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宁夏银川一中2014届高三上学期第6次月考数学(文)试题

宁夏银川一中 2014 届高三上学期第 6 次月考 数学(文)试题
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 A ? x y ? lg(2 x ? x ) , B ? y y ? 2 , x
2 x

?

?

?

0 , R是实数集,则 (CR B) ? A ? (
D.以上都不对 ) D.-2

?



A. ?0,1? 2.若复数 A.2

B. 0,1?

?

C. ?? , 0 ?

?

m ? 2i ( m ? R, i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 m 的值为( 1? i
B.-1 C.1

3. 曲线 C:y = x2 + x 在 x = 1 处的切线与直线 ax-y+1= 0 互相垂直,则实数 a 的值为( A. 3 B.-3 C.



1 3


D.-

1 3

4. ?ABC 中,“ A ? B ”是“ cos A ? cos B ”的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件
2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.抛物线 y ? 4 x 的焦点到双曲线 x 2 ?

y ? 1 的渐近线的距离是( 3
C. 1

2



A.

1 2

B.

3 2

D. 3 )

6. 已知某个几何体的三视图如下, 根据图中标出的尺寸 (单位: cm) , 可得这个几何体的体积是 (

1 2 4 8 3 A. cm 3 B. cm 3 C. 侧视图 D. cm cm 3 正视图 俯视图 3 3 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7.已知 | a |?| b |? 1 , a与b 夹角是 90° , c ? 2a ? 3b , d ? ka ? 4b , c 与d 垂直,则 k 的值为(



A.-6

B.-3

C.6

D.3 )

8.凸多边形各内角依次成等差数列,其中最小角为 120° ,公差为 5,则边数 n 等于( A.16 B.9 C.16 或 9 D.12

·1 ·

? x ? 2 ? 0, ? 9. 已知点 P (x, y) 在不等式组 ? y ? 1 ? 0, 表示的平面区域上运动, 则 x-y 的取值范围是 ( ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
A.[-2,-1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[1,2]



10.函数 y ? loga ( x ? 3) ?1(a ? 0, 且a ? 1) 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上, 其中 m,n 均大于 0,则 A.2 B.4
2

1 2 ? 的最小值为( m n
D.16



C. 8

11.若函数 f (x) ?

d (a, b, c, d ?R) ax ? bx ?c


的图象如图所示,则 a : b : c : d ? ( A.1:6:5: (-8) B.1: 6: 5: 8 C.1: (-6) :5: 8 D.1: (-6) :5: (-8)

12.已知 f ( x), g ( x) 都是定义在 R 上的函数, g ( x) ? 0 , f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ,且

f ( x) ? a x g ( x) (a ? 0 ,且 a ? 1) ,
n 的最小值为( A.6 ) B. 7

f ( n) f (1) f (?1) 5 } 的前 n 项和大于 62,则 ? ? .若数列 { g ( n) g (1) g (?1) 2
D. 9

C.8

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.若圆 C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴相切,则该圆的标准方程是 ________________.
2 2 14.已知椭圆 x ? y ? 1(a ? 0, b ? 0) 的长轴长、短轴长、焦距长成等比数列,离心率为 e1 ;双曲线 1 1 2 2

a1

b1

x2 y 2 ? ? 1(a2 ? 0, b2 ? 0) 的实轴长、虚轴长、焦距长也成等比数列,离心率为 e2 .则 a 22 b22

e1e2 ? ___________.
15.从正方体的八个顶点中任意选择 4 个顶点,它们可能是如下几种几何体(或平面图形)的 4 个 顶点,这些几何体(或平面图形)是(写出所有正确的结论的编号)________. ①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四
·2 ·

面体;④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体. 16. 已知函数 f ( x) ? e ? 1, g ( x) ? ? x ? 4 x ? 3, 若有 f (a ) ? g (b), 则 b 的取值范围为____________.
x 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.( 本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的首项 a1 ? (1)证明:数列 { (2)数列 {

2 2an , n ? 1, 2,3, …. an ?1 ? 3 an ? 1

1 ? 1} 是等比数列; an

n } 的前 n 项和 Sn . an

18.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC中, a, b, c 分别是角 A、B、C 的对边, m ? (b, 2a ? c), n ? (cos B,cos C), 且m ∥n (1)求角 B 的大小; (2)设 f ( x) ? cos(? x ? 上的最大值和最小值. 19. (本题满分 12 分) 如图,三棱锥 P ? ABC 中, PB ? 底面 ABC , ?BCA ? 90 ,

B ) ? sin x, (? 2

? ?? 0), 且 f ( x) 的最小正周期为 ? , 求 f ( x) 在区间 ?0, ? ? 2?

PB ? BC ? CA ? 4 , E 为 PC 的中点, M 为 AB 的中点,
点 F 在 PA 上,且 AF ? 2 FP . (1)求证: BE ? 平面 PAC ; (2)求证: CM / / 平面 BEF ; (3)求三棱锥 F ? ABE 的体积. 20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x
2

(1)当 a=﹣2 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若 g(x)= f ( x ) + 21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1 和 F2 ,且| F1 F2 |=2, 点(1,

2 在 [ 1,+∞)上是单调函数,求实数 a 的取值范围. x

3 )在该椭圆上. 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若 ? A F2 B 的面积为
·3 ·

12 2 ,求以 F2 为圆心 7

且与直线 l 相切圆的方程. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,D、E 分别为△ABC 边 AB、AC 的中点,直线 DE 交 △ABC 的外接圆于 F、G 两点,若 CF∥AB. 证明:(1)CD=BC; (2)△BCD∽△GDB. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? cos ? ( ? 为参数) ,将曲线 C1 上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍, ? y ? sin ?

纵坐标伸长为原来的 3 倍,得到曲线 C2 .以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为 极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线 l : ? (cos? ? 2sin ? ) ? 6 . (1)求曲线 C2 和直线 l 的普通方程; (2) P 为曲线 C2 上任意一点,求点 P 到直线 l 的距离的最值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a 和 b 是任意非零实数. (1)求证

| 2a ? b | ? | 2a ? b | ? 4; |a|

(2)若不等式 | a ? b | ? | a ? b |?| a | (| 2 ? x | ? | 2 ? x |) 恒成立,求实数 x 的取值范围.

·4 ·

银川一中 2014 届高三年级第六次月考数学(文科)试卷参考答案
一、选择题: 题号 1 2 D 答案 B 3 D 4
C

5
B

6
C

7
C

8 B

9
C

10
C

11
D

12
A

13. ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1

14. 1

15.①③④⑤

16. 2 ? 2 ? b ? 2 ? 2 。

三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.解: (Ⅰ)∵ an ?1 ?

2 2an a ?1 1 1 1 1 1 1 1 ,? ? n ? ? ? ,? ? 1 ? ( ? 1) ,又 a1 ? , 3 an ?1 2an 2 2 an an ?1 2 an an ? 1

?

1 1 1 1 1 ? 1 ? , ? 数列 { ? 1} 是以为 首项, 为公比的等比数列. 2 2 a1 2 an
(Ⅱ)由(Ⅰ)知

1 1 1 1 n n 1 1 ? 1 ? ? n?1 ? n ,即 ? n ? 1 ,? ? n ? n . an?1 2 2 2 an 2 an 2
①则 Tn ?

1 2 n ?1 n ? 3 ? … ? n ? n ?1 ,② 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 1 n 1 1 1 2 ? n ? 1? 1 ? n , Tn ? ? 2 ? … ? n ? n ?1 ? 2 由① ? ②得 1 2 2 2 2 2 2n ?1 2n 2n ?1 1? 2 1 n n(n ? 1) Tn ? 2 ? n ?1 ? n .又 1 ? 2 ? 3 ? … ? n ? . ? 2 2 2 2 ? n n(n ? 1) n 2 ? n ? 4 n ? 2 n ? ? n 数列 { } 的前 n 项和 Sn ? 2 ? n ? 2 2 2 2 an ?
设 Tn ?

1 2 3 n ? 2 ? 3 ? …? n , 2 2 2 2

1 2

18.解: (1)由 m // n ,

得 b cosC ? (2a ? c) cos B,

? b cos C ? c cos B ? 2a cos B. 正弦定得,得 sin B cosC ? sin C cos B ? 2 sin A cos B,
? sin(B ? C ) ? 2 sin A cos B. 又 B B ? C ? ? ? A, ? sin A ? 2 sin A cos B.
又 sin A ? 0,? cos B ?

1 ? . 又 B ? (0, ? ),? B ? . 2 3

6分

(2) f ( x) ? cos(?x ? 由已知

?
6

) ? sin ?x ?

3 2 ? cos?x ? sin ?x ? 3 sin(?x ? ) 2 3 6

2?

?

? ? ,? ? ? 2. f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

?
6

),

9分

·5 ·

当 x ? [0,

?
2

]时,2 x ?

?

? 7? ? 1 ? [ , ], sin( 2 x ? ) ? [? ,1] 6 6 6 6 2
, 即x ?

因此,当 2 x ?

?
6

?

?
2

?
6

时, f ( x)取得最大值 3;

7? ? 3 ,即x ? 时 , f ( x)取得最小值 ? 12 分 6 6 2 2 19.解: (1)证明:∵ PB ? 底面 ABC ,且 AC ? 底面 ABC , ∴ AC ? PB
当 2x ?

?

?

由 ?BCA ? 90 ,可得 AC ? CB

CB ? B ,∴ AC ? 平面 PBC 注意到 BE ? 平面 PBC , ∴ AC ? BE ? PB ? BC , E 为 PC 中点,∴ BE ? PC ? PC AC ? C , ∴ BE ? 平面 PAC
又? PB (2)取 AF 的中点 G , AB 的中点 M ,连接 CG, CM , GM , ∵ E 为 PC 中点, FA ? 2 FP ,∴ EF / / CG . ∵ CG ? 平面 BEF , EF ? 平面 BEF , ∴ CG / / 平面 BEF . 同理可证: GM / / 平面 BEF . 又 CG GM ? G , ∴平面 CMG / / 平面 BEF . …………9 分 ∵ CD ? 平面 CDG ,∴ CD / / 平面 BEF . …………10 分 (3)由(1)可知 BE ? 平面 PAC 又由已知可得 BE ? 2 2 .

1 1 1 8 S ?PAC ? ? AC ? PC ? 2 3 3 2 3 1 32 ∴ VF ? ABE ? VB ? AEF ? S ?AEF ? BE ? 3 9 32 所以三棱锥 F ? ABE 的体积为 . 9 S ?AEF ?

20 解: (1) f ( x ) 的单调递增区间是(1,+∞) , f ( x ) 的单调递减区间是(0,1) . ……(4 分) (2)由题意得 g ?( x ) ? 2 x ?

a 2 ? ,函数 g(x)在 [ 1,+∞)上是单调函数. x x2
…………(6 分)
·6 ·

①若函数 g(x)为 [ 1,+∞)上的单调增函数,则 g ?( x) ? 0 在 [ 1,+∞)上恒成立, 即a ?

2 2 ? 2 x 2 在 [ 1,+∞)上恒成立,设 ? ( x) ? ? 2 x 2 ,∵ ? ( x) 在 [ 1,+∞)上单调递减, x x
…………(9 分)

∴ ? ( x)max ? ? (1) ? 0 ,∴a≥0

②函数 g(x)为 [ 1,+∞)上的单调减函数,则 g ?( x) ? 0 在 [ 1,+∞)上恒成立,不可能. …………11 分) ∴实数 a 的取值范围 [ 0,+∞) …………(12 分)

21. (1)椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

……………. . (4 分)

(2)① 当直线 l ⊥ x 轴时,可得 A(-1,意.

3 3 ) ,B(-1, ) , ? A F2 B 的面积为 3,不符合题 2 2
…………(6 分)

② 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1) .代入椭圆方程得:

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,显然 ? >0 成立,设 A ( x1 , y 1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则
x1 ? x 2 ? ? 8k 2 8k 2 ? 12 12(k 2 ? 1) x ? x ? , ,可得 |AB|= ……………. . (9 分) 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

又圆 F2 的半径 r=

2|k | 1? k 2

,∴? A F2 B 的面积=

12 | k | k 2 ? 1 12 2 1 |AB| r= = ,化简得: 2 7 3 ? 4k 2

4 2 2 2 17 k + k -18=0,得 k=± 1,∴ r = 2 ,圆的方程为 ( x ? 1) ? y ? 2 ……………. . (12 分)

22.(1) CF / / AB , DF / / BC ? CF / /BD/ / AD ? CD ? BF

CF / / AB ? AF ? BC ? BC ? CD
(2) BC / / GF ? BG ? FC ? BD

BC / /GF ? ?GDE ? ?BGD ? ?DBC ? ?BDC ? ?BCD ?GBD ? x2 y 2 ? x ? 2 cos ? ? ? 1, l : x ? 2y ? 6 ? 0 23.(Ⅰ)C2: ? ( ? 为参数) ,即 C2: 4 3 y ? 3 sin ? ? ?
(Ⅱ) P(2cos? , 3 sin ? ) ,由点到直线的距离公式得

·7 ·

d?

2 cos ? ? 2 3 sin ? ? 6 5

6 ? 4( ?

3 1 sin ? ? cos ? ) 2 2 5

6 ? 4sin(? ? ) 5 ? 6 ? ? (6 ? 4sin(? ? ) 5 6 5 ? 2 5 10 5 ?d ? ?2 5 5 5

?

24.证明:(1)

| 2 a ? b | ? | 2 a ? b | 2 a ? b 2a ? b ? ? |a| a a ? 2? b b b b ? 2 ? ? (2 ? ) ? (2 ? ) ? 4 a a a a


(2)由|a+b|+|a-b|≥|a|f (x)

|a ? b|?|a ?b| ? f ( x) |a|
则有 2≥f(x)

又因为

| a ?b | ? | a ?b | | a ?b? a ?b | ? ?2 |a| |a|
1 5 ?x? 2 2

解不等式 2≥|x-1|+|x-2|得

·8 ·


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