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2013学年广州市高二年级学生学业水平测试数学官方答案


2013 学年广州市高二年级学生学业水平数学测试及答案
本试卷分选择题和非选择题两部分, 共 4 页. 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置 上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的 答案无效. 4.本次考试不允许使用计算器. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:锥体的体积公式: V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高, 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合 题目要求的. 1.函数 f ? x ? ?

x ? 1 的定义域为( A)
B. ? ??, ?1? C. ?1, ?? ? D. ? ??,1?

A. ? ?1, ?? ?

2.集合{a,b,c}的子集个数是( D) A. 5 B. 6 C. 7

D. 8

3.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? an ? n ,则 a3 的值为( C ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

解:∵ a1 ? 1, an ?1 ? an ? n ,∴令 n=1, a1?1 ? a1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ,令 n=2, a2?1 ? a2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 . 4.经过点(3,0)且与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 平行的直线方程为( D ) A. x ? 2 y ? 3 ? 0 C. 2 x ? y ? 6 ? 0 B. x ? 2 y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 6 ? 0

5. 函数 y ? sin 2 x 的一个单调区间是( A ) A. ? ?

? ? ?? , ? 4 4? ?

B. ? ?

? ? ?? , ? 2 2? ?

C. ?

? ? 3? ? , ?4 4 ? ?

D. ?

? ? 3? ? , ?2 2 ? ?

6.做一个体积为 32m3,高为 2m 的无盖长方体的纸盒,则用纸面积最小为 ( B ) A. 64m2 B. 48m2 C. 32m2 D. 16m2

? x ? y ? 2 ? 0, ? 7. 已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则目标函数 z ? y ? 2 x 的最小值为( A ? y ? 1 ? 0. ?
A. ?5 B. ?4 C. ?3
1



D. ?2

8.如图 1 所示,程序框图(算法流程图)输出的结果是 ( C ) A.2 B.4 C.8 D.16 9.关于 x 的不等式 2 x ? ax ? a ? 0 的解集中的一个元素为 1,则实
2 2

开始

数 a 的取值范围是( B ) A.

? ??, ?1? ? ? 2, ?? ?

B.(-1,2)

x=1,y=1

C.

? ??, ?1? ? ? ?

1 ? , ?? ? ?2 ?
2

D. (-1,

1 ) 2

x≤3? 否 输出y



x=x+1,y=2y

解:关于 x 的不等式 2 x ? ax ? a ? 0 的解集中的一个元素为 1,所
2 2 以 f ?1? ? 2 ? a ? a ? 0 , a ? a ? 2 ? 0 ,-1<a<2.
2

10.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是 (0,0,0)(1,1,0)(1,0,1)(0,0,a) (a<0),画该四面体三视图中 , , , 的正视图时,以 xOz 平面为投影面,得到正视图的面积为 2,则 该四面体的体积是( B )

结束 图1
z D1
C1

1 1 3 B. C. 1 D. 3 2 2 10.解:这个四面体是图中的 O-MNP,又以 xOz 平面为投影面得到
A. 正视图是如图阴影的四边形 ONQP,它的面积为 2,所以

P(1,0,1)

B1

o(0,0,0) x

y

1 1 ?1?1 ? ?1? ? ?a ? ? 2, 解得 a ? ?3 。 2 2
四面体的体积是(M-OPN)(△OPN 是底面,MQ 是高) = ? S ?ODA1 ?1 ?

Q

M(1,1,0)

1 3

1 1 1 1 ? ? OD ?1?1 = ? ? 3 ?1?1 3 2 3 2
N(0,0,a) A B C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.在△ABC 中,∠ABC=450,AC=2,BC=1,则 sin∠BAC 的值 为

2 . 4
4 3 3

甲 6 6 8 8 3 8 9 1 0 1 2 3 4 5 图2

乙 2 5 1 4 0 5 4 6 9

12.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录用茎叶 图表示 (图 2) 则该赛季发挥更稳定的运动员是 , 乙 (填 . “甲” 或“乙” ) 13.已知向量 AB ? (1, 2), AC ? (3, 4), 则 BC ?

1

6

7

9

??? ?

????

??? ?

(2,2)

.

14.已知[x]表示不超过实数 x 的最大整数,g(x)=[x], x0 是函数

1 的零点,则 g( x0 )的值等于 1 . x 1 1 1 14 解:函数 f ? x ? ? log 2 x ? 的零点 x0 是方程 log 2 x ? ? 0, 即log 2 x ? 的解,即函数 x x x 1 y ? log 2 x, 与y ? x f ? x ? ? log 2 x ?
2

交点的横坐标。画出函数 y ? log 2 x, 与y ? 大整数,g( x0 )=[ x0 ]=1.

1 图像,可见 1< x0 <2,1< x0 <2,又[x]表示不超过实数 x 的最 x

y

y=

1 x y=log2x

1 0 1 x0 2

x

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15.(本小题满分 12 分) 某中学高一年级新生有 1000 名, 从这些新生中随机抽取 100 名学生作为样本测量其身高 (单位: , cm) 得到频率分布表如下: 身高 频率 男 女

?155,160 ? ?160,165? ?165,170 ? ?170,175? ?175,180 ?
0.01 0.05 0.10 0.10 0.25 0.10 0.25 0.04 0.09 0.01

(1)试估计高一年级新生中身高在 ?175,180 ? 上的学生人数; (2)从样本中身高在区间 ?170,180 ? 上的女生中任选 2 名,求恰好有一名身高在区间 ?175,180 ? 上的概 率. 解(1)∵样本中身高在 ?175,180 ? 上的学生人数等于 100(0.25+0.04+0.09+0.01)=39 人, ∴估计高一年级新生中身高在 ?175,180 ? 上的学生人数是 39 ? (2) 样本中身高在区间 ?170,180 ? 上的女生有 100 (0.04+0.01)=5 人,分别记为 1,2,3,4,其中身高 在区间 ?175,180 ? 上的女生有 100×0.01=1 人,记 为 5. 从这 5 人中选 2 人有 10 种不同选法。 其中恰好有一名身高在区间 ?175,180 ? 上有 4 中,

1000 =390 人, 100

1

2

3

4

2 3 4 5

3 4 5
1 2

4 5
3

5

所以恰好有一名身高在区间 ?175,180 ? 上的概率是 P ? 16. (本小题满分 12 分)

4 2 ? 。 10 5

4

5
3

5

5

5

已知函数 f ( x) ? sin ? x ? (1)求 f (0) 的值;

? ?

??

? ? cos x, x ? R . 6?

(2)若 ? 是第四象限角,且 f ? ? ?

? ?

?? 1

? ? ,求 tan ? 的值. 3? 3

解(1) f (0) ? sin ? ?

1 1 ? ?? ? ? cos 0 ? ? ? 1 ? , 2 2 ? 6?

(2)∵ f ? ? ?

? ?

??

?? ?? 1 ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? 3? 6? 3? 3, ? ?

3 1 1 3 1 sin ? ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? 2 2 2 3, 即 2
又 ? 是第四象限角,所以 sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ?
2

2 2 sin ? , tan ? ? ? ?2 2 。 3 cos ?

17. (本小题满分 14 分) 如图 3,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 A1D1,A1A 的中点。 (1)求证: BC1 / / 平面 CEF ; (2)在棱 A1 B1 上是否存在点 G,使得 EG ? CE ?若存在,求 A1G 的 长度;若不存在,说明理由。 证明: (1)连接 AD1 ,∵AB / / C1D1,∴ABC1D1 是平行四边形,所以
F D C E A1 B1 D1 C1

BC1 / / AD1 ,又 E,F 分别是 A1D1,A1A 的中点,所以 EF / / AD1 ,
所以 BC1 / / EF ,又 BC1 在平面 CEF 外,EF 在 平面 CEF 内, 所以
A B

图3

BC1 / / 平面 CEF 。
(2)设在棱 A1 B1 上是否存在点 G,使得
E
D1 C1

EG ? CE,记 A1G =x,
以 A1 为坐标原点,A1B1 为 x 轴,A1D1 为 y

A1

G

B1

y F
D1 D A C C1

1 轴建立坐标系,则 C1(1,1) ,E(0, ),G(x,0), 2

4
B

E
A1

图3

x G B1

若 EG ? C1 E ,则 k EG ? kC1E

1 1 1 1 ? ?1 , 2 ? 2 ? ?1, x ? ,当 A1G = 时,有 EG ? C1 E 。又 CC1 ? 平 4 1? 0 ?x 4 1?

面 A1B1C1D1,EG 在平面 A1B1C1D1 内,所以 CC1 ? EG,又 CC1 与 C1 E 相交于点 C1, CC1 与 C1 E 都在平面 CC1E 内, 所以 EG ? 平面 CC1 E ,又 CE 在平面 CC1 E 内,所以 EG ? CE 。所以当

A1G =

1 时,有 EG ? CE 。 4

18. (本小题满分 14 分) ,已知直线 l : y ? kx 与圆 C1 : ? x ? 1? ? y ? 1 相交于 A,B 两点,圆 C2 与圆 C1 相外切,且与直线 l 相切
2 2

于点 M 3, 3 。 (1)求 k 的值; (2)求 AB 的长; (3)求圆 C2 的方程。 解 :( 1 ) 直 线 l : y ? kx 经 过 点 M 3, 3 , 所 以
y

?

?

?

?

3? 3 k? k ,

3 。 3
2 2

C2

(2)圆 C1 : ? x ?1 ? ? y ? 1 的圆心为 C1(1,0) ,半径为 1,
l

直线 l : y ?

3 x, x ? 3 y ? 0 , 3
N O

M B 2 1 C1 A H C2 P x

1 点 C1 ( 1,0 ) 到 直 线 l 的 距 离 等 于 d ? ,所以 2
AB ? 2 12 ? d 2 ? 3 。

/ (3)方法 1:过点 M 作与直线 l 垂直的直线 l ,它的方程是 y ? 3 ? ? 3 ? x ? 3? ,即 y ? ? 3x ? 4 3

设圆 C2 的圆心 C2 a, ? 3a ? 4 3 ,又 C1(1,0) ,圆 C2 与圆 C1 相外切,且与直线 l 相切于点

?

?

M 3, 3 。所以 C1C2 ? 1 ? MC2 ,


?

?

? a ? 1?

2

? ? 3a ? 4 3

?

?

2

? 1?

? a ? 3?

2

? ? 3a ? 4 3 ? 3

?

?

2

,解得 a1 ? 4 或 a2 ? 0 ,

对应的圆心(4,0) ,半径为 2;圆心(0, 4 3 ) ,半径为 6; 所以圆 C2 的方程为 ? x ? 4 ? ? y ? 4 或 x 2 ? y ? 4 3
2 2

?

?

2

? 36 。

5

方法 2:设圆 C2 的方程为 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r
2 2

2

? r ? 0?

? 2 2 ? ? a ? 1? ? b ? r ? 1..............(1) ? C1C2 ? r ? 1 ? 2 ? 2 ? 则 ? MC2 ? r ,即 ? ? a ? 3? ? b ? 3 ? r........(2) , ? ?l ? MC 2 ? ? 3 b? 3 ? ?1......................(3) ? ? a ?3 ? 3

?

?

由(3)解得 b ? ? 3a ? 4 3 代入(2)得到 r ? 再把 b 和 r 代入(1)

? a ? 3?
? 1?

2

? ? 3a ? 4 3 ? 3
2

?

?

2

? a ? 1?

2

? ? 3a ? 4 3

?

?

2

? a ? 3?

? ? 3a ? 4 3 ? 3

?

?

2



解得 a1 ? 4 或 a2 ? 0 ,对应的圆心(4,0) ,半径为 2;圆心(0, 4 3 ) ,半径为 6; 所以圆 C2 的方程为 ? x ? 4 ? ? y ? 4 或 x 2 ? y ? 4 3
2 2

?

?

2

? 36 。
/ /

方法 3:当圆 C2 在直线 l 的下方时,过点 M 作与直线 l 垂直的直线 l ,过 C1 作直线 l 的平行线与直线 l 相 交于点 P,设圆 C2 的半径为 r。∵C1(1,0) ,圆 C2 与圆 C1 相外切,且与直线 l 相切于点 M 3, 3 ,∴

?

?

OM ? 2 3 ,

C1 P ? MN ? OM ?

AB 3 3 3 1 ?2 3? ? , C2 P ? C2 M ? PM ? C2 M ? C1 N ? r ? , 2 2 2 2
2

C1C2 ? 1 ? r ,在直角三角形 C1 C2 P 中, ?1 ? r ?

? 3 3 ? ? 1 ?2 ,解得 r=2. ?? ? 2 ? ??r ? 2 ? ? ? ? ? ?
3 ,∴∠MO C2 =300,又直线 l 的 2

2

在直角三角形 OM C2 中, OC2 ?

?2 3?

2

? 22 ? 4 ,∴cos∠MO C2 ?

倾斜角为 300,所以 C2 在 x 轴正半轴上,得 C2 (4,0) , 所以圆 C2 的方程为 ? x ? 4 ? ? y ? 4 。
2 2

同理,当圆 C2 在直线 l 的上方时,过点 M 作与直线 l 垂直的直线 l ,过 C1 作直线 l 的平行线与直线 l 相 交于点 P,设圆 C2 的半径为 r。∵C1(1,0) ,圆 C2 与圆 C1 相外切,且与直线 l 相切于点 M 3, 3 ,∴

/

/

?

?

OM ? 2 3 ,

C1 P ? MN ? OM ?

AB 3 3 3 1 ?2 3? ? , C2 P ? C2 M ? PM ? C2 M ? C1 N ? r ? , 2 2 2 2

6

C1C2 ? 1 ? r ,在直角三角形 C1 C2 P 中, ?1 ? r ?

2

? 3 3 ? ? 1 ?2 ,解得 r=6. ?? ? 2 ? ??r ? 2 ? ? ? ? ? ?
1 ,∴∠MO C2 =600,又直线 l 2

2

在直角三角形 OM C2 中, OC2 ?

?2 3?

2

? 62 ? 4 3 ,∴cos∠MO C2 ?

的倾斜角为 300,所以 C2 在 y 轴正半轴上,得 C2 (0, 4 3 ) , 所以圆 C2 的方程为 x 2 ? y ? 4 3
2 2

?

?

2

? 36 。

所以圆 C2 的方程为 ? x ? 4 ? ? y ? 4 或 x 2 ? y ? 4 3 19. (本小题满分 14 分)

?

?

2

? 36 。

* 设数列 {an } 是等比数列,对任意 n ? N ,Tn ? a1 ? 3a2 ? 5a3 ? ... ? ? 2n ? 1? an ,已知 T1 ? 1 ,T2 ? 7 。

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求使得 Tn ?1 ? 2 ?Tn ? 60 ? 成立的最大正整数 n 的值。 (2) Tn ? a1 ? 3a2 ? 5a3 ? ... ? ? 2n ? 1? an ? 1 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? ... ? ? 2n ? 1? ? 2
2 n ?1

。。。 。。。①

2Tn ? 1? 2 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ... ? ? 2n ? 3? ? 2n ?1 ? ? 2n ? 1? ? 2 n 。。。 。。。②
①-②: ?Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? 2
2 3 n ?1

4 ? 2 ? 2 ? 2n ?1 ? ? 2n ? 1? ? 2 ? 1 ? ? ? 2n ? 1? ? 2n 1? 2
n

? ? 3 ? 2n ? ? 2n ? 3 ,所以 Tn ? ? 2n ? 3? ? 2n ? 3 。 【这是错位相减法】
【求和 Tn 的方法 2(裂项相消法+待定系数法) ..... ..... 】令 .

? 2n ? 1? ? 2n?1 = ? a ? n ? 1? ? b ? ? 2n ? ? an ? b ? ? 2n?1 ? 2 ? a ? n ? 1? ? b ? ? 2n?1 ? ? an ? b ? ? 2n?1
? ? 2an ? 2a ? 2b ? an ? b ? ? 2n ?1 ? ? an ? 2a ? b ? ? 2n ?1 ,比较系数得到 a=2,2a+b=-1,解得 a=2,b=-5.
所以 ? 2n ? 1? ? 2
n ?1

? ? 2n ? 3? ? 2n ? ? 2n ? 5 ? ? 2n ?1 ? ? ? 2n ? 5 ? ? 2n ?1 ? ? 2n ? 3? ? 2n ,
2 n ?1

所以 Tn ? a1 ? 3a2 ? 5a3 ? ... ? ? 2n ? 1? an ? 1 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? ... ? ? 2n ? 1? ? 2

? ?3 ? 1? 21 ? ? ?1? 21 ? 1? 22 ? ? ? ?1? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? ?3 ? 23 ? 5 ? 2 4 ? ? ... ? ? ? ? 2 n ? 5 ? ? 2 n ?1 ? ? 2 n ? 3 ? ? 2 n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? 3 ? ? 2n ? 3 ? ? 2 n 。
又 Tn ?1 ? 2 ?Tn ? 60 ? ,即 ? 2n ? 1? ? 2 又2
4? 2
n ?1

? 3 ? 2 ?? 2n ? 3? ? 2 n ? 3 ? 60 ? , 2n?2 ? 123 , ? ?

? 64 ? 123, 25?2 ? 128 ? 123 ,
7

所以,使得 Tn ?1 ? 2 ?Tn ? 60 ? 成立的最大正整数 n 的值是 4. 20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ? x .
2

(1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)求函数 f ? x ? 在区间 ? a, a ? 1? 上的最大值。 解: (1)函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,在 f(-x)=-f(x)中,令 x=0,解得 f(0)=0; 又当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ? x ,
2

所以当 x ? 0 时, ? x ? 0 , f ? x ? ? ? f ? ? x ? ? ? ? x ? x

?

2

?? x?x .
2

? x ? x2 , x ? 0 ? 函数 f ? x ? 的解析式是 f ? x ? ? ? 0, x?0 2 ?x ? x , x ? 0 ?
? x ? x2 , x ? 0 即 f ? x? ? ? 2 ?x ? x , x ? 0 ? x ? x2 , x ? 0 (2)画出函数 f ? x ? ? ? 的图像, 2 ?x ? x , x ? 0
两个分段函数的对称轴分别是 x ? ?

y

.

0 -1

1 x

1 1 , x ? ,又区间 ? a, a ? 1? 长度为 1, 2 2
2

2 所以当 a<-1 时,a+1<0, f ? x ? ? x ? x . 函数 f ? x ? 的最大值为 f(a)= a ? a ,

当-1≤a<-

1 1 1 2 2 时,- ≤a+1< ,函数 f ? x ? 的最大值为 f(a+1)= ? a ? 1? ? ? a ? 1? ? ?a ? a , 2 2 2

当-

1 1 1 3 ?1? 1 ≤a≤ , ≤a+1≤ ,函数 f ? x ? 的最大值为 f ? ? ? , 2 2 2 2 ?2? 4 1 3 2 2 时,a+1≥ , f ? x ? ? x ? x . 函数 f ? x ? 的最大值为 f(a)= a ? a , 2 2

当 a≥

? a ? a 2 , 当 a ? ?1 ? ??a ? a 2 ,当 ? 1 ? a ? ? 1 ? 2 ? 所以,函数 f ? x ? 在区间 ? a, a ? 1? 上的最大值 g ? a ? ? ? 1 1 1 ? ,当 ? ? a ? 2 2 ?4 1 ? 2 ? a ? a , 当a ? 2 ?

8


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