§3.1.1 方程的根与函数的零点

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高一数学必修 1 导学案

高中数学名师工作室

§ 3.1.1 方程的根与函数的零点导学案
班次 姓名

【学习目标】其中 2 是重点和难点
1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解 函数的零点与方程根的联系； 2. 掌握零点存在的判定定理.

【课前导学】预习教材第 86-88 页，找出疑惑之处，完成新知学习
复习 1：一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 (a ? 0)的解法. 判别式 ? = . 当? 0，方程有两根，为 x1,2 ? ； 当? 当? 0，方程有一根，为 x0 ? 0，方程无实根. ；

复习 2：方程 ax 2 +bx+c=0 (a ? 0)的根与二次函数 y=ax 2 +bx+c (a ? 0)的图象之间有 什么关系？ 判别式
??0

一元二次方程

二次函数图象

??0

??0

【预习自测】首先完成教材上 P88 第 1 题；然后做自测题
1．函数 f ( x) ? ? x2 ? 5x ? 6 的零点是( A．－2,3 B．2,3 ) C．2，－3 D．－2，－3 ）.

2. 函数 f ( x) ? ( x2 ? 2)( x2 ? 3x ? 2) 的零点个数为（ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ）.

3. 函数 f ( x) ? 2x ? 3x 的零点所在区间为（ A. (?2, ?1)
1 x

B. (?1,0)

C. (0,1)

D. (1, 2) ）.

4. 方程 lg x ? ? 0 的解所在的区间为（

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A. (0,1)

B. (1, 2)

C. (2,3)

D. (3, 4)

5. 求函数 f ( x) ? log2 x ? x ? 2 的零点的个数.

【课中导学】首先独立思考探究，然后合作交流展示
※ 学习探究 探究任务一：函数零点与方程的根的关系 问题： ① 方程 x2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解为 ，函数 y ? x2 ? 2x ? 3 的图象与 x 轴有 个交点，坐标为 . 2 ② 方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的解为 ， 函数 y ? x2 ? 2x ? 1 的图象与 x 轴有 个 交点，坐标为 . ③ 方程 x2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解为 ，函数 y ? x2 ? 2x ? 3 的图象与 x 轴有 个交点，坐标为 . 根据以上结论，可以得到： 一 元 二 次 方 程 a 2x? b? x 0?c( 的 ? 0a ) 根 就 是 相 应 二 次 函 数 2 的图象与 x 轴交点的 . y ? a x? b? x0 ?(c 0?a ) 你能将结论进一步推广到 y ? f ( x) 吗？

新知： 对于函数 y ? f ( x) ， 我们把使 f ( x) ? 0 的实数 x 叫做函数 y ? f ( x) 的零点 （zero point）. 反思： 函数 y ? f ( x) 的零点、方程 f ( x) ? 0 的实数根、函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的 横坐标，三者有什么关系？

试试： （1）函数 y ? x2 ? 4x ? 4 的零点为 点为 .

； （2）函数 y ? x2 ? 4x ? 3 的零

小结：方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点.

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探究任务二：零点存在性定理 问题： ① 作出 y ? x2 ? 4x ? 3 的图象，求 f (2), f (1), f (0) 的值，观察 f (2) 和 f (0) 的符号

② 观察下面函数 y ? f ( x) 的图象，

在区间 [a, b] 上 在区间 [b, c] 上 在区间 [c, d ] 上

零点； f (a) f (b) 零点； f (b) f (c) 零点； f (c) f (d )

0； 0； 0.

新知 ：如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a , b ] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f ( a) f (b) <0 ，那么，函数 y ? f ( x) 在区间 (a , b ) 内有零点，即存在 c ? (a, b) ，使得 f (c ) ? 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根. 讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立吗？试结合图形来分析.

※ 典型例题 例 1、求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点的个数.

变式：求函数 f ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点所在区间.

※ 知识拓展 图象连续的函数的零点的性质： （1）函数的图象是连续的，当它通过零点时（非偶次零点） ，函数值变号. 推论：函数在区间 [a, b] 上的图象是连续的，且 f (a) f (b) ? 0 ，那么函数 f ( x) 在区 间 [a, b] 上至少有一个零点. （2）相邻两个零点之间的函数值保持同号.

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【自我评价】你完成本节导学案的情况为（
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

）.

【基础检测】当堂达标练习， （时量：5 分钟 满分：10 分）计分：
1. 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b 的两个零点是 2 和 3，则函数 g ( x) ? bx2 ? ax ? 1 的零点 是 . ）.

2. 若函数 f ( x) 在 ? a, b? 上连续，且有 f (a) f (b) ? 0 ．则函数 f ( x) 在 ? a, b? 上（ A. 一定没有零点 C. 只有一个零点 B. 至少有一个零点 D. 零点情况不确定 ）.

3. 函数 f ( x) ? e x ?1 ? 4x ? 4 的零点所在区间为（ A. (?1,0) B. (0,1) C. (1, 2) D. (2,3)

4. 下列函数：① y= lg x ； ② y ? 2 x ； ③ y= x2；④ y= |x| －1. 其中有 2 个零 点的函数的序号是 .

5. 若函数 f ( x) 为定义域是 R 的奇函数， 且 f ( x) 在 (0, ??) 上有一个零点． 则 f ( x) 的 零点个数为 .

【能力提升】可供学生课外做作业
1. 函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? log2 x 的零点所在区间为（ A. ( , )
1 1 8 4

）.

B. ( , )
1 2

1 1 4 2

C. ( ,1)

1 2

D. (1, 2) ）. D. 无数个 ）.

2. 函数 f ( x) ? x3 ? ( ) x 的零点个数为（ A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个

3. 方程 | x2 ? 2 |? lg x 的实数根的个数是（ A. 1 B. 2 C. 3 D.无数个

4. 方程 2 x ? x ? 4 的一个近似解大致所在区间为 5. 已知函数 f ( x) ? 2(m ? 1) x2 ? 4mx ? 2m ? 1 . （1） m 为何值时，函数的图象与 x 轴有两个零点；
（2）若函数至少有一个零点在原点右侧，求 m 值.

.

【课后反思】学完本节课，你在知识、方法等方面有什么收获与感受？请写下来！