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高中数学3.2-2古典概型(2)_图文

第2课时 古典概型(2)
【课标要求】 1.正确理解古典概型的两大特点,掌握古典概型的概率计 算公式; 2.通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养 成动手、动脑的良好习惯;

3.通过数学与探究活动,体会理论来源于实践并应用于实
践的辩证唯物主义观点. 【核心扫描】

1.正确理解掌握古典概型及其概率公式.(重点)
2.通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法.(难点)

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自学导引 1.基本事件总数的确定方法 (1)枚举法:把所有的基本事件 一一列举 出来; (2)列表法(树状图):适合基本事件较多的情况.

2.解决古典概型问题的注意点
(1)要分清基本事件总数n与事件A 所包含基本事件 的个数m. (2)要明确本试验是等可能的 ,基本事件有 有限个 ,事件A

是什么等.

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想一想:1.古典概型的特点有哪些?

提示

有限性,即所有的基本事件只有有限个;等可能

性,即每个基本事件的发生都是等可能的. 2.对于古典概型的一些问题,求m,n的值可有哪些方

法?
提示 列(枚)举法、树形(状)图法和图表法等.

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名师点睛 1.运用公式计算时,关键在于求出m、n,在求n时,应注 意 n 种结果,必须是等可能的,在这一点上比较容易出错,例 如,先后抛掷两枚均匀的硬币,共出现“正,正”,“正,

反”,“反,正”,“反,反”这四种等可能的结果,如果认
为只有“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”这三种结 果,那么显然这三种结果不是等可能的,在求m时,可利用列举 法或者结合图形采取列举的方法,数出事件A发生的结果数.

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2.计算方法除了要掌握枚举法、列表法和树状图法外,最后 n?n-1? 知道从 n 个元素中取出 2 个元素的取法种数为 .从 n 个元素 2 抽取 2 个元素,一次抽取 2 个和依次抽取,每次抽取一个是不相 同的,前者无顺序要求,后者有顺序要求,另外,依次抽取时, 取后放回与取后不放回也是不同的.

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题型一 不放回取样问题的概率 【例1】 从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的3件产品中 每次任取1件,每次取出后不放回,连续取两次,求取出的两件 产品中恰有一件次品的概率.

[思路探索] 计算古典概型概率就是要计算基本事件总数和
事件A所包含的基本事件数,能列举的应一一列举,或借助树形 图和图表的直观性来解决.

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解 法一 (列举法) 从三件产品中不放回地取出两件,基本事件的个数不是很大, 我们可以一一列举出来. 每次取一个,取后不放回地连续取两次,基本事件如下:(a1, a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2).共有 6 个, 由于是随机地抽取, 我们认为这些基本事件的出现是等可能的. 用 A 表示“取出的两件中,恰好有一件次品”这一事件,A 共包含以 下 4 个基本事件:(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),∴P(A) 4 2 = = . 6 3

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法二 (列表法) 从含有两件正品a1、a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1 件,每次取出后不放回,连续取两次,可能出现的情况如下

表:
第二次所取产品 a1 a2 b1 选取结果 第一次所取产品 a1 (a1,a1) (a1,a2) (a1,b1) a2 (a2,a1) (a2,a2) (a2,b1) b1 (b1,a1) (b1,a2) (b1,b1)

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因为每次取出后不放回,所以两次所取产品不可能为同一 产品,因此应去掉如图所示左上到右下对角线上的三种结果,

故共有9-3=6(种)不同情况,即n=6.设事件A为“取出的两件
中,恰好有一件次品”,即含有b1的情况,由表易知共有4种, 即m=4,

4 2 ∴P(A)= = . 6 3

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法三 (坐标法)

从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1
件,每次取出后不放回,连续取两次,可能出现的情况如图所 示.

因为每次取出后不放回,所以应去掉角平分线上的情况,因 此共有 9-3=6(种)情况, 其中, 含有 b1 产品的基本事件共有 4 种, 4 2 ∴P(A)= = . 6 3
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法四 (树形图法) 从含有两件正品 a1, 2 和一件次品 b1 的 3 件产品中每次任取 1 a 件,每次取出后不放回,连续取两次的所有可能结果可用树形图列 举如下:

因此共有 2×3=6(种)情况,而事件 A 为“取出的两件中,恰 有一件次品”包含 4 种情况. 4 2 ∴P(A)= = . 6 3

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规律方法

所求事件的基本事件个数不易把握,很容易出

现遗漏或重复,可借助直观图形,以便准确把握基本事件的个
数.本题用四种解法作了介绍,值得学习和借鉴.

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【变式1】 一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑

球.
(1)若从口袋中随机地摸出一个球,求恰好是白球的概率; (2)若从口袋中一次随机地摸出两个球,求恰好都是白球的

概率.

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解 (1)设“从口袋中随机地摸出一个球恰好是白球”为事件 2 A,则 P(A)= . 5 2 所以若从口袋中随机地摸出一个球,恰好是白球的概率为 . 5 (2)设“从口袋中一次随机地摸出两个球,恰好是白球”为事 1 1 件 B,则 P(B)= = . 5×4 10 2 所以若从口袋中一次随机地摸出两个球,恰好都是白球的概 1 率为 . 10
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题型二 还原取样问题的概率

【例2】 从0,1,2,?,9这十个数字中随机地连续取5个数
字,并且每取一个记录结果后放回,按其出现的先后次序排成 一排.求下列事件的概率:

(1)A1={五个数字排成一个五位偶数};
(2)A2={五个数字排成一个五位数}. [思路探索] 设想有五个方格,每个方格放入0~9这十个数 字中的一个数字,由于是还原的,所以每格放法均为10,所以 放法总数为105,每一个放法对应一个基本事件,所以基本事件 总数n=105个,然后即可求解.

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解 (1)组成五位偶数的方法是万位有 9 种填法,千位、百位 和十位均有 10 种填法,个位有 5 种填法,故 A1 含有基本事件数 m1=9×103×5,
3 m1 9×10 ×5 9 ∴P(A1)= = = . n 105 20

(2)A2 含有基本事件 9×104 个, 9×104 9 故 P(A2)= = . 105 10
规律方法 本题是一道还原取样问题,所谓n次还原取样是 指每次抽取一个元素,记下结果后即把此元素放回,这样抽取n 次即得由n个元素组成的排列.若两个排列虽然所含元素完全相 同,但次序不同,也认为是不同的结果.
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【变式2】 袋中装有大小均匀,分别写有1,2,3,4,5五个号码

的小球各一个,现从中有放回地任取三个球,求下列事件的概
率: (1)所取的三个球号码完全不同;

(2)所取的三个球号码中不含4和5.
解 从五个不同的小球中,有放回地取出三个球,每一个 基本事件可视为通过有顺序的三步完成:①先取1个球,记下号 码再放回,有5种情况;②再从5个球中任取1个球,记下号码再 放回,仍然有5种情况;③再从5个球中任取1个球,记下号码再 放回,还是有5种情况.因此从5个球中有放回地取3个球,共有 基本事件n=5×5×5=125(个).

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(1)记“三个球号码不同”为事件 A,这三个球的选取仍然为 有顺序的三次,第一次取球有 5 种情况,第二,三次依次有 4 种, 3 种情况,∴事件 A 含有基本事件的个数 m=5×4×3=60(个), m 60 12 ∴P(A)= = = . n 125 25 (2)记“三个球号码中不含 4 和 5”为事件 B, 这时三个球的选 取还是为有顺序的三次,由于这时前面选的球后面仍然可以选, 因此三次选取的方法种数都是 3, ∴B 中所含基本事件的个数为 m m 27 =3×3×3=27(个),∴P(B)= = . n 125

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题型三 与统计综合的古典概型问题

【例3】 (16分)某厂生产篮球、足球、排球,三类球均有
A、B两种型号,该厂某天的产量如下表(单位:个): 篮球 足球 排球 A型 B型 120 180 100 200 x 300

在这天生产的6种不同类型的球中,按分层抽样的方法抽取 20个作为样本,其中篮球有6个. (1)求x的值;

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(2)在所抽取6个篮球样本中,经检测它们的得分如下:
9.4 9.2 8.7 9.3 9.0 8.4 把这6个篮球的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该

数与样本平均数之差的绝对值不超过0.3的概率;
(3)在所抽取的足球样本中,从中任取2个,求至少有1个为 A型足球的概率. 审题指导 本题考查分层抽样与古典概型概率的计算,同时 还考查了平均数的计算,是一道概率与统计的综合题.

【解题流程】

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[规范解答] (1)设该厂这天生产篮球、 足球、 排球的总数为 n, 20 6 由题意得: = , n 120+180 所以 n=1 000,(3 分) ∴x=n-120-180-100-200-300=100. (5 分) 1 (2)样本的平均数为 x = (9.4+9.2+8.7+9.3+9.0+8.4)=9.0 6 (7 分) 那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0.3 的数为 9.2,8.7, 9.3,9.0 共 4 个数,总个数为 6. (9 分) 4 所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.3 的概率为 = 6 2 . 3
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(2 分)

(10 分)
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(3)设 A、B 型足球抽取的个数分别为 n1,n2; 20 n1 n2 由分层抽样的方法知: = = ,所以 n1=2,n2=4. 1 000 100 200 (11 分) 即 A、B 型足球的个数分别为 2,4 又 2 个 A 型足球记作 A1、A2,4 个 B 型足球记作 B1,B2,B3, B4 . 则从中任取 2 个的所有基本事件为: (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1), (A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4), (B2,B3),(B2,B4),(B3,B4),共 15 个(13 分) 其中至少一个 A 型足球的基本事件有 9 个:(A1,A2),(A1, B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3), (A2,B4), (15 分) 9 3 所以从中任取 2 个,至少有 1 个为 A 型足球的概率为 = . 15 5 (16 分)
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【题后反思】 解决本题这样综合性较强的问题时要先依据

相关知识(分层抽样)解x再依据古典概型的方法一一列举出满足
条件的基本事件,从而得到所求的概率.

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【变式3】 一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均

有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):
轿车A 舒适型 100 轿车B 150 轿车C z

标准型

300

450

600

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆, 其中有A类轿车10辆. (1)求z的值; (2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样 本,将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适 型轿车的概率;
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(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测

它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得
分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差 的绝对值不超过0.5的概率.
50 10 解 (1)设该厂本月生产轿车为 n 辆,由题意得 = , n 100+300 所以 n=2 000; z=2 000-100-300-150-450-600=400.

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(2)设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法 400 m 在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本,所以 = ,解得 m 1 000 5 =2 也就是抽取了 2 辆舒适型轿车, 辆标准型轿车, 3 分别记作 S1, S2;B1,B2,B3,则从中任取 2 辆的所有基本事件为(S1,B1),(S1, B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2),(B1,B2), (B2,B3),(B1,B3)共 10 个,其中至少有 1 辆舒适型轿车的基本事 件有 7 个基本事件:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3)(S2,B1),(S2,B2), (S2,B3),(S1,S2),所以从中任取 2 辆,至少有 1 辆舒适型轿车的 7 概率为 . 10

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1 (3)样本的平均数为 x = (9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0 8 +8.2)=9,那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的数为 9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0 这 6 个数, 总的个数为 8,所以该数与样本平 6 均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率为 =0.75. 8

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误区警示 对有无顺序认识不清而出错

【示例】 一个家庭有两个小孩,求这个家庭的两个小孩是
一个男孩一个女孩的概率.

[错解] 一个家庭有两个小孩的所有可能的情况为{(男,男), (男,女),(女,女)}.这个家庭“有一男孩,一女孩”为{(男,女)} 1 一种情况,因此概率为 P= . 3 思维突破 有两个小孩所有可能的情况为{(男,男),(男,
女),(女,男),(女,女)}四种而不是三种,该家庭中的情况为 {(男,女),(女,男)}两种,而不是一种,把有两个小孩所有可 能的情况和适合条件的情况列举错误导致整个题出错!

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[正解] 一个家庭有两个小孩的所有可能的情况为{(男,男), (男,女),(女,男),(女,女)},这个家庭“有一个男孩,一个女 2 1 孩”为{(男,女),(女,男)}两种情况,因此概率为 P= = . 4 2 m 追本溯源 根据公式 P(A)= 进行概率计算时, 关键是求出 n, n
m 的值,在求 n 的值时,应注意所有可能的结果必须是等可能的.

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