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高考数学复习专题第3讲-函数及其定义域值域(2)


2012年5月3日星期四 年 月 日星期四
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考纲解读 1.能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一 能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一 些关系,求出它的解析式; 些关系,求出它的解析式; 2.掌握求函数值域的几种常用方法; 掌握求函数值域的几种常用方法; 掌握求函数值域的几种常用方法
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3.掌握求函数值域的基本方法(直接法、换元法、 掌握求函数值域的基本方法(直接法、换元法、 掌握求函数值域的基本方法 判别式法);掌握二次函数值域(最值) );掌握二次函数值域 判别式法);掌握二次函数值域(最值)或二次函数 在某一给定区间上的值域(最值)的求法. 在某一给定区间上的值域(最值)的求法.

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考点透视 1.求函数解析式的题型有: .求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法; )已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法;

( 2 ) 已 知 f ( x ) 求 f [ g ( x )] 或 已 知 f [ g ( x )] 求
f ( x ) :换元法、配凑法; 换元法、配凑法;
(3)已知函数图像,求函数解析式; )已知函数图像,求函数解析式; 满足某个等式, (4)f(x)满足某个等式,这个等式除 ) 满足某个等式 这个等式除f(x)外还有其他 外还有其他 未知量,需构造另个等式:解方程组法; 未知量,需构造另个等式:解方程组法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等. )应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等.

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求函数解析式 1 1 3 7( 例 1 (1)已知 f ( x + ) = x + 3 ,求 f ( x) ; x x 分析: 分析: 1 1 1 1 3 3 2 1 2 1 x + 3 = ( x + 3x + 3 x 2 + 3 ) ? (3x + 3x 2 ) x x x x x x 1 3 1 = ( x + ) ? 3( x + ) x x 1 1 13 1 3 解: 1)∵ f ( x + ) = x + 3 = (x + ) ? 3(x + ) , ( x x x x

∴ f ( x ) = x 3 ? 3 x ( x ≥ 2 或 x ≤ ?2 ) .

求函数解析式
2 例 ( 例17(2)已知 f ( + 1) = lg x ,求 f ( x) ; x

2 2 解 : 2 ) 令 +1 = t ( t > 1 ) 则 x = ( , , x t ?1 2 ∴ f (t ) = lg , t ?1 2 ( x > 1) . ∴ f ( x) = lg x ?1

求函数解析式 是一次函数, 例 ( )已知f(x)是一次函数,且满足 是一次函数 例1 7(3)已知 求 3 f ( x + 1) ? 2 f ( x ? 1) = 2 x + 17 ,求f(x).

解: 3)设 f ( x) = ax + b(a ≠ 0) , ( 则 3 f ( x +1) ? 2 f ( x ?1) = 3ax + 3a + 3b ? 2ax + 2a ? 2b
= ax + b + 5a = 2 x + 17 ,

∴a = 2,b = 7 , ∴ f ( x) = 2 x + 7 .

求函数解析式

1 求 例7( )已知f(x) 满足 2 f ( x ) + f ( ) = 3 x ,求f(x). 例1 (4)已知 x 1 解: 4) 2 f ( x ) + f ( ) = 3 x ( ①, x 1 把①中的 x 换成 ,得 x 1 3 2 f ( ) + f ( x) = ②, x x 3 ① ×2 ? ②得 3 f ( x ) = 6 x ? , x 1 ∴ f ( x) = 2 x ? . x

考点透视 2.求函数值域的各种方法 求函数值域的各种方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定 其类型依解析式的特点分可分三类: 的.其类型依解析式的特点分可分三类: (1)求常见函数值域; 求常见函数值域; 求常见函数值域 (2)求由常见函数复合而成的函数的值域; 求由常见函数复合而成的函数的值域; 求由常见函数复合而成的函数的值域 (3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值 求由常见函数作某些“ 求由常见函数作某些 运算” 域.
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考点透视 2.求函数值域的各种方法 求函数值域的各种方法 直接法: ①直接法:利用常见函数的值域来求
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一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域为 ,值域为 ; 的定义域为R,值域为R; 一次函数 的定义域为 k 反 比 例 函 数 y = (k ≠ 0) 的 定 义 域 为 x {x|x ≠ 0},值域为 ,值域为{y|y ≠ 0}; ;

二次函数 f ( x) = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) 的定义域为 R, ,
(4ac ? b 2 ) }; 值域为{ 当 a>0 时,值域为 y | y ≥ ; 4a 2 值域为{ 当 a<0 时,值域为 y | y ≤ (4ac ? b ) }. 4a
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考点透视 2.求函数值域的各种方法 求函数值域的各种方法 配方法:转化为二次函数, ②配方法:转化为二次函数,利用二次函数 的特征来求值; 的特征来求值; 分式转化法(或改为“分离常数法” ③分式转化法(或改为“分离常数法”) 换元法: ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的 函数,化归思想; 函数,化归思想; 三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数, ⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数, 运用三角函数有界性来求值域; 运用三角函数有界性来求值域;
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k 基本不等式法:转化成型如: ⑥基本不等式法:转化成型如: y = x + ( k > 0) , x
利用平均值不等式公式来求值域; 利用平均值不等式公式来求值域;
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考点透视 2.求函数值域的各种方法 求函数值域的各种方法 单调性法:函数为单调函数, ⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的 单调性求值域. 单调性求值域 数形结合:根据函数的几何图形, ⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型 结合的方法来求值域. 结合的方法来求值域
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⑨逆求法(反求法):通过反解,用y来表示 逆求法(反求法):通过反解, y来表示 ):通过反解 x,再由 的取值范围,通过解不等式,得出 的取值范围, ,再由x的取值范围 通过解不等式,得出y 的取值范围; 的取值范围; 常用来解,型如: 常用来解,型如:

ax + b y= , x ∈ ( m, n ) cx + d
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求值域的题型示例 例2 求下列函数的值域

① y=3x+2(-1 ≤ x ≤ 1) ② f ( x) = 2 + 4 ? x

x ③y= x +1

1 ④y = x+ x

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王新敞
奎屯

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求值域的题型示例 例2 求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1 ≤ x ≤ 1)

①∵-1 解:①∵ ≤ x ≤ 1, , ∴-3 ≤ 3x ≤ 3, , ∴-1 ≤ 3x+2 ≤ 5,即-1 ≤ y ≤ 5, , , ∴值域是[-1,5] 值域是 ,
可以直接根据增函数求值域

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求值域的题型示例 例2 求下列函数的值域 ② f ( x) = 2 + 4 ? x
解:②∵ 4 ? x ∈ [0,+∞) ∴ f ( x) ∈ [2,+∞)
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即函数 f ( x) = 2 + 4 ? x 的值域是 { y| y ≥ 2}

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可以直接根据减函数求值域

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求值域的题型示例 例2 求下列函数的值域 x ③y= x +1 1 x x +1?1 = = 1? 解 :③ y = x +1 x +1 x +1 1 ≠0 ∵ ∴ y ≠1 x +1

y
3 2 1

f(x ) =

x x+1

-4

-3

-2

-1

o
-1

1

2

3

x

即函数的值域是 { y| y∈R 且 y≠1} ∈ ≠ (此法亦称分离常数法) 此法亦称分离常数法) 分离常数法
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求值域的题型示例 例2 求下列函数的值域
1 ④y = x+ x 1 1 1 2 解: 当 x>0, y = x + = (2 xx? = 2(当x = 1时取“=” ④ , ∴ ≥ ? ) + 2 ≥ 2, ) x xx
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1 2 1 当 x<0 时, y = ?(?x + )=- ( ?x ? ) ?2 ≤ ?2 - ?x ?x
∴值域是 (?∞,?2] U [2,+ ∞ ). , 配方法) 此法也称为配方法 (此法也称为配方法)
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y

2

f(x) = x+

1 x

-1 o 1 -2

x

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求值域的题型示例 例3 求函数y=|x+1|+|x-2|的值域 的值域. 求函数 的值域

y
3 -1

解:将函数化为分段函数形式: 将函数化为分段函数形式:

o

2

x

??( x + 1) ? ( x ? 2) = ?2 x + 1 ( x < ?1) ? y = ?( x + 1) ? ( x ? 2) = 3 (?1 ≤ x < 2) ?( x + 1) + ( x ? 2) = 2 x ? 1 ( x ≥ 2) ?
画出它的图象,由图象可知,函数的值域是 画出它的图象,由图象可知, {y|y≥3}. -1 2
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求值域的题型示例

2x ? x + 2 的值域. 例4 求函数 y = 2 的值域 x + x +1
2

解:用判别式法
2 x2 ? x + 2 由y= 2 得:( y ? 2) x 2 + ( y + 1) x + y ? 2 = 0 x + x +1



必是关于x有解的方程,y的对应的范围是值域; 的对应的范围是值域; 必是关于 有解的方程, 的对应的范围是值域 有解的方程 有解; 有解 ①当 y ? 2 = 0 即 y = 2 时,①即 3 x + 0 = 0 , ∴x=0有解; = ( y + 1) 2 ? 4 × ( y ? 2) 2 ≥ 0 ② 当 y ? 2 ≠ 0 即 y ≠ 2 时, 化简得 y 2 ? 6 y + 5 ≤ 0
解得 1 ≤ y ≤ 5 且 y ≠ 2 ,

综上,原函数的值域为 综上,原函数的值域为[1,5]. .
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求值域的题型示例 的值域. y = x + 4 1 ? x 的值域 换元法(代数换元法): ):设 解:换元法(代数换元法):设 t = 1 ? x ≥ 0 例5 求函数 则

x = 1? t
2

2

y
5 4

∴原函数可化为

y = 1 ? t + 4t = ?(t ? 2) + 5(t ≥ 0)
2

3 2 1

∴y≤5
∴原函数值域为

( ?∞,5]

-1

o
-1 -2

1

2

f(x ) = (1-x 2 )+4?x

3

4

5

x

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y求值域的题型示例

例6 1 求函数

的值域. y = x + 1 ?5x 的值域 π
2

解:换元法(三角换元法 ): 换元法( 4 x ≥ 由 1 ?O2 π 0 ? ?1 ≤ x ≤ 1 x 2 4 可设 x = cos α , α ∈ [0, π ] 2 π 则 y = cos α + sin α = 2 sin(α + ) π π 5π π4 2 α ∈ [0, π ] ? α + ∈ [ , ] ? sin(α + ) ∈ [? ,1] 4 2 4 4 4 ∴原函数的值域为 [ ?1, 2]
? 2 sin(α + ) ∈ [?1, 2] 4

π

x = sin α , α ∈ [?

π π

, ] 2 2

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求值域的题型示例
1 ? sin x 的值域. 例7 求函数 y = 的值域 2 ? cos x

解:(方程法) 方程法) 原函数可化为 sin x ? 变形为 1 + y (
2

1

y cos x = 1 ? 2 y
y
y 1+ y2

令 cos ? = 得

1 1+ y

1+ y2
2

sin x ?

1+ y2

cos x) = 1 ? 2 y

,sin ? =

1 + y 2 sin( x ? ? ) = 1 ? 2 y
1? 2 y ∈ [?1,1] ?|1 ? 2 y |≤ 1 + y 2

1+ y2 4 4 2 ? 3 y ? 4 y ≤ 0 ? 0 ≤ y ≤ ∴原函数值域为 [0, ] 3 3
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? sin( x ? ? ) =

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求值域的题型示例
1 ? sin x 的值域. 例7 求函数 y = 的值域 2 ? cos x

解:(几何法) 几何法)

1 ? sin x sin x ? 1 = 原函数可化为 y = 2 ? cos x cos x ? 2
令 A(2,1), P (cos x,sin x ) 则

y = k AP

y B 1 P O C

A(2,1)

? k AB ≤ k AP ≤ k AC
4 ?0≤ y≤ 3 4 ∴原函数值域为 [0, ]

x

3

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规律方法

求函数最大、最小值问题历来是高考热点, 求函数最大、最小值问题历来是高考热点,这 类问题的出现率很高,应用很广.因此我们应注意总 类问题的出现率很高,应用很广 因此我们应注意总 结最大、最小值问题的解题方法与技巧, 结最大、最小值问题的解题方法与技巧,以提高高 考应变能力. 考应变能力 因为函数的最大、最小值求出来了,值域也就 因为函数的最大、最小值求出来了, 知道了.反之 若求出的函数的值域为非开区间, 反之, 知道了 反之,若求出的函数的值域为非开区间,函 数的最大或最小值也等于求出来了. 数的最大或最小值也等于求出来了

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知识是宝库,而实践是开启宝库的钥匙. 知识是宝库,而实践是开启宝库的钥匙.
世间无所谓天才,它仅是刻苦加勤奋. 世间无所谓天才,它仅是刻苦加勤奋.

本讲到此结束, 本讲到此结束,请同学们课 后再认真完成练习。 后再认真完成练习。 谢谢! 谢谢!

再见!
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