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(课堂设计)2014-2015高中数学 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象学案 新人教A版必修4

1.4.1

正弦函数、余弦函数的图象
自主学习

知识梳理 1.正弦曲线、余弦曲线 (1) 定义:正弦函数 y = sin x(x∈R) 和余弦函数 y = cos x(x∈R) 的图象分别叫做 __________曲线和________曲线. (2)图象:如图所示.

2.“五点法”画图 步骤: (1)列表:

x
sin x cos x

0 0 1

π 2 1 0

π 0 -1

3π 2 -1 0

2π 0 1

(2)描点: 画正弦函数 y=sin x,x∈[0,2π ]的图象,五个关键点是________________________; 画 余 弦 函 数 y = cos x , x∈[0,2π ] 的 图 象 , 五 个 关 键 点 是 __________________________________. (3)用光滑曲线顺次连接这五个点,得到正、余弦曲线的简图. 3.正、余弦曲线的联系 ? π? 依据诱导公式 cos x=sin?x+ ?,要得到 y=cos x 的图象,只需把 y=sin x 的图象 2? ? π 向______平移 个单位长度即可. 2 自主探究 已知 0≤x≤2π ,结合正、余弦曲线试探究 sin x 与 cos x 的大小关系.

对点讲练 知识点一 利用“五点法”作正、余弦函数的图象 例1 利用“五点法”画函数 y=-sin x+1(0≤x≤2π )的简图.

1

回顾归纳 作正弦、 余弦曲线要理解几何法作图, 掌握五点法作图. “五点”即 y=sin x 或 y=cos x 的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与 x 轴的交点.“五点法” 是作简图的常用方法. 变式训练 1 利用“五点法”画函数 y=-1-cos x,x∈[0,2π ]的简图.

知识点二 利用三角函数图象求定义域 例2 求函数 f(x)=lg sin x+ 16-x 的定义域.
2

回顾归纳 一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到, 同时要注意区间 端点的取舍. 2 变式训练 2 求函数 f(x)= cos x+lg(8x-x )的定义域.

知识点三 利用三角函数的图象判断方程解的个数 例 3 在同一坐标系中,作函数 y=sin x 和 y=lg x 的图象, 根据图象判断出方程 sin x=lg x 的解的个数.

2

回顾归纳 三角函数的图象是研究函数的重要工具, 通过图象可较简便的解决问题, 这 正是数形结合思想方法的应用. 2 变式训练 3 求方程 x =cos x 的实数解的个数.

1.正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用,是运用数形结合 思想解决三角函数问题的基础. 2.五点法是画三角函数图象的基本方法,要熟练掌握,与五点法作图有关的问题是高 考常考知识点之一. 课时作业 一、选择题 1.函数 y=sin x (x∈R)图象的一条对称轴是( ) A.x 轴 B.y 轴 π C.直线 y=x D.直线 x= 2 2.函数 y=-cos x 的图象与余弦函数 y=cos x 的图象( ) A.只关于 x 轴对称 B.关于原点对称 C.关于原点、x 轴对称 D.关于原点、坐标轴对称 3.如果 x∈[0,2π ],则函数 y= sin x+ -cos x的定义域为( ) π 3 π ? ? A.[0,π ] B.? , ? 2 ? ?2 ?π ? ?3π ,2π ? C.? ,π ? D.? ? ?2 ? ? 2 ? 4.在(0,2π )内使 sin x>|cos x|的 x 的取值范围是( ) ?π 3π ? ? π π ? ? 5π 3π ? A.? , ? B.? , ?∪? , ? 4 ? 2 ? ?4 ?4 2? ? 4 ?π π ? ?5π ,7π ? C.? , ? D.? ? 4 2 4 ? ? ? ? 4 5π ? ?π 5.已知函数 y=2sin x? ≤x≤ ?的图象与直线 y=2 围成一个封闭的平面图形,那 2 2 ? ? 么此封闭图形的面积( ) A.4 B.8 C.4π D.2π 二、填空题 cos x 6.函数 y= 的定义域为____________. 1+sin x 7.函数 y= 2cos x+1的定义域是______________. 8.设 0≤x≤2π ,且|cos x-sin x|=sin x-cos x,则 x 的取值范围为________. 三、解答题 9.利用“五点法”作出下列函数的简图:
3

(1)y=-sin x (0≤x≤2π );(2)y=1+cos x(0≤x≤2π ).

10.分别作出下列函数的图象. (1)y=|sin x|,x∈R;(2)y=sin|x|,x∈R.

§1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 答案 知识梳理 1.(1)正弦 余弦 ?π ? ?3π ,-1?,(2π ,0) (0,1),?π ,0?,(π ,- 2.(2)(0,0),? ,1?,(π ,0),? ? ?2 ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? 3 π ? ? 1),? ,0?, ? 2 ? (2π ,1) 3.左 自主探究 解 正、余弦曲线如图所示.

π 5π 由图象可知①当 x= 或 x= 时,sin x=cos x, 4 4 π 5π ②当 <x< 时,sin x>cos x. 4 4 π 5π ③当 0≤x< 或 <x≤2π 时,sin x<cos x. 4 4 对点讲练 例 1 解 利用“五点法”作图 取值列表: π 3π x 0 π 2 2 sin x 0 1 0 -1 1-sin x 1 0 1 2 描点连线,如图所示.

2π 0 1

4

变式训练 1 解 取值列表得:

x
cos x -1-cos x 描点连线,如图所示.

0 1 -2

π 2 0 -1

π -1 0

3π 2 0 -1

2π 1 -2

例2

? ?sin x>0 解 由题意,x 满足不等式组? 2 ?16-x ≥0 ?



? ?-4≤x≤4 即? ?sin x>0 ?

,作出 y=sin x 的图象,如图所示.

结合图象可得:x∈[-4,-π )∪(0,π ).
? ?0<x<8 ,得? ?cos x≥0 ? 画出 y=cos x,x∈[0,3π ]的图象,如图所示.

变式训练 2 解

? ?8x-x >0 由? ?cos x≥0 ?

2

.

? π ? ?3π 5π ? 结合图象可得:x∈?0, ?∪? , ?. 2? ? 2 2 ? ? 例 3 解 建立坐标系 xOy,先用五点法画出函数 y=sin x,x∈[0,2π ]的图象,再 依次向左、右连续平移 2π 个单位,得到 y=sin x 的图象. ?1 ? 描出点? ,-1?,(1,0),(10,1)并用光滑曲线连接得到 y=lg x 的图象,如图所示. ?10 ?

由图象可知方程 sin x=lg x 的解有 3 个. 2 变式训练 3 解 作函数 y=cos x 与 y=x 的图象,如图所示, 由图象,可知原方程有两个实数解.

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课时作业 1.D 2.C [结合图象易知.]

?π ? 3.C [∵sin x≥0 且-cos x≥0,∴x∈? ,π ?.] ?2 ? 4.A

[∵sin x>|cos x|, ∴sin x>0,∴x∈(0,π ),在同一坐标系中画出 y=sin x,x∈(0,π )与 y=|cos x|, ? π 3π ? x∈(0,π )的图象,观察图象易得 x∈? , ?.] 4 ? ?4 5.C [数形结合,如图所示.

? y=2sin x, x∈? ,
π ?2

5π ? π 的图象与直线 y=2 围成的封闭平面图形面积相当于由 x= , 2 ? 2 ?

x=

5π , 2

y=0,y=2 围成的矩形面积,即 S=?
π ? π ? 6.?- +2kπ , +2kπ ? (k∈Z) 2 ? 2 ?

?5π -π ?×2=4π .] ? 2? ? 2

?1+sin x≠0? sin x≠-1, ? 解析 x 应满足:? ?cos x≥0, ?

综合正、余弦函数图象可知: π π - +2kπ <x≤ +2kπ . 2 2 2π 2π ? ? 7.?2kπ - ,2kπ + ? ,(k∈Z) 3 3 ? ? 1 解析 由 2cos x+1≥0,得 cos x≥- , 2 2π 2π ∴2kπ - ≤x≤2kπ + ,k∈Z. 3 3 ?π 5π ? 8.? , ? 4 ? ?4 解析 由题意知 sin x-cos x≥0,即 cos x≤sin x,在同一坐标系画出 y=sin x, x∈[0,2π ] 与 y=cos x,x∈[0,2π ]的图象,如图所示:

6

π 5π 观察图象得: ≤x≤ . 4 4 9.解 利用“五点法”作图. (1)列表:

x
sin x -sin x 描点作图,如图所示.

0 0 0

π 2 1 -1

π 0 0

3π 2 -1 1

2π 0 0

(2)列表:

x
cos x 1+cos x 描点作图,如图所示.

0 1 2

π 2 0 1

π -1 0

3π 2 0 1

2π 1 2

? ?sin x ?2kπ ≤x≤2kπ +π ? 10.解 (1)y=|sin x|=? ?-sin x ?2kπ +π <x≤2kπ +2π ? ? 其图象如图所示,

(k∈Z).

(2)y=sin|x|=?

?sin ?

x

?x≥0?

?-sin ?

x ?x<0?



其图象如图所示,

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