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数学难点突破专题辅导十四数列综合应用问题


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2012 年高考数学难点突破专题辅导十四
难点 14 数列综合应用问题
纵观近几年的高考,在解答题中,有关数列的试题出现的频率较高,不仅可与函数、方 程、不等式、复数相联系,而且还与三角、立体几何密切相关;数列作为特殊的函数,在实 际问题中有着广泛的应用,如增长率,减薄率,银行信贷,浓度匹配,养老保险,圆钢堆垒 等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外,还要善于观察题设的特征,联想有关数 学知识和方法,迅速确定解题的方向,以提高解数列题的速度. ●难点磁场 (★★★★★)已知二次函数 y=f(x)在 x=

t+2 t2 处取得最小值- (t>0),f(1)=0. 2 4

(1)求 y=f(x)的表达式; (2)若任意实数 x 都满足等式 f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1[g(x)]为多项式,n∈N*),试用 t 表 示 a n 和 b n; 圆 (3)设圆 Cn 的方程为(x-an)2+(y-bn)2=rn2, Cn 与 Cn+1 外切(n=1,2,3,…);{rn}是各项都是 正数的等比数列,记 Sn 为前 n 个圆的面积之和,求 rn、Sn. ●案例探究 [例 1]从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅

1 ,本年度当地旅 5 游业收入估计为 400 万元, 由于该项建设对旅游业的促进作用, 预计今后的旅游业收入每年 1 会比上年增加 . 4 (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元,写出 an,bn 的 表达式; (2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入? 命题意图:本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识;考查综合运 用数学知识解决实际问题的能力,本题有很强的区分度,属于应用题型,正是近几年高考的 热点和重点题型,属★★★★★级题目. 知识依托:本题以函数思想为指导,以数列知识为工具,涉及函数建模、数列求和、不 等式的解法等知识点. 错解分析:(1)问 an、bn 实际上是两个数列的前 n 项和,易与“通项”混淆;(2)问是既 解一元二次不等式又解指数不等式,易出现偏差. 技巧与方法:正确审题、深刻挖掘数量关系,建立数量模型是本题的灵魂,(2)问中指 数不等式采用了换元法,是解不等式常用的技巧. 1 解:(1)第 1 年投入为 800 万元,第 2 年投入为 800×(1- )万元,…第 n 年投入为 800 5 1 - ×(1- )n 1 万元,所以,n 年内的总投入为 5
游产业,根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少 an=800+800×(1-

1 1 - n 1 - )+…+800×(1- )n 1= 800×(1- )k 1 5 5 5 k =1



=4000×[1-(

4 n )] 5 1 ),…,第 n 年旅游业 4

第 1 年旅游业收入为 400 万元,第 2 年旅游业收入为 400×(1+ 收入 400×(1+

1 n- 1 ) 万元.所以,n 年内的旅游业总收入为 4 1 1 - n 5 - )+…+400×(1+ )k 1= 400×( )k 1. 4 4 4 k =1

bn=400+400×(1+



5 n ) -1] 4 (2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此 bn-an>0,即: 5 4 4 1600×[( )n-1]-4000×[1-( )n]>0,令 x=( )n,代入上式得:5x2-7x+2> 4 5 5 2 4 2 0.解此不等式,得 x< ,或 x>1(舍去).即( )n< ,由此得 n≥5. 5 5 5 ∴至少经过 5 年,旅游业的总收入才能超过总投入. 1 1 1 [例 2]已知 Sn=1+ + +…+ ,(n∈N*)设 f(n)=S2n+1-Sn+1,试确定实数 m 的取值范围, 2 3 n 11 使得对于一切大于 1 的自然数 n,不等式:f(n)>[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2 恒成 20 立. 命题意图:本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题,需较强的综合分析问 题、解决问题的能力.属★★★★★级题目. 知识依托:本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起,构思巧妙. 错解分析:本题学生很容易求 f(n)的和,但由于无法求和,故对不等式难以处理. 技巧与方法:解决本题的关键是把 f(n)(n∈N*)看作是 n 的函数,此时不等式的恒成立 11 就转化为:函数 f(n)的最小值大于[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2. 20 1 1 1 解:∵Sn=1+ + +…+ .(n∈N*) 2 3 n
=1600×[(

∴ f ( n ) = S 2 n +1 ? S n +1 =

1 1 1 + +L+ n+2 n+3 2n + 1 1 1 1 1 1 2 又f ( n + 1) ? f ( n ) = + ? = + ? 2 n + 2 2n + 3 n + 2 2n + 2 2 n + 3 2n + 4 1 1 1 1 =( ? )+( ? )>0 2n + 2 2n + 4 2n + 3 2n + 4

∴f(n+1)>f(n) ∴f(n)是关于 n 的增函数 ∴f(n) min=f(2)=

1 1 9 + = 2 + 2 2 + 3 20 ∴要使一切大于 1 的自然数 n,不等式 11 [log(m-1)m]2 恒成立 f(n)>[logm(m-1)]2- 20

只要

9 11 >[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2 成立即可 20 20

?m > 0, m ≠ 1 由? 得 m>1 且 m≠2 ?m ? 1 > 0, m ? 1 ≠ 1
此时设[logm(m-1)]2=t 则 t>0

11 ?9 ? >t? 于是 ? 20 20 解得 0<t<1 ?t > 0 ?
由此得 0<[logm(m-1)]2<1

1+ 5 且 m≠2. 2 ●锦囊妙计 1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、 解决问题的能力;解答应用性问题,应充分运用观察、归纳、猜想的手段,建立出有关等差 (比)数列、递推数列模型,再综合其他相关知识来解决问题. 2.纵观近几年高考应用题看,解决一个应用题,重点过三关: (1)事理关:需要读懂题意,明确问题的实际背景,即需要一定的阅读能力. (2)文理关:需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言,用数学式子表达数学关系. (3)事理关:在构建数学模型的过程中;要求考生对数学知识的检索能力,认定或构建 相应的数学模型,完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后,要正确得到问题 的解,还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★★)已知二次函数 y=a(a+1)x2-(2a+1)x+1,当 a=1,2,…,n,…时,其抛
解得 m> 物线在 x 轴上截得的线段长依次为 d1,d2,…,dn,…,则 lim (d1+d2+…+dn)的值是(
n →∞

)

A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 2.(★★★★★)在直角坐标系中,O 是坐标原点,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是第一象限的两 个点,若 1,x1,x2,4 依次成等差数列,而 1,y1,y2,8 依次成等比数列,则△OP1P2 的面 积是_________. 3.(★★★★)从盛满 a 升酒精的容器里倒出 b 升,然后再用水加满,再倒出 b 升,再用 水加满;这样倒了 n 次,则容器中有纯酒精_________升. 4.(★★★★★)据 2000 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》“2001 年国内 : 生产总值达到 95933 亿元,比上年增长 7.3%, ”如果“十·五”期间(2001 年~2005 年)每年 的国内生产总值都按此年增长率增长, 那么到 “十· 末我国国内年生产总值约为_________ 五” 亿元. 三、解答题 5.(★★★★★)已知数列{an}满足条件:a1=1,a2=r(r>0),且{anan+1}是公比为 q(q>0)的等 比数列,设 bn=a2n-1+a2n(n=1,2,…). (1)求出使不等式 anan+1+an+1an+2>an+2an+3(n∈N*)成立的 q 的取值范围;

(2)求 bn 和 lim

1 ,其中 Sn=b1+b2+…+bn; n →∞ S n

(3)设 r=219.2-1,q=

log2 bn +1 1 ,求数列{ }的最大项和最小项的值. log2 bn 2

6.(★★★★★)某公司全年的利润为 b 元,其中一部分作为奖金发给 n 位职工,奖金分 配方案如下:首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小,由 1 到 n 排序,第 1 位

b 元,然后再将余额除以 n 发给第 2 位职工,按此方法将奖金逐一发给每位职 n 工,并将最后剩余部分作为公司发展基金. (1)设 ak(1≤k≤n)为第 k 位职工所得奖金金额,试求 a2,a3,并用 k、n 和 b 表示 ak(不必 证明); (2)证明 ak>ak+1(k=1,2,…,n-1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义;
职工得奖金 (3)发展基金与 n 和 b 有关,记为 Pn(b),对常数 b,当 n 变化时,求 lim Pn(b).
n →∞

7.(★★★★)据有关资料,1995 年我国工业废弃垃圾达到 7.4×108 吨,占地 562.4 平方 公里,若环保部门每年回收或处理 1 吨旧物资,则相当于处理和减少 4 吨工业废弃垃圾,并 可节约开采各种矿石 20 吨,设环保部门 1996 年回收 10 万吨废旧物资,计划以后每年递增 20%的回收量,试问: (1)2001 年回收废旧物资多少吨? (2)从 1996 年至 2001 年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)? (3)从 1996 年至 2001 年可节约多少平方公里土地? 8.(★★★★★)已知点的序列 An(xn, 0),n∈N,其中 x1=0,x2=a(a>0),A3 是线段 A1A2 的中点, A4 是线段 A2A3 的中点,…,An 是线段 An-2An-1 的中点,…. (1)写出 xn 与 xn-1、xn-2 之间关系式(n≥3); (2)设 an=xn+1-xn,计算 a1,a2,a3,由此推测数列{an}的通项公式,并加以证明; (3)求 lim xn.
n →∞

参考答案 难点磁场

t + 2 2 t2 ) - ,由 f(1)=0 得 a=1. 2 4 2 ∴f(x)=x -(t+2)x+t+1. (2)将 f(x)=(x-1)[x-(t+1)]代入已知得: (x-1)[x-(t+1)]g(x)+anx+bn=xn+1,上式对任意的 x∈R 都成立,取 x=1 和 x=t+1 分别 代入上式得:
解:(1)设 f(x)=a(x-

?an + bn = 1 1 t +1 ? 且 t≠0,解得 an= [(t+1)n+1-1] n= ,b [1-(t+1 ] n) ? n +1 t t ?(t + 1)an + bn = (t + 1) ?
(3)由于圆的方程为(x-an)2+(y-bn)2=rn2,又由(2)知 an+bn=1,故圆 Cn 的圆心 On 在直线 x+y=1 上,又圆 Cn 与圆 Cn+1 相切,故有 rn+rn+1= 2 |an+1-an|= 2 (t+1)n+1 ?

设{rn}的公比为 q,则

?rn + rn q = 2 (t + 1) n +1 ? ? ?rn+1 + rn+1q = 2 (t + 1) n+ 2 ?
②÷①得 q=

① ②

rn+1 2 (t + 1) n+1 =t+1,代入①得 rn= rn t+2
πr1 ( q 2 n ? 1) 2π(t + 1) 4 [(t+1)2n-1] = 2 3 q ?1 t ( t + 2)
2

∴Sn=π(r12+r22+…+rn2)=

歼灭难点训练 一、1.解析:当 a=n 时 y=n(n+1)x2-(2n+1)x+1 由|x1-x2|=

? 1 ,得 dn= ,∴d1+d2+…+dn n( n + 1) a

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + +L+ =1? + ? +L+ ? =1? 1? 2 2 ? 3 n(n + 1) 2 2 3 n n +1 n +1 1 ∴ lim (d1 + d 2 + L + d n ) = lim (1 ? ) =1 n →∞ n →∞ n +1 答案:A 2x y 二、 2.解析: 1,x1,x2,4 依次成等差数列得: 1=x2+1,x1+x2=5 解得 x1=2,x2=3.又由 1,1,y2,8 由 2 依次成等比数列,得 y1 =y2,y1y2=8,解得 y1=2,y2=4, =
∴P1(2,2),P2(3,4).∴ OP1 = ( 2,2), OP2 =(3,4) ∴ OP1 OP2 = 6 + 8 = 14, OP1 = 2 2 , | OP2 |= 5,

∴ cos P OP2 = 1 ∴ S ?OP1P2 =
答案:1

OP OP2 1 | OP1 || OP2 |

=

14 7 2 2 = ,∴ sin P1OP2 = 10 10 5× 2 2

1 1 2 | OP1 || OP2 | sin P1OP2 = × 2 2 × 5 × =1 2 2 10

3.解析:第一次容器中有纯酒精 a-b 即 a(1-

b b )升,第二次有纯酒精 a(1- )- a a

b a(1 ? ) a b ,即 a(1- b )2 升,故第 n 次有纯酒精 a(1- b )n 升. a a a

b n ) a 4.解析:从 2001 年到 2005 年每年的国内生产总值构成以 95933 为首项,以 7.3%为公 比的等比数列,∴a5=95933(1+7.3%)4≈120000(亿元). 答案:120000 三、 - 5.解:(1)由题意得 rqn 1+rqn>rqn+1.由题设 r>0,q>0,故从上式可得:q2-q-1<0,解
答案:a(1-



1? 5 1+ 5 1+ 5 <q< ,因 q>0,故 0<q< ; 2 2 2
(2)∵

an+1a n+2 an+2 b a + a2 n+2 a2 n?1q + a2 n q = = q,∴ n+1 = 2 n+1 = = q ≠ 0 .b1=1+r≠0,所以 an an+1 an bn a 2n?1 + a2 n a2 n?1 + a2 n

{bn}是首项为 1+r,公比为 q 的等比数列,从而 bn=(1+r)qn-1. 当 q=1 时,Sn=n(1+r),

1 1 (1 + r )(1 ? q n ) = lim = 0;当0 < q < 1时, S n = , lim n →∞ S n n →∞ n(1 + r ) 1? q 1 1? q 1? q = lim = ; n n →∞ S n n →∞ (1 + r )(1 ? q ) 1+ r lim 当q > 1时, S n = (1 + r )(1 ? q n ) , 1? q (0 < q < 1) ( q ≥ 1)

?1 ? q , 1 1? q 1 ? = lim = 0, 所以 lim = ?1 + r lim n n →∞ S n n →∞ (1 + r )(1 ? q ) n →∞ S n ?0, ? (3)由(2), 有bn = (1 + r )q
n ?1

log 2 bn+1 log 2 [(1 + r ) q n ] log 2 (1 + r ) + n log 2 q 1 = = =1+ . n ?1 log 2 bn log 2 (1 + r )( n ? 1) log 2 q n ? 20.2 log 2 [(1 + r ) q ]

记Cn =
小,故

log 2 bn +1 ,从上式可知,当 n-20.2>0,即 n≥21(n∈N*)时,Cn 随 n 的增大而减 log 2 bn

1 1 =1+ =2.25 ① 21 ? 20.2 0.8 当 n - 20.2 < 0 , 即 n ≤ 20(n ∈ N*) 时 , Cn 也 随 n 的 增 大 而 减 小 , 故 1 > Cn ≥ 1 1 =1? C20=1+ =-4 ② 20 ? 20.2 0.2 综合①②两式知, 对任意的自然数 n 有 C20≤Cn≤C21,故{Cn}的最大项 C21=2.25, 最小项 C20=-4. b 1 1 6.解:(1)第 1 位职工的奖金 a1= ,第 2 位职工的奖金 a2= (1- )b,第 3 位职工的 n n n 1 1 1 1 - 奖金 a3= (1- )2b,…,第 k 位职工的奖金 ak= (1- )k 1b; n n n n 1 - 1 (2)ak-ak+1= 2 (1- )k 1b>0,此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭” n n 的原则. 1 (3) 设 fk(b) 表 示 奖 金 发 给 第 k 位 职 工 后 所 剩 余 数 , 则 f1(b)=(1 - )b,f2(b)=(1 - n 1 2 1 k 1 n ) b,…,fk(b)=(1- ) b.得 Pn(b)=fn(b)=(1- ) b, n n n
1<Cn≤C21=1+

b . e 7.解: an 表示第 n 年的废旧物资回收量, n 表示前 n 年废旧物资回收总量, 设 S 则数列{an} 是以 10 为首项,1+20%为公比的等比数列. (1)a6=10(1+20%)5=10×1.25=24.8832≈25(万吨)
故 lim Pn (b) =
n→∞

(2)S6=

10[(1 + 20%) 6 ? 1] 1 .6 6 ? 1 = 10 × =99.2992≈99.3(万吨) (1 + 20%) ? 1 0 .2

∴从 1996 年到 2000 年共节约开采矿石 20×99.3≈1986(万吨) (3)由于从 1996 年到 2001 年共减少工业废弃垃圾 4×99.3=397.2(万吨), ∴从 1996 年到 2001 年共节约:

562.4 × 397.2 × 10 4 ≈3 平方公里. 7.4 × 108
8.解:(1)当 n≥3 时,xn=

xn?1 + xn?2 ; 2 x + x1 1 1 (2)a1 = x2 ? x1 = a, a2 = x3 ? x2 = 2 ? x2 = ? ( x2 ? x1 ) = ? a, 2 2 2 x + x2 1 1 1 1 a 2 = x 4 ? x3 = 3 ? x3 = ? ( x3 ? x 2 ) = ? ( ? a ) = a 2 2 2 2 4

1 n-1 ) a(n∈N) 2 证法一:因为 a1=a>0,且 x + xn?1 x ? xn 1 1 an = xn+1 ? xn = n ? xn = n?1 = ( xn ? xn?1 ) = ? an?1 (n≥2) 2 2 2 2 1 所以 an=(- )n-1a. 2 证法二:用数学归纳法证明: 1 (ⅰ)当 n=1 时,a1=x2-x1=a=(- )0a,公式成立; 2 1 - (ⅱ)假设当 n=k 时,公式成立,即 ak=(- )k 1a 成立. 2 那么当 n=k+1 时, x + xk 1 1 ? xk +1 = ? ( xk +1 ? xk ) = ? ak ak+1=xk+2-xk+1= k +1 2 2 2 1 1 1 = ? ( ? ) k ?1 a = ( ? ) (k +1 )?1 a公式仍成立. 2 2 2 1 据(ⅰ)(ⅱ)可知,对任意 n∈N,公式 an=(- )n-1a 成立. 2 (3)当 n≥3 时,有 xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+…+(x2-x1)+x1 =an-1+an-2+…+a1,
由此推测 an=(- 由(2)知{an}是公比为-

1 a1 2 的等比数列,所以 lim xn = = a. 1 n→∞ 2 1 ? (? ) 3 2

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