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“杨辉三角中的一些秘密”教学设计


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特 别 报 道

“杨辉三角中的一些秘密”教学设计
) 陈碧文 ( 浙江省宁波市鄞州区正始中学
(3)归纳 出 杨辉 三 角 及 一 般 数 阵 的研究 方法 , 养 学生学情分析 摘要: 杨 辉三 角 蕴含 了 丰 富 的数 字规 律 和 数学思 想 . 本 节 课 通 过 从不 同 角 度 研究 杨 辉 三 角 , 得 到杨 辉 三 角 的 性 质 , 总 结 出 一 般 数 阵 的 研究 方法 . 提 高 了 学 生运用联系及类比的观点看待问题,解决问题的能力 . 最后,对本节探究课进行反思. 使 学 生 养 成 发 现问 题, 探 究、 构建 新 知 的学 习习 惯 . 关键词:杨辉三角;组合数;教学设计;教学思考

成发现问题、探究知识、建构知识的学习习惯.

知识结 构 :学生 已经 学 习 过 组 合 数的 定义 和 性质 以及二项式系数的性质,并对杨辉三角有一定的了解. 能力结 构 :学生 已经具 备 了 一 定 的 综 合 分 析 问题

的 能力, 利 用 适 时地 问题 引导 就 能 建 立 起 知识 之 间 的 纳还有一定的困难,需要适当地引导. 教学策略分析 相 互 联系 , 解决 相 关 问题 . 但 是 , 他 们对 于规 律 的 归

教学内容解析 与 发 现” . 杨辉三角蕴涵了丰富的数字规律和数学 思想 方法,所以它是一个很有价值的探究性课题. 杨辉 三 角 是 一 个 特 殊 的数 阵 . 探 究 杨辉 三 角 中的 本课题来自人教 A 版选修 2—3 第一章后的“探究

因 为发 现 杨辉三 角 中的 部分 数 字 规 律 有一 定 的 难 度 ,本节 课 采 用 的是以 学 生自主 探 究 为 主,教师 引 导 性 ,本节 课 具体 采用 的 是 自主 探 究与 合 作 交流相 结 合 的 探 究 方式 . 探 究 时 采 用 个 人 独 立思考 后小 组 合 作互 探 究 为 辅 的 探 究课 类 型 . 为 了 让 学 生 感受 数学的 趣 味

数 字规 律 ,有利 于 巩固 学习 二 项 式系 数的 性质 , 并 对

进 一步 认识 组合 数, 进行组 合 数的计 算 和 变 形 有重 要 得到研究一般数阵的方法.

的 作 用 . 对 杨辉 三 角 的研究, 可 以 让 学 生 通 过 总结 , 动的 方式 ,重 点 在于 发 现数阵 中的 规 律 , 使 学 生 通 过 思 维 碰撞 , 擦 出 智慧 的 火 花, 达 到 共同 完 成 建 构知识 同时 , 通 过欣 赏 分 形 及 斐 波 那 契 数 列 等 有 趣 的数 的 目 的 . 同时 也 使 不同层 次的学 生 都 学有 所 获 , 让 学 多 媒体 辅助 教学的 应用 , 可 节 省 时间 , 增 大 信 息

学 内容 ,学 生可 以 由 此 发现数学 之美 , 产 生 对 数学的 学 习 兴趣 . 另 外 , 通 过 组 织不同形式 的 探 究, 可 以 让 学 生学会 观 察与 归纳 等探究 方法 ,体 验 数学 发 现和 创 造 的历程 , 培养创新 精 神, 也 有 利于 学 生理解 数学 知 识,培养数学应用意识. 教学目标设置 (1)了解数阵概念,会用组合数表示杨辉三角中 (2)了 解 杨辉 三 角 中 所 蕴含 的 规 律 , 提 高 观 察 和

生体会发现和创造的成就感,发展学生的创造性思维.

课 从“情境引 入 —发 现数 字 规 律 —利 用 组 合 数表 述 结 论—证 明 结 论 ” , 始终 坚持 让 学 生 主动 参 与, 亲 身 实 践 . 在学 生合 作 、师 生 互 动中,学 生 真正 成为 知识 的 课的 知识 结 构 有一个 清晰 的认识 , 而且 对 所 用 到 的数 学方法和涉及到的数学思想得以领会. 教学重 点 : 通过从 不同 的 角 度 研究 杨辉 三 角 , 得 发 现者和研究者 . 在 这 样 的课 堂 中, 不仅 学 生 对 本 节

量 , 增 强 直 观形 象 性 . 提 倡 学 习 方式 的 多 样 化 ,本 节

的数;

分 析问题 , 运用 联系 及 类比 的 观点看 待 问题 , 从 而 解 决问题的能力;
收稿日期:2015—02—11

到 杨辉 三 角 的 性质 , 并 最 终 总结出 一 般 数 阵 的研究

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作者简介:陈碧文 ( 1985— ) ,男,中学二级教师,主要从事数学探究课堂教学及数学文化渗透研究援
圆园15 年第 4 期

TEBIEBAODAO 方法. 总结. 思路更广,差分方程,无穷级数都谈到了. 让我们一起来看一下.

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教学 难 点 : 将 杨辉 三 角 的 规 律 用 组 合 数 来 进 行

那么,我们又能从杨辉三角中探寻到哪些奥秘呢?

教学过程 1. 引经据典,步入新课 今天 这 节 课,我 们从 一 幅 图 画 开 始 ,大家 认识 这

教 学中 将历 史知 识引 入课 堂 ,既 可 以 让 学生 了 解一 些 数学 史 ,激 发 学生的兴趣 , 同时又 可 以 培养 学生的 民 的思考, 为后 续 探 究其他 数 阵 做 好 铺垫 . 学生 不 是 只 族 自 豪 感 . 通 过数 阵 的 概念 引 入本 节 课 , 能 引 发 学生

【 设计意图 】 新课标提倡体现数学的文化价 值 . 在

两 个图案吗 ( 如 图 1, 图 2 ) ? 这 是 我 们 华 夏 传 说 中的 河 图 和 洛 书 . “ 河 出 图 , 洛 出 书 ,圣 人 则 之 ” ,伏羲根 据 河 图 演 绎 了 八 卦 ,大 禹 依 据 洛 书 划 分 了 九 州 . 可 以

为 研 究 杨辉 三 角 而研 究 杨辉 三角 , 而 是要 能通 过 对 杨

说河图和洛书是我们华夏文化的起源. 可大家知道吗, 辉三角的研究,总结出一般数阵的研究方式. 2援 复习回顾,总结已知 河图和洛书其实也是世界上最古老的数阵.

杨辉 三角 在我 们学 习 二 项 式 系 数的 性质 时 已经 有

质呢?

所 接 触 . 那 么 , 我 们 已经 学 习 过 杨辉 三 角 的 哪 些 性 (1)贾宪 在他 的 “ 开 方作法 本 源图” 中 写 道 : “左

,用今天的话来 衺乃积数,右衺乃隅算,中藏者皆廉”

讲 , 就 是 说 杨辉 三 角 中的 每 一 个 数 都是 二 项 式 系 数,
图1 图2

什么 是 数 阵 呢? 将 数 字 按 照 一 定 顺 序 组 合 成 图 形 就是数阵. 今天这节课,我们就一起来研究一下数阵 . 当 然,

1 写成 an,r = Crn 如图 4) . -1 (

杨辉 三 角 写 成以 下 的 形式 , 其 中第 n 行 第 r 个 数 可 以
1

而 二项 式 系数 都可 以 写成 组 合 数 . 从 而 我 们 就 可 以 把

对于一个新的内容,我们需要一个研究的载体. 所以, 我们从一个特殊的三角数阵开始. 大家 认识 这 个 数 阵 (如 图 3 ) 吗 ? 在 古 代,我 们

称它为“开方作法本源图” . 而在现代,它还有另 外 一 个名字—— — 杨辉三角.
C
0 n-1

4 5 6 3 1 2 C0 6 C6 C6 C6 C6 C6 C6

4 5 3 1 2 C0 5 C5 C5 C5 C5 C5

4 1 2 3 C0 4 C4 C4 C4 C4

1 2 3 C0 3 C3 C3 C3

1 2 C0 2 C2 C2

1 C0 1 C1

……

C

1 n-1

1 2 r n-1 C0 Cn n Cn Cn … Cn … C n n

C

2 n-1

n-2 n-1 r 1 … Crn - 1 Cn - 1 … Cn - 1 Cn - 1

1 2 r n-1 n 数表示为 C0 + Cn n + Cn + Cn + … + Cn + … + C n n = 2 .

(2)杨辉三角每一行之和为 2 的 n - 1 次幂,组 合 (3)杨辉 三 角 中 每 一 个 数 都是 两 肩 上数 之 和, 用

图4

(1)

杨辉 三 角 在 整个 数学 史 中 扮 演着 重 要 的 角 色 : 北 宋 的 贾宪 用 它 手算 高次 方根 ;元 朝 的 朱 世 杰 用 它 研究 高阶等差级数 ( 垛积术 ) ;牛顿用它算微积分;华罗庚

图3

(2)

宋时期的杨辉所发现的,所以称之为杨辉恒等式.
r -r (4)杨辉三角是左右对称的,即 Cn = Cn . n

r-1 r r 组合数表示就是 Cn - 1 + Cn - 1 = Cn . 这个结论最 早是由南

【 设计意图 】 通过教师提问,学生回答的方式,让

学生 回 顾前面 所 学杨辉 三 角 的内容 , 既 起 到 承 上的 作 用, 又 为 接 下 来 的 研 究 做 好 铺垫 . 其 中, 杨辉恒 等 式
圆园15 年第 4 期

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TEBIEBAODAO 能 够让 学生 更容 易 发现 和证 明 规律, 而 用 组 合 数 表 示 杨辉三 角 , 能够 让 学生 更容 易 总结出 规律 ,是 本 节 课 研究的关键. 3. 小组合作,共探新知
1 r r n n 1 n-1 n (C0 所以 (C0 +…+ n + Cn x + … + Cn x + … + Cn x ) n x + Cn x

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n n 2n 因为 (1 + x) 伊(x + 1) =(1 + x) ,

r n-r n 2n x + … + Cn = C20n + C21n x + … + C2rn xr + … + C2 Cn n) 2n x .

取其中的 xn 项,

在研究 之 前,我 们 首 先 需 要 一 起 探 讨一 下 , 该 如 何去研究杨辉三角呢? 峰,远近高低各不同” ,这句诗告诉我们需要从不同的 角 度 看 待 一 项 事 物 . 我 们 研究 杨辉 三 角 时 , 是 不 是也 可 以从 不同 角 度出发 呢 ? 下 面 , 就 让 我 们 四 人 一组, 用 组合 数 格式的 杨辉 三 角总结 规 律, 并 加 以 证 明 (如 图 5) .
1 1

2 2 2 等式左边 =[ (C0 (C1 (Cn ] ·xn, n) + n) + … + n)

苏 轼 有一 句 诗 使 笔 者 很 受 启 发 . “ 横 看成 岭 侧 成

由于等式两边相等, 所以 xn 项的系数也相等,
n 2 2 2 即 (C0 (C1 (Cn n) + n) + … + n) = C2n .

等式右边 = C2nn xn.

从 不同 角 度出发 , 用 数 字 格式 的 杨辉 三 角 观 察 规 律 , 若干次幂.

(2)杨辉三角每一行数字错一位叠 加 就 得到 11 的
2 2 1 n 证明:由二项展开式 (1 + x) = C0 n + Cn x + Cn x + … +

r r n x + … + Cnn - 1 xn - 1 + Cn Cn nx ,

1 r n-2 n-1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 Cn0 - 1 Cn1 - 1 Cn2 - 1 … Crn - 1 Cn - 1 … Cn - 1 Cn - 1

1 7 21 35 35 21 7 1 ……

1 6 15 20 15 6 1

1 5 10 10 5 1

1 4 6 4 1

1 3 3 1

1 2 1

1 1

1 2 3 4 5 6 C0 6 C6 C6 C6 C6 C 6 C6

1 2 3 4 5 C0 5 C5 C 5 C 5 C 5 C 5

C C C C C
0 4 1 4 2 4 3 4

C C C C
0 3 1 3 2 3

1 2 C0 2 C2 C2

C C
0 1

1 1

3 3

n 10r + … + Cnn- 1 伊 10n - 1 + Cn n 伊 10 .
4 4

2 1 r n 2 (1 + 10) = 11n = C0 n + Cn 伊 10 + Cn 伊 10 + … + C n 伊

赋值 x = 10,得

10 伊 100 + 5 伊 10 + 1.

因 此 115 = 1 伊 100 000 + 5 伊 10 000 + 10 伊 1 000 + 在杨辉三角中,把第 n 行中的数字错位排列相加,
1

……

其和就是 11n - 1 ( 如图 6) .
1 5

(1)

1 2 r n-1 C0 Cn n Cn Cn … Cn … C n n

【 设计意图 】 导学案中已经为学生准备了两个杨辉 三 角 ,一 个 用数 字 表 示 ,一 个 用 组 合 数 表 示 . 笔 者 要 求学生从数 字表 示 的 杨辉三 角 中 寻找 规律 ,从 组 合 数 表 示 的 杨辉 三 角 中 总结 规律 , 并 加以 证 明 . 这体 现 了 过 小组 合作 的方 式 , 既 能降 低 探 究的难 度 , 也 能培养 学生的合作意识,提高学生的学习兴趣. 4. 小组展示,分享所得 杨辉三角的性质.
+

图5

(2)

6

10

15

10 5 1 +

20

15 6 1

“观察—归纳—猜想—证明”的数学研究理念,并且通

161051 115 = 161 051 (1)

端的 1 之外都是偶数.

) 行 的各 个 数 字 均 为 奇 数,第 2k + 1 行 除 两 是 自然 数 (4)第 p + 1 ( p 为素 数 ) 行 除 去 两 端 的数 字 1 以

k (3)第 1,2,4,8,16,…,行,这些行即 2k (

图6

1771561 116 = 1 771 561 (2)

辉三角中的数.

角度 1: (1)杨辉三角中每一行数的平方和都是杨

n 2 2 2 (C0 (C1 (Cn n) + n) + … + n) = C2n .

r 圳n 是素数. 意 r沂 {1,2,…,n - 1 } ,都有 n Cn

外 的 所有数 都能 被 p 整除 ,其 逆 命 题 也成 立 , 即 对 任

思路 : 既 然杨辉 三 角 每 一 行 的和 存 在 规 律 , 那 么 证明:二项展开式,

的第 n 个数, 等式证明) .

角 度 2: 每 一 斜 行 前 n 个 数 加 起 来 都是 下 面 一 行

每一行的平方和是不是也有规律呢?

Crr + Crr + 1 + Crr + 2 + … + Cnr - 1 = Crn+ 1 (n > r) (用 杨 辉 恒

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圆园15 年第 4 期

TEBIEBAODAO 思 路 1: 这 是从 求 和的 角 度 来研究的, 既 然 横 的 (2)除了 1 之外,所有正整数都出现有限次. 只有 2 出现刚好一次. 6,20, 70 等出 现三 次 . 出

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一 行相加 存 在 规律 , 那 么斜 的一 行相 加 是 不 是也 可 以 得到一些结论呢? 证明:C + C
r r r r+1

=C =C

=C

=C

r+1 r+2 r+1 n

r+1 r+2

r+1 r+1

思路 2:将杨辉三角的斜行加起来呢? 相加呢?

.

+C

+C

+C

r r+1

+C

r r+2

r n-1

+…+C

+C

r r+2

r r+2

+…+C
r n-1

+…+C

r n-1 r n-1

数. 120,210,1 540 等刚好出现六次.

现 两 次和 四 次的数 很 多 . 还 未 能 找 到 刚 好 出 现 五 次的 【 设计意图 】 每个小组发言,结合杨辉三角性质的

特 点, 进行 组 合 数的 总结 . 在 总结 过程中,从 特 殊 情

形 出发 ,推 导 出 杨辉三 角 性质的一 般表 示 ,体 现 从 特 猜 想结 论 是 否 正 确 . 同 时 为了 突破利用 科 学 探 究 的思 殊 到一 般 的思 想 . 通 过学生 归 纳猜 想 ,引导学生 验 证

思路 3:将 杨辉 三 角摆 成 直 角三 角 形 , 45毅角 斜 行

想 指 导学生 研 究 未知 数 阵 这一难点,引导学生从模型 化 的 角 度出发 , 多角 度 地 分 析问题、 探 究 问题、解决 识 内 在 联系 的 理 解, 又 从 深 度和 广 度 上 让 学生 感 受 到 5. 教师补充,再得新知

144,… ( 斐波那契数列) .

得到数列 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, 问题, 将 学生思 维推 向高 潮 . 这 既 加 深 学生 对 前 后 知 了数学知识的串联和呼应.

(1)它是由一对兔子的繁衍问题而产生的. (2)它的每一项都是前两项之和. (3)这 样 一 个 完 全 是 自 然 数的数 列 , 通 项 公 式 却

来表达.

用含无理数的式子 an = 姨 5 5

蓘 蓸 姨 52 + 1 蔀 - 蓸 姨25 蔀 蓡
n n

以得到一个有趣的三角形,即歇尔宾斯基三角.

(1)将 杨辉 三 角 中的 奇 数 用 线段 连 接 起 来, 就 可

值越来越接近黄金分割 0.618.

(4)当 n 趋 向 于 无 穷 大 时 , 后 一 项 与 前 一 项 的 比 (5)斐 波 那 契 数 列 中的 斐 波 那 契 数会 经 常 出 现在

) —谢尔宾斯基地毯 ( ) —谢尔宾斯基 ( 三棱锥 正方形 海绵 ( 正方体 ) —分形数学. (3)介绍分形之美. (4)通 过 斜 行相 加 , 得到 斐 波 那 契 数 列 ,展示 斐 【 设计意图 】 对杨辉三角中部分学生没有发现的性

(2)对 歇 尔 宾 斯 基 三 角 进行 拓 展: 谢 尔 宾 斯 基 塔

我 们 的 眼 前 . 例 如 , 松 果 、 凤梨 、 树 叶 的 排 列 、 某 些 花朵的花瓣数 ( 如向日葵花瓣 ) 、蜂巢、蜻蜓翅膀等. 是等差数列,第三行开始每一行都是高阶等差数列.

波那契数列的优美视频.

杨辉 三 角 中 斜的第一 行是 一 个 常 数数 列 ,第 二 行

质, 教 师做 简 单 补充 , 既 让 学生 了 解到 杨辉 三 角 中 更

多 的 秘 密 , 又 让 学生学 会 从 不 同 的 角 度 看待 问题 . 同 角度 3: (1)将杨辉三角中的奇数用线段连接起来, 时 ,图 片及 视 频 形式 的 资料 直观 地 展 现 数学 之 美 , 增 就构成了一个歇尔宾斯基三角. 加学生对数学的热爱之情. [2n - 1· (2)2n 阶杨辉三角中,共有 3n 个奇数,共有
n n

(1 + 2 )- 3 ] 个偶数 ( n沂N+) . C +C
r n r+1 n

6援 探究小结,盘点新知 本节课的收获如下.

角度 4: (1)梯形中 5 个数相加就是下面隔行的数: +C
r n+1

思路 : 根据 杨辉 恒 等式 , 杨辉 三 角 每 一 个 数 都是

+C

r+1 n+1

+C

r+2 n+1

=C

r+2 n+3

.

性质 .

(1)杨辉 三 角 的 秘 密 , 同 时 也 是 二 项 式 系 数 的

上 面 两个 数 之 和, 那 么 是不 是 可 以进 一 步将这两 个 数 向上推导? 证明:根据杨辉恒等式, C
r+2 n+3

数阵的研究方法.

(2)通 过对 杨辉 三 角 的研究,学 生 得到对 于 一 般 【 设计意图 】 本环节通过教师的引导,让学生总结

=(C
r n

=C

r+1 n+2

=C +C

r n+1

+C

1 1 r+2 + Crn + +(Crn + + 1) + 1 + C n + 1) r+1 n

r+2 n+2

+C

r n+1

+C

r+1 n+1

+C

r+2 n+1

.

密;其次,是方法上的收获,通过对杨辉三角的研究, 得 到 了对 一 般 数 阵 的 研 究 思 路 ,从观察 横 行 、 斜 行 、
圆园15 年第 4 期

两层 境界 . 首 先 ,是 知 识 上的 收 获 , 即 杨辉 三 角 的 秘

本 节 课 的 收 获 , 并 由 教 师 进行 必 要 补充 . 将 收 获 分为

51

TEBIEBAODAO 竖行、折线,局部,整体等角度进行研究. 作业: (1)查 找 资 料 , 并 阅读 华 罗庚 的 《从 杨辉 三 角 说 这 节课 当 中,笔 者 采 用 的 是 教师 引 导 下 的学 生 自 这 节 课中 笔 者 并 不是 马 上 让学 生 去 探 究, 而 是 通 过 温 故 知新进行 铺垫 ,并 在研究之 前 给 学 生 一 个 宏 观 的 导 向, 即用 数 字 表示的 杨辉 三角 来 寻 找 规 律 , 用 组 合 数 策略性 的 指导 ,也体 现 了我 们 数学研究 问题 时 从 特 殊 样 的 步骤 进行 探 究, 既 蕴含了 合 情 推 理 , 又 蕴含 了 演 绎推理. 3. 合理布局,解决矛盾 到 一 般 的研究 方法 . 采 取 观 察 、 归纳 、 猜 想 、 证 明 这 表示的 杨辉 三 角 总结 并论 证 规 律 . 给 学 生 一 个 宏 观 的 主 探 究与 合 作 交流相 结 合 的 探 究 方式 , 即 教中学 . 在

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起 》 ,看看杨辉三角中还有哪些我们没发现的秘密. 三角,你能从这个数阵中发现哪些秘密呢? 思考与感悟

(2)用 我 们今天 所 学的 探 究 方法 ,研究 莱 布 尼茨

本节 课 是 知识 拓 展 类 选 修 课 程“ 数学 欣 赏 ” 中的 一课, 是对 教材 中 阅读 与思考 、 探究与 发 现 这两 个 栏 目中的阅读材料的二次挖掘. 探究与 发 现是为 了 改 变 以 学 生单 纯 地 接 受 教师 传

授 知识 为 主的学 习 方式 ,实 行以 学生 的自主 探 究、 合

作 为一 节 探 究课, 最 大的 问题 是 学 生 探 究 时间 与 作 交流为 主的研究活动, 意 在 培养 学 生 的 创新 精 神 、 课 堂 时间 的 矛盾 . 在课 堂 上, 若 给 学 生 足 够 多 的 探 究 实践 能力 . 作 为 一 节 探 究课,教师教 什么?怎么 教 ? 时间 ,学 生 可 以 讨论 整整 一节 课 ; 若 限 制 学 生 的 探 究 它 能让 学 生 在知识 、 思 维、 能力 上有 什么 收获 ? 这些 时间 ,由 于 杨辉 三角 的 内 容相对 庞 大, 根 本 探 究 不出 问题 值 得 我 们 思考 . 接 下 来, 笔 者 就 从以 下 几 个 方 面 什么 内 容 , 又 失 去 了探 究的 意义 . 因 此 , 探 究课各 环 来谈一谈对本节课的思考与感悟. 节 的 时间 安排就 显 得 尤 为 重 要 . 本 节 课 当 中, 笔 者 采 1. 深入课题,明确定位 取 了 课前 自主 探 究、课 内合作 交流 与 小 组展示 相 结 合 本节课的课题是“杨辉三角中的一 些 秘密 ” . 事实 的 探 究模 式 , 将 自主 探 究 放在课 外 , 让 学 生 在课 前 对 上,有 许 多 知名 的数学家都 研究 过杨辉 三 角 , 华 罗庚 相 关 内容 进行 资 料的 查 找 与自主 探 究, 并 在课 堂 上 以 先生更是出版过一本 《 从杨辉三角谈起 》 ,他们发现了 小 组 为单 位 进行 探究 成 果 的整 合 与展示, 既 保证 了探 许 多杨辉 三 角的 秘 密 , 而教 材 呈 现给 我 们 的 却 只 是 杨 究的时间与效果,又保证了课堂的时间. 辉三角秘密当中的冰山一角. 结束语 因此 ,在教学 内 容 的 选 取 上, 笔 者 将 本 节 课 立 足 钱 学 森 先生 有一 个 世 纪 之 问 , 那 就 是 为 什 么 我 于 对数 阵 的 探究, 以 杨辉三 角 为载体 , 结 合 最 近 发 展 们 的学 校 总 是 培养 不出 杰 出 人 才 ? 华 人 数学家 丘 成 区 理论 , 从 二项 式 系 数 出发 , 从 组合 数的 角 度 去 探 究 桐 先生 也 指出 ,大 多 数学 生 对 数学 根 本 没 有 清晰 的 杨辉三 角 , 同时 利 用 数 阵与数 列 概念 的 相 似 性 , 从 通 概念 , 只 是 做 题 的 机器 , 这 样 的教育 体 系 , 难 以 培 项 、递 推 、 求和 等 角 度 辅助 杨辉 三角 的 探 究, 最 终 去 养 出 数学 人 才 . 可 以 说 ,课 堂 教 学 模 式 的 变 革 迫 在 发现杨辉三角的秘密,并归纳出一般数阵的研究方法, 眉睫 . 让 我 们以深 化 课 改为 契机 , 从 知识 拓 展 类 选 使本节课的探究得到升华. 修 课的课 堂 开 始 , 让 学 生 真正 成为 课 堂 的主 人 , 而 2. 契合主题,合作探究 自新 课 改以来,自主、 合 作 、 交流 这 三个 词 就 是 不是课堂的观光客. 参考文献: 课 标倡 导 的一种 比 较 重 要的学 习 方式 , 这 节 课 既 然 选 自“探究与发现” ,在课堂模式上选择的自然是探究式 教学 . 那 么 , 什么 是 探 究,学 生 该 如 何 探 究, 又该 如 何 避免 表 面 上热热 闹闹 的假 探 究 呢? 课 标 中有 明 确 解 释 ,数学 探 究是 指 学 生 围绕 某 个 数学 问题 ,自主 探 究 及学习的过程. 探究包含了探究的内容、探究的形式、 探究的分工. [1] 中 华人 民 共 和 国教育 部 制 订 . 普 通 高中数学 社,2003.

课 程标 准 ( 实验) [M] . 北京 : 人 民教育 出版

· 数学 [2] 刘绍学. 普通高中课程标准实验教科 书 社,2010援

( 选修 2-3 ) A 版) [M] . 北京 : 人 民教育 出版

52

圆园15 年第 4 期


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【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高二数学:揭开杨辉三角的秘密”_数学_高中教育_教育专区。【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学...
...高中数学青年教师展评课:杨辉三角中的一些秘密课件(....ppt
2014年全国高中数学青年教师展评课:杨辉三角中的一些秘密课件(浙江宁波正始中学
杨辉三角探究_图文.ppt
研究性课题: 杨辉三角 (数学第三册 第71页) 杨辉简介 杨辉 ( 约公元13世纪...轩辕拓动作轻柔,轻轻の压着手中の壹小盘谷子,从里面挤出壹些米汁来.他来到...
小学数学六年级上册《数学广角--数与形》教学设计.doc
发 现了我们原来不知道的一些秘密,通过这节课的学习,我们能深刻体会到:数与 ...例如我国南宋末年数学家、数学教育家杨辉就 研究出了著名的杨辉三角。 四、...
《杨辉三角》教学设计6.doc
杨辉三角教学设计6_高三数学_数学_高中教育_教育专区。研究性课题研究性学习课题: 《杨辉三角教学设计陕西省丹凤中学 李德葆教材分析: (1)教材内容:现行北...
探索杨辉三角的秘密.doc
探索杨辉三角的秘密 - 《探索杨辉三角的秘密》教学设计... 《探索杨辉三角的秘密》教学设计 探索杨辉三角的秘密...杨辉三角中的一些秘密(浙... 24页 2下载券 喜...
杨辉三角形中的秘密_图文.doc
杨辉三角中的秘密 - 一:杨辉三角形 二:整数 1 所在的位置 三:连续的正整
“杨辉三角”的探究性教学设计与实践_论文.pdf
“杨辉三角”的探究性教学设计与实践_教育学_高等教育_教育专区。 《教学频道 ...3 1 师 :通过今天 的探究 ,归纳一下我们发现 的杨辉 三角 中的一些 秘密....
1.3.3杨辉三角的秘密_图文.ppt
高中数学经典教案1.3.2 ... 暂无评价 5页 2.58 《1.3.2 “杨辉...“杨辉三角中的一些秘密... 暂无评价 5页 1下载券 “杨辉三角”中的一些秘...
《“杨辉三角”与二项式系数的性质》教学设计说明.doc
在探究各二项式系数的和的教学中,设计探究性的问题 串,运用特殊到一般的归纳...改进之处: 一是可考虑通过网上链接搜集一些杨辉三角包含的规律, 比较学生展示的...
杨辉三角说课稿.doc
今天,我们在前人研究的基础上,来探究杨辉三角中蕴含的一些有趣的数量关系。 [...[设计意图]以上四条数量关系是二项式系数的基本性质,也是本节课教学的重点,是...
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