 届高三 10 月月考理) 月月考理) 设 {an } 是公差不为 0 的等差数列, a1 = 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列,则 {an } 的前 n 项和 Sn = B.4 D.16

42

A.

n 2 7n + 4 4

B.

n 2 5n + 3 3

C.

n 2 3n + 2 4

D. n + n
2

答案 A. 二、填空题 14. 江苏泰兴市重点中学2011届文)已知等差数列 {a n } 中,若 a3 + a11 = 22 ,则 a 7 = (江苏泰兴市重点中学 届 答案 11. 15. 江苏泰兴市重点中学2011届文)已知等差数列 {a n } ,满足 a 2 = 3, a5 = 9 ,若数列 {bn } (江苏泰兴市重点中学 届 满足 b1 = 3, bn +1 = abn ,则 {bn } 的通项公式 bn =
答案

2n + 1 ,

16. 四川省成都外国语学校 2011 届高三 10 月理) a n }为公比 q>1 的等比数列, a 2004 ( 月理) 设{ 若 和 a 2005 是方程 4 x 2 ? 8 x + 3 = 0 的两根,则

a 2006 + a 2007 = __________。
答案 18. 17. 浙江省桐乡一中 2011 届高三文)观察下列等式: 届高三文) ( 2 2 3 9 3 9 4 16 4 16 + 2 = 4; × 2 = 4; + 3 = ; × 3 = ; + 4 = ; × 4 = 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 ;…,根据这些等式反映的结 果,可以得出一个关于自然数 n 的等式,这个等式可以表示为 n+1 n+1 + ( n + 1) = × ( n + 1)( n ∈ N *) n 答案 n .

18. 广东省广州东莞五校 2011 届高三理)已知等比数列 {an } 的前三项依次为 a ? 1 , ( 届高三理)
a + 1 , a + 4 ,则 an =
答案 4 ? ?



?3? ? ?2?

n?1

19. 浙江省吴兴高级中学 2011 届高三文) 已知数列 {an } 是等比数列,且 a n > 0 , ( 届高三文)

a1 = 1 , a 2 a3 a 4 = 8 ,则数列 {a n } 的公比 q =
答案

.

2

20.(河北省唐山一中 2011 届高三理).给出下列命题 ( 届高三理) (1) “数列 {a n } 为等比数列”是“数列 {a n a n +1 } 为等比数列”的充分不必要条件.
43

(2) a = 2 ”是 "函数f ( x) = x ? a 在区间 [ 2, ∞ ) 上为增函数”的充要条件. “ + (3) m = 3 是直线 (m + 3) x + my ? 2 = 0 与直线 mx ? 6 y + 5 = 0 互相垂直的充要条件. (4)设 a, b, c 分别是 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边,若 a = 1, b = 的必要不充分条件. 其中真命题的序号是 答案 20. (写出所有真命题的序号)

3 .则 A = 30° 是 B = 60°

(1)(4)
1

{a } 各项都是正数,且 a1 , 2 a3 , 2a2 21. 江苏泰兴市重点中学 2011 届文) 已知等比数列 n 中, (
成等差数列,则公比 q = __________. 答案 q = 1 + 三 解答题 22. 四川成都市玉林中学 2010— (本题满分 12 分) 22 (四川成都市玉林中学 2010—2011 学年度) 已知数列 {a n } 是等差数列, a1 = 2, a1 + a 2 + a3 = 12 (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)令 bn = 3 n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn.
a

2

答案 22.解(1)Q 数列{a n }是等差数列

由a1 + a 2 + a3 = 12, 得  2 = 12,∴ a 2 = 4 3a 又a1 = 2,∴ 公差d = a 2 ? a1 = 4 ? 2 = 2, 所以数列{a n } 的通项公式为 a n = 2n
(2)

bn = 3 2 n = 9 n ,

所以数列{bn }是首项为9,公比q = 9的等比数列, 数列{bn } 的前n项和S n = 9 1 ? 9n 9 = 9n ?1 1? 9 8

bn +1 9 n +1 = n = 9, bn 9

(

)

(

)
?1 ?3 ? ?

23. 江苏泰兴市重点中学2011届) (江苏泰兴市重点中学 届 (14分)已知 a = (1, cos x ), b = ? , sin x ?, x ∈ (0, π ) (1)若 a // b ,求

sin x + cos x 的值; sin x ? cos x
44

(2)若 a ⊥ b ,求 sin x ? cos x 的值。 答案 23. (本题满分 14 分)

1 1 cos x ? tan x = …………3 分 2 3 1 +1 sin x + cos x tan x + 1 3 ∴ = = = ?2 …………6 分 sin x ? cos x tan x ? 1 1 ?1 3 1 1 (2)Q a ⊥ b ? + sin x cos x = 0 ? sin x cos x = ? …………8 分 3 3 5 ∴ (sin x ? cos x)2 = 1 ? 2sin x cos x = …………10 分 3
解: (1)Q a / / b ? sin x = 又Q x ∈ (0, π )且 sin x cos x < 0 ? x ∈ (

π

2

, π ) ? sin x ? cos x > 0 ……12 分

∴ sin x ? cos x =

15 ………………14 分 3

24 . 江 苏 泰 兴 市 重 点 中 学 2011 届 ) 16 分 ) 已 知 数 列 {a n } 是 等 差 数 列 , ( (
2 cn = a n ? a n +1 n ∈ N ? 2

(

)
( )

(1)判断数列 {c n } 是否是等差数列,并说明理由; (2)如果 a1 + a 3 + L + a 25 = 130, a 2 + a 4 + L + a 26 = 143 ? 13k k为常数 ,试写出 数列 {c n } 的通项公式; (3)在(2)的条件下,若数列 {c n } 得前 n 项和为 S n ,问是否存在这样的实数 k ,使 S n 当且仅当 n = 12 时取得最大值。若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说明理 由。 答案 24.解: (1)设 {an } 的公差为 d ,则
2 2 2 2 cn +1 ? cn = (an +1 ? an + 2 ) ? (an ? an +1 ) 2 = 2an +1 ? (an +1 ? d ) 2 ? (an +1 + d ) 2

= ?2d 2
∴ 数列 {cn } 是以 ?2d 2 为公差的等差数列…………4 分
(2)Q a1 + a3 + L + a25 = 130

45

a2 + a4 + L + a26 = 143 ? 13k
∴ 两式相减: 13d = 13 ? 13k ∴ d = 1 ? k …………6 分 13(13 ? 1) ∴13a1 + × 2d = 130 2

∴ a3 = ?2 + 12k …………8 分 ∴ an = a1 + (n ? 1)d = (1 ? kn + (13k ? 3))
2 2 ∴ cn = an ? an +1 = (an + an +1 )(an ? an +1 )

= 26k 2 ? 32 + 6 ? (2n + 1)(1 ? k 2 ) = ?2(1 ? k ) 2 ? n + 25k ? 30k + 5 …………10 分
(3)因为当且仅当 n = 12 时 Sn 最大

∴ 有c12 > 0, c13 < 0 …………12 分
即?

??24(1 ? k ) 2 + 25k ? 30k + 5 > 0 ?k 2 + 18k ? 19 > 0 ? ? ?? 2 2 2 ??36(1 ? k ) + 25k ? 30k + 5 < 0 ?k ? 22k + 21 > 0 ? ?

?k > 1或k < ?19 ?? ? k < ?19或k > 21 …………15 分 ?k > 21或k < 1
25. (山东省实验中学 2011 届高三文理)已知数列 {a n } 的首项 a1 = 2a + 1 ( a 是常数,且 山东省实验中学 届高三文理)
2 a ≠ ?1 ) a n = 2a n ?1 + n 2 ? 4n + 2 ( n ≥ 2 ) , ,数列 {bn } 的首项 b1 = a , bn = a n + n

(n ≥ 2) 。 (1)证明: {bn } 从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列; (2)设 S n 为数列 {bn } 的前 n 项和,且 {S n } 是等比数列,求实数 a 的值; (3)当 a > 0 时,求数列 {a n } 的最小项.(提示:当 n ≥ 3 时总有 2 > 2n + 1 )
n

答案 25. (14 分) 解: (1)∵ bn = a n + n
2

∴ bn +1 = a n +1 + ( n + 1) = 2a n + ( n + 1) ? 4( n + 1) + 2 + (n + 1)
2 2

2

= 2a n + 2n 2 = 2bn (n≥2)
46

由 a1 = 2a + 1 得 a2 = 4a , b2 = a2 + 4 = 4a + 4 , ∵ a ≠ ?1 ,∴ b2 ≠ 0 , 即 {bn } 从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列。 (2) S n = a +

(4a + 4)(2n ?1 ? 1) = ?3a ? 4 + (2a + 2)2 n 2 ?1

当 n≥2 时,

Sn (2a + 2)2n ? 3a ? 4 3a + 4 = = 2+ n ?1 S n ?1 (2a + 2)2 ? 3a ? 4 (a + 1)2n ?1 ? 3a ? 4

∵ {S n } 是等比数列, ∴ S n (n≥2)是常数, S n ?1 ∴ 3a + 4 = 0 ,即 a = ?

4 。 3
n? 2

(3)由(1)知当 n ≥ 2 时, bn = (4a + 4)2 所以 an = ?

= (a + 1)2 n ,

? 2a + 1
n

(n = 1)

2 ?(a + 1)2 ? n (n ≥ 2)



n ≥ 2, a n+1 ? a n = (a + 1) ? 2 n ? (2n + 1) Q n ≥ 3有2 n > 2n + 1 ∴ n ≥ 3时a n+1 ≥ a n
显然最小项是前三项中的一项。 当 a ∈ (0, ) 时,最小项为 8a ? 1 ; 当a =

1 4

1 时,最小项为 4a 或 8a ? 1 ; 4 1 1 当 a ∈ ( , ) 时,最小项为 4a ; 4 2 1 当 a = 时,最小项为 4a 或 2a + 1 ; 2 1 当 a ∈ ( , +∞ ) 时,最小项为 2a + 1 。 2

题组三 题组三
一、选择题 1 . 广 东 省 惠 州 市 2010 届 高 三 第 三 次 调 研 理 科 ) 等 差 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 201 (

47

S n , 若a2 + a8 + a11 = 30 ,那么 S13 值的是
A.130 B.65 C.70 D.以上都不对



A



2.(四川省成都市 2010 届高三第三次诊断文科)已知等差 数列{an}一共有 12 项,其中奇数 ( 届高三第三次诊断文科) 项之和为 10,偶数项之和为 22,则公差为( (A)12 (B)5 (C) 2 (D)1 )

【答案】C 【解析】注意到(a12-a11) +(a10-a9)+……+(a2-a1)=6d 另一方面(a12-a11)+(a10-a9)+……+(a2-a1)=(a12+a10+……+a2)-(a11+a9+…… +a1)=12 所以 6d=12 ?

d=2
*

3.(2010 年 3 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已知点 An ( n , an ) n ∈ N ) ( 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科) ( 都在函数 y = a x ( a > 0, ≠ 1 )的图象上,则 a3 + a7 与 2a5 的大小关系是( A ) a
A. a3 + a7 > 2a5 B. a3 + a7 < 2a5 C. a3 + a7 = 2a5 D. a3 + a7 与 2a5 的大小与 a 有关 4. 四川省资阳市 2009—2010 学年度高三第三次高考模拟理) ( 2009— 学年度高三第三次高考模拟理) 在等差数列{an}中, a3 = 4 , 若
a7 = 12 ,则公差 d 的值是( D )

(A)5

(B)4

(C)3

(D)2

5. 广东省惠州市 2010 届高三第三次调研文科)设等比数列 {an } 的公比 q = 2 , 前 n 项和 ( 2010 届高三第三次调研文科) 为 Sn ,则

S4 =( a2



A. 2 【答案】C

B. 4

C.

15 2

D.

17 2

6. 2010 年广东省揭阳市高考一模试题理科 ) 数列 {an } 是公差不为 0 的等差数列,且 (2010 年广东省揭阳市高考一模试题理科)

48

a1 , a3 , a7 为等比数列 {bn } 的连续三项,则数列 {bn } 的公比为
A. 2 【答案】C 【解析】设数列 {an } 的公差为 d ( d ≠ 0 ) ,由 a3 = a1a7 得
2

B.4

C.2

D.

1 2

(a1 + 2d ) 2 = a1 (a1 + 6d ) ? a1 = 2d
故q =

a3 a1 + 2d 2a1 = = = 2 ,选 C. a1 a1 a1 1 , 8

7. 2010 年广东省揭阳市高考一模试题文科 ) 已知数列 {an } 是等比数列,且 a1 = (2010 年广东省揭阳市高考一模试题文科)

a4 = ?1 ,则 {an } 的公比 q 为
A.2 【答案】C 【解析】由 B.-

1 2

C.-2

D.

1 2

a4 = q 3 = ?8 ? q = ?2 ,故选 C. a1

8. ( 四 川 省 资 阳 市 2009 — 2010 学 年 度 高 三 第 三 次 高 考 模 拟 理 ) 已 知 函 数
?2 x ? 1, x ≤ 0, 把方程 f ( x) = x 的根按从小到大的顺序排列成一个数列, 则该数列 f ( x) = ? ? f ( x ? 1) + 1, x > 0,

的通项公式为( C ) (A) an =
n(n ? 1) ( n ∈ N* ) 2

(B) an = n(n ? 1) ( n ∈ N* ) (D) an = 2n ? 2 ( n ∈ N* )

(C) an = n ? 1 ( n ∈ N* )

9. 四川省泸州市 2010 届高三第二次教学质量诊断性考试理科)如果 ( 届高三第二次教学质量诊断性考试理科) 都大于零的等差数列,公差 d ≠ 0 ,则正确的关系为( B ) A.

a1 , a2 ,L , an

为各项

a1a8 > a4 a5

B.

a1a8 < a4 a5

C.

a1 + a8 > a4 + a5 Sn
是数列

D.

a1a8 = a4 a5

10.(四川省攀枝花市 2010 年 4 月高三第二次统考文科试题) ( 月高三第二次统考文科试题) 则“数列

{an } 的前 n 项和,

{Sn } 为等差数列”是“数列 {an } 为常数列”的(
B. 必要不充分 C. 充要

B )条件 D. 既不充分也不必要

A. 充分不必要 二、填空题

49

1. (广东省佛山市顺德区 2010 年 4 月普通高中毕业班质量检测试题理科) 广东省佛山市顺德区 月普通高中毕业班质量检测试题理科) 在等比数列 {an } 中,若 a1a2 a3 = 2 , a2 a3 a4 = 16 , 则公比 q = 2

2. 2010 年 3 月广东省广州市高三一模数学理科试题)在等比数列 {an } 中, a1 = 1 ,公比 ( 月广东省广州市高三一模数学理科试题)

q = 2 ,若 {an } 前 n 项和 S n = 127 ,则 n 的值为

7



3.(2010 年 3 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)设等差数列 {a n } 的前 n 项和 ( 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科) 为 S n ,若 S 9 = 81 ,则 a 2 + a 5 + a8 = 三、解答题 1. 2010 年 3 月广东省广州市高三一模数学理科试题) 本小题满分 14 分) ( 月广东省广州市高三一模数学理科试题) (本小题满分 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且对任意的 n ∈ N ,都有 an > 0 ,
*

27



Sn = a13 + a23 + L + an 3 .
(1)求 a1 , a2 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式 an ; (3)证明: a2 n +1≥a2 n + a2 n ?1 .
n n n

(1)解:当 n = 1 时,有 a1 = S1 = 解 由于 an > 0 ,所以 a1 = 1 . 当 n = 2 时,有 S 2 =

a13 ,

3 3 a13 + a2 ,即 a1 + a2 = a13 + a2 ,

将 a1 = 1 代入上式,由于 an > 0 ,所以 a2 = 2 .

50

证明 2:要证 a2 n +1≥a2 n + a2 n ?1 ,
n n n

只需证 ( 2n + 1) ≥ ( 2n ) + ( 2n ? 1) ,
n n n

只需证 ? 1 +

? ?

1 ? 1 ? ? ? ≥1 + ?1 ? ? , 2n ? ? 2n ?

n

n

51

只需证 ? 1 +

? ?

1 ? ? 1 ? ? ? ?1 ? ? ≥1 . 2 n ? ? 2n ?
n n

n

n

1 ? ? 1 ? ? 由于 ? 1 + ? ? ?1 ? ? ? 2n ? ? 2n ?

2 3 2 3 ? 0 ? ? 0 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 2? 1 ? 2? 1 ? = ?Cn + C1 ? ? + Cn ? ? + C3 ? ? + L? ? ?Cn-C1 ? ? + Cn ? ? -C3 ? ? + L? n n n n ? 2n ? ? 2n ? ? 2n ? ? 2n ? ? 2n ? ? 2n ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? = 2 ?C1 ? ? + C3 ? ? + C5 ? ? + L? n n n ? 2n ? ? 2n ? ? ? 2n ? ? ? ? 5 ? ? 1 ?3 ? ? 1 ? = 1 + 2 ?C3 ? ? + C5 ? ? + L? ≥1 . n n ? 2n ? ? ? 2n ? ? ? ?

因此原不等式成立. 2. (四川省绵阳市 2010 年 4 月高三三诊文科试题)(本小题满分 12 分)数列{an}中,a1=1, 月高三三诊文科试题) 且 an+1 =Sn(n≥1,n∈N*) N ,数列{bn}是等差数列,其公差 d>0,b1=1,且 b3、b7+2、3b9 成等 比数列. (Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ)设数列{cn}满足 cn= anbn ,求{cn}的前 n 项和 Tn. 解: (I)由已知有 S n +1 ? S n = S n ,即 S n +1 = 2S n (n ∈ N * ) , ∴ {Sn}是以 S1=a1=1 为首项,2 为公比的等比数列. ∴ Sn= 2 n ?1 .

(n = 1), ?S1 由 an = ? ?S n ? S n ?1 (n ≥ 2),

?1 得 an = ? n ? 2 ?2

(n = 1), ……………………………4 分 ( n ≥ 2).

∵ b3,b7+2,3b9 成等比数列, ∴ (b7+2) =b3·3b9,即 (1+6d+2) =(1+2d)·3(1+8d), 解得 d=1 或 d= ?
1 (舍), 2
2 2

∴ bn = 1 + (n ? 1) × 1 = n .…………………………………………………………7 分 (II)Tn=a1b1+a2b2+……+anbn=1×1+2×2 +3×2 +…+n× 2 n ? 2 ,
0 1

设 T=2×2 +3×2 +…+n× 2 n ? 2 ,
0 1

∴ 2T=2×2 +3×2 +…+n× 2 n ?1 ,
1 2

相减得-T=2+2 +2 +…+ 2 n ? 2 -n· 2 n ?1
1 2

52

=1+

1 × (1 ? 2 n ?1 ) ? n ? 2 n ?1 1? 2

= (1 ? n) ? 2 n ?1 ,

即 T=(n-1)· 2 n ?1 , ∴ Tn=1+(n-1)· 2 n ?1 (n∈N*). N ……………………………………………12 分

题组四 题组四
一、填空题 1. (岳野两校联考)等差数列

{a n } 中, a1 = 2 ,公差 d ≠ 0 ,且 a1 、 a3 、 a11 恰好是某等


比数列的前三项,那么该等比数列的公比为(

A.2 答案 D

1 B. 2

1 C. 4

D.4

2. (三明市三校联考) 在等比数列 {an }中, 已知 a3 a 7 = 16 , a4 a6 的值为 则 A.16 答案 A B.24 C.48 D.128





3.(昆明一中一次月考理)已知 {a n } 是公比为 q 的等比数列,且 a 1 , a 3 , a 2 成等差数列. 则

q=
A.1 或 ? 答案:A 4. (安徽六校联考)若等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a2 + a10 + a12 为确定的常数,则下列各 式中,也为确定的常数是( ) A. S13 答案 B 5. (昆明一中四次月考理)等差数列 {an } 的公差为 2,若 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a2 = ( ) (A) ? 6 答案:A
53

1 2

B.1

C. ?

1 2

D . ?2

B. S15

C. S17

D. S19

(B) ?8

(C)8

(D)6

6. (哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 若 a 4 = 18 ? a5 , 则S 8 等于( ) A.18 答案 D 7 . 玉 溪 一 中 期 中 理 ) 等 差 数 列 {a n } 中 , a 4 + a 5 = 15 , 其 前 n 项 和 为 S n , 且 ( B.36 C.54 D.72

S 7 ? S 6 = 15, 则a 2 = (
A. ? 3 答案:C B.1

) C. 0 D. 2

8.(祥云一中二次月考理)各项均为正数的等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若

S10 = 2, S 30 = 14, 则 S 40 等于(
A.16 答案:C B. 26

) C. 30 D. 80

9.(祥云一中二次月考理)在数列 a n 中,a1 = 1, 当x ∈ N 时,a n +1 ? a n = n, 则a100 的值 为 ( ) B 4951 C.5050 D. 5051

{ }

?

A. 4950 答案:B

10.(祥云一中二次月考理)在等差数列 {a n } 中,a1 = 3, 且a 1 , a 4 , a10 成等比数列,则 a n 的 通项公式为 ( ) B. a n = n + 2 D. a n = n + 2 或 a n = 3

A. a n = 2n + 1 C. a n = 2n + 1或a n = 3 答案:D 二、填空题

11. (安庆市四校元旦联考)对于数列{ a n },定义数列{ a n +1 ? a n }为数列{ a n }的 “差数列” ,若 a1 = 2 ,{ a n }的“差数列”的通项 为 2 n ,则数列{ a n }的前 n 项和 S n =

54

答案 2

n +1

?2 1 ,数列 {a n } 的前 n n ? (n + 1)

12. (祥云一中三次月考理)已知数列 {a n } 的通项公式为 a n = 项和为 S n ,则 答案:1 13. (祥云一中三次月考文) 数列 {an }中, a1 = 2, an = 1 ? 答案:2 三、解答题

lin S n =_________
n→∞

1 (n = 2, 3, 4,L) ,则 a4 = an ?1

14. (池州市七校元旦调研)在数列 {an } 中, a1 = 1, an +1 = (1 + ) an + (I)设 bn =

1 n

n +1 , 2n

an ,求数列 {bn } 的通项公式; n

(II)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn 解: (I)由已知有

an +1 an 1 1 = + n ∴ bn +1 ? bn = n n +1 n 2 2 1 * (n∈ N ) 2n ?1

利用累差迭加即可求出数列 {bn } 的通项公式: bn = 2 ? (II)由(I)知 an = 2n ?

n , 2 n ?1

∴ Sn = ∑ (2k ?
k =1 n

n

n n k k ) = ∑ (2k ) ? ∑ k ?1 k ?1 2 k =1 k =1 2 n



∑ (2k ) = n(n + 1) ,又 ∑
k =1

k 是一个典型的错位相减法模型, k ?1 k =1 2

易得

∑2
k =1

n

k
k ?1

= 4?

n+2 n+2 ∴ Sn = n(n + 1) + n ?1 ? 4 n ?1 2 2

15.(三明市三校联考) (本小题满分 13 分) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , a1 = 1 ,且 3a n +1 + 2 S n = 3 ( n 为正整数) (Ⅰ)求出数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)若对任意正整数 n , k ≤ S n 恒成立,求实数 k 的最大值. 解: (Ⅰ)Q 3a n +1 + 2 S n = 3 , ① ∴ 当 n ≥ 2 时, 3a n + 2 S n ?1 = 3 .
55



由 ① - ②,得 3a n +1 ? 3a n + 2a n = 0 . 又 Q a1 = 1 , 3a 2 + 2a1 = 3 ,解得 a 2 =



a n +1 1 = an 3

( n ≥ 2) .

1 . 3

∴ 数列 { a n } 是首项为 1,公比为 q =

1 的等比数列. 3
……………………(7 分)

?1? ∴ a n = a1 q n ?1 = ? ? ?3?

n ?1

( n 为正整数)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知∴ S n =

3? 1 ? 1? ( )n ? 2? 3 ? ?
n 3 ? ?1? ? 1 ? ? ? ? ,. ? 2 ? ?3? ? ? ?

由题意可知,对于任意的正整数 n ,恒有 k ≤

? ? 1 ?n ? Q 数列 ? 1 ? ? ? ? ? 3? ?

? 2 ? ? 单调递增, 当 n = 1 时,数列中的最小项为 , 3 ? ?
……………… (13 分)

∴ 必有 k ≤ 1 ,即实数 k 的最大值为 1

16. (安庆市四校元旦联考) (本题满分 16 分)各项均为正数的数列 {a n } 中, a1 = 1, S n 是 数列 {a n } 的前 n 项和,对任意 n ∈ N ,有 2 S n = 2 pa n + pa n ? p ( p ∈ R ) ;
?

2

⑴求常数 p 的值; ⑶记 bn =

⑵求数列 {a n } 的通项公式;

4S n ? 2 n ,求数列 {bn }的前 n 项和 T 。 n+3
2
?

解: (1)由 a1 = 1 及 2 S n = 2 pa n + pa n ? p (n ∈ N ) ,得: 2 = 2 p + p ? p (2)由 2 S n = 2a n + a n ? 1
2

∴ p =1

① ②
2

得 2 S n +1 = 2a n +1 + a n +1 ? 1
2

由②—①,得

2a n +1 = 2(a n+1 ? a n ) + (a n+1 ? a n )
2

即: 2( a n +1 + a n )( a n +1 ? a n ) ? ( a n +1 + a n ) = 0

∴ (a n +1 + a n )(2a n +1 ? 2a n ? 1) = 0
56

由于数列 {a n } 各项均为正数,

∴ 2a n +1 ? 2a n = 1



a n+1 ? a n =

1 2

1 ∴ 数列 {a n } 是首项为 1 ,公差为 的等差数列, 2 1 n +1 ∴ 数列 {a n } 的通项公式是 a n = 1 + (n ? 1) × = 2 2
(3)由 a n =

n +1 n(n + 3) ,得: S n = 2 4

∴ bn =

4S n ? 2n = n ? 2n n+3

∴ Tn = 1 × 2 + 2 × 2 2 + 3 × 2 3 + LL + n ? 2 n 2 ? Tn = 2 + 2 2 + 2 3 + LL + (n ? 1) × 2 n + n × 2 n +1 ? Tn = 2 + 2 2 + 2 3 + LL + 2 n ? n ? 2 n +1 = Tn = (n ? 1) ? 2 n +1 + 2
17.(祥云一中二次月考理) (本小题满分 12 分) 在数列 {a n } 中,a1 = ?3, a n = 2a n ?1 + 2 + 3(n ≥ 2, 且n ∈ N ?).
n

2(1 ? 2 n ) ? n × 2 n +1 = ?(n ? 1) ? 2 n +1 ? 2 1? 2

(1) 求a 2 , a3的值; (2)设 bn =

an + 3 (n ∈ N ? ), 证明: n }是等差数列; {b 2n

(3)求数列 {a n } 的前n项和S n. . 18.解(1)Q a1 = ?3, a n = 2a n ?1 +2 + 3( n ≥ 2, 且n ∈ N ?),
n

∴ a 2 = 2a1 + 2 2 + 3 = 1 a 3 = 2a 2 + 2 3 + 3 = 13.
(2)证法一:对于任意 n ∈ N ? ,

Q bn +1 ? bn =
=

a n +1 + 3 a n + 3 1 ? = n +1 [(a n +1 ? 2a n ) ? 3] n +1 n 2 2 2 1
n +1

2

[(2

n +1

+ 3 ? 3 = 1,

) ]

∴ 数列 {bn }是首项为

a1 + 3 ? 3 + 3 = = 0 ,公差为 1 的等差数列. 2 2
57

证法二: (等差中项法) (3)由(2)得,

an + 3 = 0 + (n ? 1) × 1, 2n

∴ a n = (n ? 1) ? 2 n ? 3(n ∈ N ? ). ∴ S n = ?3 + (1 × 2 2 ? 3) + (2 × 2 3 ? 3) + L + (n ? 1) ? 2 n ? 3 ,
即 S n = 1 × 2 + 2 × 2 + 3 × 2 + L + (n ? 1) ? 2 ? 3n.
2 3 4 n

[

]

设 Tn = 1 × 2 + 2 × 2 + 3 × 2 + L + (n ? 1) ? 2 ,
2 3 4 n

则 2Tn = 1 × 2 + 2 × 2 + 3 × 2 + L + (n ? 1) ? 2
3 4 5 2 3 4 n

n +1

,
n +1

两式相减得, ?T n = 2 + 2 + 2 + L + 2 ? (n ? 1) ? 2

=

4(1 ? 2 n?1 ) ? (n ? 1) ? 2 n+1 , 1? 2
n +1

整理得, T n = 4 + (n ? 2) ? 2 从而 S n = 4 + ( n ? 2) ? 2
n +1

,

? 3n(n ∈ N ? ).

题组五 题组五
一、选择题 1、 (2009 滨州一模)等差数列 {a n } 中, a5 + a11 = 30 , a4 = 7 ,则 a12 的值为 A.15 答案 B 2、 (2009 昆明市期末)已知数列{an}是公差不为零的等差数列,且 a1,a3,a4 成等比数列, B.23 C.25 D.37

Sn 为数列{an}的前 n 项和,则
A. ? 答案 D

S3 的值为 S5
C. ?





3 5

B.

3 5

9 10

D.

9 10

58

3、 (2009 番禺一模)已知等比数列 {a n } 的各项均为正数,前 n 项之积为 Tn ,若 T5 = 1 ,则 必有( A. a1 =1 答案 B 4、2009 昆明一中第三次模拟) ( 己知等比数列 {an } 满足 a1 + a2 = 3, a2 + a3 = 6, 则 a7 =( A.64 答案 A 5、 (2009 茂名一模)已知等差数列 {an } 的公差为 ?2 ,且 a2 , a4 , a5 成等比数列,则 a2 等于 ( ) B、-6 C、-8 D、8 B 81 C.128 D.243 ) ) B. a3 =1 C. a 4 =1 D. a5 =1

A、-4 答案 D

6、 (2009 牟定一中期中)等比数列 {an } 中,若 a2 、 a4 是方程 2 x ? 11x + 8 = 0 的两根,则
2

a3 的值为(
(A)2 答案 B

) (B) ±2 (C) 2 (D) ± 3

7、 (2009 上海十四校联考)无穷等比数列 1, A. 2 ? 2 答案 B B. 2 +

2 1 2 , , , …各项的和等于 2 2 4
C. 2 + 1 D. 2 ? 1





2

8、 (2009 江门一模)已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n = p × 2 + 2 ,{a n } 是等比数列的充要条
n

件是 A. p = 1 答案 D 9、 (2009 杭州高中第六次月考) 数列{ an }满足 a n + a n +1 = 的前 n 项和,则 S 21 的值为
59

B p=2

C. p = ?1

D. p = ?2

1 a (n ∈ N ? ) , 2 = 1 ,S n 是 {a n } 2
( )

A. 9

B. 11

C.6

D.10

2
答案 A

2

10、 (2009 聊城一模)两个正数 a、b 的等差中项是 5,等比例中项是 4,若 a>b,则双曲线

x2 y2 ? = 1 的离心率 e 等于 a b
A.





3 2

B.

5 2

C.

17 50

D. 3

答案 B 11、 (2009 深圳一模)在等差数列 {an } 中, a3 + a9 = 27 ? a6 , S n 表示数列 {an } 的前 n 项 和,则 S11 = A. 18 答案 B 二、填空题 1、 (2009 上海十四校联考)若数列 {a n }满足
2 a n +1 = p ( p为正常数, n ∈ N * ), 则称{a n } 为 2 an

B. 99

C. 198

D. 297

“等方比数列” 。则“数列 {a n } 是等方比数列”是“数列 {a n } 是等方比数列”的 件



2、 (2009 上海八校联考) 在数列 {a n } 中, 1 = 0, a2 = 2 , a n + 2 ? a n = 1 + ( ?1) ( n ∈ N ?) , a 且
n

S100 = _________。
答案 2550 3、 (2009 江门一模) S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和,若 S1 = 1 , S 2 = 4 , 则 an = 答案 2n ? 1 4、(2009 宁波十校联考)已知 {an } 是等差数列, a1 + a2 = 4, a7 + a8 = 28 ,则该数列前 10 项和 S10 =________ 答案 100 .

60

三、解答题 1、 (2009 杭州二中第六次月考)数列 {an } 中,a1 = t , a2 = t , 其中 t ≠ 0 且 t ≠ 1 , x =
2

t是

函数

f ( x) = an ?1 x3 ? 3[(t + 1)an ? an +1 ]x + 1(n ≥ 2) 的一个极值点.
(Ⅰ)证明: 数列 {an +1 ? an } 是等比数列; (Ⅱ)求 an . (1)由题意得 f ′( t ) = 0, 即 3an ?1t ? 3[(t + 1) an ? an +1 ] = 0 ,

∴ an +1 ? an = t (an ? an ?1 ), (n ≥ 2) ,
∴ 当 t ≠ 1 时,数列 {an +1 ? an } 是以 t 2 ? t 为首项, t 为公比的等比数列,
(2)∴ an +1 ? an = (t ? t )t
2

n ?1

, 即 an +1 ? t n +1 = an ? t n , ∴ an ? t n = a1 ? t = 0,

∴ an = t n (n ∈ N ? ) ,此式对 t = 1 也成立.
2、 2009 滨州一模) ( 已知曲线 C : xy = 1, 过 C 上一点 An ( xn , yn ) 作一斜率为 k n = ?

1 的 xn + 2
11 . 7

直线交曲线 C 于另一点 An +1 ( xn +1 , yn +1 ) ,点列 { An } 的横坐标构成数列 { xn } ,其中 x1 = (I)求 xn 与 xn +1 的关系式; (II)令 bn =

1 1 + ,求证:数列 {bn } 是等比数列; xn ? 2 3
n

(III)若 cn = 3 ? λ bn (λ 为非零整数,n∈N*) ,试确定 λ 的值,使得对任意 n∈N*,都 有 cn+1>cn 成立。 (1) 解:过 An ( xn , yn ) 的直线方程为 y ? yn = ?

1 ( x ? xn ) xn + 2

1 ? ( x ? xn ) ? y ? yn = ? xn + 2 联立方程 ? 消去 y 得 ? xy = 1 ?

x 1 x 2 ? ( yn + n ) + 1 = 0 xn + 2 xn + 2

61

∴ xn x

n +1

= xn + 2

即 xn +1 =

xn + 2 xn

(2)

bn +1 bn

1 1 + xn 1 1 xn + 2 1 3 xn + 2 ? xn 3 + ?2 + x ?2 3 xn 2 ? xn 3 3(2 ? xn ) = n +1 = = = = ?2 1 1 1 1 1 1 3 + xn ? 2 + + + xn ? 2 3 xn ? 2 3 xn ? 2 3 3( xn ? 2)

∴ {bn } 是等比数列

b1 =

1 1 + = ?2 x1 ? 2 3
( III )

, q = ?2 ; , 要 使 cn +1 > cn 恒 成 立 由

由 ( II ) 知 , bn = ( ?2)

n

cn +1 ? cn = ?3n +1 ? λ (?2) n +1 ? ? ?3n ? λ (?2)n ? = 2 ? 3n + 3λ (?2)n >0 恒成立, ? ? ? ?

3 n-1 ) 恒成立. 2 3 n-1 ⅰ。当 n 为奇数时,即λ<( ) 恒成立. 2 3 n-1 又( ) 的最小值为 1.∴λ<1. 2 3 n-1 ⅱ。当 n 为偶数时,即λ>-( ) 恒成立, 2 3 n-1 3 3 又-( ) 的最大值为- ,∴λ>- . 2 2 2 3 即- <λ<1,又λ≠0,λ为整数, 2
即(-1) λ>-(
n

10 分

11 分

∴λ=-1,使得对任意 n∈N*,都有 cn +1 > cn . 3、(2009 台州市第一次调研)已知数列 {a n } 的首项 a1 = (Ⅰ)求证: a n +1 =

12 分

1 ,前 n 项和 S n = n 2 a n . 2

n an ; n+2
? Tn

(Ⅱ)记 bn = ln S n , Tn 为 {bn } 的前 n 项和,求 e

? n 的值.

解: (1)由 S n = n 2 a n ①,得 S n +1 = ( n + 1) 2 a n +1 ②, ②-①得: a n +1 =

n an . n+2
62

4分

(2)由 a n +1 =

n a n 求得 a n = 1 . n+2 n(n + 1)

7分

∴ S n = n 2 an =

n , bn = ln S n = ln n ? ln(n + 1) n +1

11 分

Tn = (ln1 ? ln 2) + (ln 2 ? ln 3) + (ln 3 ? ln 4) + L + (ln n ? ln(n + 1)) = ? ln(n + 1)
∴ e ?Tn ? n = e ln( n +1) ? n = 1 . 14 分

4、 (2009 上海青浦区) 设数列 {an } 的前 n 和为 S n , 已知 S1 =

1 13 16 64 ,S 2 = ,S3 = ,S 4 = , 3 3 3 3

? (n + 1) 2 4 n ?1 + (2 ? 1), (当n为奇数时) ? ? 12 3 (n∈ N *) . 一般地, S n = ? 2 ? n + 4 (2 n ? 1). (当n为偶数时) ? 12 3 ?

(1)求 a4 ; (2)求 a2 n ; (3)求和: a1a2 + a3 a4 + a5 a6 + L + a2 n ?1a2 n . (1) a 4 = 16 ; (2)当 n = 2k 时, k ∈ N * ) ( ……3 分

a 2 k = S 2 k ? S 2 k ?1 =
n

( 2k ) 2 4 2 k ( 2k ) 2 4 2 k ? 2 + (2 ? 1) ? [ + (2 ? 1)] = 2 2 k , ……6 分 12 3 12 3
……8 分

所以, a 2 n = 4 ( n ∈ N * ) . (3)与(2)同理可求得: a 2 n ?1 =

1 (2n ? 1) , 3

……10 分

设 a1 a 2 + a3 a 4 + a5 a 6 + L + a 2 n ?1 a 2 n = Tn , 则 Tn =

1 [4 + 3 × 4 2 + 5 × 4 3 + L + (2n ? 1) × 4 n ] , (用等比数列前 n 项和公式的推导方法) 3 1 4Tn = [4 2 + 3 × 4 3 + 5 × 4 4 + L + (2n ? 1) × 4 n+1 ] ,相减得 3 1 ? 3Tn = [4 + 2(4 2 + 4 3 + L + 4 n ) ? (2n ? 1) × 4 n+1 ] ,所以 3 2n ? 1 n+1 32 4 Tn = ×4 ? × (4 n ?1 ? 1) ? . ……14 分 9 27 9

5、 (2009 上海八校联考)已知点列 B1 (1, y1 ), B2 (2, y2 ), L , Bn ( n, yn ), L ( n ∈ N *) 顺次

63

为直线 y =

x 上的点, 点列 A1 ( x1 , 0), A2 ( x2 , 0), L , An ( xn , 0), L ( n ∈ N *) 顺次为 x 轴 4

上的点,其中 x1 = a (0 < a < 1) ,对任意的 n ∈ N * ,点 An 、 Bn 、 An +1 构成以 Bn 为顶点的 等腰三角形。 (1)证明:数列 {y n }是等差数列; (2)求证:对任意的 n ∈ N * , x n +2 ? x n 是常数,并求数列 {x n } 的通项公式; (3)对上述等腰三角形 An Bn An +1 添加适当条件,提出一个问题,并做出解答。 (根据所提问题及解答的完整程度,分档次给分) 解: (1)依题意有 y n =

n 1 ,于是 y n +1 ? y n = . 4 4

所以数列 {y n }是等差数列.

LLL .4 分


(2)由题意得

x n + x n +1 = n ,即 x n + x n +1 = 2n , ( n ∈ N ? ) 2


所以又有 x n + 2 + x n +1 = 2( n + 1) . 由② ? ①得: x n + 2 ? x n = 2 , 所以 x n + 2 ? x n 是常数. 由 x1 , x 3 , x 5 ,LL;

LLL 6分

x 2 , x 4 , x 6 ,LL 都是等差数列. x 2 k ?1 = x1 + 2(k ? 1) = 2k + a ? 2 ,
( k ∈ N? )

x1 = a (0 < a < 1), x 2 = 2 ? a ,那么得

x 2 k = x 2 + 2(k ? 1) = 2 ? a + 2(k ? 1) = 2k ? a .
故 xn = ?

LLL 8分 LLL 10分

?n + a ? 1 (n为奇数) (n为偶数). ? n?a

(3) 提出问题①:若等腰三角形 An Bn An +1 中,是否有直角三角形,若有,求出实数 a 提出问题②:若等腰三角形 An Bn An +1 中,是否有正三角形,若有,求出实数 a 解:问题①

LLL 11分

当 n 为奇数时, An ( n + a ? 1,0), An +1 ( n + 1 ? a,0) ,所以 An An +1 = 2(1 ? a ); 当 n 为偶数时, An ( n ? a,0), An +1 ( n + a,0), 所以 An An +1 = 2a; 作 Bn C n ⊥ x 轴,垂足为 C n , 则 Bn C n =

n ,要使等腰三角形 An Bn An +1 为直角三角形,必须且 4
64

只须: An An +1 = 2 Bn C n . 当 n 为奇数时,有 2(1 ? a ) = 2 ×

LLL 13分

n n ,即 a = 1 ? ① 4 4 3 1 ∴ 当n = 1时, a = ; 当 n = 3时, a = , 当 n ≥ 5 , a < 0 不合题意. LLL 15 分 4 4 n n 1 当 n 为偶数时,有 2a = 2 × , a = ,同理可求得 当n = 2 时 a = 4 4 2
当 n ≥ 4 时, a < 0 不合题意.

LLL 17分
3 1 1 或 或 . 4 4 2

综 上 所 述 , 使 等 腰 三 角 形 An Bn An +1 中 , 有 直 角 三 角 形 , a 的 值 为

LLL 18分
解:问题②

LLL 11分

当 n 为奇数时, An ( n + a ? 1,0), An +1 ( n + 1 ? a,0) ,所以 An An +1 = 2(1 ? a ); 当 n 为偶数时, An ( n ? a,0), An +1 ( n + a,0), 所以 An An +1 = 2a; 作 Bn C n ⊥ x 轴,垂足为 C n , 则 Bn C n = 须: An An +1 =

n ,要使等腰三角形 An Bn An +1 为正三角形,必须且只 4

2 B nC n . 3

LLL 13分

当 n 为奇数时,有 2(1 ? a ) =

2

n 3 × ,即 a = 1 ? n 12 3 4



∴ 当n = 1时, a = 1 ?
时,. a < 0 不合题意. 当 n 为偶数时,有 2a =

3 3 ; 当 n = 3时 , a = 1 ? 12 4

; n = 5时, a = 1 ?

5 3 , 当n ≥7 12

LLL 15 分
2 n 3n 3 ,a = ,同理可求得 当n = 2 时 a = . 12 6 3 4 ×

当n = 4时 a =

3 3 ; 当n = 6 时 a = ;当 n ≥ 8 时, a < 0 不合题意. LLL 17分 3 2

综上所述,使等腰三角形 An Bn An +1 中,有正三角形, a 的值为

a = 1?

3 3 ; a = 1? 12 4

;a = 1?

5 3 3 3 ; a= ; a= 12 6 3

;a =

3 LLL 18分 2

a 6、 (2009 广州一模) 已知数列{an}的相邻两项 an, n+1 是关于 x 的方程 x2-2n x+ bn=0 (n∈N*) 的两根,且 a1=1.
65

(1)求证:数列{ an-

1 n ×2 }是等比数列; 3

(2)设 Sn 是数列{an}的前 n 项的和, 问是否存在常数 λ, 使得 bn-λSn>0 对任意 n∈N*都成立, 若存在,求出 λ 的取值范围;若不存在,请说明理由. (本题主要考查数列的通项公式、数列前 n 项和、不等式等基础知识,考查化归与转化、分 类与整合、 特殊与一般的数学思想方法, 以及推理论证能力、 运算求解能力和抽象概括能力) (1)证法 1:∵an,an+1 是关于 x 的方程 x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根, 证法 ∴?

?a n + a n+1 = 2n ?b n = a n ? a n +1
1 3
n+1

……2 分

由 an+an+1=2n,得 a n+1 ? × 2 是首项为 a1 ?

1 1 = ?(a n ? × 2n ) ,故数列 {a n ? × 2n } 3 3
……4 分

2 1 = ,公比为-1 的等比数列. 3 3

证法 2:∵an,an+1 是关于 x 的方程 x2-2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根, ∴?

?a n + a n+1 = 2n ?b n = a n ? a n +1

……2 分

1 1 1 a n+1 ? × 2 n+1 2n ? a n ? × 2n+1 ?(a n ? × 2 n ) 3 3 3 ∵ = = = ?1 , 1 n 1 n 1 n an ? × 2 an ? × 2 an ? × 2 3 3 3 1 n 2 1 故数列 {a n ? × 2 } 是首项为 a1 ? = ,公比为-1 的等比数列. 3 3 3
……4 分 (2)解:由(1)得 a n ? × 2 =
n

1 3

1 1 × (?1)n ,即 a n = [2n ? (?1) n ] , 3 3

∴ b n = a n ? a n +1 =

1 n [2 ? (?1) n ] × [2n +1 ? (?1) n+1 ] 9

1 = [2 2n+1 ? (?2) n ? 1] ……6 分 9 1 ∴Sn=a1+ a2+ a3+…+ an= [(2+22+23+…+2n)-[(-1)+ (-1)2+…+(-1)n] 3 1 (?1)n ? 1 = [2 2n+1 ? 2 ? ], 3 2
要使得 bn-λSn>0 对任意 n∈N*都成立, ∈ 都成立, 即 [2 ……8 分

1 9

2n +1

λ (?1) n ? 1 ? (?2) n ? 1] ? [22n +1 ? 2 ? ] > 0 (*) 对任意 n∈N*都成立. 3 2

66

①当 n 为正奇数时,由(*)式得 [2 即

1 9

2n +1

λ + 2 n ? 1] ? [22n +1 ? 1] > 0 , 3

1 n+1 λ (2 ? 1)(2n + 1) ? (2 n+1 ? 1) > 0 , 9 3 1 n ∵2n+1-1>0,∴ λ < (2 + 1) 对任意正奇数 n 都成立. 3 1 n 当且仅当 n=1 时, (2 + 1) 有最小值 1,∴λ<1. ……10 分 3 1 2n +1 n λ + 2 ? 1] ? [22n +1 ? 1] > 0 , ①当 n 为正奇数时,由(*)式得 [2 9 3 1 n+1 λ n+1 n 即 (2 ? 1)(2 + 1) ? (2 ? 1) > 0 , 9 3 1 n ∵2n+1-1>0,∴ λ < (2 + 1) 对任意正奇数 n 都成立. 3 1 n 当且仅当 n=1 时, (2 + 1) 有最小值 1,∴λ<1. ……10 分 3 1 2n+1 n λ ②当 n 为正偶数时,由(*)式得 [2 ? 2 ? 1] ? [22n+1 ? 2] > 0 , 9 3 1 n+1 2λ n n 即 (2 + 1)(2 ? 1) ? (2 ? 1) > 0 , 9 3 1 n+1 ∵2n-1>0,∴ λ < (2 + 1) 对任意正偶数 n 都成立. 6 1 n +1 当且仅当 n=2 时, (2 + 1) 有最小值 1.5,∴λ<1.5. ……12 分 6
综上所述,存在常数 λ,使得 bn-λSn>0 对任意 n∈N*都成立,λ 的取值范围是(-∞,1). ……14 分 7、 (2009 宣威六中第一次月考) 已知数列 {an } 满足 an +1 = ?an + 2an n ∈ N ? , 0 < a1 < 1 且
2

(

)

(1)用数学归纳法证明: 0 < an < 1 ; (2)若 bn = lg (1 ? an ) ,且 a1 = 解:

?1? 9 ,求无穷数列 ? ? 所有项的和。 10 ? bn ?

67

8、 2009 广东三校一模) 2 , a5 是方程 x ? 12 x + 27 = 0 的两根,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , ( a
2

且 Tn = 1 ?

1 bn n ∈ N ? 2

(

)

(1)求数列 {a n } , {bn }的通项公式; (2)记 c n = a n bn ,求数列 {c n }的前 n 项和 S n . 解:(1)由 a 2 + a 5 = 12, a 2 a5 = 27 .且 d > 0 得 a 2 = 3, a5 = 9 2分

∴d =

a5 ? a 2 = 2 , a1 = 1 ∴ a n = 2n ? 1 n ∈ N ? 3

(

)

4分

在 Tn = 1 ?

1 2 1 1 bn 中,令 n = 1, 得 b1 = . 当 n ≥ 2 时,T n = 1 ? bn , Tn?1 = 1 ? bn ?1 , 2 3 2 2

两式相减得 bn =
n ?1

b 1 1 1 bn ?1 ? bn ,∴ n = (n ≥ 2) 2 2 bn ?1 3
= 2 n∈ N? . n 3

6分

2?1? ∴ bn = ? ? 3 ? 3?

(

)

8分

(2) c n = (2n ? 1) ?

2 4n ? 2 = , 3n 3n
68

9分

5 2n ? 1 ? S 3 2n ? 3 2n ? 1 ? ?1 3 ? 1 ∴ S n = 2? + 2 + 3 + L + n ? , n = 2? 2 + 3 + L + + n +1 ? , 3 3 ? 3 3 3n 3 ?3 3 ?3 ?

10 分

? ? 1? 1 ? ? 1 2 × 9 ?1 ? 3 n ?1 ? 2n ? 1? ?1 2 1 1 ? 2n ? 1? ? 1 ? ?? ? ∴ S n = 2 ? + 2? 2 + 3 + L + n ? ? n +1 ? =2 ? + 1 3 3 ?3 3 3 ? 3 3 n +1 ? ?3 ? ? 1? ? ? 3 ? ?
= 2?

? 1 1 1 2n ? 1 ? 4 4n + 4 + ? n ? n +1 ? = ? n +1 , 3 3 ?3 3 3 ? 3
2n + 2 3n
14 分

13 分

∴ Sn = 2 ?

9、 (2009 江门一模)已知等差数列 {a n } 和正项等比数列 {bn } , a1 = b1 = ?1 , a3 = b3 = 2 . ⑴求 a n 、 bn ; ⑵对 ?n ∈ N ,试比较 a n 、 bn 的大小; ⑶设 {bn } 的前 n 项和为 S n ,是否存在常数 p 、 c ,使 a n = p + log 2 ( S n + c ) 恒成立?若 存在,求 p 、 c 的值;若不存在,说明理由. 解:⑴由 a 3 = a1 + (3 ? 1)d ,得 d = 所以 a n = a1 + ( n ? 1) d =
?

1 -------1 分 2

由 b3 = b1 q 且 q > 0 得 q =
2

2 ----2 分

n +1 n ?1 , bn = b1 q =2 2

n ?1 2

-------4 分

⑵显然 n = 1 , 3 时, a n = bn ; n = 2 时, a 2 =

3 , b2 = 2 , a 2 > b2 -------5 分 2

n > 3 时, 2(bn

2

(n + 1) 2 n 2 + 2n + 1 n ? an ) = 2 ? = (1 + 1) ? 2 2
2
n

0 1 2 3 > Cn + Cn + Cn + Cn ?

n 2 + 2n + 1 -------6 分 2

=

n ? 1 n ( n ? 2) ×[ ? 1] > 0 -------7 分 2 3

因为 a n 、 bn > 0 ,所以 n > 3 时, a n < bn -------8 分

b1 (1 ? q n ) ⑶ Sn = = ( 2 + 1)(2 2 ? 1) -------9 分, 1? q
n

?1 = p + log 2 (1 + c) a n = p + log 2 ( S n + c) 恒成立,则有 ? -------11 分,解得 ?2 = p + log 2 (1 + 2 + 2 + c)

69

c = 2 + 1 , p = log 2 (2 ? 2 ) -------12 分
?n ∈ N ? , p + log 2 ( S n + c) = log 2 (2 ? 2 ) + log 2 [( 2 + 1)(2 2 ? 1) + ( 2 + 1)]
n n
n

= log 2 [(2 ? 2 )( 2 + 1) × 2 2 ] = log 2 ( 2 × 2 2 ) =
所以,当 p = log 2 ( 2 ?

n +1 = a n -------13 分 2

2 ) , c = 2 + 1 时, a n = p + log 2 ( S n + c) 恒成立-------14 分


10、 (2009 汕头一模)在等比数列{an}中,an>0 (n ∈ N ) ,公比 q ∈ (0,1),且 a1a5 + 2a3a5 +a
2a8=25,

a3 与 as 的等比中项为 2。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2 an,数列{bn}的前 n 项和为 Sn 当
2

S S1 S 2 + + ? ? ? + n 最大时,求 n 的值。 1 2 n
2

解: (1)因为 a1a5 + 2a3a5 +a 2a8=25,所以, a3 + 2a3a5 + a5 =25 又 an>o,…a3+a5=5,…………………………2 分 又 a3 与 a5 的等比中项为 2,所以,a3a5=4 而 q ∈ (0,1) ,所以,a3>a5,所以,a3=4,a5=1, q =

1 ,a1=16,所以, 2

?1? an = 16 × ? ? ?2?

n ?1

= 25? n …………………………6 分

(2)bn=log2 an=5-n,所以,bn+1-bn=-1, 所以,{bn}是以 4 为首项,-1 为公差的等差数列。。。。。9 分 。。。。

n(9 ? n) S n 9 ? n , = 2 n 2 Sn S S 所以,当 n≤8 时, >0,当 n=9 时, n =0,n>9 时, n <0, n n n S S S 当 n=8 或 9 时, 1 + 2 + ? ? ? + n 最大。 …………………………12 分 1 2 n 11、 (2009 深圳一模文)设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , a1 = 1 ,且对任意正整数 n ,点
所以, S n =

(a n+1 , S n ) 在直线 2 x + y ? 2 = 0 上.
(Ⅰ) 求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)是否存在实数 λ ,使得数列 ?S n + λ ? n + 若不存在,则说明理由.
70

? ?

? 为等差数列?若存在,求出 λ 的值; 2n ?

λ?

(Ⅲ)求证:

1 n 2?k 1 ≤∑ < . 6 k =1 (ak + 1)(ak +1 + 1) 2
① ② …………………… 1 分

解:(Ⅰ)由题意可得:

2a n +1 + S n ? 2 = 0.
n ≥ 2 时, 2a n + S n ?1 ? 2 = 0.
①─②得 2an +1 ? 2an + an = 0 ?

an+1 1 = (n ≥ 2 ) , an 2
…………………… 3 分
n ?1

Q a1 = 1, 2a2 + a1 = 2 ? a2 =

1 2

1 ?1? ∴ {a n } 是首项为 1 ,公比为 的等比数列,∴ an = ? ? . ……………… 4 分 2 ?2?

1 2n = 2 ? 1 . (Ⅱ)解法一:Q S n = 1 2 n?1 1? 2 1?
若 ?S n + 则 S1 + λ +

……………… 5 分

? ?

? 为等差数列, 2n ?

λ?

λ
2

, S 2 + 2λ +

λ
2
2

, S 3 + 3λ +

λ
23

成等差数列,

……………… 6 分

9λ ? 3λ 25λ 3λ 7 25λ ? ? 3 9λ ? 2 ? S2 + + S3 + ? 2? + + + , ? = S1 + ? = 1+ 4 ? 2 8 2 4 8 ? ?2 4 ?
得 λ = 2. 又 λ = 2 时, S n + 2n + ……………… 8 分

2 = 2n + 2 ,显然 {2n + 2} 成等差数列, 2n
? ? ? 成等差数列. ……………… 9 分 2n ?

故存在实数 λ = 2 ,使得数列 ? S n + λn +

λ?

1 2n = 2 ? 1 . 解法二: Q S n = 1 2 n?1 1? 2 1? ∴ S n + λn +
? ?

……………… 5 分

λ
2
n

= 2?

1 2
n ?1

+ λn +

λ
2
n

= 2 + λn + (λ ? 2 )

1 . 2n

…………… 7 分

欲使 ? S n + λ ? n +

? 成等差数列,只须 λ ? 2 = 0 即 λ = 2 便可. 2n ?

λ?

……………8 分

71

故存在实数 λ = 2 ,使得数列 ? S n + λn + (Ⅲ)Q

? ?

? 成等差数列. 2n ?

λ?

……………… 9 分

1 = (a k + 1)(a k +1 + 1)

1 ( 1 2 k ?1 1 + 1)( k + 1) 2

=

1 1 1 ( ? ) k 1 1 2 +1 +1 2k 2 k ?1

…… 10 分

∴∑

n 1 2 ?k 1 ) = ∑( ? 1 1 k =1 ( a k + 1)( a kt +1 + 1) k =1 +1 +1 2k 2 k ?1 n

………… 11 分

=(

1 1 1 1 1 ? ) )+ ( ? ) +L + ( 1 1 1 1 1 1+1 +1 +1 +1 +1 +1 2 22 2 2t 2 k ?1
1 ?
………… 12 分

1 2k 1 1 =? + = k ? 1 1+1 2 +1 2 +1 k 2 1 2x 又函数 y = x = 在 x ∈ [1, + ∞ ) 上为增函数, 1 2 +1 +1 2x
21 2k ∴ 1 ≤ < 1, 2 + 1 2k + 1

………… 13 分

2 1 2k 1 1 1 n 2?k 1 ? < 1? , ≤ ∑ ∴ ? ≤ k < . ……… 14 分 3 2 2 +1 2 2 6 k =1 (ak + 1)(ak +1 + 1) 2

2009 年联考题
一、选择题 1.(北京市朝阳区 2009 年 4 月高三一模理)各项均不为零的等差数列 {a n } 中,若 )
2 an ? an ?1 ? an +1 = 0(n ∈ N ? , n ≥ 2) ,则 S 2009 等于





A.0 答案 D

B.2

C.2009

D.4018

2. (北京市西城区 2009 年 4 月高三一模抽样测试理) 若数列 {an } 是公比为 4 的等比数列, 且 a1 = 2 ,则数列 {log 2 an } 是( A. 公差为 2 的等差数列 ) B. 公差为 lg 2 的等差数列

72

C. 公比为 2 的等比数列 答案 A

D. 公比为 lg 2 的等比数列

3. 2009 福州三中) ( 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, S7 = 14 , a3 + a5 的值为 若 则 ( A.2 答案 B B.4 C.7 D.8



4.(2009 厦门一中文)在等差数列 {an } 中, a2 + a8 = 4 ,则 其前 9 项的和 S9 等于 ( A.18 答案 A B 27 C 36 D 9



2 5.(2009 长沙一中期末)各项不为零的等差数列 {a n } 中, 2 a 3 ? a 7 + 2 a11 = 0 ,则 a7 的值 ...

为 A. 0 答案 B B.4 C. 0或4 D. 2





6.(2009 宜春)在等差数列 {a n } 中, a1 + a 4 + a 7 = 39 , a 3 + a 6 + a9 = 27 ,则数列 {a n } 的前 9 项之和 S 9 等于 A.66 答案 B 7.(辽宁省部分重点中学协作体 2008 年高考模拟)设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 B.99 C.144 D..297 ( )

S n , 若S 4 = 8, S 8 = 20, 则a11 + a12 + a13 + a14 =
A.18 答案:C. 二、填空题 B.17 C.16 D.15





8.(北京市东城区 2009 年 3 月高中示范校高三质量检测理)已知等差数列 {a n } 的公差

d ≠ 0 ,且 a1 , a 3 , a9 成等比数列,则
答案

a1 + a3 + a9 的值为 a 2 + a 4 + a10



13 16

73

9.(2009 福州八中)已知数列 an = ?

?n ? 1, n为奇数 则 a1 + a100 = ____ , ? n, n为偶数

a1 + a2 + a3 + a4 + L + a99 + a100 = ____
答案 100. 5000; 10.(2009 宁乡一中第三次月考)11、等差数列 {an } 中, a1 + a2 + L + a9 = 81 且

a2 + a3 + L + a10 = 171 ,则公差 d =
答案 10 11.(2009 南京一模)已知等比数列 {a n } 的各项均为正数,若 a1 = 3 ,前三项的和为 21 , 则 a 4 + a5 + a 6 = 答案 168 12.(2009 上海九校联考)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S n = 2 ? 1 ,则
n

a8 =
答案 128

.

三、解答题 13.(2009 龙岩一中)设正整数数列 {an } 满足: a1 = 2, a2 = 6 ,当 n ≥ 2 时,有
2 | an ? an ?1an +1 |<

1 an ?1 . 2

(I) 求 a3 、 a 4 的值; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项;
* 12 22 32 n2 9 (Ⅲ) 记 Tn = + + + L + ,证明,对任意 n ∈ N , Tn < . a1 a2 a3 an 4

解(Ⅰ) n = 2 时, | a2 ? a1a3 |<
2

1 a1 ,由已知 a1 = 2, a2 = 6 ,得 | 36 ? 2a3 |< 1 , 2

因为 a3 为正整数,所以 a3 = 18 ,同理 a 4 = 54 ………………………………2 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可猜想: an = 2 ? 3 证明:① n = 1, 2 时,命题成立;
74
n ?1

。…………………………………………3 分

②假设当 n = k ? 1 与 n = k 时成立,即 ak = 2 ? 3 于是 | ak ? ak ?1ak +1 |<
2

k ?1

, ak ?1 = 2 ? 3

k ?2

。……………4 分

a2 1 1 ak ?1 ,整理得: | k ? ak +1 |< ,……………………………5 分 ak ?1 2 2 1 1 1 ? 2 ? 3k ? < ak +1 < 2 ? 3k + ,…………………6 分 2 2 2
k

由归纳假设得: | 2 ? 3 ? ak +1 |<
k

因为 ak +1 为正整数,所以 ak +1 = 2 ? 3 ,即当 n = k + 1 时命题仍成立。 综上:由知①②知对于 ?n ∈ N ,有 an = 2 ? 3
*

n ?1

成立.………………………………7 分

(Ⅲ)证明:由 2Tn = 1 +

22 32 n2 + 2 + L + n ?1 3 3 3





2 12 2 2 (n ? 1) 2 n 2 Tn = + 2 + L + n ?1 + n 3 3 3 3 3 4 3 5 2n ? 1 n 2 Tn = 1 + + 2 + L + n ?1 ? n 3 3 3 3 3 4 1 3 2n ? 3 2n ? 1 n 2 Tn = + 2 + L + n ?1 + n ? n +1 9 3 3 3 3 3



③式减④式得

⑤…………………9 分



⑤式减⑥式得

8 2 2 2 (n ? 1) 2 n 2 Tn = 1 + + 2 + L + n ?1 ? + n +1 …………………11 分 9 3 3 3 3n 3 1 1? n 1 1 1 (n ? 1) 2 n 2 (n ? 1) 2 n 2 = ?1 + 2(1 + + 2 + L + n ?1 ) ? + n +1 = ?1 + 2 ? 3 ? + n +1 1 3 3 3 3n 3 3n 3 1? 3
= ?1 + 3 ?
则 Tn <

1 (n ? 1)2 n 2 ? + n +1 3n ?1 3n 3

= 2?

2(n 2 ? 3n + 6) < 2 …………13 分 3n +1

9 .……………………………………………………14 分 4 1 1 14.(2009 常德期末)已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , a1 = 且 S n = S n ?1 + an ?1 + ,数列 4 2 119 {bn } 满足 b1 = ? 且 3bn ? bn ?1 = n (n ≥ 2且n ∈ N ? ) . 4
(1)求 {a n } 的通项公式; (2)求证:数列 {bn ? an } 为等比数列;
75

(3)求 {bn } 前 n 项和的最小值. 解: (1)由 2 S n = 2 S n ?1 + 2an ?1 + 1 得 2an = 2an ?1 + 1 , an ? an ?1 = ∴ an = a1 + ( n ? 1) d =

1 ……2 分 2 2

1 1 n? ……………………………………4 分 4 2 4 1 1 (2)∵ 3bn ? bn ?1 = n ,∴ bn = bn ?1 + n , 3 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ∴ bn ? an = bn ?1 + n ? n + = bn ?1 ? n + = (bn ?1 ? n + ) ; 3 3 2 4 3 6 4 3 2 4

1 1 1 3 bn ?1 ? an ?1 = bn ?1 ? (n ? 1) + = bn ?1 ? n + 2 4 2 4
∴由上面两式得

bn ? an 1 119 1 = ,又 b1 ? a1 = ? ? = ?30 4 4 bn ?1 ? an ?1 3

∴数列 {bn ? an } 是以-30 为首项,

1 为公比的等比数列.…………………8 分 8 3 1 n ?1 1 n ?1 1 1 1 n ?1 (3)由(2)得 bn ? an = ?30 × ( ) ,∴ bn = an ? 30 × ( ) = n ? ? 30 × ( ) 3 3 2 4 3
bn ? bn ?1 = 1 1 1 1 1 1 n ? ? 30 × ( ) n ?1 ? (n ? 1) + + 30 × ( ) n ? 2 2 4 3 2 4 3

1 1 1 1 1 = + 30 × ( ) n ? 2 (1 ? ) = + 20 × ( ) n ?2 > 0 ,∴ {bn } 是递增数列 ………11 分 11 2 3 3 2 3
当 n=1 时, b1 = ? 时, b4 = 且 S3 =

119 3 5 10 <0;当 n=2 时, b2 = ? 10 <0;当 n=3 时, b3 = ? <0;当 n=4 4 4 4 3

7 10 ? >0,所以,从第 4 项起的各项均大于 0,故前 3 项之和最小. 4 9

1 10 1 13 (1 + 3 + 5) ? 30 ? 10 ? = ?41 …………………………13 分 4 3 12

1? 1 ? 2 ?< = ?2 ? ? 5? (n ? 1) ? 5 ?

76


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