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河北省衡水中学11-12学年高一数学下学期一调考试 理

2011—2012 学年度第二学期第一次调研考试高一年级数学(理科)试 卷

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

注意事项:1.答卷Ⅰ前,考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.答卷Ⅰ时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。

一、 选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答

案的序号填涂在答题卡上)
1.已知 A ? {x | x是4与10的公倍数, x ? N?}, B ? {x | x ? 20m, m ? N?},则 ( )

A. A ? B 且 A ? B

B. B ? A且 A ? B

C. A ? B

D. A? B

2.已知函数

f

(x)

?

?3x ?

(x

?

0)

?log 2 x(x ? 0)

,那么 f [ f (1)]的值为 8

()

A.27

B. 1 27

C. ?27

D. ? 1 27

3.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是 ( )

A.32 B.16+16 2

C.48

D.16 ? 32 2

4.若直线 y ? x ? b 与曲线 (x ? 2)2 ? y 2 ? 1有两个不同的公共点,

则实数 b 的取值范围为

()

A. (2 ? 2,1)

B. [2 ? 2, 2 ? 2]

C. (??, 2 ? 2) (2 ? 2, ??)

D. (2 ? 2, 2 ? 2)

5.已知直二面角? ? l ? ? ,点 A?? , AC ? l , C 为垂足, B ? ? , BD ? l , D 为垂足,若

AB ? 2, AC ? BD ?1





CD ?

()

用心

爱心

专心

-1-

A. 2

B. 3

C. 2

D.1

6.设 f (x) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0时, f (x) ? 2 x ? 2x ? b ( b 为常数),则 f (?1) =

()

A .3

B.1

C.-1

D.-3

7.设 A(0, 0), B(1,1),C(4, 2) ,若线段 AD 是△ ABC 外接圆的直径,则点 D 的坐标是( ).

A.(-8,6) B.(8,-6) C.(4,-6) D.(4,-3)

8.如图,M 是正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点,给出命题

A

①过 M 点有且只有一条直线与直线 AB 、 B1C1 都相交;

B

②过 M 点有且只有一条直线与直线 AB 、 B1C1 都垂直; ③过 M 点有且只有一个平面与直线 AB 、 B1C1 都相交;

A1 B1

D C
?M
D1 C1

④过 M 点有且只有一个平面与直线 AB 、 B1C1 都平行.













()

A.②③④ B.①③④

C.①②④

D.①②③

9.定义新运算“&”与“ ? ”: x &y x?

y?1 ,

x?

y

?

log ( x ?1)

y

,则函数

f

(x)

?

(x & 3) ?1 3? 2x

是( )

A、奇函数 B、偶函数

C、非奇非偶函数

D、既是奇函数又是偶函数

10.若点 A(2,-3)是直线 a1x ? b1 y ? 1 ? 0 和 a2x ? b2 y ? 1 ? 0 的公共点,则相异两点 (a1,b1 )

和 (a2 ,b2 ) 所确定的直线方程为

()

A. 2x ? 3y ?1 ? 0 B. 3x ? 2y ?1 ? 0 C. 2x ? 3y ?1 ? 0 D. 3x ? 2y ?1 ? 0

11.在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60O,将菱形沿对角线AC折起,使折起后BD=1,则三棱锥

B-ACD















A. 2 12

B. 1 12

C. 2 6

D. 2 4

用心

爱心

专心

-2-

12.已知直线 l : 3x ? 4 y ?12 ? 0 ,若圆上恰好存在两个点P、Q,他们到直线 l 的距离为1,则

称该圆为“完美型”圆。则下列圆中是“完美型”圆的是

()

A. x 2 ? y 2 ? 1

B. x 2 ? y 2 ? 16

C. (x ? 4)2 ? ( y ? 4)2 ? 1

D.

(x ? 4)2 ? ( y ? 4)2 ? 16

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、 填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上)
13. 若 直 线 l1 : x ? 2my ?1 ? 0 与 l 2 : (3m ?1)x ? my ?1 ? 0 平 行 , 那 么 实 数 m 的 值 为
__________。
14. 如果实数 x, y 满足等式 (x ? 2)2 ? y2 ? 3 ,那么 y 的最大值是________。 x
15.如图,半径为 4 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的 侧面积之差是_________.
16.已知定义域为 R 的函数 f (x ) 为奇函数。且满足 f (x ? 2) ? ?f (x ) ,当 x ??0,1? 时,
f (x ) ? 2x ? 1,则 f (log 1 24) =
2
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在 答题纸的相应位置)
17.已知圆 M 经过直线 l : 2x ? y ? 4 ? 0 与圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 的交点,且圆 M 的
圆心到直线 2x ? 6 y ? 5 ? 0 的距离为 3 10 ,求圆 M 的方程

18.设 x ? y ?1 ? 0, 求 d ? x22 ? y22 ? 6x ?10y ? 34 ? x22 ? y22 ? 4x ? 30y ? 229 的最小
值。

用心

爱心

专心

-3-

19.在长方体 ABCD ? A1B1C1D1中, AB ? BC ? 2 ,过 A1 、 C1 、 B 三点的平

D1

面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体 ABCD ? A1C1D1 ,且这个 A1

几何体的体积为10 .

(1)求棱 A1 A 的长;

(2)若 A1C1 的中点为 O1 ,求异面直线 BO1 与 A1D1 所成角的余弦值。

D

A

20.已知函数

f

(x)

= (log2

x

?

2)(log4

x

?

1) 2

,2≤

x

≤4

(1)求该函数的值域;

(2)若 f (x) ? m log 2 x 对于 x ?[2,4]恒成立,求 m 的取值范围.

C1
C B

21.如图,四棱锥 S ? ABCD中,AB ? BC ,BC ? CD , 侧面 SAB为等边三角形, AB ? BC ? 2,CD ? SD ? 1. (Ⅰ)证明: SD ? 平面 SAB; (Ⅱ)求 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值.

22. (本小题 12 分)定义:若函数 y ? f (x) 在某一区间 D 上任取两个实数 x1 、x2 ,且 x1 ? x2 ,

都有 f (x1 ) ? f (x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ,则称函数 y ? f (x) 在区间 D 上具有性质 L。

2

2

(1)写出一个在其定义域上具有性质 L 的对数函数(不要求证明)。
(2)对于函数 f (x) ? x ? 1 ,判断其在区间 (0,??) 上是否具有性质 L?并用所给定义证明你 x
的结论。

用心

爱心

专心

-4-

(3)若函数 f (x) ? 1 ? ax2 在区间(0,1)上具有性质 L,求实数 a 的取值范围。 x

用心

爱心

专心

-5-

2011-2012 学年度第二学期一调考试高一数学(理科)答案

一、选择题 CBBDC DBCAC AD

二、填空题 13. 0 或 1
6 三、解答题

14. 3

15. 32π

16. ? 1 2

17. 解:设经过直线 l 与圆 C 的交点的圆系方程为 x2+y2+2x-4y+1+ ? (2x+y+4 )=0

则 x2+y2+2( ? +1)+ ( ? -4)y+4 ? +1=0 ∴圆 M 的圆心为 M( ?? ?1, 4 ? ? )
2 由条件可得 | ?2? ? 2 ? 3(4 ? ?) ? 5 | = 3 10
22 ? 62

…………………………………3 分 …………………………………6 分

解得 ? =-11 或 ? =13

…………………………………8 分

所以所求圆的方程为 x2+y2-20x-15y-43=0 或 x2+y2+28x+9y+53=0

……………10 分

18.解:

d ? x2 ? y2 ? 6x ?10y ? 34 ? x2 ? y2 ? 4x ? 30y ? 229

? (x ? 3)2 ? ( y ? 5)2 ? (x ? 2)2 ? ( y ?15)2 可 看 作 点 A(?3,5) 和 B(2,15) 到 直 线

x ? y ?1 ? 0, 上的点的距离之和,

…………………………………4 分

作 A(?3,5) 关于直线 x ? y ?1 ? 0, 对称的点 A' (4, ?2) ,…………………………………8 分

则 dmin ? A'B ? 293

…………………………………12 分

19.解:(1)设 A1 A ? h ,由题设VABCD? A1C1D1 ? VABCD?A1B1C1D1 ? VB?A1B1C1 ? 10 ,



S ABCD

?

h

?

1 3

?

S?A1B1C1

?

h

?

10

,即

2

?

2

?

h

?

1 3

?

1 2

?

2

?

2

?

h

?

10

,解得

h

?

3



故 A1 A 的长为 3 .

…………………………………6分

(2)因为在长方体中 A1D1 // BC ,

所以 ?O1BC 即为异面直线 BO1 与 A1D1 所成的角(或其补角).…………………………8分

在△ O1BC 中,计算可得 O1B ? O1C ?

11 ,则 ?O1BC 的余弦 值为

11 。……………12 分 11

20.解:(1)y

=(

log 2

x

?

2)



1 2

log

2

x

?

1) 2

=1 2

(log

2

x)2

-

3 2

log 2 x ?1…………2 分

令t

?

log 2

x

,则

y

?

1 2

t2

?

3 2

t

?1

? 1 (t ? 3)2 ? 1 228

?2 ? x ? 4 ?1 ? t ? 2

…………………………4 分

用心

爱心

专心

-6-

当t

?

3 2

时,

y m in

?

?1 8

,当 t

?1或

2

时,

ymax

?

0

?

函数的值域是

????

1 8

,0???

…………………………6 分

(2)令 t

?

log 2

x

,可得

1 2

t

2

?

3 2

t

?1

?

mt

对于1 ?

t

?

2 恒成立。

所以 m ? 1 t ? 1 ? 3 对于 t ?[1,2]恒成立 2 t2

…………………………8 分

设 g(t) ? 1 t ? 1 ? 3 , t ?[1,2] 2 t2

g(t) ? 1 t ? 1 ? 3 ? 1 (t ? 2) ? 3 2 t22 t 2

g(1) ? 0, g(2) ? 0 所以 g(t)max ? 0 ,

…………………………10 分

所以 m ? 0

…………………………12 分

21.解:(I)取 AB 中点 E,连结 DE,则四边形 BCDE 为矩形,DE=CB=2,

连结 SE,则 SE ? AB, SE ? 3. 又 SD=1,故 ED2 ? SE2 ? SD2 ,

所以 ?DSE 为直角。

…………3 分

由 AB ? DE, AB ? SE, DE SE ? E ,

得 AB ?平面 SDE,所以 AB ? SD 。
SD 与两条相交直线 AB、SE 都垂直。

所以 SD ? 平面 SAB。 …………6 分

(II)由 AB ?平面 SDE 知,

平面 ABCD ? 平面 SED。 作 SF ? DE, 垂足为 F,则 SF ? 平面 ABCD,

SF ? SD ? SE ? 3 . DE 2
作 FG ? BC ,垂足为 G,则 FG=DC=1。

连结 SG,则 SG ? BC ,

用心

爱心

专心

-7-

又 BC ? FG, SG FG ? G , 故 BC ? 平面 SFG,平面 SBC ? 平面 SFG。

作 FH ? SG ,H 为垂足,则 FH ?平面 SBC。

FH ? SF ? FG ? 3 ,即 F 到平面 SBC 的距离为 21 …………………………10 分

SG

7

7

由于 ED//BC,所以 ED//平面 SBC,E 到平面 SBC 的距离 d 也有 21 7
设 AB 与平面 SBC 所成的角为? ,

则 sin ? ? d ? 21 。 EB 7

…………………………………12 分

22. 解:(1) y ? log1 x (或其它底在(0,1)上的对数函数)。…………2 分
2
(2)函数 f (x) ? x ? 1 在区间 (0,??) 上具有性质 L。…………3 分 x

证明:任取 x1 、 x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2



f

(x1 ) ? 2

f

(x2 )

?

f

( x1

? x2 ) 2

?

1 2

(

x1

?

1 x1

?

x2

?

1 x2

) ? ( x1

? 2

x2

?

x1

2) ? x2

? 1 ? x1 ? x2 ? 2 ? (x1 ? x2 )2 ? 4x1 ? x2 ? (x1 ? x2 )2 2 x1 ? x2 x1 ? x2 2x1 ? x2 (x1 ? x2 ) 2x1 ? x2 (x1 ? x2 )
? x1 、 x2 ? (0, ??) 且 x1 ? x2 , (x1 ? x2 )2 ? 0 , 2x1 ? x2 (x1 ? x2 ) ? 0

? 即 f (x1) ? f (x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) >0,

f (x1 ) ? f (x2 ) ? f ( x1 ? x2 )

2

2

2

2

所以函数 f (x) ? x ? 1 在区间 (0,??) 上具有性质 L。……………7 分 x

(3)任取 x1 、 x2 ? (0,1) ,且 x1 ? x2



f (x1) ? 2

f (x2 )

?

f ( x1

? x2 ) 2

?

11 (
2 x1

? ax12

?

1 x2

? ax22 ) ? ( x1

2 ? x2

? a( x1

? x2 )2 ) 2

?

(x1 ? x2 )2 2x1 ? x2 (x1 ? x2 )

? a ? (x1

? x2 )2 4

?

( x1

?

x2 )2

? [2 ? a ? x1 ? x2 (x1 ? x2 )] 4x1 ? x2 (x1 ? x2 )

用心

爱心

专心

-8-

? x1 、 x2 ? (0,1) 且 x1 ? x2 , (x1 ? x2 )2 ? 0 , 4x1 ? x2 (x1 ? x2 ) ? 0

要使上式大于零,必须 2 ? a ? x1 ? x2 (x1 ? x2 ) ? 0 在 x1 、 x2 ? (0,1) 上恒成立,

即a ?

2

? , a ? 1,即实数 a 的取值范围为 (??,1] ……………12 分

x1 ? x2 (x1 ? x2 )

用心

爱心

专心

-9-