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拉格朗日Lagrange中值定理的推广


第17卷第2期
2 0 0

河南教育学院学报(自然科学版)
Joumal of Henan lnstitute of

V01.17 No.2 Jun.2008

8年6月

Education(Natural Science)

拉格朗日(Lagrange)中值定理的推广
张玉莲1,杨要杰2
(1.河南教育学院教学系,河南郑州450014;2.河南教育学院中文系,河南郑州450014)

摘要:根据拉格朗日中值定理,运用分析的基本方法,推广了拉格朗日中值定理的三个条件,得到并证明了相
应的结论.

关键词:拉格朗日中值定理;定理推广;罗尔定理;三个条件
中图分类号:0172.1 文献标识码:A 文章编号:1007一0834(2008)02一0011—02

O引言

,(6)一以d)=,’(已)(6一d),岛E(d,6). 令I厂’(f)I-max{I,’(f。)I,I,’(£)l},使得 I。八6)一,(口)I≤I,’(f)I(6一口).
定理2

微分中值定理是微分学的基本定理之一,是应用数学研
究函数在区间整体性态的有力工具.拉格朗日中值定理作为

微分中值定理的核心。它有许多推广,这些推广都有一个基 本特点。就是把定理条件中可微性概念拓宽,然后推广微分
中值表达公式.


设函数,在闭区间[口,6]上连续,若函数,在(a,

6)内除了n个点外可微,则存在n+1个点口(£(£…<f...
^+l

<6及n+1个正数a。,a2,…,a。。使得∑a。=l且八6)一以。)
lzl ^+I

主要内窖

拉格朗日中值定理若函数,在闭区间[口,6]上连续且
在开区间(口,6)内可微,则存在孝∈(口,6),使锝

=∑%/’(£)?(6一口).¨1
-ll

证明不妨设,仅在dE(口,6)不可微,分别在区间[口, d]与[d,6]上应用拉格朗日中值定理.得到 八d)一以a)=厂’(f。)(d—o),f,E(口,d), 以6)一以d)=,7(f:)(6一d),f:E(d,6),
取al,a2。使口l(6一口)=d一4,n2(6一口)=6一d,

耻P盟:,,(f).…
拉格朗日中值定理公式也称为微分学中值公式,有时写 成如下形式:

必茹)=又z。)+,’(f)(石一&), 其中石o,互∈[o,6],f介于量。与茹之间,依赖于茗。与*的选取。 有时公式也写成,(*)=,(‰+△并)=八z。)+,’(茹。+口△石)△名, 其中p是大于。而小于1的数,依赖于‰与并的选取. 拉格朗日中值定理是罗尔(Rolle)定理的推广。因而在证 明时,自然要求满足条件的函数,转化成满足罗尔定理条件
的函数妒,即有函数,构造辅助函数妒.本文将拉格朗日中值

则口l+a2=1,口l>O,az>0且

.“6)一,(口)=[a,,’(f.)+a:,’(f:)](6一口).
这个证明方法显然可以推广到,在n个点(n>1)上不 可微的情形.

定理3若函数,在闭区间[口,6]上连续,在开区间(o, 6)内存在左,右导数,:,:。则存在z。E(口,6)及p≥0,g≥O,
P+g=l,使得‘‘1

定理中的可微条件适当放宽,使其具有更广泛的意义. 定理l设函数,在闭区间[口,6]上连续,若函数在(口, 6)内除了有限个点外可微,则存在fE(口,6),使得I八6)一 “口)I≤L厂’(f)I(6一D).【2】 证明不妨设,仅在dE(口,6)不可微,分别在区间[o,d] 与[d,6]上应用拉格朗日中值定理,则得到 .“d)一八口)=/’(f。)(d—o),f.∈(d,d),

[p,:(z.)+q,:(z。)](6一口)=以6)一.“o). 证明(1)先证若,在[4,6]上连续,在开区间(D,6)内 存在左、右导数,:和,:,且贝6)=灭口),则了茗。E(d,6),使 得,:(‰),:(髫。)≤0. 事实上,由厂在[口,6]上连续,得了肼,m,使得 m气厂(z)≤肘. 又八6)=,(口),故,必在区间(口,6)内取得至少一个最

收藕日期:2007一ll一28

作者简介:张玉莲(198l一),女。河南信阳人,河南教育学院数学系教师

 

值,不妨设最值点为‰,,(‰)=肘,

证明作辅助函数
)一z
X一

H矿

li。墨!!二丛
x—zO

≤O

或 二=一 m珂

只一 茁一

J— ≥ O

一一一

只一‰

l八口) ,(x)=l以6)
J/(鼻)

g(D) g(6) 占(石)

lll(D)1 Ill(6)I,
^(茗)l

,:(‰),:(‰)≤O.

(2)作辅助函数,(筇):八菇)一,(d)、一丛鱼掣(膏一
D一口

由于,(n)=,(6)=O,由罗尔定理知存在f∈(o,6),使

I八o) o=F’(f)=l,(6)
l/’(f)
即证(1)式.

g(n) 占(6) g’(f)

_Il(n)l ^(6)l,
.1l

口、。

(2)

则由,在[n,6]上连续,在开区间(口,6)内存在左、右导 数,知,(z)在[d,6]上连续,且在(口,6)内存在左、右导数F u, ,,:,且又因为,(6)=,(o)=o,故由J结论知j茗。∈(o, 6),使得,:(z。),:(茹,)≤0.

7(f)I

若令^(茗)=l,则由(2)式有

,:(耳。)=.厂:(石。)一z掣≥o,
不妨设F:(名。)≥o,F:(x.)≤o,则
D一口

F:(茗.)=,:(石,)一21訾≤o, 即川x,)必掣≥州,。),
又c(菇)=x,:(石。)+(1一量).厂:(z,)在[O,1]上连续 且c(0)=,:(互。)。G(1)=,:(茗。). 由介值定理,jp∈(0,1)使得

岬)可得揣=错.
I,’(f)
此即得的是柯西中值定理. 若令^(z)=l,g(z)=x,

l,(口) o=,7(f)=f八6)

g(Ⅱ) g(6) g’(f)

l 1

l,

(3)

ol

J以o) 则由(2)式有o=F’(f)=1只6)

口l

函数.

6 l

l o

l,

<4)

G(p):型掣
D—D

由(4)可得地掣:,,(孝).
此即得拉格朗日中值定理.

l,’(f)

即[∥:(*。)+(卜p),:(;.)]:趔年型.
又g=1一p,

[舟厂:(z。)+矿:(z。)](6一口)=八6)一以口). 特例设,(∞),g(x),.|l(膏)在口≤z≤6上连续,在口<z <6内可导,证明:必存在fE(口,6)使

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].3版.北京:高等教育出 版社.2001. [2] 杨静化.应用微积分[M].北京:科学出版社,2005. 汪林,戴正德.数学分析问题研究与评注[M].北京:科学出版 社.1995. [4] 刘玉琏.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1988.

l以o) I以6)
I,’(f)

g(口) g(6) g’(f)

.Il(口)l ^(6)I.o.
.Il 7(f)l

(1)

【3]

并由此说明拉格朗日中值定理和柯西中值定理是它的特
例.㈣

【5]钱吉林.数学分析题解精粹[M].武汉:崇文书局,2003.

On the Generalization of Lagrangian

Middle-Value Theorem

ZHANG Yulian8.YANG Yaoiie6 (口.D印口ⅣmPnt矿M口t^啪口l如,胁Ⅷl协舭把矿刖Ⅱc口‘如n。Z^e增加oⅡ450014,吼i眦; 6.D印ortme耐∥C^i,l伽如昭Ⅱ口酽,片e,l口,;j璐ml‘耙矽舌d眦口#泌n。zk,瞥无Du
450014,c矗in8)
to

Abstract:On the basis of Lagrangian middle-value theorem,use the fundamental methods of calculus the three conditions of Lagrangian middle—value theorem,and obtain the corresponding conclusions.

generalize

Key words:Lagrangian middle-Value theorem;generalization;theorem of RolJe’s mid—value;three conditions

?12?

 

拉格朗日(Lagrange)中值定理的推广
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 张玉莲, 杨要杰, ZHANG Yulian, YANG Yaojie 张玉莲,ZHANG Yulian(河南教育学院,教学系,河南,郑州,450014), 杨要杰,YANG Yaojie(河南教育学院,中文系,河南,郑州,450014) 河南教育学院学报(自然科学版) JOURNAL OF HENAN INSTITUTE OF EDUCATION(NATURAL SCIENCE) 2008,17(2) 0次

参考文献(5条) 1.华东师范大学数学系 数学分析 2001 2.杨静化 应用微积分 2005 3.汪林.戴正德 数学分析问题研究与评注 1995 4.刘玉琏 数学分析讲义 1988 5.钱吉林 数学分析题解精粹 2003

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