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发现法在高中数学教学中的实践研究






发现法在新课程教学中应用比较广泛。它是指在教师的启发和引导下,学生通过 自主探究、动手实践、合作交流等学习方式,经历观察、分析、联想、归纳、类比、 实验、演绎等思维过程而主动发现并建构新知识的一种教学方法。相对于传统的“讲 授—接收”式教学,发现法强调“引导—发现”,能充分发挥教师的主导地位和学生 的主体地位,体现新课程改革的基本理念,因而得到广泛的应用。 本文立足于高中数学教学实践,以发现学习理论、建构主义思想、新课改理念等 为指导,采用文献研究法、行动研究法和案例研究法,从理论与实践两方面分析了发 现法的类型、具体操作原则、具体应用以及应用误区等,并提出本文研究中的不足与 展望。 通过研究本人得出以下的结论:发现法注重学生积极主动参与和自主发现,能让 学生成为学习的主人,能充分发挥学生学习的主观能动性;发现法注重师生互动、生 生互动,强调学生合作交流学习,可以培养学生的团队精神;发现法注重学生对知识 的“再发现”过程的探究,可以激发学生的创造性思维,培养学生严谨的科学态度; 发现法注重过程知识的获取, 尊重学生的主体地位, 关注学生学习过程中的情感体验, 有利于培养学生逻辑思维能力和健全的人格。 关键词:发现法;数学发现;实践研究

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Abstract
Discovery method is widely used in the teaching of new curriculum. It is a kind of teaching method that students take the initiative to find new knowledge through independent inquiry, hands-on practice, cooperation and communication etc study way and undergo observation, analysis, induction, analogy, and association, experimental and deductive etc thinking process under the inspiration and guidance of teachers. Compared with the traditional "teaching - receiving" teaching, discovery method emphasizes the "lead-discovery", that can give full play to the teacher's leading role and student's main body status, and embodies the basic idea of the new curriculum reform, so it can be widely applied. This paper is based on the teaching practice of senior high school mathematics, and takes discovery learning theory, constructivist thought, new curriculum ideas etc as a guide, and analyzes the types, specific operating principles, specific applications and the application of misunderstanding of discovery method from theory and practice two aspects. Through the research I can draw following conclusions: discovery method pays great attention to the student to actively participate and self discovery, which can let the students become the master of learning, and can give full play to students' subjective initiative; discovery method focus on teacher-student interaction and student-student interaction, and emphasize the students to cooperate and exchange learning, can cultivate students' team spirit; discovery method pay attention to students on knowledge’s "rediscovered" process, that can stimulate students' creative thinking, and cultivate students' rigorous scientific attitude; discovery method focus on process of knowledge acquisition, respect for the dominant position of students, and pays attention to student learning process of emotional experience, which is conducive to the cultivation of students' capacity for reasoning and logical thinking and sound personality. Key Words: Discovery method; mathematics discovery; practice research

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要 ................................................................................................................................................ I 录 .............................................................................................................................................III

ABSTRACT .......................................................................................................................................... II 目 第1章 绪 论 ................................................................................................................................ 1 1.1 研究背景................................................................................................................................................ 1 1.1.1 对传统数学教学的反思 ........................................................................................................... 1 1.1.2 发现法产生的背景..................................................................................................................... 1 1.2 研究问题................................................................................................................................................ 1 1.3 研究意义................................................................................................................................................ 2 1.3.1 发现法体现新课程改革理念 ................................................................................................. 2 1.3.2 发现法教学符合数学学科特点 ............................................................................................. 2 1.3.3 发现法可以促进学生的过程知识的学习 ........................................................................... 3 1.3.4 发现法教学是素质教育需要 ................................................................................................. 3 第 2 章 相关文献综述 .......................................................................................................................4 2.1 发现法的概念 ...................................................................................................................................... 4 2.1.1 发现法的内涵 .............................................................................................................................. 4 2.1.2 发现法的特征 .............................................................................................................................. 4 2.1.3 数学发现........................................................................................................................................ 5 2.2 发现法的理论依据 ............................................................................................................................ 5 2.2.1 古代朴素的发现法教学思想 ................................................................................................. 6 2.2.2 近现代成熟的发现法思想 ...................................................................................................... 6 第 3 章 发现法的具体操作原则 ......................................................................................................9 3.1 发现法的实施条件 ............................................................................................................................. 9 3.1.1 对教学内容的要求 ...................................................................................................................... 9 3.1.2 对教师的要求 ............................................................................................................................... 9 3.1.3 对学生的要求 ............................................................................................................................ 10 3.2 发现法的课堂组织形式 ................................................................................................................. 10 3.2.1 师生对话 ...................................................................................................................................... 10 3.2.2 小组合作 ...................................................................................................................................... 11 3.2.3 动手实践 ...................................................................................................................................... 11 3.2.4 自主探究 ...................................................................................................................................... 11 3.3 发现法的具体操作流程 ................................................................................................................. 11 3.3.1 创设问题情境 ........................................................................................................................... 12 3.3.2 主体的探究活动 ...................................................................................................................... 12 3.3.3 多向合作交流 ........................................................................................................................... 12 3.3.4 学习效果反馈 ........................................................................................................................... 12 3.4 发现法的课堂教学评价 ................................................................................................................ 12 3.4.1 发展性教学评价 ....................................................................................................................... 12
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东北师范大学硕士学位论文 3.4.2 主体性教学评价 ....................................................................................................................... 13 第 4 章 发现法的课堂实践研究 ................................................................................................... 14 4.1 发现法的类型及应用举例 ........................................................................................................... 14 4.1.1 归纳发现法 ................................................................................................................................ 14 4.1.2 类比发现法 ................................................................................................................................ 15 4.1.3 实验发现法 ................................................................................................................................ 17 4.1.4 演绎发现法 ................................................................................................................................ 18 4.2 发现法的教学设计案例 ................................................................................................................ 19 4.2.1 “两条直线平行与垂直的判定”教学设计案例 ........................................................ 19 4.2.2 “变化率与导数(第一课时)”教学设计案例 ........................................................ 24 第 5 章 研究结论与实践反思 ....................................................................................................... 31 5.1 应用发现法于高中数学教学的优越性 ................................................................................... 31 5.2 应用发现法于高中数学教学的注意事项............................................................................... 32 5.3 应用发现法于高中数学教学的误区 ........................................................................................ 32 5.4 本文研究中存在的不足及研究展望 ......................................................................................... 33 参考文献 ............................................................................................................................................ 34 致谢 ..................................................................................................................................................... 36

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第1章
1.1 研究背景
1.1.1 对传统数学教学的反思





我在本科毕业之后,一直从事高中数学教学工作。在我所任教的高中,我深刻地 了解到,传统的“讲授—接受”式教学长期占据主导地位,而且对许多教师的教育教 学思想产生根深蒂固的影响。 传统的“讲授—接受”式数学强调学生“有意义的接受学习”,强调“双基”教 学目标,强调老师对系统知识的传授,强调教学要以老师为中心,以课堂为中心,以 教材为中心。当然其优点是显而易见的,比如:课堂容量大;能发挥教师的主导作用; 能保证知识的系统性。 但是这种传统的教学存在很大的弊端:首先,课堂上只是教师对学生单向知识传 授,缺乏师生互动、生生互动;学生也很难主动参与课堂,缺乏学习活动中主动参与 的情感体验,学生的学习兴趣和求知欲也得不到激发。其次,学生为了拿高分只能靠 死记硬背、机械模仿,不但学业负担重,所学知识脱离实际,其主动性和创造性也得 不到开发。这样长期以往,必然导致学生的主动精神和创新意识被无情地扼杀,学生 成了善于模仿的机器。 因此,革新传统的“讲授—接受”式教学,形成有利于发挥学生主动性和创造性 的“引导—发现”式教学是当前新课程改革的重要举措。 1.1.2 发现法产生的背景 20 世纪 80 年代,布鲁纳的发现学习理论传入中国,随即我国开始了对发现法的 实践探究[1]。在实践中发现,发现法强调学生的自主发现和探究学习,可以充分发挥 了学生学习的积极主动性,培养学生的主动精神和创造性思维,因而受到了我国教育 界的普遍关注。 2001 年,我国开始了新一轮基础教育课程改革。 2004 年,我国普通高中新课程 开始了改革的试点工作, 直到 2012 年 9 月广西作为最后一个省份进入普通高中新课改。 我们。新课改要求改变知识的单向传授的倾向和学生死记硬背、机械模仿的现状,强 调发挥学生学习的积极主动性和培养学生主动参与意识和创新精神以及合作与交流的 能力,促使发现法的大力推行,并逐步取代传统接受式教学的主导地位。

1.2 研究问题
本文研究的主要问题是:发现法在高中数学教学中的实践研究。
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东北师范大学硕士学位论文 具体是通过以下几个方面展开研究的: (1)通过研究背景,提出发现法的研究意义及必要性; (2)通过文献研究法,研究发现法的历史渊源、理论依据,界定发现法的概念, 揭示发现法的思想内涵; (3)通过行动研究法,探究发现法的实施条件、操作方法、操作流程和发现法的 应用类型; (4)通过案例研究法探究发现法在高中数学教学中的实际应用; (5)分析发现法在具体实施过程中的优越性、注意事项和应用误区,提出研究中 存在的不足和展望。

1.3 研究意义
1.3.1 发现法体现新课程改革理念 《基础教育课程改革纲要(试行)》指出:改变课程过于注重知识传授的倾向和 学生死记硬背、机械训练的现状,倡导学生积极主动地学习,培养学生自主探究、动 手实践、合作交流的能力[2]。 《普通高中数学新课程标准(实验)》也强调:学生的学习数学的方式不应只是 记忆、模仿和接受,还应倡导独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学 等学习数学的方式[3]。 新课程改革的不仅仅是教学内容,而更多的是强调教与学的方式的变革,特别是 倡导多样化的教学方式和学习方式。发现法强调学生在教师的启发引导下通过自主探 究、动手实践、合作交流等方式积极发现并主动建构新知识,体现了新课改的理念。 1.3.2 发现法教学符合数学学科特点 数学学科是一门逻辑性、 理论性和系统性很强的基础学科, 其中数学的基本概念、 原理、定理、公式等,不是传统教学的死记硬背、机械模仿就可以深刻理解的[4]。如 果没有深刻理解知识的来龙去脉,那么学生所学得的知识是低层次的。因此,学生只 有经历数学的基本概念、原理、定理等知识的“再发现”的过程,经历观察、直觉猜 想、类比、实验、归纳、演绎等思维过程,才能真正理解数学。因而,发现法在数学 学科教学中发挥着重要的作用。 同时, 我们采用的人教版普通高中数学教科书也渗透着发现法的思想内涵。 首先, 教材选取了贴近学生生活实际的典型的素材创设情境, 激发了学生对数学学习的兴趣; 其次,教材通过设置“观察”“思考”“探究”等栏目,引导学生经历观察、类比、 实验、猜测、归纳、演绎等理性思维过程,发现并建构新知识;同时,教材强调类比、 推广、特殊化、化归等思想方法,展示了常用的逻辑思考方法,帮助学生体会数学探 究活动的基本规律[5]。
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东北师范大学硕士学位论文 1.3.3 发现法可以促进学生的过程知识的学习 过程知识是相对结果知识而言的,学习过程比学习结果更为重要。但是,在我们 的实际数学教学中, 很多教师往往只注重学生的结果知识而忽略了过程知识的重要性。 发现法注重知识的形成过程,学生通过自主参与、活动体验、主动探究而“发现”的 知识要比老师的直接传授的知识理解得更深刻。数学发现法是在教师的启发引导下, 学生通过观察、分析、联想、归纳、类比、实验、演绎等方式去主动发现并建构数学 知识, 并与小组同伴分享数学活动中的所感所悟。 发现法促进了学生过程知识的学习。 1.3.4 发现法教学是素质教育需要 现代教育强调以人为本,以人的全面发展和个性化为中心,实施素质教育,因此, 在课堂教学实施发现法教学就很有必要了。发现法促进教与学的方式根本性的变革, 可以激发和培养学生独立思考能力、创造性思维和创新意识,符合素质教育的要求。

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第2章 相关文献综述
2.1 发现法的概念
2.1.1 发现法的内涵 广义的发现法,对教师而言,是一种教学方法,我们称之为发现教学;对学生而 言,是一种学习方法,我们称之为发现学习。在本文中,发现法又称“引导—发现” 法,它是针对传统的“讲授—接受”式教学而提出的,它是指在教师的引导下,学生 通过自主探究、动手实践、合作交流等学习方式,经历观察、分析、联想、归纳、类 比、实验、演绎等思维过程而主动发现并建构新知识的一种教学方法。发现法和传统 的“讲授一接收”式教学不同,它更注重“引导—发现”,即教师的引导与学生的发 现。教师的引导是手段,学生的发现是目的,引导得好,发现才能得法[6]。 2.1.2 发现法的特征 发现法有以下两个特征: (1)教师是发现教学活动的引导者 学生的学习过程是以掌握间接经验为主的过程,是在有计划、有目的和有组织的 情况下进行的,因此,学生的学习具有一定程度上的被动性,他们的学习离不开老师 的引导[7]。 在备课时,教师不仅要研究课程标准、教材,而且要研究学生,分析学情。教师 对具体某一堂课的教学目标或学习目标,要做到心中有数,要做好用于发现法教学内 容的规划,确保学生的发现学习符合最近发展区的原则,同时也要确保教学内容对学 生有一定的挑战性,激发学生的探究热情。 课堂上,教师设计问题情境要富有挑战性,并能使学生产生困惑。课堂上学生的 发现学习是在教师的引导下的发现学习,在整个过程中,教师要巡视课堂,掌控课堂, 并作恰当的指导和反馈。另外,教师应根据学生讨论的情况,进行适当的点拨和指导, 帮助学生归纳并建构数学概念、原理和一般结论等,必要时可以进行适当的拓展和延 伸。 综上所述,教师的角色其实是多种角色的综合。教师不仅是课堂的设计者、管理 者,也是学生活动的组织者、帮助者,同时也是最终受益者,正所谓教学相长。 (2)学生是发现学习的主体 在发现法教学中,学生的学习过程是在教师的引导下主动建构自己的知识结构并 积极主动参与教学活动的发现学习的过程,学生是发现学习的主体。虽然学生的发现 并不同于科学家的发现(因为学生要发现的这些知识,其实早已被前人发现了),但
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东北师范大学硕士学位论文 是这些知识相对学生而言仍是未知的知识,所以学生的发现学习的过程仍可以看作是 一种再发现和再创造的过程。 另外,值得一提的是,现代发现法已经不同于布鲁纳的发现学习,它更注重教师 的引导,它也不排斥接受学习,它提倡发现学习和接受学习是既对立和统一,更具科 学性[8]。 2.1.3 数学发现 一般地,凡在数学上创立新概念,证明新定理,提出新方法,建立新理论等,都 可叫做数学领域中的发现,或简称为数学发现[9]。 数学发现一般可以分为首创性发现和继承性发现两种形式。比如,微积分理论的 创设就是首创性发现,而数学定理的推论就是继承性发现。无论是首创性发现还是继 承性发现,都是人类文化史上的一笔宝贵的财富。 德国物理学家爱因斯坦总结他的科学研究经验时提到:理论的发现只凭直觉而不 是靠逻辑。 英国哲学家波普尔在总结爱因斯坦科学研究经验的基础上,提出了为科学哲学界 普遍接受的科学研究的一般程序如图 2-1 所示:
直觉、灵感 演绎 经验事实

问题

猜想

定理

伪证或证实

图 2-1 科学研究的一般程序 根据玻普尔提出的科学研究的一般程序,结合数学学科自身的特点,我们可以总 结出数学发现的基本过程如图 2-2 所示:
发现、论证 改进了 发现 问题 推测 素材 (观察、直觉) 猜想 (验证、修正) 的猜想 论证 (演绎等)

最终 结论

图 2-2 数学发现的基本过程 数学发现的基本过程为数学发现法的实施和具体操作流程提供了很好的依据。

2.2 发现法的理论依据
发现法强调“引导—发现”,与启发性教学在思想内涵上具有一致性。其实启发 性教学思想岁在古今中外的教育文献中均有所提及,但古代启发性教学思想与现代发 现法的理论内涵还是有一定差距的。鉴于此,本节将从古今中外对发现法的研究来审 视与分析发现法的基本思想的演变和发展历程,从中汲取思想内核,从而更好地认识 与发展发现法教学思想。
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东北师范大学硕士学位论文 2.2.1 古代朴素的发现法教学思想 发现法在中国古代的教育理论和古希腊罗马的教育理论中均有所论述,我们可以 透过理论背后看到发现法教学思想的影子。 (1)我国古代原始的启发性教学思想 在我国,发现法最早可追溯到古代教育家孔子提出的“不愤不启,不悱不发”的 教学思想。宋代理学家朱熹对此解释道:“愤者,心求通而未得之状也,悱者,口欲 言而未能之貌也[10]。”孔子的教学思想,孕育着最原始的启发性教学思想。 启发性教学思想在先秦诸子学说《学记》也有所论述,诸如“君子之教,喻也” “开而弗达”等观点。比如这里提到的“开而弗达”就有“开启学生自己去思考而不 要代替学生思考直接给出答案”之意。先秦诸子学说的这些观点都蕴含着启发性教学 思想。 (2)西方原始的发现法教学思想 在西方,发现法可追溯到古希腊哲学家苏格拉底提出的“产婆术”,又称“苏格 拉底方法”, 是指教师要像医生帮助产妇产出她们所孕育的婴儿一样去帮助学生“生 产”。换句话说,苏格拉底的“产婆术”是指教师通过和学生谈话的方式帮助学生建 构知识,但教师不是直接地把知识告诉学生,而是通过问答甚至辩论的方式引导和帮 助学生获得对新事物的认识的方法。苏格拉底的产婆术也体现了西方最原始的发现法 教学思想。 2.2.2 近现代成熟的发现法思想 19 世纪中叶,德国教育家第斯多惠就曾提出:科学知识是不应该传授给学生的, 而应当引导学生去发现它们, 独立地掌握它们[11]。其后,英国著名教育家斯宾塞指出: 在教育中应引导学生进行探讨,自己去推论,给他们讲的应该尽量少些,而引导他们 去发现的应该尽量多些[12]。上述观点,初步奠定了发现法教学思想的基础。 从近现代教育思想发展史中,我们可以归纳出如下几类对发现法教学思想起到比 较大的影响与促进作用的理论流派:布鲁纳的发现学习理论;皮亚杰的建构主义学习 理论;马洛斯、罗杰斯的人本主义心理学理论;弗莱登塔尔的再创造教学理论。现在 具体详述如下: (1)布鲁纳的发现学习理论 美国认知主义学派的心理学家布鲁纳在 《教育过程》 一书中提出了发现法的概念。 布鲁纳认为:“发现不限于寻求人类尚未知晓的事物,确切的说,它包括用自己的头 脑亲自获得知识的一切方法[13]。”布鲁纳把发现当作教育的主要手段,他认为教育教 学要让学生主动参与到知识的建构和获得的过程中去,而不应该把学生培养成记忆的 工具。 根据布鲁纳的观点,发现法实质是让学生在教师启发引导下根据自己观察、思考
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东北师范大学硕士学位论文 或者借助教材或教师提供的材料去理解学科的基本结构, 认识未知事物, 或者去探索、 去发现未知世界的规律 [14]。发现学习不应仅仅局限于探寻人类尚未知晓的事物和规 律,它应该包括学生通过观察、思考、演绎、类比、归纳等方式而获得的一切知识, 即便这些知识是前人已经有所提及或发现了的。 布鲁纳的发现学习理论促使得发现法成为一种严格意义上的教学方法,从此发现 法逐步被人们接受并应用于教学实践, 它在很大程度上促使了发现法教学理论的形成。 (2)皮亚杰的建构主义学习理论 皮亚杰的建构主义学习理论认为:学生的学习是他人所不能替代的,学生的知识 的获得也不应该是简单被动地接收。学生的学习过程是学生自主建构知识的过程,而 并不是教师只是单纯地把知识灌输给学生的过程。学生应当以自己原有的知识经验为 基础,对新信息重新认识和编码,主动建构知识的意义[15]。教师应当成为学生学习意 义建构的帮助者和促进者,因为学生才是学习的主体,是学习意义的建构者。 建构主义学习理论启示我们在教育中要充分尊重教师的主导地位和学生的主体地 位。学生之间的个体的差异性是必然存在的,因此我们的教学只有充分地尊重学生的 个体差异性,考虑不同学生的个性、认知和基础的差异性,从学生的实际出发,才能 因材施教,有的放矢地发挥每个学生的主动性和积极性。 皮亚杰的建构主义学习理论为现代发现法提供了强有力的理论支撑。 (3)马洛斯、罗杰斯的人本主义心理学理论 由马洛斯创立, 以罗杰斯为代表的人本主义心理学理论兴起于 20 世纪五六十年代 的美国,它的兴起对美国甚至整个世界的政治、经济、文化等方面产生了积极、广泛 而深远的影响。 人本主义心理学理论特别强调人的尊严、价值、创造力和自我实现,把人的本性 的自我实现归结为潜能的发挥,而潜能是一种类似本能的性质[16]。马洛斯提出了需求 层次理论:认为教育的最终目的就是帮助人达到最佳状态,实现最高程度的发展,即 自我实现;认为人在一种自然、和睦、真诚、信任和理解的环境氛围中,可以发挥与 生俱来的潜能,从而超越自我。而罗杰斯则提出了“自由学习”、 “学生中心”和“知 情统一”的教学观,强调让人的躯体、情感、精神融为一体,同样也强调对学习者的 真诚、真实、尊重、关注、接纳和理解。 人本主义心理学理论启示我们: ①相信学生的潜能。 根据自然人性论的观点,每个人生来就有“佛性”,人性是善良的或中性的,而 恶是由人的基本需求得不到满足引起的,或者是由于不良环境造成的。因此,我们教 育教学过程中要营造良好的学习环境,要相信学生的潜能,并发展学生的潜能。 ②注重学生的需要。 根据马洛斯的需求层次理论,人的需求层次从低级到高级分为:生理上的需要、 安全的需要、社交的需要、尊重的需要、自我实现的需要[17]。因为人有自我实现的需
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东北师范大学硕士学位论文 要,才能使人的潜能得到发挥。但是每个人的需要和动机是有差异的,因此自我实现 的结果也不同。作为教育工作者,我们不能把自己自我实现的标准强加给学生,而是 要尊重学生的需求,鼓励学生忠于自己的本性,成为他自己。 ③帮助学生成长。 罗杰斯强调教学要以学生中心,要把学生看作“完整的人”,相信学生,尊重学 生,把学生视为教学的主体,促进学生的学习,让学生成为学习的主人;强调教师与 学生的情感交流,营造出一种融洽、和谐的学习环境,鼓励学生不畏困难,勇于探索、 创新、发现,不断的进行问题解决,实现自我价值[17]。 (4)弗莱登塔尔的再创造教学理论 荷兰数学教育家弗莱登塔尔提出了再创造教学理论,他认为:数学来源于现实, 也必扎根于现实, 并且应用于现实, 数学教育应从学生熟悉的现实生活中的问题出发, 使学生通过这些具体的问题去发现数学概念和解决实际问题[18]。 在弗莱登塔尔看来:学习数学的过程就是学习“数学化”的过程,而“数学化” 的过程,可以看作是“再创造”的过程[19]。他强调,学习数学唯一正确方法是实现“再 创造”,也就是由学生本人把要学的东西自己发现或创造出来,教师的作用在于引导 和帮助学生去进行这种再创造的工作,而不是把现成的知识灌输给学生[20]。 因此,在数学教育活动过程中,教师应该创设富有趣味的学习情境,营造良好的 学习氛围,让学生的思维处于一种积极活跃、富有创造力的状态中,教师通过引导学 生主动参与探索新知识的过程,从而培养学生的创造力。

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第3章 发现法的具体操作原则
任何一种教学方法都有它自身的适用条件,没有最优的教学方法,只有最合适的 教学方法,不同的教学方法有不同的具体操作原则。在课堂教学实践中,我们发现: 发现法对教师、学生、教材都有较高的要求。本章主将从教学实施条件、课堂组织形 式和具体操作流程、课堂教学评价四个方面来展开论述发现法在高中数学课堂教学中 的具体操作原则。

3.1 发现法的实施条件
3.1.1 对教学内容的要求 并非所有的教学内容都可以用发现法进行教学的,一般来说带有问题性和探究式 的内容比较适宜用发现法进行教学。布鲁纳提出发现学习理论的同时也提到了发现式 教材。在实施发现法教学过程中,如果缺乏发现式教材,那么教师在备课时会感到困 难重重,而且也很难达到良好的教学效果。 发现式教材要体现新旧知识的联系,通过回顾旧知来学习新知[21]。学生也能够通 过归纳或类比的方法从已有知识经验和认知结构中总结出新知识。比如说,我们学习 幂函数的性质的时候,就可以联系一次函数、二次函数、双曲线等函数的性质,通过 对比发现其实一次函数、二次函数、双曲线都可以看作是幂函数的特例,因此我们只 需记住新的几种幂函数的类型即可。 对于某些容易混淆的知识,教师可以通过适当的点拨,让学生去类比、发现,然 后自己归纳出异同,从而实现对概念或定理本质的认识[22]。比如说,在学习圆锥曲线 时,因为先学习了椭圆的方程,教师可以通过适当点拨引导,学生就可以通过类比、 归纳的方法继续探究和发现双曲线和抛物线的方程。 对于需要通过实物展示或者画函数图象等方式进行直观观察的内容,教师可以通 过示范性操作演示,并提出和教学内容相关的带有启发性的问题,引导学生去认真观 察教师的演示,积极思考、分析并发现问题,或者教师事先分配好学习任务并提出一 些启发性的问题,引导学生通过自己动手操作实验,观察、思考并发现问题,然后再 通过自主探究或合作交流解决问题,建构新知识。如空间几何体的性质特征、直线的 斜率、三角函数图像的变换平移等。 3.1.2 对教师的要求 首先,教师要学习和了解建构主义理论,形成建构主义观念,并实现角色的转变, 教师应该是学生学习的引导者、组织者、促进者[23],让学生能够在原有的知识经验和
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东北师范大学硕士学位论文 认知结构的基础之上的发现学习并主动建构新知识,而并非通过老师的灌输而被动接 受知识。其次,教师在备课时对教学过程的每一个环节都要进过认真分析、合理设计。 比如说,对于某个内容该如何导入,如何设问,设问什么内容,并预测学生可能的回 答,而对学生的回答又应该如何给予客观公正的评价又不至于打击学生的自信心。再 比如说,对于某些需要动手操作实验的问题,如何引导学生通过动手实验和观察,分 析现象、归纳出一般结论等。同时,教师在教学过程中,要做到对备课内容做到心中 有案,而不能对着教案本照本宣科,而且需要具备一定的组织能力和协调能力,要时 刻关注全班学生的参与程度并及时反馈,对学生犯的错误要给予鼓励并进行耐心指导
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。最后,教师要营造轻松愉快的课堂气氛,与学生建立民主平等的师生关系,让学

生在轻松愉快的气氛中去发现和建构知识。 3.1.3 对学生的要求 发现法对学生也有较高的要求。首先,学生要具备扎实的基础知识、基本技能和 良好的认知结构。引导和发现是需要耗费一定时间的,如果学生基础不够扎实、知识 断层,那么发现学习对学生的要求就太高了,势必导致教师完成不了课标要求的教学 任务,教学很难达到良好的效果。其次,学生要有主体意识。学生是认识的主体,是 学习的主人,要在宽松、民主、平等的课堂氛围中学会自主探究、合作交流等学习方 式。最后,学生要有主动精神、探究精神和合作精神。学生要积极主动地参与到数学 活动中去,经历主动观察、独立思考、善于发现、大胆猜想、严密论证、合作交流等 学习方式,进而解决问题。

3.2 发现法的课堂组织形式
课堂教学是一个复杂的流程,它是综合了系统论、信息论、控制论、心理学、教 育学和管理学等的基本原理[25]。在发现法的教学活动中,不仅要注重学生对结果知识 的获取,更要关注学生对过程知识的建构,鼓励学生积极主动地参与到创造性的探究 中去。发现法的课堂组织形式主要有师生对话、小组合作、动手实践、自主探究四种 形式,这四种类型可以在同一堂课中甚至同一个活动环节中可以交叉出现。 3.2.1 师生对话 师生对话其实是来源于苏格拉底的产婆术,是指教师以口头问答的方式开展教育 教学活动形式。通常是教师根据学生已有的知识经验和认知结构,设计一些富有启发 性问题,引导学生通过发现、分析、归纳、类比、比较、判断等思维活动发现并建构 知识。师生谈话通常是在民主、开放、平等的课堂环境中进行,谈话可以是师生之间 的谈话,也可以是生生之间的谈话;可以是一问一答,也可以是相互提问,相互讨论 甚至争论,但必须要围绕教学内容进行。师生对话可以促进学生思维的发展,形成师 生间的默契,同时也锻炼了学生语言表达和沟通交流的能力。
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东北师范大学硕士学位论文 3.2.2 小组合作 小组合作是学生以学习小组为单位进行数学活动的形式,教师要在各个学习小组 之间巡视、指导和答疑[26]。在这一课堂组织形式中,每个学习小组学生一般围绕同一 个问题进行合作探究,而面对共同的问题,每个学生都可以拿出自己的意见和组员分 享,然后提出小组的意见在全班讨论,最终形成正确答案。小组合作这种课堂组织形 式不仅培养了学生的探究精神和合作意识,发展了学生的思维品质,而且活跃了课堂 气氛,激发了学生的学习兴趣。 3.2.3 动手实践 动手实践是指教师通过引导学生进行实验、游戏、实习等亲身体验的方式让学生 主动参与数学活动的课堂组织形式。 学生通过动手实践参与的体验式的数学学习活动, 可以把学生所有的感官都调动起来,是能激发学生学习兴趣、促进学生广泛参与的一 种很有价值的课堂组织形式[27]。然而,适用于动手实践的教学内容并不多,因此,教 师应该根据教学内容进行选择,尽量把动手实践的内容交给学生去做。 3.2.4 自主探究 自主探究是指课堂上教师组织学生通过自主阅读、独立思考、动手操作、练习训 练等方式参与数学活动的一种课堂组织形式[6]。这种课堂组织形式是以学生自主学习 为主,教很少指导甚至不给予任何的指导,这样有利于培养学生的独立意识和创新精 神。

3.3 发现法的具体操作流程
发现法的具体操作流程包括创设问题请教、主体的探究活动、多向合作交流、学 习效果反馈等方面,其具体操作程序框图如图 3-1 所示: 创设问题 情境 主体的探 究活动 多向合作 交流 学习效果 反馈

(具体操作流程) (具体问题探究)
发现、论证 改进了 发现 问题 推测 素材 (观察、直觉) 猜想 (验证、修正) 的猜想 论证 (演绎等)

最终 结论

图 3-1 发现法的具体操作程序框图
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东北师范大学硕士学位论文 3.3.1 创设问题情境 “疑虑,思之始,学之始”。教师应依据教学目标和学生认知结构的最近发展区, 选取了贴近学生生活实际的典型的素材创设问题情境,以激发学生探索欲望,进而引 起学生积极的思维活动[28]。 3.3.2 主体的探究活动 主体的探究活动是指教师在发现法的教学活动中要以学生的学习活动为主体,让 学生尽可能通过自主学习、合作交流来进行探究活动。教师在这一环节中,要留给学 生足够的时间,鼓励学生去探究,去发现,争取使每一个学生都融入到交流与讨论之 中。 3.3.3 多向合作交流 学生的合作交流可以是学习小组内部各成员之间的合作交流,也可以是学习小组 与学习小组之间的交流,可以是生生互动,也可以是师生互动。学生多向的合作交流 活动不仅能够促进学生对问题探究的深入程度,而且增强学生之间的合作意识,增强 师生之间的情感效应。 3.3.4 学习效果反馈 首先,教师要学生的自主探究、动手实践、合作交流活动进行肯定和鼓励,做出 及时评价与反馈。教师对于学生能自主完成的部分要给予肯定的评价,对于学生理解 不了的部分要加以点拨引导,教师的点拨应该是起到画龙点睛的作用。其次,教师要 提出具有一定层次性和分辨性的问题,去了解学生对所发现的知识的掌握情况以及学 生运用所发现的规律或结论去解决实际问题的情况。

3.4 发现法的课堂教学评价
不同时期不同的教育教学思想就有不同的课堂教学评价体系[29]。《基础教育课程 改革纲要(试行)》中就提到要改变我国传统的教学评价过分强调结果的状况,提倡 课堂教学评价的激励功能,提倡促进学生的发展和教师教学的改进的作用以及对评价 对象的人格的尊重。对发现法的课堂教学评价,我们提倡采用发展性教学评价和主体 性教学评价。 3.4.1 发展性教学评价 发展性教学评价是 20 世纪 80 年代发展起来的不同于传统的选拔性教学评价和终 结性教学评价的一种教学评价体系,它重视学生的学习过程,关注评价对象的主体性 和发展性,它是形成性评价的深入和发展[30]。发展性教学评价的特点主要表现为: (1)强调促进评价对象的发展。发展性教学评价立足于评价对象原有的基础、现
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东北师范大学硕士学位论文 在状况,强调评价对象在原有基础上的改进和发展。 (2)倡导对评价对象人格的尊重。 (3)强调评价方式的多样化和评价的综合性。 (4)提倡评价主体的多元化。发展性教学评价提倡建立教师、学生、家长、管理 者、社会环境等共同参与、相互作用的多渠道的评价体系。 3.4.2 主体性教学评价 主体性教学评价的多元性是基于多元智能理论而发展起来的一种评价体系,同样 强调评价的多元性的特点。具体表现为: (1) 评价对象的多元化。 主体性教学评价强调评价时要同时考虑教师和学生两方 面, 强调要承认和尊重教师与学生的主体性地位, 注重评价教师和学生的互动与交流, 强调对主体活动的过程评价。 (2) 评价标准的多元化。 传统的教学一般只以单纯的考试分数来衡量学生的发展、 教师的水平和教学效果,而缺乏对教学活动过程的关注,缺乏对活动过程中的师生之 间的思想、情感、态度、价值观的评价。主体性教学评价强调以人为本,强调对教学 主体的思想、情感、态度、价值观和个性差异的尊重。 (3)评价方式的多元化。主体性教学评价强调用多样化的方式去评价教学主体, 充分调动教学主体的积极性。除了传统的考试测验、量化考核之外,还要增加自我评 价、小组评价、成果汇报、答辩讨论等评价方式。 基于上述的两种课堂教学评价的理念,为了体现对学生的主体性和对学生人格的 尊重, 本人在高中数学教学的实践研究方法中更多的是采用行动研究法和案例研究法, 而不进行对照班的实验研究,而教学评价也很难进行量化,只能在教学行动中不断地 改进自己的教学方式,已达成教学效果的最优化。

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第4章 发现法的课堂实践研究

4.1 发现法的类型及应用举例
发现法在数学课堂教学中有以下几种类型:归纳发现法、类比发现法、观察发现 法、演绎发现法。 4.1.1 归纳发现法 归纳发现,是由某类事物的部分对象具有的某些特征,归纳出该类事物的全部对 象都具有这些特征,即由个别到一般、由部分到整体、由具体到抽象的发现[31]。但是, 值得注意的是归纳发现体现了从特殊到一般的思维过程,归纳出来的结论已经超越了 前提的范围,因而归纳出的结论具有猜测性,还需进一步的实践检验或者逻辑推理、 演绎论证。 归纳发现的过程如图 4-1 所示: 具体 问题 观察、分析 比较、联想 归纳 总结 提出 猜想 验证 猜想

图 4-1 归纳发现的过程 归纳发现法案例一: 对于同角三角函数关系式 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 的发现,我们可以设置这样的问题情 境: 请计算: ① sin 2 30? ? cos2 30? ? ② sin 2 45? ? cos2 45? ? ③ sin 2 60? ? cos2 60? ? ; ; 。

通过计算,你发现了什么规律?试猜想: ① sin 2 1? ? cos2 1? ? ② sin 2 ? ? cos2 ? ? 请证明你的猜想。 学生在老师设置的问题情境中通过对特殊角的运算,然后进行观察、分析,学生
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; 。

东北师范大学硕士学位论文 很容易发现其中的规律,从而提出猜想,然后要求学生从理论上证明猜想的成立,从 而建构新的数学知识,这样学生会对所学知识的理解也更加深刻。 归纳发现法案例二: 对于“弧度制的发现”这个问题,我们可以设置这样的问题情境: 请计算: ①对于角度为 30 的圆心角,分别求出半径为 1,2,3 时的弧长,以及弧长和半径 的比值; ②对于角度为 45 的圆心角,分别求出半径为 1,2,3 时的弧长,以及弧长和半径 的比值; ③对于角度为 60 的圆心角,分别求出半径为 1,2,3 时的弧长,以及弧长和半径 的比值。 通过计算,你从中发现了什么规律?可以得出什么结论? 在老师的引导下,学生会慢慢地发现:原来弧长和半径的比值,只和圆心角的大 小有关,和弧长、半径都无关;圆心角越大,弧长和半径的比值也越大;反之,圆心 角越小,弧长和半径的比值也越小。从中可以得出这样的结论:弧长和半径的比值是 可以用来衡量圆心角的大小, 于是产生了一种新的衡量角的大小的单位制——弧度制。 这是学生借助旧知识(弧长和半径),通过自己动手计算、观察、思考、归纳而发现 的规律,这规律隐含着“弧度制”这一新知识,此过程便是学生归纳发现的过程。 归纳发现法案例三: 法国数学家费马观察到 ① F1 ? 22 ? 1 ? 5 ② F2 ? 22 ? 1 ? 17 ③ F3 ? 22 ? 1 ? 257 ④ F4 ? 22 ? 1 ? 65537 都是质数,于是他通过归纳提出猜想:任何形式 Fn ? 22 ? 1(n ? N * ) 的数都是质数,这 是当时著名的费马猜想。但是后来欧拉发现第 5 个费马数
n 4 3 2 1

F5 ? 22 ? 1 ? 4294967297 ? 641? 6700417
不是质数,推翻了费马猜想。 4.1.2 类比发现法 类比发现法是通过对两个类似的数学对象的异同点的观察、分析与比较,由一个
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5

东北师范大学硕士学位论文 对象所具有的性质,推测出另一个对象也具有类似的性质的方法[32]。类比发现法具有 以下特点: (1)类比发现法体现了由此及彼的思维过程; (2)类比发现的结论同样具有猜想性,仍然需要进一步实践检验或者逻辑论证。 类比发现的过程如图 4-2 所示: 具体 问题 观察、分析 比较、联想 类比 发现 提出 猜想 验证 猜想

图 4-2 类比发现的过程 类比发现法案例一: 对于“为什么有了‘角度制’还要有‘弧度制’呢?”这个问题,我们可以这样 提问学生:我们以前学过哪些单位制啊?如果学生回答不到点上的时候,我们可以再 提问地细一点:长度单位有哪些?如果学生回答到“米制”之后,可以继续提问,中 国古代是用什么来衡量物体的长度的,然后得出了“尺制”。然后该老师点拨了:我 国古代有了 “尺制”之后,后来又使用“米制”,“米制”和“尺制”同为衡量长度 的单位制,它们并不矛盾,它们还能相互转换;同理,“角度制”和“弧度制”也一 样,它们同为衡量角的大小的单位制,并不矛盾,它们同样也能相互转换。这样,通 过知识的类比的方法让学生建立“弧度制”的初步概念。 类比发现法案例二: 空间向量是在平面向量基础上进一步学习的知识内容,可以让学生从平面向量的 基本公式类比发现空间向量的公式,如表 4-1 所示: 运算公式 向量 向量 表示 的数 坐标 量积 表示 向量 向量 表示 的长 坐标 度 表示 向量 向量 表示 的夹 角 坐标 表示 向量 表示 平面向量 空间向量

a ? b ? a b cos ?

a ? b ? x1x2 ? y1 y2
a ? a?a
a ? x12 ? y12

cos ? ?

a ?b a b

cos ? ?

x1 x2 ? y1 y2 x12 ? y12 x2 2 ? y2 2

向量

a ? ?b(b ? 0)
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东北师范大学硕士学位论文 平行 坐标 表示 向量 向量 表示 垂直 坐标 表示 ?? 表 4-1 平面向量和空间向量基本公式类比 类比发现法案例三: 空间直角坐标系,也可以利用类比发现的方法去学习,如表 4-2 所示: 数轴 维数 数轴 点坐标表示 坐标平面 ?? 表 4-2 数轴、平面直角坐标系和空间直角坐标系类比 4.1.3 实验发现法 观察和实验对于数学教学有着很大意义,它可以用来说明所研究的对象的某一数 学性质,可以用来判断研究的性质是否正确。学生可以通过数学实验去探索和发现数 学概念、定理、公式、法则等。 观察发现法的过程如图 4-3 所示: 问题 情境 指导学生进 行实验操作 观察 猜想 验证 猜想 一维 x轴 x 平面直角坐标系 二维 x 轴、y 轴 (x, y) xOy 平面 空间直角坐标系 三维 x 轴、y 轴、z 轴 (x, y, z) xOy 平面、yOz 平面、xOz 平面
x1 y1 ? (x2 y2 ? 0) x2 y2

a ?b ? 0
x1 x2 ? y1 y2 ? 0

图 4-3 观察发现的过程 实验发现法案例一: 对于两条直线平行的判定这个问题,我们可以设置这样一个问题情境: 已知直线 l1 经过两点 A(1, 2) , B(2, ?1) , 直线 l2 经过两点
C (0,1) , D(1, ?2) . 请问:
y

①计算直线 l1 和 l2 的斜率; ②请在平面直角坐标系中画出直线 l1 和 l2 ;
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O

x

东北师范大学硕士学位论文 ③你从中发现了什么? 学生通过计算,发现直线 l1 和 l2 的斜率相等;通过动手作图,发现直线 l1 和 l2 平行。 从而可以猜想:斜率相等的两直线平行,进而验证猜想即可。 对于两条不重合的直线 l1、l2,其倾斜角分别为 ?1 ,? 2 ,斜率分别为 k1、k2,当 l1 ⊥l2 时,k1、k2 满足怎样的关系? 我们引导学生先从特殊情况探究: 当 l1⊥l2 时,若直线 l1 的倾斜角 ?1 分别取特殊角 30? , 45? , 60? ,请完成下列表 格:

?1
30? 45? 60?

?2

k1

k2

k1k2

通过计算、观察发现都有 k1k2 ? ?1 ,接着老师再通过几何画板演示实验,如图 4.1.3-1 所示:改变两条直线倾斜角的大小,依然发现 k1k2 ? ?1 ,于是可以提出猜想

l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 , 最后再通过推理验证猜想成立即可。
实验发现法案例二: 对于指数函数 y ? a x (a ? 0) 的图象性质,可以设计这样的问题情境:当底数 a 取 不同的值时,指数函数的图象会有哪些共同特征,有哪些变化呢? 教师可以通过几何画板进行演示实验引导学生观察实验,发现规律。 如图 4.1.3-2 所示:改变底数 a 的值,通过追踪图象观察函数图象的变化,从而发 现函数图象的变化规律,再归纳总结出指数函数图象的性质特点。 4.1.4 演绎发现法 演绎,是指从一般原理出发,推出某个特殊情况下的结论,演绎发现法的特点是 从一般到特殊、从抽象到具体。演绎发现法比较适合于从定义、公理和其他定理推导 出新定理或组织新定理的证明,演绎需要运用数学逻辑和抽象概括,对学生的要求比 较高,所以采用演绎发现法进行教学,预先评价方法确定学生是否具备进行演绎所必 备的知识基础和技能方法。 演绎发现法的过程如图 4-4 下:

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问题 情境

演绎 发现

构建数学 结论

验证 猜想

图 4-4 演绎发现法的过程 归纳发现法体现了特殊到一般、具体到抽象的人们认识事物的规律,而演绎发现 法则正好相反,由一般到特殊、由抽象到具体,和人们认识事物的规律背道而驰,对 学生的要求比较高,在教学中不太建议使用,因此这里就不举例了。 一般情况,数学教学中我们可以通过归纳、类比、实验引导学生发现,然后提出 猜想,最后再通过演绎来验证猜想。

4.2 发现法的教学设计案例
4.2.1 “两条直线平行与垂直的判定”教学设计案例 (1)本教学设计的大致思路 对于“两条直线平行的判定”,我在本设计中是让学生通过亲自计算直线的斜率 并画出直线观察,发现两直线斜率相等与两直线平行之间的关系,从而提出通过判断 两直线斜率相等两判定两直线平行的猜想,接下来引导用演绎的方式验证猜想;然后 再引导学生对“斜率不存在”和“两条直线重合”两种的特殊情况进行探究,完善猜 想,得出一般结论;最后再应用得出的一般结论解决实际问题。“两条直线平行的判 定”采用到了实验发现法。 对于“两条直线垂直的判定”,我在本设计中是让学生通过计算两条直线垂直在 特殊角情况下的斜率,从而发现两直线垂直与两直线斜率互为负倒数之间的关系,从 而提出通过判断两直线斜率互为负倒数来判断两直线垂直的猜想,接下来引导学生通 过信息技术工具——几何画板的演示实验来验证猜想,并通过演绎的方法进一步验证 猜想;同时引导学生考虑“斜率不存在”的特殊情况,完善猜想,得出一般结论;最 后,应用得出的一般结论解决实际问题。“两条直线垂直的判定”体现了归纳发现法 和实验发现法。 (2)详细教学设计 课 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 题 本课选自数学必修 2 的第三章第一节第二部分的内容——两条直线平行与 教 垂直的判定,是平面解析几何中关于直线与方程的知识。本节内容是在学生学 材 习了直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的基础上,进一步研究如何应用直 分 线的斜率判定两条直线平行和垂直的位置关系。教材利用两条直线的倾斜角和 析 斜率的关系引出了两条直线的平行和垂直的位置关系,有利于学生形成系统的 知识结构和规律性的知识网络,起到承上启下的作用。 学 1、学生认知发展分析:首先,在义务教育阶段,学生学习过函数的图像, 情 知道在直角坐标系中,点可以用有序实数对(x,y)表示,学习过两条直线平行
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分 析

东北师范大学硕士学位论文 与垂直的几何判定,具备一定的推理能力,但是,学生还没有系统接受过解析 几何研究问题的思想方法,用代数的方法研究几何问题,学生会感到不习惯。 因此,要在教学中多考虑初高中在知识上的衔接性,同时要注意学生对解析几 何的学习的循序渐进原则,要符合螺旋上升的认知规律。其次,高一学生对学 习几何有很高兴趣,因此通过创设教学情境,更能调动学生的学习积极性,激 发学习兴趣,同时要注意关注部分数学基础差,学习动机水平不高,意志力不 强,学习主动性有待调动的学生,课堂上注重这些学生良好的学习习惯的养成 和良好的数学思维的培养。 2、学生认知障碍点:首先,利用代数的方法解决几何问题,以及解析几何 研究体现的数学结合的思想,有待学生学习过程中去领会。其次,本节内容涉 及到三角函数的有关知识,但是学生在此之前并没有学习过与本节课内容有关 的三角函数的知识,因此,对两直线垂直的判定的证明,学生会感到困难;最 后,对于两直线平行与垂直的判定,一定要提醒学生注意直线斜率存在的前提 条件,否则容易被忽略。 1.知识与技能:掌握两直线平行与垂直的充要条件,能根据斜率判定两条 直线平行或垂直; 2.过程与方法:经历用直线的斜率研究两直线平行与垂直两种位置关系的 过程,体验由特殊到一般的认知规律和数学结合的数学思想; 3. 情感态度和价值观: 感受坐标法对沟通代数与几何、 数与形的重要作用, 对解析几何有了感性的认识;通过课堂上的启发引导,激发学生的学习数学的 兴趣,培养学生勇于探究、创新的精神。 教学 根据教学目标的要求,确定本节课教学重点是:利用斜率来判定两 重点 条直线平行与垂直的位置关系。 学生在探究两条直线斜率与两条直线垂直的关系时, 发现 k1k2 =-1 这 教学 一猜想会感到一定的困难,另外,因为学生还没具备三角函数有关知识, 难点 要证明这一猜想也会感到困难。因此,确定本节课的教学难点是:探究 直线的斜率与两直线垂直的关系。 教学 方法 学习 方法 教学 环节 发现教学法、分组教学法

教 学 目 标

教 学 重 难 点

教 法 与 学 法

动手实践、自主探究、小组合作学习法 教学内容 问题 1: 什么是直线的倾 斜角 ? 倾斜角的范围是 多少? 问题 2: 什么是直线的斜 率?斜率的范围是多 少?又如何计算斜率? 问题 3: 直线的倾斜角和 斜率存在怎样的关系? 教师活动 对问题 1、2, 教师提问, 教师 口头提问, 请学 生口述答案, 教 师对学生的回 答作适当的评 价和补充; 对问题 3,教师
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学生活动 对问题 1、2, 学生口头回 答老师的提 问。

设计意图 设置问题 1、 2、 3 都是为了 巩固复习上 一课时的内 容,为本节课 做好知识的 铺垫;

教 学 过 程

复习 回顾 引入 新课

对问题 3,学

新知 识探 究与 应用

东北师范大学硕士学位论文 问题 4: 已知直线 l1 经过 通 过 用 几 何 画 生 观 察 老 师 让学生 的演示结果。 两点 A(1,2),B(2,-1),直 板演示, 线 l 2 经 过 两 点 更 直 观 地 看 出 对问题 4,学 C(0,1),D(-1,4). ①计算直 倾 斜 角 和 斜 率 生 自 主 探 究 解决,再一起 线 l1 ,l2 的斜率; ②并在平 的关系。 面直角坐标系中画出直 对问题 4,教师 回 答 探 究 的 线 l1 ,l2 ; ③你从中发现了 先 让 学 生 自 主 结果。 解决, 然后引导 什么? 学生回答, 再对 学生的回答进 行适当评价, 从 而引入新课。 问题情境: 对于问题 1,教 对问题 1,因 1、平面内两直线的位置 师要补充说明: 为 在 第 二 章 关系有哪些? 垂 直 是 相 交 的 已经学过,学 2、我们能否根据直线的 特殊情况。 生可能回答 斜率判定两直线的位置 对于问题 2 , , 出:“平行、 关系? 教 师 引 导 学 生 相交、垂直、 用 数 学 语 言 表 重合”;对于 我们不妨设直线 l1、 l(不 2 述, 并利用分类 问题 2,学生 重合)的斜率分别为 k1, 的思想分析 可能会联系 k2, 对两直线平行与垂直 和探究问题, 并 到在“复习回 两种特殊的位置关系进 对 学 生 的 回 答 顾,引入新课 行探究: 给出评价。 “这一环节 中的问题 3, 探究一:两直线平行的 从而回答是 判定: 给学生 30 秒时 肯定的。 1、当 l1// l2 时,k1,k2 间思考、整理, 满足怎样的关系? 让学生表述推 学 生 表 述 推 2、反之,当 k1,k2 满足 到过程, 老师板 导 过 程 和 归 上述关系时,是否也可 演, 对学生的回 纳结论 以判定 l1// l2? 答给出指导和 评价, 并引导学 归纳总结: 生进行归纳总 对于斜率分别为 k1,k2, 结。 对两直线 l1、l2,有 教师引导学生 学 生 口 头 用 l1 // l2 ? k1 ? k2 进行归纳总结, 数 学 符 号 语 知识应用: 言归纳两直 【 例 1 】 已 知 A(2,3), 用 数 学 符 号 语 线垂直的充 B(-4,0), P(-4,2), Q(-1,2), 言表述。 要条件。 试判断直线 AB 与 PQ 的 位置关系,并证明你的 给学生 1 分钟 思考 1 分钟时 结论。 由老 间,积极配合 【 例 2 】 已 知 四 边 形 时间思考, 师生共 老 师 完 成 证 ABCD 的四个顶点分别 师板演, 明过程。 为 A(0,0), B(2,-1), 同 完 成 证 明 过
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设置问题 4 是 让学生通过 计算、作图、 观察发现直 线的斜率与 直线的位置 关系之间的 联系,从而很 好地引入新 课,同时也激 发学生的求 知欲。 通过设计问 题情境,引导 学生积极思 考,激发学生 的学习兴趣。

让学生体验 自主探究判 定两条直线 平行的推导 过程,渗透用 代数方法研 究几何问题 的思想。

培养学生应 用数学符号 语言表达的 能力,渗透归 纳的思想。 应用新知识 解决实际问 题,为学生规 范表达数学 过程作示范。

东北师范大学硕士学位论文 C(4,2), D(2,3), 试 判 断 程。 学生独立完 四边形 ABCD 的形状, 教师巡视, 对学 成解题过程, 并证明。 生进行个别辅 一 个 学 生 到 探究二:两直线垂直的 导, 最后对学生 黑板做。 判定: 在黑板上做的 1、当 l1⊥l2 时,k1,k2 结果评价。 满足怎样的关系? 我们不妨先从特殊情况 入手: (1)若 l1 的倾斜角为 30 ? , 则 l2 的倾斜角为多少? 这时,k1,k2 满足怎样的 关系? (2)若 l1 的倾斜角为 60 ? , 则 l2 的倾斜角为多少? 这时,k1,k2 满足怎样的 关系? 猜 想 : 当 l1 ⊥ l2 时 , k1k2=-1 借助信息技术工具验证 猜想。 提出问题:我们能否证 明我们的猜想呢? 2、反之,当 k1k2 =-1 时, 也可以判定 l1⊥l2,学生 理解起来不会感到困 难。

体验用代数 方法解决几 何问题的思 想。

由特殊情况, 教师引导学生 学 生 自 主 探 先从特殊情况 究 , 得 出 进行探究, 大胆 k1k2=-1 的 猜 想。 猜想;

从特殊情况 入手,让学生 参与知识的 构建过程,体 现由特殊到 一般的认知 规律;

借助信息技 术工具给学 生以感性认 教师借助信息 学 生 观 摩 老 知。 技术工具 (几何 师的演示,获 画板) 度量直线 得感性认知。 l1,l2 的斜率, 并使直线 l1,l2 猜想的证明 转动起来, 初步 涉及到三角 学生听老师 验证猜想。 函数知识,学 分析、讲解, 生无法独立 教 师 和 学 生 一 完 成 证 明 过 完成,需要老 起进行分析, 完 程。 师讲解。 成证明过程。 归纳总结: 培养学生归 对于斜率分别为 k1,k2, 学 生 口 头 用 纳的思维,培 对两直线 l1、l2,有 数学符号语 养学生应用 l1⊥l2 ? k1k2=-1 言归纳两直 数学符号语 教师引导学生 线 垂 直 的 充 言 表 达 的 能 知识应用: 力。 【例 3 】已 知 A(-6,0), 用 数 学 符 号 语 要条件。 进行归 B(3,6), P(0,3), Q(6,-6), 言表述, 应用新知识 试判断直线 AB 与 PQ 的 纳总结。 学生思考 30 解 决 实 际 问 位置关系,并证明你的 秒时间后,积 题,为学生规 结论。 极配合老师 范表达数学 【例 4 】已 知 A(5,-1), 给学生 30 秒时 由老师 完 成 证 明 过 过程作示范。 B(1,1), C(2,3)三点, 试判 间思考, 师生共同 程。 断△ABC 的形状,并给 板演, 完成证明过程。 出证明。 由学生独立 教师巡视, 对学 完成,其中一
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东北师范大学硕士学位论文 生 进 行 个 别 辅 人到黑板做。 导, 最后对学生 在黑板上做的 结果评价。 问题延伸: 1、两条直线平行,斜率 一定相等吗?反之,若 两条直线的斜率相等, 两直线一定平行吗?

老师引导学生 口头回答, 并在 黑板画出大致 的图象, 从更直 观的角度观察 2、两条直线垂直,它们 得出结论。 的斜率之积一定等于 -1 从 而 把 两 直 线 拓展 吗?为什么? 平行与垂直拓 延伸 展到一般情况。 归纳一般情况: (1) l1 // l2 ? k1 ? k2 或 l1、 l2 的斜率不存在; (2) l1⊥l2 ? k1k2=-1 或 l1、l2 的斜率一个为 0, 一个不存在。 1、本节课我们学习了哪 些知识? 2、本节课我们探究问题 的时候运用了哪些方法 课时 和思想? 小结 3、通过本节课的学习, 谈谈你的收获是什么?

布置 作业

1、课本 P89 习题 3.1 A 组:第 6、7 题 2、课本 P90 习题 3.1 B 组:第 2 题

通过探究特 殊情况下两 条直线平行 与垂直,引起 学生注意,让 学生不要忽 略了前面所 得结论的前 提条件,体现 数学的严谨 性。 教师引导学 生通过画图 像观察结果, 渗透着数形 结合的思想。 教 师 对 学 生 的 学生发言,相 让 学 生 对 所 发 言 进 行 补 充 互补充 学知识有一 和点评 个更全面的 认识,并加深 学生对所学 知识的印象, 同时也培养 学生对数学 学习的兴趣。 作业 1 是必做 题,旨在巩固 练习;作业 2 是选做题,供 学有余力的 同学选做,旨 在培养其创 新思维。

对于问题 1 和 问题 2,都是 学生先思考 30 秒, 然后口 述答案。 学生通过观 察老师在黑 板上画出的 图形,更直观 地得出结论。

板 书 设 计 (3)教学反思

3.2.1 两条直线平行与垂直的判定 结论 1: l1 // l2 ? k1 ? k2 结论 2:l1⊥l2 ? k1k2=-1 例 1: 例 3: 例 2: 例 4:

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东北师范大学硕士学位论文 本教学设计体现了归纳发现法和实验发现法。我曾将它用于课赛,而且在课赛之前 我也曾将它用于多个班级的教学实践,和平常一般课相比,效果是显而易见的:学生的 参与度高,而且课堂气氛活跃,从作业的完成情况来看,效果也明显好于之前我上的不 用发现法教学的班级。 这是一节命题、原理课,在本节课中,通过设置问题情境,引导学生主动发现并探 究新知识,旨在培养学生自主探究、合作交流的能力,激发学生的学习积极性和对数学 学科的兴趣。在教学设计中,采用归纳发现法和实验发现法的原理,体现由特殊到一般 的认知规律,学生更易于接受。 通过研究课标和教材,我对“两条直线平行与垂直的判定”这一课时的设计中以探 究斜率存在的情况为重点,放在“新知探究”这一环节中,旨在突出重点,降低难度, 学生更容易接受。而把斜率不存在、两直线重合两种特殊情况的探究放在“拓展延伸” 环节,引发学生进一步思考和探究,体现学生学习由易到难、循序渐进的原则。 对于两条直线平行的判定的探究,采用“动手实验—观察—发现”的原理,学生通 过计算、画图可以很直观地看出结论,加之于“复习回顾”环节中有了问题 3 的铺垫, 学生理解起来不会感到困难,最后,再应用新知识解决实际问题。这样不仅使知识得到 巩固,也培养学生的能力。 对于两条直线垂直的判定的探究,如果按照一般接受式教学的方式,学生理解起来 肯定有一定的困难。本设计采用归纳发现法和实验发现法的原理,从特殊角开始,让学 生通过观察发现规律,提出猜想,再借助信息技术工具度量直线的斜率来验证非特殊角 情况下猜想是否成立,最后再用演绎的方法证明猜想的正确性。体现了由特殊到一般的 认知规律,学生易于接受。最后,再应用新知识解决实际问题。这样不仅使知识得到巩 固,也培养了学生的应用意识。 另外,本节课通过斜率关系判定两条直线平行和垂直,体现了用代数方法研究几何 问题的思想。通过本节课的探究学习学生可以对解析几何有了初步了了解。 4.2.2 “变化率与导数(第一课时)”教学设计案例 (1)本教学设计的大致思路 通过对“平均膨胀率”和“平均速度”两个生活中问题情境的深入探究,归纳出 求“平均变化率”的函数模型,此过程体现了由特殊到一般、由具体到抽象的归纳发 现法的教学思想。 对于“平均膨胀率”问题的探究,是让学生从气球实验开始的,实验中观察发现 气球膨胀率变小,然后教师引导学生通过演绎计算具体数据来解释气球膨胀率变小的 原因, 最后教师利用几何画板工具画出函数图象来进一步分析气球膨胀率变小的原因。 本探究应用了实验发现法和演绎发现法。 对于“平均速度”问题,是通过让学生观看“郭晶晶 10 米高台跳水的视频剪辑” 提出问题情境:计算郭晶晶跳水过程中在不同时间段的平均速度,从而发现平均速度 的变化。本探究应用了演绎发现法。
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东北师范大学硕士学位论文 (2)详细教学设计 课 3.1 变化率与导数(第一课时) 题 本课时内容选自《普通高中课程标准实验教科书人教版(A 版)数学选修 1-1》第三章第一节“变化率与导数”的第一课时——变化率问题。本节内容 主要包括变化率、导数的概念、导数的几何意义三方面的内容。首先,教科书 从平均变化率出发,用平均变化率探求瞬间变化率,并用具体数据描述各种不 教 材 分 析 同变化率;然后,教科书从数转向形,借助函数图象,探求了切线斜率和导数 的关系,说明了导数的几何意义[33]。 这样的两个阶段,既注重思想方法的渗透,又注重抽象概念的不同意义间 的转换——从实际意义、数值意义、几何意义等方面理解导数内涵与思想。另 外,本节内容是在学生学习了二次函数、指数函数、对数函数等函数图象的基 础上,进一步借助函数图象研究函数的变化率问题,它既是函数概念的深化和 简单应用,也是后续内容学习的重要基础。 1、学生认知发展分析:首先,在以前的课程中,学生学习过二次函数、 指数函数、对数函数等,知道可以借助信息技术工具画出任意未知函数的图象 并分析其性质,具备一定的逻辑推理能力,因此,巧妙地借助信息技术工具画 出函数图象,采用数形结合的数学思想,分析函数图象的性质,会受到很好的 效果。其次,本节内容从气球膨胀率问题、高台跳水运动速度问题等简单的背 景出发,学生可以借助已有的生活经验,建立实际问题的数学模型,用数学知 学 情 分 析 识解释生活现象,在此过程要注重有特殊到一般、由具体到抽象的探究问题的 方法,要符合循序渐进的原则和螺旋上升的认知规律。 2、学生认知障碍点:首先,“对一种生活现象的数学解释”是学习本节 内容的切入角度, 也是本节课的一个难点。 由生活中的实际问题建构函数模型, 并巧妙地借助信息技术工具画出函数图象分析,学生可能会感到困惑,需要教 师适当的引导和点拨。其次,本节内容属于文科学生选修系列。文科学生的感 性思维比较强,因此要提供丰富的生活背景,让学生借助生活经验理解相关概 念,并积极主动参与到导数学习过程中,体会数学来源于生活,感受数学的应 用价值。 根据新课标对本小节内容的要求以及学生的学情分析, 我设计三个维度的 课程目标如下: 教 学 目 标 一、知识与技能: 1.了解变化率概念产生的实际背景,理解平均变化率的概念; 2.理解平均变化率的几何意义; 3.会求函数在某点处附近的平均变化率[34]。 二、过程与方法: 1. 通过动手实验,让学生经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平
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东北师范大学硕士学位论文 均变化率概念的过程,体会从特殊到一般、由具体到抽象的归纳的思想; 2.通过函数平均变化率的几何意义的探究,体会数形结合的思想; 3. 通过问题探究、观察分析、归纳总结等方式,引导学生从变量和函数 的角度来描述变化率,为导数概念的产生奠定基础[34]。 三、情感态度与价值观: 1.学生通过动手实践、自主探究、合作探究等方式学习,激发学习兴趣和 求知欲,增强合作交流意识,养成主动获取知识和积极探究问题的习惯,并体 会其中蕴涵的思想方法,逐渐掌握数学研究的基本思考方式和方法。 2.学生从实际问题到数学问题的建构的过程中,体会数学的科学价值、应 用价值和文化价值,形成严谨的科学的探究精神。 教 学 重 难 点 教 法 与 学 法 教学 重点 教学 难点 教学 方法 学习 方法 教学 环节 根据教学目标的要求以及教材前后内容的逻辑关系,确定本节课 的重点是:平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率。 如何由生活中的实际问题建构数学模型,并作出数学解释,学生 处理起来会感到一定的困难,因此,本节课内容的重点是:对生活现 象作出数学解释。 发现教学法 动手实践、自主探究、小组合作学习法 教学内容 教师活动 课件上展示 问题情境,引发 学生思考。然后 老师先举出两个 例子,再引导学 生举出生活中的 实例。 首先,课件 上展示探究任 务。教师可以请 4 位同学上讲台 做给气球打气的 演示实验, 测量、 记录气球每次增 大的直径。 然后,教师 引导学生根据演 示实验的结果, 通过小组合作的 方式完成《导学
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学生活动

设计意图

问题:生 活中,变化率 创设 问题随处可 情境 见。请举例说 引入 明。 新课 教 学 过 程 【探究一】 动手实验:用 打气筒给一个 的气球打入空 气,每次打进 实 例 气球的空气一 探究 样,观察并测 形 成 量气球变大的 概念 速度。思考下 列问题: (1) 每次 打进差不多的 空气,气球变 大的速度一样

学生积极主 通过生活中 动参与,列举生 变化率问题,激 活中的变化率问 发学生的学习兴 题。 趣, 并引出课题。

1. 座位上的 从生活中的 同学认真观察讲 实际问题出发, 台上的同学的演 可以激发学生深 示实验和记录结 入探究的兴趣。 果,并在老师的 引导下描述出观 察到的现象。 2. 各学习小 组学生开始通过 组内合作交流的 方式探究学习; 最后,各小组学 生代表上到讲台 通过对生活 实例的分析,提 炼数学模型,为 归纳函数平均变 化率的概念奠定 背景基础,并从

东北师范大学硕士学位论文 吗? 案》“探究一” 上或展示自己小 (2) 教材 中的问题 (1) (2) 组的讨论结果, 中有这样一句 (3),并组织学 或在底下作相应 话:“随着气 生展示和分享。 的补充。 球内空气容量 最后,教师 3. 对 问 题 的增加,气球 引导借助几何画 ( 4 ) 一个学生充 的半径增加得 越来越慢”, 板 画 出 函 数 图 当教师角色,到 你如何理解这 象,通过用数形 多媒体上演示画 句话?从数学 结合的思想分析 函 数 图 象 的 过 角度,如何描 和解释现象产生 程,引导其他同 学观察、分析图 述这种现象? 的原因。 象。 (3) 当空 气容量从 V1 增 加 V2 时,气球 的平均膨胀率 是多少? (4) 在上 述基础上借助 几何画板画函 数图象分析气 球膨胀率变小 的原因。 【 探 究 二】观看跳水 女皇郭晶晶 10 米高台跳水的 视频剪辑。假 设郭晶晶相对 于水面的高度 h( 单位: m) 与 起跳后的时间 t(单位:s)存 在函数关系

中体会由特殊到 一般、由具体到 抽象的思想方 法。 通过在多媒 体上画图象并通 过图像分析原 因,体会数形结 合的数学思想。

首先, 教师播 放郭晶晶跳水视 频剪辑,引导学 生认真观察,大 致画出郭晶晶的 高台跳水运动轨 迹。 对于问题 (1) 组织学生自主探 究,组内合作交 流,迅速完成两 2 h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10 个问题的计算, , 并引导学生思考 ( 1 )请计 如何去解释平均 算 郭 晶 晶 在 速度一正一负的 0 ? t ? 0.5 以 及 计算结果。 1? t ? 2 这 两 段 时间段里的平 对问题(2 ) 均速度,从中 引导学生通过计 你 发 现 了 什 算,并结合生活 么? 常识思考跳水运 ( 2 )计算 动员的运动状态
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学生认真观 看视频剪辑,在 草纸上大致画出 郭晶晶的高台跳 水运动轨迹。

分析实例, 抽象出数学函数 模型,为归纳函 数平均变化率概 念进一步奠定背 景基础。 学生通过亲 自计算、交流和 思考,初步感受 平均变化率描述 变速运动状态的 缺陷和不足,激 发学生进一步探 究的热情。

学生通过自 己的计算,组内 交流计算结果, 并在组间分享自 己组内的讨论结 果。

东北师范大学硕士学位论文 郭 晶 晶 在 与计算结果之间 65 的矛盾,再通过 0?t? 这段 画出函数图像来 49 时间里的平均 解释矛盾产生的 速度, 并思考: 原因,初步感受 ①计算结果反 平均速度只能粗 映 了 什 么 问 略描述运动员的 题?你认为郭 运动状态,它不 晶晶在这段时 能反映某一时刻 间里是静止的 的运动状态[34]。 吗?为什么? ②用平均速度 刻画郭晶晶的 跳水的运动状 态有问题吗? 为什么?请用 信息技术工具 画出函数图象 来分析。 【 探 究 引导学生根 1. 学 生 写 出 三】(1)上述 据平均膨胀率和 平均膨胀率和平 两个问题中的 平 均 速 度 的 式 均速度的表示形 平均膨胀率和 子,分析其表示 式,很快发现其 平均速度的计 形 式 上 的 共 同 共同特征,从而 算式子有什么 性,抽象出函数 得出函数的平均 共同特征?如 的平均变化率的 变化率的表示形 归纳 果上述问题的 表示形式,并阐 式。 总结 函 数 关 系 用 明平均膨胀率、 揭示 2. 学 生 通 过 y ? f ( x ) 表示, 平均速度只是平 内涵 那么问题中的 均变化率的特殊 教 师 给 出 的 图 平均变化率又 情况,最后结合 像,分析得出平 函数图象分析其 均变化率与割线 怎么表示? (2) 结合 几 何 意 义 : 的斜率的关系。 函数图像,思 ?y ? k AB ?x 考平均变化率 的几何意义。 导学案中 对于例 1 , 学生看老师 “典型例题” 教师作示范,再 的规范的解题过 例题 部分( 3 道例 引导学生分组讨 程,然后学生分 精讲 题) 论、展示例 2、 组展示 例 3 的解题过 程。 导学案中 组织学生以 各学习小组 随堂 “随堂检测” 学 习 小 组 为 单 展开讨论,限时 检测 部分 (3 道练习 位,限时完成本 完成任务。
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分析归纳平 均膨胀率和平均 速度的计算式子 的共同特征,抽 象出一般的平均 变化率。

思考平均变 化率的几何意 义,感受新旧知 识的联系,体会 数形结合的数学 思想。

学以致用,规范 解题

巩固和拓展课堂 上所学的知识和 方法

题)

东北师范大学硕士学位论文 部分练习。 首先,教师 学生结合导 鼓励学生积极发 学案, 踊跃发言。 言,然后教师多 媒体展示知识归 纳的框图,结合 框图补充和总结 让学生自主构建 知识,理清知识 内在联系,形成 知识网络,并更 好地体会数学的 基本思想方法。

1. 试 总 结 本节课的主要 知识。 2. 你觉得 课 时 本节课探究问 小结 题的思路是什 提 升 么?用到了什 认识 么数学思想? 3. 通 过 本 节课的学习, 请谈谈你的感 受或收获。 1. 课后独 立导学案中 “课后作业” 部分 (3 道题) ; 2. 各学习 布置 小组组长负责 作业 检查自己小组 成员的导学 案,而组长的 导学案上交给 老师检查。 探究一:平均膨胀率 板 书 设 计

教师在课件 学生按老师 复习巩固本 上展示学生的课 的要求课后完成 节课所学知识, 后作业,并作说 任务。 同时在运算中发 明。 现的规律,激起 学生进一步探究 的愿望,为下一 课时的学习作铺 垫。

3.1.1 平均变化率问题
r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1

探究二:平均速度 v ?
(特殊到一般)

h(t 2 ) ? h(t1 ) t 2 ? t1

探究三:函数的平均变化率

?y ?x

?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

? k AB (几何意义)

注意:平均变化率具有一定的局限性,它只能粗略描绘事物变化状态。 思想方法:由特殊到一般、由具体到抽象、数形结合 (3)教学反思 首先,根据新课改的要求,本节课我主要采取发现教学法组织教学,启发引导学生 通过动手实践、自主探究、小组合作等学习方式进行积极探究学习,引导学生根据生活 中的实际问题建构函数模型, 并巧妙地借助信息技术工具画出函数图象, 解释生活现象, 体会从特殊到一般的探究问题的方法和数形结合的数学思想。 其次,在学生的学法指导上,充分发挥《导学案》“导”与“学”的作用。《导学 案》中“课前预习”部分是要求学生课前完成的,其中“知识链接”中让学生回顾了球 的体积计算公式和知道直线的斜率公式,这为即将探究的“气球膨胀问题”和函数平均
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东北师范大学硕士学位论文 变化率的几何意义作铺垫。更为重要的是,《导学案》中对于学生可能感到困难的问题 已经作了精要的阐述和补充。其中【探究一】中的“气球膨胀率问题”,让学生体会如 何从生活实际问题建构数学模型;从【探究一】、【探究二】到【探究三】的过渡,让 学生体会由具体到抽象、由特殊到一般的探究问题的方法和数形结合的数学思想,帮助 学生更好地理解新知识并了解探究问题的思想方法。另外,“例题精讲”环节旨在规范 学生的解题过程,“随堂检测”环节旨在巩固学生所学知识,拓展学生的认识水平,课 时小结环节可以帮助学生建构知识体系, 课后作业的布置可以让学生对所学知识进行及 时巩固复习,避免遗忘,同时也不忘对学生作业以及《导学案》的监督检查。 同时,教学过程中设置了不少学生进行小组合作学习的环节,把课堂交还给学生, 给学生展示自我的机会,让学生积极主动地获取知识,成为学习的主人,感受成功的喜 悦。

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第5章 研究结论与实践反思
5.1 应用发现法于高中数学教学的优越性
发现法是数学新课程教学中应用较为广泛的一种教学方法,它体现了新课程改革 的基本理念,符合新时代的特点。经过上述的理论与实践的研究以及平时的教学实践 经验,笔者归纳出发现法以下几点优点: (1)发现法注重学生积极主动参与和自主发现,能让学生成为学习的主人,能充 分发挥学生学习的主观能动性。 在发现法的教学活动中,教师不是将现成的知识灌输给学生,而是把学习的主动 权交给学生,让学生的学习成为在老师的引导下进行的主动的探究活动;教师通过精 心设置的一个个问题链,把对新知识的“发现权”也交给学生,让学生像科学家一样 去发现,激发了学生的求知欲;学生经历了新知识的发现过程,不仅能够了解知识的 来龙去脉,而且记忆深刻。 (2)发现法注重师生互动、生生互动,强调学生合作交流学习,可以培养学生的 团队精神。 发现法教学主张全体学生的积极主动参与,它是自主学习与合作学习的结合,而 合作学习占据着重要的地位。发现法通过教师引导下的学生的发现学习,培养了学生 自主探究、动手实践和合作交流的良好习惯。在遇到简单问题时,学生们首先学会自 己独立解决;在遇到难题时,学生学会主动与他人组成团队,寻求合作,在团队合作 过程中各成员学会分享自己的观点和创意,发挥集体的智慧,优势互补,最后有效地 解决问题并达到共赢的目的。 (3) 发现法注重学生对知识 “再发现” 过程的探究, 可以激发学生的创造性思维, 培养学生严谨的科学态度。 在发现法的数学课堂教学过程中,学生的学习过程是对知识的“再发现”的过程, 其中渗透着由特殊到一般、由具体到抽象的归纳思想以及由彼及此的类比思想,在此 过程中学生的创造性思维和创新能力得到很好的锻炼。另外,学生在探究、发现的过 程中,要以严谨的科学态度,以归纳、类比、实验、演绎等方式去完成科学家式的探 索过程,无形中培养了学生严谨的科学态度。 (4)发现法注重过程知识的获取,尊重学生的主体地位,关注学生学习过程中的 情感体验,有利于培养学生逻辑思维能力和健全的人格。 发现法教学不再是只关注结果知识的教师的单一传授,而是注重学生过程知识的 获取,尊重学生的主体地位[35],教学的重心由学生被动新知识转向让学生主动发现和 建构知识,以及学会数学思想、掌握数学方法和培养能力上,同时有利于培养学生健
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东北师范大学硕士学位论文 全的人格。

5.2 应用发现法于高中数学教学的注意事项
(1)发现法的课堂,一般要求学生具备一定的知识基础和良好的认知结构。学生 只有具备一定的知识基础和良好的认知结构,才能在教师的启发引导下进行自主的发 现学习。对于基础水平不高的学生,发现法实施起来有一定困难,甚至会出现一节课 下来学生发现不了新知识,造成教学任务无法完成的情况。基础水平较差的学生并不 能适应由旧知识到新知识的迁移学习,他们更需要的是补基础。 (2)发现法的问题情境的设计要遵循“最近发展区”的原则。教师要充分了解学 生的认知结构与知识基础,设计符合学生基础水平并具有一定挑战性的问题情境,这 样才能唤起学生的学习兴趣,激发学生的探究热情。 (3)发现法的课堂要关注学生个体之间的内在差异,注意因材施教。发现法教学 一般会营造一种学生之间、小组之间的竞争氛围,必然会造成对思维比较落后的同学 一种无形的压力甚至打击。教师要多照顾、多鼓励表现较落后的学生,给他们表现自 我和提升自信心的机会;而对于思维活跃的同学,教师也要注意不用打击他们的积极 性。另外,在学生进行小组讨论或小组展示的环节,教师要注意掌控全局,不能总是 让能言善辩、口齿怜俐的同学发言,让其它本不善言辞的学生无机会发言。 (4) 发现法对教师有较高的要求。 发现法教学不仅要求教师能够很好地分析学情, 把握学生的知识基础、认知结构和思维能力,而且要求教师设计好利于学生发现问题 链,这样大大增了教师的工作量和工作强度,不利于长期推广。另外,并不是任何学 科的任何教学内容适用于发现法的。 (5)注意发现式教学和讲授式教学统一性。一节课中,发现式教学和讲授式教学 可以交叉出现,有些知识、有些内容需要学生自主发现、合作探究,有些知识需要老 师的点拨引导,还有些知识需要老师直接传授。

5.3 应用发现法于高中数学教学的误区
(1)刻意追求发现之“形”。 新课程倡导学生动手实践、自主探索、合作交流等学习方式,但并不意味着一味 地追求发现,每个内容都要安排学生动手发现一番,甚至很简单的问题,也要来个发 现学习。这样,发现法教学就太过于古板,只是流于形式,缺乏灵活性。 (2)教师准备不充分,导致发现法的课堂难以掌控。 发现法教学强调学生在真实、自然的问题情境中发现和建构知识,而学生的一些 发现学习是很难预见的,这势必会出现学生所发现和建构起来的知识与教师的预期不 一致的情况。这时,教师如果准备不充分,不能掌控课堂,必然导致大量的课堂时间 在学生漫无目的说话讨论中消耗,最终导致教师无法完成教学任务。
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东北师范大学硕士学位论文 (3)忽视教师的引导作用。 虽然发现法教学更多地关注学生的学习过程,但是学生的学习过程离不开老师的 启发和引导,并不意味着完全放手让学生自由活动,课堂上学生的发现学习变得漫无 目的,不仅课堂纪律差,而且学生也失去了学习的动力。

5.4 本文研究中存在的不足及研究展望
本文研究的主要内容是发现法在高中数学教学中的实践研究,相对于理论研究, 本文应更注重实践研究。但由于本人研究水平有限,工作经验不足,加之于研究的时 间短促,故本文存在实践研究方面存在很多不足之处: (1)应用发现法于高中数学教学的后期调查研究有待继续进行; (2)如何处理发现法的课堂时间花费问题和教学进度问题有待继续研究; (3) 在发现法的课堂中如何照顾基础比较差的学生, 让他们积极主动参与到发现 学习的过程中去有待继续研究; (4)随着新课程改革的不断深入,发现法会出现什么新问题,发现法又该怎么演 进才能适应新时代的需要等等这些方面的问题都有待进一步研究和讨论。

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