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1.配方法与十字相乘法


·高一数学“初、高中衔接”教学内容·

2013 届高一第一学期数学教案
1.配方法与十字相乘法 【教学目标】 1.通过具体特例获得配方法与十字相乘法的操作方法. 2.会用配方法与十字相乘法解有关一元二次方程与因式分解等问题. 【教学重点】 通过具体特例获得配方法与十字相乘法的操作步骤. 【教学难点】 十字相乘法分解因式. 【教学过程】 问题:解方程 x 2 ? 5x ? 6 ? 0 . 法一:公式法 法二:配方法 例 1.指出下列函数图象的顶点坐标(并确定 y 的取值范围) : (1) y ? x 2 ? 4x ? 5 ; (2) y ? 2x 2 ? 5x ; (3) y ? ?3x 2 ? 18x ? 23 . 例 2.解下列各题 (1)若 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 5 ? 0 ,求 x, y 的值; (2)若 a ? b ,判别 a 2 ? ab ? b 2 正负; (3)比较大小:① 3x 2 ? 2 x ? 1 与 4 x ? 4 ; ② a 2 ? b 2 ? c 2 与 ab ? bc ? ca ; 法三:分解因式法(十字相乘法) 因式分解的定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项 式因式分解,也称分解因式. 1.对于问题用分解因式法“解方程 x 2 ? 5x ? 6 ? 0 ”的研究. (1)2,3 是方程的两个根,则根与系数“1,-5,6”有怎样关系? (2)反过来思考: (ax ? b)(cx ? d ) ? acx 2 ? (ad ? bc) x ? bd . (3)发现:对二次项系数 ac 及常数项 bd 进行分解,得到一次项系数,从而引入“十字 相乘法” . 2. 十字相乘法: 对于 kx 2 ? mx ? n 型的式子的因式分解, 如果系数能分解成 k ? ac, n ? bd , 2 b 且有 ad ? bc ? m 时,那么 kx ? mx ? n ? (ax ? b)(cx ? d ) ,可用图表示为: a (1)分解: x 2 ? 5 x ? 6 ; 6 x 2 ? 7 x ? 20 ; d c (2)学生操作:① 3x 2 ? 7 x ? 2 ? 0 ; ② 3x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 ; 3.分解因式的方法: ① 提公因式法:如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项 式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.如 am ? bm ? cm ? m(a ? b ? c)
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② 公式法:平方差公式 a 2 ? b 2 ? (a ? b)(a ? b) 完全平方公式 a 2 ? 2ab ? b 2 ? (a ? b) 2 立方和公式 a 3 ? b 3 ? (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 ) 立方差公式 a 3 ? b 3 ? (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 ) 完全立方公式 a 3 ? 3a 2 b ? 3ab2 ? b 3 ? (a ? b) 3 ③ 分组分解法:把一个多项式分组后,再进行分解因式的方法. 4.例题: 例 3.分解因式: (1) 7 x 2 ? 19x ? 6 ; (3) x 2 ? 5xy ? 6 y 2 ? 3x ? 9 y ; 例 4.比较大小: (2) x 4 ? 5x 2 ? 6 ; (4*) a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc .

a2 b2 ? 与a ? b, (其中 a ? 0, b ? 0, a ? b ) . b a

例 5*.已知函数 y ? 3x 2 ? 12x ? 18 4x ? x 2 ? 23 . (1)求实数 x 的取值范围; (2)令 4x ? x 2 ? t ,试将 y 表示为 t 的函数; (3)求应变量 y 的取值范围. 板书:
配方法与十字相乘 问题:解方程 x ? 5x ? 6 ? 0
2

例1 例2

解答过程

法一:公式法 法二:配方法 法三:因式分解 ?? 系数间的关系: 对于 kx ? mx ? n 型的式子, 若 k ? ac, n ? bd ,且 ad ? bc ? m ,
2

例3

则 kx ? mx ? n ? (ax ? b)(cx ? d )
2

例4

图例: 重要的公式: 平方差: 立方和(差) : 完全立方: 小结与作业

a

b

c

d
例5

小结与作业 1.小结:配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方” )的技巧,其关键是: b 对于一元二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 变形为 y ? ax 2 ? bx ? c ? a( x 2 ? x) ? c ,然 a 后将括号部分配成完全平方.十字相乘法分解因式的关键是:画出“十字图” . 2.作业:见讲义.
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