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2012高考平面解析几何知识点与习题(理)


一、直线与方程
1.直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线,如果把 x 轴绕 着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 α ,那么 α 就叫做直线的倾 斜角 当直线和 x 轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为 0 可见,直线倾斜角的取值范
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p /:w .x y g /w /x h t w k .c m c tj o

°

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特特特特特 特 特特特特特 特 王 王王新王 新 王 新王新王 王

特特特特特 特 特特特特特 特 王 王王新王 新 王 王王新王 新

w x @ .2 c c 1 6 o k t m

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围是 0 ≤ α < 180 .
° °

2.直线的斜率:倾斜角 α 不是 90 的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率, 常用 k 表示,即 k = tan α (α ≠ 90 ) .
°

°

倾斜角是 90 的直线没有斜率;倾斜角不是 90 的直线都有斜率,其取值范围是

°

°

(?∞, +∞) .
3.直线方程的五种形式 点斜式: y ? y 0 = k ( x ? x0 ) ,斜截式: y = kx + b ,

两点式:

y ? y1 x ? x1 x y = ,截距式: + = 1 , y 2 ? y1 x 2 ? x1 a b

一般式: Ax + By + C = 0 (其中 A, B 不同时为 0) . 4.两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1 , l2 ,其斜率分别为 k1 , k2 ,有 l1 ∥ l2 ? k1 = k2 . 5.两条直线垂直 如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于 ?1 ;反之,如果 它们的斜率之积等于 ?1 ,那么它们互相垂直.即 l1 ⊥ l2 ? k1 ? k2 = ?1 . 另外,要特别注意斜率不存在时的特殊情况. 6.两条直线的交点坐标 将两条直线的方程联立,得方程组 ?

? A1 x + B1 y + C1 = 0, ? A2 x + B2 y + C2 = 0.

若方程组有惟唯一解,则两条直线相交,此解即是交点的坐标;若方程组无解,则两条 直线无公共点,此时两条直线平行 7.点到直线距离公式:
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点 P ( x0 , y 0 ) 到直线 l : Ax + By + C = 0 的距离为: d = 8.两平行线间的距离公式

Ax0 + By 0 + C A2 + B 2


已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax + By + C1 = 0 ,

l 2 : Ax + By + C 2 = 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d =

C1 ? C 2
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王新敞
学案

A2 + B 2

典题例题: 典题例题:
倾斜角是_______. 例 1 经过 A(?2,0) ,B (?5,3) 两点的直线的斜率是____________, 例 2 若直线 l : y = kx ? 3 与直线 2 x + 3 y ? 6 = 0 的交点位于第一象限,则直线 l 的 倾斜角的取值范围是( A. ? , ? ?6 3 ? )

?π π ?

B. ?

?π π ? , ? ?6 2?

C. ?

?π π ? , ? ?3 2?

D. ? , ? ?6 2?

?π π ?

则 例 3 已知过点 A(?2, m) 和点 B(m, 4) 的直线与直线 2 x + y ? 1 = 0 平行, m 的值为 ( ) A. 0 B. ?8

C. 2

D. 10 )

例 4 直线 l 过点 (?1, 2) 且与直线 2 x ? 3 y + 4 = 0 垂直,则 l 的方程是( A. 3x + 2 y ? 1 = 0 B. 3x + 2 y + 7 = 0 C. 2 x ? 3 y + 5 = 0

D. 2 x ? 3 y + 8 = 0 )

例 5 “ a = 2 ”是“直线 ax + 2 y = 0 平行于直线 x + y = 1 ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

例 6 若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y + 1 = 0 与 l2 : x ? y + 3 = 0 所截得的线段的长为

2 2 ,则 m 的倾斜角可以是(
① 15
°

) ④ 60
°

② 30

°

③ 45

°

⑤ 75

°

其中正确答案的序号是

. (写出所有正确答案的序号)

例 7 已知点 A(1,3), B(3,1), C (?1, 0) ,求△ ABC 的面积.

例 8 已知直线 l 经过直线 2 x + y ? 5 = 0 与 x ? 2 y = 0 的交点.若点 A(5, 0) 到 l 的距 离为 3,求 l 的方程.

巩固练习: 巩固练习: 1、已知过两点 A(m 2 + 2, m 2 ? 3) , B(3 ? m 2 ? m, 2m) 的直线 l 的倾斜角为 45°,求实数 m 的 值.

2、已知三点 A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数 a 的值.

3、 1)已知直线 l1 经过点 M(-3,0) ( 、N(-15,-6) l2 经过点 R(-2, ,

3 5 ) 、S(0, ) , 2 2

试判断 l1 与 l2 是否平行?

(2) l1 的倾斜角为 45°, l2 经过点 P(-2,-1) 、Q(3,-6) ,问 l1 与 l2 是否垂直?

4、已知 A(1,1) ,B(2,2) ,C(3,-3) ,求点 D,使直线 CD⊥AB,且 CB∥AD.

5、写出下列点斜式直线方程:

(1)经过点 A(2,5) ,斜率是 4;

(2)经过点 B(3, ?1) ,倾斜角是 30o .

6、 1)求经过点 A(3, 2) 且与直线 4 x + y ? 2 = 0 平行的直线方程; (

(2)求经过点 B(3,0) 且与直线 2 x + y ? 5 = 0 垂直的直线方程.

7、已知直线 l 的方程为 3x+4y-12=0,求与直线 l 平行且过点(-1,3)的直线的方程.

8、求经过两条直线 2 x + y ? 8 = 0 和 x ? 2 y + 1 = 0 的交点,且平行于直线 4 x ? 3 y ? 7 = 0 的直

线方程.

9、点 M (5,8) 到直线 2 x ? y = 0 的距离是多少

10、求两定点 A(4,-1),B(3,4)的距离

1 10 11、求过直线 l1 : y = ? x + 和 l2 : 3x ? y = 0 的交点并且与原点相距为 1 的直线 l 的方程. 3 3

二、圆的方程
1.圆的定义: 平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆. 2.圆的标准方程 圆心为 (a, b) ,半径为 r 的圆的标准方程为 ( x ? a) + ( y ? b) = r .
2 2 2

3.圆的一般方程 二次方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 (*)配方得
2 2

(x +

D 2 E D2 + E 2 ? 4F ) + ( y + )2 = . 2 2 4
2 2 2 2

我们把方程 x + y + Dx + Ey + F = 0( D + E ? 4 F > 0) 叫做圆的一般方程. 其中,半径是 r =

D 2 + E 2 ? 4F E? ? D ,圆心坐标是 ? ? , ? . ? 2 2? ? 2
2 2

(1)圆的一般方程体现了圆方程的代数特点: x 、 y 项系数相等且不为零,没有 xy 项. (2)当 D + E ? 4 F = 0 时,方程(*)表示点( ?
2 2

D E ,? ) ; 2 2

当 D + E ? 4 F < 0 时,方程(*)不表示任何图形.
2 2

(3)根据条件列出关于 D 、 E 、 F 的三元一次方程组,可确定圆的一般方程. 4.圆的参数方程 ① 圆心为 O(0,0) ,半径为 r 的圆的参数方程是:

? x = r cos θ , (θ 是参数) ? ? y = r sin θ ,
② 圆心为 C (a,b) ,半径为 r 的圆的参数方程是:

? x = a + r cos θ , (θ 是 参数) ? ? y = b + r sin θ ,
在①中消去 θ 得 x + y = r ,在②中消去 θ 得 ( x ? a) + ( y ? b) = r ,这两个方程
2 2 2

2

2

2

相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程.

典型例题: 典型例题:
例 1 以点(2,-1)为圆心且与直线 x+y=6 相切的圆的方程 是 例 2 圆心在 y 轴上,半径为 1 且为点(1,2)的圆的方程为( ) .

2 2 例 3 已知圆 C1 : ( x + 1) + ( y ? 1) = 1, 圆 C2 与圆 C1 关于直线 x-y-1=0 对称,则圆 C2 的

方程为(

)
2 2

A. ( x + 2) + ( y ? 2) = 1

B. ( x ? 2) + ( y + 2) = 1
2 2

C. ( x + 2) + ( y + 2) = 1
2 2

D. ( x ? 2) + ( y ? 2) = 1
2 2

直线 3x + 4 y ? 11 = 0 与圆 例 4 已知圆 C 的圆心与点 p(?2,1) 关于直线 y = x + 1 对称.

C 相交于 A, B 两点,且 AB = 6 ,则圆 C 的方程为______________.
例 5 与直线 x + y ? 2 = 0 和曲线 x + y ? 12 x ? 12 y + 54 = 0 都相切的半径最小的圆
2 2

的标准方程是



例 6 (1)求经过点 A(3, 2) , B(5, 2) ,圆心在直线 2 x ? y ? 3 = 0 上的圆的方程; (2)求以 O(0,0) , A(2, 0) , B(0, 4) )为顶点的三角形 OAB 外接圆的方程
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w tk 2 .6 m c @ o x 1 c

例 7 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (4,3) ,端点 A 在圆 ( x + 1) + y = 4 上运动,
2 2

求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.

例 8 已知圆 x + y = 16 , A(2, 0) ,若 P , Q 是圆上的动点,且 AP ⊥ AQ ,求 PQ
2 2
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特特特特特特 特特特特特特 王新王新 王 王 王新王新 王 王
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中点的轨迹方程

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特特特特特特 王新王新 王 特特特特特特 王 王新王新 王 王
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巩固练习: 巩固练习:
1 一个圆经过点 A(5,0)与 B(-2,1)圆心在直线 x ? 3 y ? 10 = 0 上,求此圆的方程

2. 写出圆心为 A(2, ?3) ,半径长为 5 的圆的方程,

3 已知圆 C 经过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) ,且圆心在直线 l : x ? y + 1 = 0 上,求此圆的标准方程.

4. 已知圆经过点 P(5,1) ,圆心在点 C (8, ?3) 的圆的标准方程.

5. 圆心在直线 x = 2 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0, ?4), B (0, ?2) ,则圆 C 的方程为

6. 已知一个圆的直径端点是 A(2,1), B(?1,?2) ,试求此圆的方程.

7.求以 C (1,3) 为圆心,并且和直线 3x ? 4 y ? 7 = 0 相切的圆的方程

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8. 直线 y = x 与圆 x 2 + ( y ? 1) = r 2 相切,求 r 的值.
2

9. 已知 A(2, 4), B(?4, 0) ,则以 AB 为直径的圆的方程_______________. 10. 圆 x 2 + y 2 ? 4 x ? 1 = 0 的圆心和半径分别为__________________.

三、直线与圆、圆与圆的位置关系 直线与圆、
1.研究圆与直线的位置关系最常用的方法: ①判别式法;②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系. 直 线 Ax + By + C = 0 与 圆 ( x ? a) + ( y ? b) = r 的 位 置 关 系 有 三 种 , 若
2 2 2

d=

Aa + Bb + C A2 + B 2

, 则 d > r ? 相离 ? ? < 0 ; d = r ? 相切 ? ? = 0



d < r ? 相交 ? ? > 0 .

2.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1 , O2 ,半径分别为 r1 , r2 , O1O2 = d . ① d > r1 + r2 ? 外离 ? 4条公切线 ; ② d = r1 + r2 ? 外切 ? 3条公切线 ; ③ r1 ? r2 < d < r1 + r2 ? 相交 ? 2条公切线 ; ④ d = r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线 ; ⑤ 0 < d < r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线 .

O1

O2

O1

O2

O1

O2

O1

O2

O1

O2

3.直线和圆相切: ① 圆的方程为 x + y = r (r > 0) ,点 M ( x0 , y0 ) 在⊙ O 上,则过 M 的切线方程为
2 2 2

x0 x + y0 y = r 2 .
② 过圆外一点求圆的切线方程,一般用待定系数法解决.

典型例题
例 1 已知圆 C 与直线 x ? y = 0 及 x ? y ? 4 = 0 都相切,圆心在直线 x + y = 0 上,则圆 C 的方程为( )
2 2

(A) ( x + 1) + ( y ? 1) = 2 (C) ( x ? 1) + ( y ? 1) = 2
2 2 2 2

(B) ( x ? 1) + ( y + 1) = 2
2 2

(D) ( x + 1) + ( y + 1) = 2
2 2

2 2 例 2 若⊙ O : x + y = 5 与⊙ O1 : ( x ? m) + y = 20( m ∈ R ) 相

交于 A、B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是
2 2

w.

例 3 从圆 x ? 2 x + y ? 2 y + 1 = 0 外一点 P ( 3, 2 ) 向这个圆作两条切线,则两切线夹

角的余弦值为(



A.

1 2

B.

3 5

C.
°

3 2

D. 0
2 2

所截得的弦长为( 例 4 过原点且倾斜角为 60 的直线被圆 x + y ? 4 y = 0 所截得的弦长为 A. 3
2



2 B .2
2

.C. 6

D .2 3
2 2

例 5 圆 O1 : x + y ? 2 x = 0 和圆 O2 : x + y ? 4 y = 0 的位置关系是( ( A.相离 B.相交 C.外切 D 内切
2 2



则切线长的最小值为 例 6 由直线 y = x + 1 上的一点向圆 ( x ? 3) + y = 1 引切线,则切线长的最小值为 ( ) A.1 B. 2 2 C. 7 D.3
2 2

例 7 已知过点 M (?3, ?3) 的直线 l 被圆 x + y + 4 y ? 21 = 0 所截得的弦长为 4 5 , 求直线 l 的方程.

例 8 已知圆 x + y + x ? 6 y + m = 0 和直线 x + 2 y ? 3 = 0 交于 P 、 Q 两点,且
2 2
OP

⊥ OQ ( O 为坐标原点 ,求该圆的圆心坐标及半径. 为坐标原点)

例 9

一个圆和已知圆 x + y ? 2 x = 0 外切,并与直线 l : x + 3 y = 0 相切于点
2 2

求该圆的方程. M (3, ? 3) ,求该圆的方程.

例 10 已知⊙ O 方程为 x + y = 4 ,定点 A(4, 0) ,求过点 A 且和⊙ O 相切的动圆圆
2 2

心的轨迹方程.

巩固练习: 巩固练习:
1、求圆 ( x ? 2 ) + ( y + 3) = 4 上的点到 x ? y + 2 = 0 的最远、最近的距离
2 2

2、判断直线 3x ? 4 y + 6 = 0 与圆 ( x ? 2) 2 + ( y ? 3) 2 = 4 的位置关系.

3. 直线 3x ? 4 y + 6 = 0 与圆 ( x ? 2) 2 + ( y ? 3) 2 = 4 ( A.相切 B.相离 C.过圆心 D.相交不过圆心 过圆心



4. 圆 x 2 + y 2 = 16 上与直线 x ? y ? 3 = 0 的位置关系是________________

5 已知圆 C1 : x 2 + y 2 + 2 x + 8 y ? 8 = 0 , C2 : x 2 + y 2 + 4 x ? 4 y ? 2 = 0 , 圆 试判断圆 C1 与圆 C2 的 关系?

6.已知 p : a = “

2 2 2 ” q: , “ “直线 x + y = 0 与圆 x + ( y ? a) = 1 相切” 则 p 是 q 的( ,

)

A、充分非必要条件 C、充要条件

B、必要非充分条件 D、既非充分也非必要条件

7.已知 p : 直线 l1 : x ? y ? 1 = 0 与直线 l2 : x + ay ? 2 = 0 平行, q : a = ?1 ,则 p 是 q 的 A.充要条件 C.必要不充分条件 ZXXK] 8、 直线 y = kx + 1 与圆 x + y + kx ? y = 0 的两个交点恰好关于 y 轴对称, k 等于 , 则 ( A.0 B. 1 C. 2 D. 3
2 2

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件[来源:学科网



9.已知直线 l : x + 2 y + k + 1 = 0 被圆 C : x + y = 4 所截得的弦长为 4,则 k 是( 则
2 2



A.-1

B.-2 2

C. C 0
2 2

D.2

10. 已知直线 l 经过坐标原点 经过坐标原点,且与圆 x + y ? 4 x + 3 = 0 相切,切点在第四象限 切点在第四象限,则直线 l

的方程为

.

真题模拟: 真题模拟:
1.直线 ax + y + 3 = 0 的倾斜角为 120°,则 a 的值是

A.

3 3

B. ?

3 3

C. 3

D. ? 3

2.已知在?ABC 中, ∠ACB = 90° ,BC = 4,AC = 3,P 是 AB 上一点,则点 P 到 AC, BC 的距离乘积的最大值是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

3 . 己 知 向 量 a = (cos α ,sin α ), b = (cos β ,sin β ) , a 与 b 的 夹 角 为 60 ° , 直 线

1 x cos α ? y sin α = 0 与圆 ( x ? cos β ) 2 + ( y + sin β ) 2 = 的位置关系是 2
A.相切 B.相交 C.相离 D.随 α , β 的值而定

4 已知 A(?1 , 1) 、 B(3 , 1) 、 C (1 , 3) ,则 ?ABC 的 BC 边上的高所在直线方程为 A. x + y = 0 B. x ? y + 2 = 0 C. x + y + 2 = 0 D. x ? y = 0

5.已知过 A(? 1, a ) 、 B (a, 8) 两点的直线与直线 2 x ? y + 1 = 0 平行, 则 a 的值为 A. ? 10 B. 2 C. 5 D. 17 6 直线 l : ax + y ? 2 ? a = 0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是 A. 1
2 2

B. ? 1

C. ? 2 或 ? 1

D. ?2 或 1

7.圆 x + y ? 4 x ? 4 y + 7 = 0 上的动点 P 到直线 x + y = 0 的最小距离为 A.1 B. 2 2 ? 1 C.

2

D. 2 2

8.若曲线 C : y = 1 + 值范围是 ( )

4 ? x 2 与直线 l : y = k ( x ? 2) + 4 有两个不同交点,实数 k 的取

( A.

5 3 ,] 12 4

( B.

5 , ∞) + 12

C. [ , ]

1 3 3 4

( D. 0, )
2 2

5 12

9.一束光线从点 A(?1,1) 出发,经 x 轴反射到圆 C : ( x ? 2) + ( y ? 3) = 1 上的最短路程是 ( )

A. 3 2 ? 1

B. 2 6
3

C. 4
2

D. 5 .

10. 垂 直 于 直 线 2 x ? 6 y + 1 = 0 且 与 曲 线 y = x + 3x ? 1 相 切 的 直 线 方 程 的 一 般 式 是 .

11. 若过点 A (3 , 0 ) 的直线 l 与曲线 ( x ? 1) 2 + y 2 = 1 有公共点, 则直线 l 斜率的取值范围为 A.( ? 3 , B.[ ? 3 ,

3 )

3 ] C.( ?

3 , 3

3 ) 3

D.[ ?

3 , 3

3 ] 3
2 2

12. 设直线过点(0,a),其斜率为 1, 且与圆 x +y =2 相切,则 a 的值为( 其斜率为 A.± 2 13、 已知 p : a = “ B.± ±2 C.±2 2 D.±4

)

2 2 2 ”q: , “ “直线 x + y = 0 与圆 x + ( y ? a) = 1 相切”则 p 是 q 的( ,

)

A、充分非必要条件 C、充要条件
2 2

B、必要非充分条件 D、既非充分也非必要条件 既非充分也非必要条件

14. 已知直线 l 经过坐标原点 经过坐标原点,且与圆 x + y ? 4 x + 3 = 0 相切,切点在第四象限 切点在第四象限,则直线

l 的方程为

.

15.平面内 称横坐标为整数的点为 称横坐标为整数的点为“次整点”.过函数 y = 作直线,则倾斜角大于 45 45°的直线条数为. A.10 B.11
2 2 2

9 ? x 2 图象上任意两个次整点
D.13

C.12 2

[

16.若曲线 C : x + y + 2ax ? 4ay + 5a ? 4 = 0 上所有的 点均在第二象限内 点均在第二象限内,则 a 的 取值范围为( D A. ( ?∞ , ? 2) ) B. B ( ?∞ , ? 1) C. (1 , + ∞ )
2 2

D. ( 2 , + ∞ ) .

17.若直线 l : ax + by + 1 = 0 ( a > 0, b > 0) 始终平分圆 M : x + y + 8 x + 2 y + 1 = 0 的周 长,则

1 4 + 的最小值为 a b

。16


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