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2016-2017学年高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件新人教A版必修4_图文

3.1.2

两角和与差的正弦、余弦、正 切公式

学 习 目 标 1.能根据两角差的余弦 公式推导出两角和与差 的正弦、余弦、正切公 式. 2.能利用两角和与差的 正弦、余弦、正切公式 进行化简求值等.

思 维 脉 络

和角、差角公式如下表:

名称 差的余弦 和的余弦 和的正弦 差的正弦 和的正切 差的正切

公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β sin(α+β)=sin αcos β+ cos αsin β sin(α-β)=sin αcos β- cos αsin β tan(α+β)= tan(α-β)=
α + β 1- α β α - β 1+ α β

简记 C(α -β) C(α+ β) S(α+ β) S(α-β) T(α+β) T(α-β)

逻辑联系

做一做 (1)sin(30°+45°)= (2)cos 55°cos 5°-sin 55°sin 5°=

.

.

(3)若 tan -

π 4

=2,则 tan α=

.

解析:(1)sin(30°+ 45°)=sin 30°cos 45°+ cos 30° sin 45° = ×
2 1 2 2

+

3 2

×

2 2

=

2+ 6 4

.
1 2

(2)原式 =cos(55°+5°)= cos 60°= . (3)∵tan π 4

=

π 4 π 1+tan tan 4

tan -tan

=

tan -1 1+tan

=2,

∴tan α=-3.
答案:(1)

2+ 6 4

(2)

1 2

(3)-3

思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打“×”. (1)sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β对任意角α,β恒成立.( ) (2)存在角α,β使cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β成立.( ) (3)tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ对任意角α,β恒成立.( )
答案:(1) (2) (3)×

探究一

探究二

探究三

思维辨析

探究一给角求值 【例1】 化简求值: (1)sin 13°cos 17°+sin 77°cos 73°;

(2)sin (3)

π 12

? 3cos ;
12

π

1-tan15 °

1+tan15 °

;
3

(4)tan 72°-tan 42°- tan 72°tan 42°.
3

分析:(1)逆用公式;(2)利用辅助角公式;(3)利用“1”的代换;(4)利用 两角差公式的变形公式.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

解:(1)原式=sin 13° cos 17°+sin(90°-13°)cos(90°17°)=sin 13° cos 17°+cos 13°sin 17°=sin(13°+ 17°)=sin 30°= .
2 1

(2)原式 =2 =2 sin =2sin
π 12 π

1 2

sin
π 3

π 12

-

3 2 π 12

cos

π 12

cos -cos
π

sin

π 3

12 3

-

=-2sin =- 2.
4

π

探究一

探究二

探究三

思维辨析

(3)原式 =

ta n45 °-tan15 °

1+tan45 °tan15 ° 3

=tan(45°- 15°)=tan 30°= .
3

(4)∵tan 30°=tan(72°-42°)=

tan72 °-tan42 °

1+tan72 °tan42 °

,

∴tan 72°-tan 42°=tan 30°(1+tan 72° tan 42°). ∴原式 =tan 30°(1+tan 72°tan 42°)- 3 tan 72°tan 42°
= .
3 3 3

探究一

探究二

探究三

思维辨析

探究一

探究二

探究三

思维辨析

变式训练1 (1)sin 7°cos 37°-sin 83°cos 53°的值为 (

)

A.(2)

1 2

B.

1 2

C. .

3 2

D.-

3 2

1+tan75 ° 1-tan75 °

的值是

探究一

探究二

探究三

思维辨析

解析:(1)sin 7°cos 37°-sin 83°cos 53° =sin 7°cos 37°-cos 7°sin 37°=sin (7°-37°) 1 =sin (-30°)=-sin 30°= -2

(2)

1+tan75 ° 1-tan75 °

=

tan45 ° +tan75 ° 1-tan45 °tan75 °

=tan 120°=-tan 60°=- 3.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

探究二给值求值

【例 2】 (1)已知 α∈ 0, tan(α+β)= .

π 2

,且 sin α= ,tan β= ,则
5 3

5

1

sin(α+β)=

4 3 (2)已知α为锐角,sin α= ,β是第四象限角,cos β= ,则 5 5

.

分析:(1)先利用同角三角函数基本关系,求出tan α,再代入公式 T(α+β)求值. (2)先求出cos α,sin β的值,再代入公式S(α+β)求值.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

解析:(1)∵α∈ 0,

π 2

,sin α= ,∴cos α=
5

5

2 5 5

.

∴tan α= 2. ∵tan β=3, ∴tan(α+β)=1-tan tan =
tan +tan
1 1 + 2 3 1 1 1- × 2 3

1

1

=1.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

(2)∵α 为锐角 ,sin α= ,∴cos α= .
5 5

3

4

∵β 是第四象限角 ,cos β= 5, ∴sin β=-5. ∴sin(α+β)=sin αcos β+ cos αsin β
= × + × 5 5 5 3 4 4 3 5 3

4

=0.

答案:(1)1 (2)0

探究一

探究二

探究三

思维辨析

探究一

探究二

探究三

思维辨析

变式训练 2 设 α∈ 0, ( )
A.
7 5

π 2

,若 sin α= ,则 2cos
5

3

+

π 4

等于

B.

1 5

C.4 5

7 5

D.π 4

1 5

解析:依题意可得 cos α= ,故 2cos + 2sin αsin =cos α-sin α= ? = .
4 5 5 5 π 4 3 1

= 2cos αcos

π 4

?

答案:B

探究一

探究二

探究三

思维辨析

变式训练3 若tan α=3,tan β=43,则tan (α-β)等于(

)

A.- 3

B.-

1 3

C.3 =
34 3

D.
4 3

1 3

解析:tan (α- β)=
答案:D

tan -tan 1+tan tan

1+3×

= .
3

1

探究一

探究二

探究三

思维辨析

探究三利用角的变换求值
π 3 12 3 【例 3】已知 <β<α< π,cos(α- β)= ,sin(α+ β)=- ,求 cos 2 4 13 5

2α 的

值. 分析:由已知求出 sin(α-β), cos(α+β) →角的变换 2α= (α-β)+(α+β) →cos 2α=cos [(α- β)+(α+β)]展开代入求值

探究一

解:∵ <β<α< π,∴- π<-β<- .
2 4 4 2

探究二 π

探究三 3 3

思维辨析 π

∴0<α-β< 4 ,π<α+β<2π. ∴sin(α-β)=
1-cos2 (-) = 112 2 13

π

3

=

5 13

,

cos(α+β)=- 1-sin2 ( + ) =- 1- 3 2 5

=- .
5

4

∴cos 2α= cos [(α-β)+(α+β)]
=cos(α-β)cos(α+ β)-sin(α-β)sin(α+β) =
12 13

× -

4 5

?
33 65

5 13

× -

3 5

=- ,
65

33

即 cos 2α=- .

探究一

探究二

探究三

思维辨析

探究一

探究二

探究三

思维辨析

探究一

探究二

探究三

思维辨析

变式训练 4 已知 α,β 是锐角,且 sin α=
的值.
解:∵α 是锐角 ,且 sin α=
4 3 7

4 3 11 ,cos(α+β)=- ,求 sin 7 14

β

,
2

∴cos α=

1-sin2
11 14

=

1-

4 3 7

= .
7

1

又 cos(α+ β)=- ,α,β 均为锐角 ,

∴sin(α+β)=

1-cos2 (

+ ) =

5 3 14

.

∴sin β=sin(α+β-α)=sin(α+ β)cos α-cos(α+ β)sin α
=
5 3 14

× ? 7

1

11 14

×

4 3 7

=

3 2

.

探究一

探究二

探究三

易错辨析

三角函数选择不当致误

典例已知 x,y∈ 0, 错解:由 x,y∈ 0,
π 2

π 2

,且 cos x= ,cos y=
5 2 5 5

5

10 10

,求 x+y.

,得 sin x=

,sin y=
2

3 10 10

.

则 sin(x+y)=sin xcos y+cos x sin y= .
2

又由 x,y∈ 0,

π 2

,得 x+y∈(0,π),故 x+y= 或
4

π

3π 4

.

错因分析:这里选用了两角和的正弦公式求x+y的值,但是在(0,π) 上与一个正弦值对应的角不唯一,从而造成多解的错误.

探究一

探究二

探究三

易错辨析

正解 :由已知可得 ,sin x=
π 2

2 5 5

,sin y=

3 10 10 2 2

.

故 cos(x+y)=cos x cos y-sin x sin y=- <0. 又因为 x,y∈ 0, 所以 x+y= .
4 3π

,所以 x+y∈(0,π).

探究一

探究二

探究三

易错辨析

探究一

探究二

探究三

易错辨析

变式训练 已知tan α=2,tan β=3,α,β均为锐角,则α+β的值 是 .

解析:因为 tan(α+β)=

tan +tan 1-tan tan

=

2+3 1-2×3

=-1,

又 α,β 是锐角 ,0<α+β<π, 所以由 tan(α+β)=-1 得 α+β= π.
4 3

答案: π
4

3

1

2

3

4

5

1.sin(x+17°)cos(28°-x)+sin(28°-x)cos(x+17°)的值为(

)

A.

1 2

B.-

1 2

C.-

2 2

D.

2 2

答案:D

1

2

3

4

5

2.已知 cos α= ,α∈
13

12

3π 2

,2π ,则 cos + C.
12 13
5 2 26

π 4

等于( D.
9 2 26

)

A.

7 2 26

B.
3π 2

17 2 26

解析:∵α∈

,2π ,cos α= ,
5

∴sin α=-13. ∴cos + 4 =cos αcos 4 -sin αsin 4
=
12 13 π π π

×

2 2

+

5 13

×

2 2

=

17 2 26

.

答案:B

1

2

3

4

5

3.化简:

3 sin

x-cos x=
π 6 π 6

.

解析:原式=2 sincos -cossin 答案:2sin π 6

=2sin -

π 6

.

1

2

3

4

5

4.若 α 是锐角,且满足 sin
π 6

π 6
π 6

1 = ,则 cos 3
π 3

α 的值为

.

解析:∵α 是锐角,∴- <α- < . 又∵sin π π 6

= ,
3 1 2 3 π π

1

∴cos - 6 = 1π π π

=

2 2 3

.

∴cos α=cos - 6 + 6
=
答案:
2 2 3

=cos - 6 cos 6 -sin - 6 sin 6 ×
3 2

π

? × =
3 2

1

1

2 6 -1 6

.

2 6-1 6

1

2
5

3

4

5

5.已知α为锐角,sin α= sin(α+β)的值.

3 5

4 ,β是第四象限角,cos(π+β)=-

.求

解:∵α∈ 0,

π 2

,且 sin α= ,∴cos α= 1-sin2 = .
5 5 4 5

3

4

又 β 是第四象限角 ,且 cos(π+β)=- ,

∴cos β= 5,sin β=3 5 4 5 4 5 3 5

4

3 2 1-cos =- , 5

∴sin(α+β)=sin αcos β+ cos αsin β
= × + × =
12 25

?

12 25

=0.