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2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件专题二 第4讲 高考中的三角函数解答题型_图文

第四讲

高考中的三角函数?解答题型?

考点 三角恒等变换 三角函数的图像与性质 解三角形

考情 1.三角恒等变换是高考的热点内容,在解答题中 多作为一种化简工具考查,其中升幂公式、降幂公式、 辅助角公式是考查的重点,如2013年湖南T17等. 2.三角函数的图像与性质是高考考查的另一个热 点,侧重于对函数y=Asin(ωx+φ)的周期性、单调 性、对称性以及最值等的考查,常与其他知识交汇以 解答题的形式考查,难度中等,如2013年安徽T16等. 3.正弦定理、余弦定理以及解三角形的问题是高 考的必考内容.在解答题中主要考查:(1)边和角的计 算;(2)面积的计算;(3)有关范围的问题.由于此内容 应用性较强,解三角形的实际应用问题也常出现在高 考解答题中,如2013年重庆T20等.

向量与三角函数的综合问题

解三角形的实际应用

? ? π? π? 1.(2013· 湖南高考)已知函数f(x)=sin ?x-6? +cos ?x-3? , ? ? ? ?

g(x)=2sin 2. 3 3 (1)若α是第一象限角,且f(α)= 5 ,求g(α)的值; (2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.

2x

? ? π? π? 解:f(x)=sin?x-6?+cos?x-3? ? ? ? ?

3 1 1 3 = 2 sin x-2cos x+2cos x+ 2 sin x= 3sin x, g(x)=2sin 2=1-cos x. 3 3 3 (1)由f(α)= 5 得sin α=5. 又α是第一象限角,所以cos α>0. 4 1 从而g(α)=1-cos α=1- 1-sin α=1-5=5.
2 2x

(2)f(x)≥g(x)等价于 3sin x≥1-cos x, 即 3sin x+cos x≥1. 于是
? π? 1 sin?x+6?≥2. ? ?

π π 5π 从而 2kπ+6≤x+6≤2kπ+ 6 ,k∈Z, 2π 即 2kπ≤x≤2kπ+ 3 ,k∈Z. 故 使
? ? ?x ? ?

f(x)≥g(x) 成 立 的

x

的 取 值 集 合 为

? ? 2π 2kπ≤x≤2kπ+ 3 ,k∈Z?. ? ?

2.(2013· 重庆高考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是 a,b,c,且a2+b2 + 2ab=c2. (1)求C; 3 2 cos?α+A?cos?α+B? 2 (2)设cos Acos B= 5 , = 5 ,求tan α cos2α 的值.
解:(1)因为a2+b2+ 2ab=c2, a2+b2-c2 - 2ab 2 由余弦定理有cos C= = 2ab =- 2 , 2ab 3π 故C= 4 .

(2)由题意得 ?sin αsin A-cos αcos A??sin αsin B-cos αcos B? 2 =5. cos2α 2 因此(tan αsin A-cos A)(tan αsin B-cos B)= 5 , tan2αsin Asin B-tan α(sin Acos B+cos Asin B)+cos 2 Acos B= 5 ,tan2αsin Asin B-tan αsin(A+B)+cos Acos B= 2 5. 3π π 2 因为 C= 4 ,A+B=4,所以 sin(A+B)= 2 , ①

因为cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B, 3 2 2 即 5 -sin Asin B= 2 , 3 2 2 2 解得sin Asin B= 5 - 2 = 10 . 由①得tan2α-5tan α+4=0, 解得tan α=1或tan α=4.

3.(2013· 江苏高考)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.

解:(1)证明:由题意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2a· b+ b2=2. 又因为a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2-2a· b=2,即a· b= 0,故a⊥b. (2)因为a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),

?cos α+cos β=0, ? 所以? ?sin α+sin β=1. ?

由此,得cos

α=cos

(π-β),由0<β<π,得0<π-β<π.又

0<α<π,故α=π-β.代入sin α+sin β=1得,sin α=sin β= 1 5π π 2,而α>β,所以α= 6 ,β=6.

1.辅助角公式 b asin x+bcos x= a +b sin(x+φ),其中tan φ=a.
2 2

可利用辅助角公式求最值、单调区间和周期. 2.三角形的面积公式 1 1 1 (1)S=2aha=2bhb=2chc(ha,hb,hc分别是边a,b,c上的高); 1 1 1 (2)S=2absin C=2bcsin A=2acsin B; (3)S△ABC= s?s-a??s-b??s-c?(海伦公式).

3.解三角形常见问题 (1)已知一边和两角解三角形; (2)已知两边及其中一边的对角解三角形; (3)已知两边及其夹角解三角形; (4)已知三边解三角形; (5)三角形形状的判定; (6)三角形的面积问题; (7)正弦、余弦定理的综合应用.

三角变换与求值
1 (2013· 北京高考)已知函数f(x)=(2cos x-1)sin 2x+ 2
2

[例1] cos 4x.

(1)求f(x)的最小正周期及最大值;
?π ? (2)若α∈?2,π?,且f(α)= ? ?

2 2 ,求α的值.

[自主解答]

1 (1)因为f(x)=(2cos x-1)sin 2x+2cos 4x
2

π? 1 1 2 ? =cos 2xsin 2x+2cos 4x=2(sin 4x+cos 4x)= 2 sin?4x+4?, ? ? π 2 所以f(x)的最小正周期为2,最大值为 2 .
? π? 2 (2)因为f(α)= 2 ,所以sin?4α+4?=1. ? ? ?π ? π ?9π 17π? 因为α∈?2,π?,所以4α+4∈? 4 , 4 ?, ? ? ? ?

π 5π 9π 即4α+4= 2 .故α=16.

互动探究
在本例中,若 F(x)=f(x)· f(-x)+f2(x),求 F(x)的最大值和单 调递增区间.
1 解:∵f(x)=(2cos x-1)sin 2x+ cos 4x 2
2

1?? ? = ?sin 4x+cos 4x??,∴F(x)=f(x)· f(-x)+f2(x) 2 1 1 = (cos 4x+sin 4x)(cos 4x-sin 4x)+ (sin 4x+cos 4x)2 4 4 1 1 1 1 1 = cos 8x+ (1+2sin 4xcos 4x) = cos 8x+ sin 8x+ 4 4 4 4 4

? 1 π? 1 2? 2 2 ? 2 ? ? = 4 ? cos 8x+ sin 8x?+4= 4 sin?8x+4?+4, 2 ? ? ? 2 ?

2+1 2 1 ∴F(x)max= 4 +4= 4 . π π π 由-2+2kπ≤8x+4≤2+2kπ,k∈Z,得 3π 1 π 1 -32+4kπ≤x≤32+4kπ,k∈Z.
? 3π 1 π ?- + kπ, + 故函数F(x)的单调递增区间为 32 4 32 ?

1 ? ? 4kπ?,k∈Z.

——————————规律· 总结————————————
1.条件求值的一般思路 (1)先化简所求式子或所给条件; (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及 角入手); (3)将已知条件代入所求式子,化简求值. 2.三角恒等变换的“五遇六想” (1)遇正切,想化弦;(2)遇多元,想消元;(3)遇差异,想 联系;(4)遇高次,想降次;(5)遇特角,想求值;(6)想消元, 引辅角. ———————————————————————————

1.已知向量a=

? ? ? ? ? θ? θ ?? θ? 2 ?sin?x+ ?,cos ?x+ ?? ,b= ?cos?x+ ?, 2? 2 ?? 2? ? ? ? ? ?

? 3? , ?

函数f(x)=2a· b- 3为偶函数,且θ∈[0,π]. (1)求函数f(x)的解析式; (2)设x∈(0,π),f(x)=1,求x的值.
? θ? ? θ? 解:(1)f(x)=2sin?x+2?cos ?x+2?+2 ? ? ? ?

3cos

2

? θ? ?x+ ? - 2? ?

3=

sin(2x+θ)+

? π? 3cos(2x+θ)=2sin?2x+θ+3?. ? ?

π π 由f(x)为偶函数得θ+3=kπ+2,k∈Z, π π ∴θ=kπ+6,k∈Z.又θ∈[0,π],∴θ=6,
? π? 故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin?2x+2?=2cos ? ?

2x.

1 (2)由f(x)=1得cos 2x=2. π 5π 又x∈(0,π),所以2x∈(0,2π),所以2x=3或2x= 3 , π 5π 即x=6或 6 .

2.设函数f(x)=2sin xcos 2 +cos xsin φ-sin x(0<φ<π)在x=π处 取最小值. (1)求φ的值; (2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a= 2sin?3C-θ?+sin?C+θ? 2 1,b= 2,f(B)=- 2 ,求值 . cos?C+θ?



解:(1)f(x)=2sin xcos 2 +cos xsin φ-sin x =sin
? ? 2φ x?2cos 2 -1?+cos ? ?



xsin φ

=sin xcos φ+cos xsin φ=sin(x+φ), π 依题意,sin(π+φ)=-1,∵0<φ<π,∴φ=2.
? π? (2)由(1)知f(x)=sin(x+φ)=sin?x+2?=cos ? ?

x,

2 2 ∵f(B)=- 2 ,∴cos B=- 2 . 3π ∵0<B<π,∴B= 4 .

sin A a 1 ∵a=1,b= 2,由正弦定理sin B=b= , 2 1 π π 故sin A=2.∵a<b,∴A<B,∴0<A<2,∴A=6. π ∴C=π-A-B=12. 2sin?3C-θ?+sin?C+θ? 2sin?45° -θ?+sin?15° +θ? ∴ = cos?C+θ? cos?15° +θ? 2sin[60° -?15° +θ?]+sin?15° +θ? = cos?15° +θ? 2sin 60° cos?15° +θ? = = 3. cos?15° +θ?

三角函数的图像与性质
[例2] (2013· 山东高考)设函数f(x)= 3 2 - 3 sin2ωx-sin

ωxcos ωx(ω>0),且y=f(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴 π 的距离为4. (1)求ω的值;
? 3π? (2)求f(x)在区间?π, 2 ?上的最大值和最小值. ? ?

[自主解答]

3 (1)f(x)= 2 - 3sin2ωx-sin ωxcos ωx

1-cos 2ωx 1 3 = 2 - 3· -2sin 2ωx 2
? π? 3 1 = 2 cos 2ωx-2sin 2ωx=-sin?2ωx-3?. ? ?

π 因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4, 2π π 又ω>0,所以2ω=4×4, 因此ω=1.

(2)由(1)知

? π? f(x)=-sin?2x-3?. ? ?

3π 5π π 8π 当 π≤x≤ 2 时, 3 ≤2x-3≤ 3 ,
? π? 3 所以- 2 ≤sin?2x-3?≤1. ? ?

3 因此-1≤f(x)≤ 2 . 故
? 3π? f(x)在区间?π, 2 ?的最大值和最小值分别为 ? ?

3 2 ,-1.

——————————规律· 总结———————————— 研究三角函数图像与性质的常用方法

(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数 的奇偶性,往往是在定义域内,先化简三角函数式,尽量化 为y=Asin(ωx+φ)的形式,然后再求解. (2)对于形如y=asin ωx+bcos ωx型的三角函数,要通过 引入辅助角化为y= a +b sin(ωx+φ)
2 2

? ?cos ? ?

a φ= 2 2, a +b

b ? ? sin φ= 2 的形式来求. a +b2? ?
————————————————————————

? π? 3.函数y=Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,|φ|<2?的一段图像如图所示. ? ?

(1)求函数y=f(x)的解析式; π (2)将函数y=f(x)的图像向右平移 4 个单位,得到y=g(x)的图 像.求直线y= 点的坐标. 6 与函数y=f(x)+g(x)的图像在(0,π)内所有交

2π 解:(1)由题意知A=2,T=π,于是ω= T =2, π 将y=2sin 2x的图像向左平移12个单位长度, 得f(x)=2sin
? ? π? π? 2?x+12?=2sin?2x+6?. ? ? ? ?

? ? ? π ? π? π? (2)依题意得g(x)=2sin?2?x-4?+6?=-2cos?2x+6?. ? ? ? ? ? ? ? ? π? π? 故y=f(x)+g(x)=2sin?2x+6?-2cos?2x+6?= ? ? ? ?

2

? π? 2sin?2x-12?. ? ?

由2

? π? 2sin?2x-12?= ? ?

? π? 6,得sin?2x-12?= ? ?

3 2.

π π 23π ∵0<x<π,∴-12<2x-12< 12 . π π π 2π ∴2x-12=3或2x-12= 3 , 5π 3π ∴x=24或x= 8 ,
?5π ∴所有交点的坐标为?24, ? ? ?3π 6?或 ? 8 , ? ? ? 6?. ?

4.已知函数 f(x)=( 3sin ωx+cos 且函数

? 3π ?? 1? ωx)· ?- 2 +ωx??0<ω<2?, sin ? ?? ?

?5π ? y=f(x)的图像的一个对称中心为? 3 ,a?. ? ?

(1)求 a 的值和函数 f(x)的单调递减区间; (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,满 2a-c cos C 足 b = ,求函数 f(A)的取值范围. cos B

解:(1)f(x)=( 3sin ωx+cos ωx)cos ωx
? π? 1 3 1 1 = 2 sin 2ωx+2cos 2ωx+2=sin?2ωx+6?+2. ? ?

6k-1 5π π 据题意,2ω· +6=kπ,k∈Z,ω= 20 ,k∈Z, 3 1 1 ∵0<ω<2,∴当k=1时,ω=4. ?1 π? 1 1 从而f(x)=sin?2x+6?+2,故a=2. ? ? π 1 π 3π 2kπ+2≤2x+6≤2kπ+ 2 ,k∈Z,单调递减区间是 ? 2π 8π? ?4kπ+ ,4kπ+ ?,k∈Z. 3 3? ?

(2)2sin Acos B-cos Bsin C=sin Bcos C,2sin Acos B= 1 π sin(B+C),cos B=2,∴B=3.
?1 π? 1 2π ? A+ ?+ ,0<A< , f(A)=sin 2 6? 2 3 ? ? 3? π 1 π π 3 故6<2A+6<2,1<f(A)<2,即f(A)∈?1,2?. ? ?

正弦、余弦定理及解三角形
[例3] 在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c.已

知cos 2A-3cos(B+C)=1. (1)求角A的大小; (2)若△ABC的面积S=5 3,b=5,求sin Bsin C的值.
[自主解答] (1)由cos 2A-3cos(B+C)=1,

得2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0, 1 解得cos A=2或cos A=-2(舍去). π 因为0<A<π,所以A=3.

1 1 3 3 (2)由S= 2 bcsin A= 2 bc·2 = 4 bc=5 3,得bc=20.又b= 5,知c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20= 21,故a= 21. b c bc 2 20 又由正弦定理得sin Bsin C=asin A·sin A= a2 sin A=21 a 3 5 ×4=7.

互动探究
保持本例条件不变,若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.
解:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2-bc=36. 28 又b+c=8,所以bc= 3 . 1 7 3 由三角形面积公式S=2bcsin A,得△ABC的面积为 3 .

——————————规律· 总结———————————— 三角形的基本量的求法
(1)先将几何问题转化为代数问题,若要把“边”化为 “角”,常利用a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,若要把 a b c “角”化为“边”,常利用sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R, a2+b2-c2 cos C= 2ab 等; (2)然后利用三角形的内角和定理、大边对大角等知识求出三 角形的基本量. ————————————————————————

5.△ABC 的内角 A, C 的对边分别为 a, c, B, b, (a+b+c)· (a -b+c)=ac. (1)求 B; 3-1 (2)若 sin Asin C= ,求 C. 4
解:(1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac, 所以 a2+c2-b2=-ac. a2+c2-b2 1 由余弦定理得 cos B= =- , 2ac 2 因此 B=120° .

(2)由(1)知A+C=60° , 所以cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C =cos Acos C-sin Asin C+2sin Asin C =cos(A+C)+2sin Asin C 3-1 1 3 =2+2× 4 = 2 , 故A-C=30° 或A-C=-30° , 因此C=15° 或C=45° .

6.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c 7 =6,b=2,cos B=9. (1)求a,c的值; (2)求sin(A-B)的值.
解:(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B, 7 得b =(a+c) -2ac(1+cos B),又b=2,a+c=6,cos B=9,
2 2

所以ac=9. 解得a=3,c=3.

(2)在△ABC中,sin B=

4 2 1-cos2B= 9 ,

asin B 2 2 由正弦定理得sin A= b = 3 . 因为a=c,所以A为锐角, 所以cos A= 1 1-sin A=3.
2

10 2 因此sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B= 27 .

课题11 解三角形的实际应用 [典例] (2013· 江苏高考)如图,游客 从某旅游景区的景点A处下山至C处有两 种路径.一种是从A沿直线步行到C,另 一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有 甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min 后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 12 3 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量,cos A=13,cos C=5.

(1)求索道AB的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步 行的速度应控制在什么范围内? [考题揭秘] 本题考查正弦、余弦定理,二次函数的最值,

两角和的正弦公式,不等式的解法,意在考查考生阅读审题建 模的能力和解决实际问题的能力.

[审题过程] 第一步:审条件.△ABC中AC的长以及A、C 的余弦值;甲步行的速度以及缆车的速度. 第二步:审结论.(1)求AB的长;(2)求甲、乙间的距离最短 时,乙出发的时间;(3)求乙步行的速度. 第三步:建联系.(1)由cos A,cos C的值可求sin B的值,然 后在△ABC中利用正弦定理求AB的长度;(2)利用余弦定理将 甲、乙之间的距离表示为出发时间的函数,然后求得函数取最 小值时的时间;(3)利用正弦定理求出BC的长,再根据题意列不 等式求解.

[规范解答]

12 3 (1)在△ABC中,因为cos A=13,cos C=5,

5 4 所以sin A=13,sin C=5. 从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos 5 3 12 4 63 Asin C=13×5+13×5=65.??????????????① AB AC AC 1 260 4 由正弦定理sin C=sin B,得AB=sin B×sin C= 63 ×5= 65 1 040(m).??????????????????????② 所以索道AB的长为1 040 m.????????????③

(2)假设乙出发t

min后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲

行走了(100+50t) m,乙距离A处130t m,????????① 由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+ 12 50t)×13=200(37t2-70t+50),????????????② 1 040 35 由于0≤t≤ 130 ,即0≤t≤8,故当t= 37 (min)时,甲、乙 两游客距离最短.?????????????????③

BC AC AC 1 260 5 (3)由正弦定理sin A=sin B,得 BC=sin B×sin A= 63 ×13= 65 500(m). 乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C. 500 710 设乙步行的速度为 v m/min,由题意得-3≤ v - 50 ≤3,解得 1 250 625 ≤v ≤ 14 ,所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 43
?1 250 625? min,乙步行的速度应控制在? 43 , 14 ? ? ?

[](单位:m/min)范围内.

[模型归纳] 应用三角知识解决实际问题的模型示意图如下:

[变式训练]
如图所示,一辆汽车从 O 点出发沿一条直 线公路以 50 公里/小时的速度匀速行驶(图 中的箭头方向为汽车行驶方向),汽车开动 的同时,在距汽车出发点 O 点的距离为 5 公里、距离公路线的垂直距离为 3 公里的点 M 的地方,有一个人 骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车的人至少 以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望,此时他驾驶摩托车行 驶了多少公里?

解:作MI垂直公路所在直线于点I,则MI=3, 4 ∵OM=5,∴OI=4,∴cos∠MOI= 5 .设骑摩托车的人的速度为v公 里/小时,追上汽车的时间为t小时, 4 由余弦定理得(vt)2=52+(50t)2-2×5×50t×5,
?1 ?2 25 400 即v = t2 - t +2 500=25? t -8? +900≥900, ? ?
2

1 30 15 ∴当t=8时,v取得最小值为30,∴其行驶距离为vt= 8 = 4 公里. 故骑摩托车的人至少以30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望,此 15 时他驾驶摩托车行驶了 4 公里.

预测演练提能