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2009-2010学年第二学期期末教学质量监测高一数学答案

2009-2010 学年第二学期期末质量监测 高一数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A B D C A C

7 B

8 D

9 D

10 A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.
330
?

.

12. ?

3 4

.

13. ? 3 .

14.

3 2

.

三、 解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) 解: (必修 4 第 2.4 节例 1、例 2、例 3 的变式题) (1) a ? b ? a b c o s 6 0 ? ? 1 ? 2 ?
(a ? b ) ? (a ? b ) ? a
2

1 2

?1

-------------------3 分 ------------┄┄┄┄┄6 分
2

?b

2

? 1 ? 4 ? ?3
2

(2) a ? b ?
?

(a ? b )

2

?

a ? 2a ? b ? b

---------------------9 分 ------┄-----┄┄┄┄12 分

1? 2 ? 4 ?

3

16.(本小题满分 12 分) 解: (必修 4 第 1.4 节例 2、例 5 的变式题)
f (x) ? 1 ? cos 2 x 2 1 2 1 2 ? 3 2 3 2

s in 2 x

-----------------------------------2 分

?

?

cos 2 x ?

s in 2 x

? ?

1 2 1 2

? s in

?
6

cos 2 x ? cos

?
6

s in 2 x ------------------------------4 分

? s in ( 2 x ?

?
6

) -------------------------------------------6 分 2? 2 ? ? .---------------------------8 分

(1)

f ( x ) 的最小正周期为 T ?

另解:用周期的定义,得 f ( x ) 的最小正周期为 ? .---------------------8 分 (2)当 2 k ? ?
?
2 ? 2x ?

?
6

? 2k? ?
? ?

?
2

( k ? Z ) 时, f ( x ) 的单调递增,-----10 分

故函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ? k ? ?

?
3

, k? ?

? ?
6 ? ?

?k

? Z ? 。------------------12 分

第 1 页(共 5 页)

17.(本小题满分 14 分) 解: (必修 5 第 2.3 节例 4 的变式题) (1)? a 3 ? 0 , S 4 ? ? 4 ,
a1 ? 2 d ? 0 , ? ? ? ? 4?3 d ? ?4. ? 4 a1 ? ? 2

--------------4 分

解得 a 1 ? ? 4 , d ? 2 .
? a n ? ? 4 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2 n ? 6 .
n ? n ? 1? d 2

--------------6 分 -------------8 分

(2) S n ? n a 1 ?

? ? 4 n ? n ? n ? 1 ? --------------------------------------------10 分

? n ? 5n
2

5 ? 25 ? .------------------------------------------------------------------12 分 ? ?n? ? ? 2? 4 ?
? n ?

2

N* ,

?

当 n ? 2 或 n ? 3 时, S n 取得最小值 ? 6 . --------------------------------------14 分

18.(本小题满分 14 分) 解: (2007 年山东卷文 19 题改编题) 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟, 总收益为 z 元, 由
? x ? y ≤ 3 0 0, ? 题意得 ? 1 0 0 0 x ? 4 0 0 y ≤ 1 8 0 0 0 0 , --------4 分 ? x ≥ 0, y ≥ 0 . ?

y
500

400

目标函数为 z ? 3 0 0 0 x ? 2 0 0 0 y .---------5 分
? x ? y ≤ 3 0 0, ? 二元一次不等式组等价于 ? 5 x ? 2 y ≤ 9 0 0 , ----6 分 ? x ≥ 0, y ≥ 0 . ?

300 l 200 100 M

作出二元一次不等式组所表示的平面区域, 即可行域(如图) .-----------------------------------8 分 作直线 l : 3 0 0 0 x ? 2 0 0 0 y ? 0 ,即 3 x ? 2 y ? 0 .

0

100

200 300

x

平移直线 l ,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值.-------------10 分 联立 ?
? x ? y ? 3 0 0, ?5 x ? 2 y ? 900.

解得 x ? 1 0 0, y ? 2 0 0 .

第 2 页(共 5 页)

?

点 M 的坐标为 (1 0 0, 0 0 ) .-------------------------------------------------------------------12 分 2

? z m a x ? 3 0 0 0 x ? 2 0 0 0 y ? 7 0 0 0 0 0 (元).---------------------------------------------------13 分

答: 该公司在甲电视台做 100 分钟广告, 在乙电视台做 200 分钟广告, 公司的收益最大, 最大收益是 700000 元.-----------------------------------------------------------------------------14 分 19.(本小题满分 14 分) 解: (新编题) (1)因为 △ A B C 的周长为 3 ? 1 ,所以 A B ? B C ? A C ? 又 s in A ? s in B ?
3 s in C ,由正弦定理得 B C ? A C ? 3 ? 1 .----------1 分

3 A B .--------------3 分

两式相减,得 A B ? 1 .--------------------------------------------------------------------4 分 (2)由于 △ A B C 的面积
1 2 B C ? A C s in C ?
2

3 8

s in C ,得 B C ? A C ?

3 4

,-----6 分

由余弦定理得 c o s C ?

AC

? BC

2

? AB

2

2 AC ? BC
2

--------------------------------------------8 分

?

(AC ? BC ) ? 2 AC ? BC ? AB 2 AC ? BC
2 3 2

2

?

1 3

,---------------------10 分

? ? 又 0 ? C ? 1 8 0 ,所以 s in C ?

1 ? cos C ?
2

.-----------------------------12 分

故 ta n ( A ? B ) ? ? ta n C ? ? 2 2 .------------------------------------14 分

另解:由(1)得 B C ? A C ?
3 2

3 ,又 B C ? A C ?

3 4



所以 A C ? B C ?

------------------------------------------------------------------------6 分

在 △ A B C 中,作 C D ? A B 于 D ,则 C D ?

2 2

,---------------------------------8 分

所以 ta n A ? ta n B ?

2 -------------------------------------------------------------------10 分

故 ta n ( A ?

B) ?

ta n A ? ta n B 1 ? ta n A ta n B

? ?2

2

---------------------------14 分

第 3 页(共 5 页)

20.(本小题满分 14 分) 解: (新编题) (1)∵ S 1 ? 1 ,
S n ?1 Sn ? n ? c n

,∴ a n ? 1 ? S n ? 1 ? S n ?
c 2 c 2

c n

S n ,-------------------------2 分

∴ a 1 ? S 1 ? 1, a 2 ? c S 1 ? c , a 3 ?

S2 ?

(1 ? c ) .

∵ a 1 , a 2 , a 3 成等差数列,∴ 2 a 2 ? a 1 ? a 3 , 即 2c ? 1 ?
c (1 ? c ) 2

,∴ c ? 3 c ? 2 ? 0 .---------------------------------------------------5 分
2

解得 c ? 2 ,或 c ? 1 (舍去) .-----------------------------------------------------------------6 分 (2)∵ S 1 ? 1 ,
S n ?1 Sn Sn S n ?1 ? n ? 2 n 3 1 4 2 n ?1 n ?1 n ( n ? 1) 2



∴ S n ? S1 ?

S2 S1

?? ?

? 1?

?

?? ?

?

( n ? 2 ) ,-------------------8 分

∴ a n ? S n ? S n ?1 ?

n ( n ? 1) 2

?

n ( n ? 1) 2

? n ( n ? 2 ) ,------------------------------------------9 分

? 又 a 1 ? 1 ,∴数列 ? a n ? 的通项公式是 a n ? n ( n ? N ) .-----------------------------------10 分

n ?1 (3)证明:∵数列 ? b n ? 是首项为1,公比为 c 的等比数列,∴ b n ? c .---------11 分

∵ A 2 n ? a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a 2 n b 2 n , B 2 n ? a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a 2 n b 2 n , ∴ A 2 n ? B 2 n ? 2 ( a 1 b1 ? a 3 b 3 ? ? ? a 2 n ? 1 b 2 n ? 1 ) ,
A2 n ? B 2 n ? 2 ( a 2 b2 ? a 4 b 4? ? ? a b ) ,

① ② ③

n 2

n 2

①式两边乘以 c 得 由②③得

c ( A 2 n ? B 2 n ) ? 2 ( a 1b 2 ? a 3 b 4 ? ? ? a 2 n ?1b 2 n )

(1 ? c ) A 2 n ? (1 ? c ) B 2 n ? A 2 n ? B 2 n ? c ( A 2 n ? B 2 n ) ? 2 ? ? a 2 ? a1 ? b 2 ? ? a 4 ? a 3 ? b 4 ? ? ? ? a 2 n ? a 2 n ?1 ? b 2 n ? ? ? ? 2 ?c ? c ? ? ? c ?
3 2 n ?1

? ?

?

2 c (1 ? c 1? c
2

2n

)

将 c ? 2 代入上式,得 A 2 n ? 3 B 2 n ?

4 3

(1 ? 4 ) .-----------------------------------------14 分
n

另证: 先用错位相减法求 A n , B n ,再验证 A 2 n ? 3 B 2 n ?

4 3

(1 ? 4 ) .
n

第 4 页(共 5 页)

n ?1 ∵数列 ? b n ? 是首项为1,公比为 c ? 2 的等比数列,∴ b n ? 2 . --------------11 分

? 又 a n ? n ( n ? N ) ,所以

A2 n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 n ? 2
0 1

2 n ?1

① ② ③
2n

B2n ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2n ? 2
0 1 1 2 2n 将①乘以 2 得: 2 A 2 n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 n ? 2

2 n ?1

①-③得: ? A 2 n ? 2 ? 2 ? ? ? 2
0 1
n 整理得: A 2 n ? 4 ( 2 n ? 1) ? 1

2 n ?1

? 2n ? 2

2n

?

1(1 ? 2

)

1? 2

? 2n ? 2

2n

,

-------------------------12 分
1 2 2n

将②乘以 ? 2 得: ②-④整理得:

?2 B2n ? ?1? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2n ? 2



3B2n ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
0 1 2

2 n ?1

? 2n ? 2

2n

?

1(1 ? 2

2n

)

1 ? (?2)

? 2n ? 2

2n

?

1? 4 3

n

? 2n ? 4

n

-----------------------------------------13 分 ∴
A2 n ? 3 B 2 n ? 4 3 (1 ? 4 )
n

-----------------------------------------14 分

第 5 页(共 5 页)


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