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二次函数与一元二次方程经典教学案+典型例题


二次函数与一元二次方程教学案
二次函数与一元二次方程之间的联系 1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与 x 轴交点情况) : 一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax 2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特 殊情况. 轴的交点个数: 图象与 x 轴的交点个数: ① 当 ? = b 2 ? 4ac > 0 时,图象与 x 轴交于两点 A ( x1 ,0 ) ,B ( x2 ,0 ) ( x1 ≠ x2 ) ,其 中的 x1 ,x2 是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的两根.这两点间的距离 这两点间的距离
AB = x2 ? x1 = b 2 ? 4ac . a

② 当 ? = 0 时,图象与 x 轴只有一个交点; ③ 当 ? < 0 时,图象与 x 轴没有交点.
1' 当 a > 0 时,图象落在 x 轴的上方,无论 x 为任何实数,都有 y > 0 ; 轴的上方, 为任何实数, 2 ' 当 a < 0 时,图象落在 x 轴的下方,无论 x 为任何实数,都有 y < 0 . 轴的下方, 为任何实数,

2. 抛物线 y = ax 2 + bx + c 的图象与 y 轴一定相交,交点坐标为 (0 , c) ; 轴一定相交, 3. 二次函数常用解题方法总结: ⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
2 例:二次函数y=x -3x+2 与 x 轴有无交点?若有,请说出交点坐标;若

没有,请说明理由:

⑵ 根据图象的位置判断二次函数中 a ,b ,c 的符号, 或由二次函数中 a ,b ,
c 的符号判断图象的位置,要数形结合 数形结合; 数形结合

⑶ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称 的点坐标,或已知与 x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. 总结: 总结: ⑴ 一 元 二 次 方 程 ax 2 + bx + c = 0 的 实 数 根 就 是 对 应 的 二 次 函 数

y = ax 2 + bx + c 与

x 轴交点的

.

⑵二次函数与一元二次方程的关系如下: (一元二次方程的实数根记为

x1、x2 )
二次函数 y = ax 2 + bx + c
y



一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0
b 2 ? 4ac

( , )
O

( , )
x

与 x 轴有

个交点

?

方程有 0, .

的实

数根是

y

(
O

,

)
x

与 x 轴有 这个交点是

个交点 点

?

b 2 ? 4ac

方程有 0, .

的实

数根是

y
O

x

与 x 轴有

个交点

?

b 2 ? 4ac

0,方程

实数根. 实数根.

⑶二次函数 y = ax 2 + bx + c 与 y 轴交点坐标是 经典例题讲解 【例 1】 】 已知:关于 x 的方程 mx 2 ? 3(m ? 1) x + 2m ? 3 = 0 . ⑴求证: m 取任何实数时,方程总有实数根;

.

⑵若二次函数 y1 = mx 2 ? 3(m ? 1) x + 2m ? 1 的图象关于 y 轴对称. ①求二次函数 y1 的解析式; ②已知一次函数 y2 = 2 x ? 2 ,证明:在实数范围内,对于 x 的同一个值,这两 个函数所对应的函数值 y1 ≥ y2 均成立; ⑶在⑵条件下,若二次函数 y 3 = ax 2 + bx + c 的图象经过点 (?5 ,0) ,且在实数范 围内,对于 x 的同一个值,这三个函数所对应的函数值 y1 ≥ y3 ≥ y2 ,均成立,求

二次函数 y3 = ax 2 + bx + c 的解析式.
【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题,这是比较常见的关于一元二次方 思路分析】 程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程,所以需要讨论 M=0 和 M≠0 两种情况,然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于 Y 轴对称的二 次函数的性质,即一次项系数为 0,然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数,证明因 变量的大小关系,直接相减即可。事实上这个一次函数 y2 恰好是抛物线 y1 的一条切线,只 有一个公共点(1,0) 。根据这个信息,第三问的函数如果要取不等式等号,也必须过该点。 于是通过代点, y3 用只含 a 的表达式表示出来,再利用 y1 ≥ y3 ≥ y2 ,构建两个不等式,最终分 将 析出 a 为何值时不等式取等号,于是可以得出结果. 【解析】 解析】 解: (1)分两种情况: 当 m = 0 时,原方程化为 3x ? 3 = 0 ,解得 x = 1 , (不要遗漏) ∴当 m = 0 ,原方程有实数根. 当 m ≠ 0 时,原方程为关于 x 的一元二次方程, ∵ △= [?3 ( m ? 1)]2 ? 4m ( 2m ? 3) = m2 ? 6m + 9 = ( m ? 3) ≥ 0 .
2

∴原方程有两个实数根. (如果上面的方程不是完全平方式该怎样办?再来一次根的判 定,让判别式小于 0 就可以了,不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式,大 家注意就是了) 综上所述, m 取任何实数时,方程总有实数根. (2)①∵关于 x 的二次函数 y1 = mx 2 ? 3( m ? 1) x + 2m ? 3 的图象关于 y 轴对称, ∴ 3( m ? 1) = 0 .(关于 Y 轴对称的二次函数一次项系数一定为 0) ∴ m =1. ∴抛物线的解析式为 y1 = x 2 ? 1 . ②∵ y1 ? y2 = x2 ? 1 ? ( 2 x ? 2 ) = ( x ? 1) ≥ 0 , (判断大小直接做差)
2

∴ y1 ≥ y2 (当且仅当 x = 1 时,等号成立). (3)由②知,当 x = 1 时, y1 = y2 = 0 .

∴ y1 、 y2 的图象都经过 (1,0 ) .

(很重要,要对那个等号有敏锐的感觉)

∵对于 x 的同一个值, y1 ≥ y3 ≥ y2 , ∴ y3 = ax 2 + bx + c 的图象必经过 (1,0 ) . 又∵ y3 = ax 2 + bx + c 经过 ( ?5, 0 ) , ∴ y3 = a ( x ? 1)( x + 5 ) = ax 2 + 4ax ? 5a . (巧妙的将表达式化成两点式,避免繁琐计算)
2 设 y = y 3 ? y 2 = ax + 4ax ? 5a ? ( 2 x ? 2) = ax 2 + ( 4a ? 2) x + (2 ? 5a ) .

∵对于 x 的同一个值,这三个函数所对应的函数值 y1 ≥ y3 ≥ y2 均成立, ∴ y3 ? y 2 ≥ 0 ,

3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 图7 1 2

∴ y = ax 2 + (4a ? 2) x + (2 ? 5a ) ≥ 0 . 又根据 y1 、 y2 的图象可得 a > 0 , ∴ y最小 =
4a(2 ? 5a) ? (4a ? 2) 2 ≥ 0 .(a>0 时,顶点纵坐标就是函数的最小值) 4a

∴ (4a ? 2) 2 ? 4a(2 ? 5a) ≤ 0 . ∴ (3a ? 1)2 ≤ 0 .
而 (3a ? 1)2 ≥ 0 . 只有 3a ? 1 = 0 ,解得 a =
1 . 3

∴抛物线的解析式为 y 3 =

1 2 4 5 x + x? . 3 3 3

】 【例 2】关于 x 的一元二次方程 (m2 ? 1) x 2 ? 2(m ? 2) x + 1 = 0 .

(1)当 m 为何值时,方程有两个不相等的实数根;
? (2)点 A ( ?1, 1) 是抛物线 y = (m2 ? 1) x 2 ? 2(m ? 2) x + 1 上的点,求抛物线的解析

式; (3)在(2)的条件下,若点 B 与点 A 关于抛物线的对称轴对称,是否存在 与抛物线只交于点 B 的直线,若存在,请求出直线的解析式;若不存在,请说明 理由.
第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。 第二问给点求 【思路分析】 思路分析】 解析式, 比较简单。 值得关注的是第三问, 要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点, 则需要设直线 y=kx+b 以后联立,新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零,但是这样 还不够, 因为 y=kx+b 的形式并未包括斜率不存在即垂直于 x 轴的直线,恰恰这种直线也是和 抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能. : 【解析】 解析】
2 (1)由题意得 ? = [ ?(m ? 2) ? 4(m 2 ? 1) > 0 ]
2

解得 m <
m2 ? 1 ≠ 0

5 4

解得 m ≠ ±1 当m<
5 且 m ≠ ±1 时,方程有两个不相等的实数根. 4

(2)由题意得 m2 ? 1 + 2(m ? 2) + 1 = ?1
m 解得 m = ?3, = 1 (舍) (始终牢记二次项系数不为 0)

y = 8x 2 + 10 x + 1
(3)抛物线的对称轴是 x =
5 8

? 1 ? ? 由题意得 B ? ? , 1 ? (关于对称轴对称的点的性质要掌握) ? 4 ? 1 x = ? 与抛物线有且只有一个交点 B (这种情况考试中容易遗漏) 4

另设过点 B 的直线 y = kx + b ( k ≠ 0 )
k 1 ? 1 ? ? 把 B ? ? , 1 ? 代入 y = kx + b ,得 ? + b = ?1 , b = k ? 1 4 4 ? 4 ? 1 y = kx + k ? 1 4

? y = 8 x 2 + 10 x + 1 ? ? 1 ? y = kx + k ? 1 ? 4
1 2 整理得 8 x + (10 ? k ) x ? k + 2 = 0 4 1 2 有且只有一个交点, ? = (10 ? k ) ? 4 × 8 × (? k + 2) = 0 4

解得 k = 6
y = 6x + 1 2

1 1 综上,与抛物线有且只有一个交点 B 的直线的解析式有 x = ? , y = 6 x + 4 2

【例 3】已知 P( ?3, m )和 Q(1, m )是抛物线 y = 2 x 2 + bx + 1 上的两点. 】 (1)求 b 的值; (2)判断关于 x 的一元二次方程 2 x 2 + bx + 1 =0 是否有实数根,若有,求出 它的实数根;若没有,请说明理由; (3)将抛物线 y = 2 x 2 + bx + 1 的图象向上平移 k ( k 是正整数)个单位,使 平移后的图象与 x 轴无交点,求 k 的最小值. 【例 4】 】 已知关于 x 的一元二次方程 2 x 2 + 4 x + k ? 1 = 0 有实数根, k 为正整数. (1)求 k 的值; (2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于 x 的二次函数 y = 2 x 2 + 4 x + k ? 1 的图象向下平移 8 个单位,求平移后的图象的解析式; (3) (2) 在 的条件下, 将平移后的二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴 翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回 答:当直线
y= 1 x + b ( b < k ) 与此图象有两个公共点时, b 的取值范围. 2

【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说,判别式大于 0 加上 k 为正整数的条件求 k 很简单.第二问要分情况讨论当 k 取何值时方程有整数根,一个个 代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去 8.但是注意第三问,函数关于 对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折

之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题. 解: (1)由题意得, ? = 16 ? 8( k ? 1) ≥ 0 . ∴ k ≤3. ∵ k 为正整数, ∴ k = 1 2,. ,3 (2)当 k = 1 时,方程 2 x 2 + 4 x + k ? 1 = 0 有一个根为零; 当 k = 2 时,方程 2 x 2 + 4 x + k ? 1 = 0 无整数根; 当 k = 3 时,方程 2 x 2 + 4 x + k ? 1 = 0 有两个非零的整数根. 综上所述, k = 1 和 k = 2 不合题意,舍去; k = 3 符合题意. 当 k = 3 时,二次函数为 y = 2 x 2 + 4 x + 2 ,把它的图象向下平移 8 个单位得到的图象 的解析式为 y = 2 x 2 + 4 x ? 6 . (3)设二次函数 y = 2 x 2 + 4 x ? 6 的图象与 x 轴交于 y 8 6 4 依题意翻折后的图象如图所示. 2
?4 A ?2 O ?2 ?4
?6 ?8

0) 0) A、B 两点,则 A( ?3, , B (1, .

1 3 x + b 经过 A 点时,可得 b = ; 2 2 1 1 当直线 y = x + b 经过 B 点时,可得 b = ? . 2 2
当直线 y = 由图象可知,符合题意的 b (b < 3) 的取值范围为 ?

B2

4

x

1 3 <b< . 2 2


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