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【志鸿优化设计 赢在课堂】2015秋高中数学 3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式课件 新人教A版必修4

3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切 公式

一、[复习回顾,承上启下] 复习:

cos(α -β )=_______________________________ Cos(α +β )=_______________________________ sin(α -β )=_______________________________ sin(α +β )=_______________________________ tan(α +β )=________________________________ tan(α -β )=________________________________

练 习:
(1)在△ABC 中, sin A sin B ? cos A cos B ,则△ABC 为( A.直角三角形 (2) B.钝角三角形 ) D. ? 2 C.锐角三角形 ) D.等腰三角形

? ? 3 cos ? sin 的值为 ( 12 12
A. 0 B.2 C. 2

? 3? 12 3 思考:已知 ? ? ? ? ? , cos(? ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? ? ,求 sin 2? 2 4 13 5
我们由此能否得到 sin 2? ,cos2? ,tan 2? 的公式呢?

二、[学生探索,揭示规律]

1. sin 2? ? 2sin ? cos ?
2 2

2. co s 2? ? cos ? ? sin ? =__________________=____________________ 3. tan 2? ? ______________________
变式:
2cos2 ? ? 1 ? cos 2? 2sin 2 ? ? ________________

三、[运用规律,解决问题]

5 ? ? , ? ? ? , 求 sin 4? , cos 4? , tan 4? 的值. 例 1、已知 sin 2? ? 13 4 2
解:由

?

4

?? ?

?

2

,得

?

2

? 2? ? ? .
2

12 5 ?5? , cos 2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? ? 1 ? ? ? ? ? . 又因为 sin 2? ? 13 13 ? 13 ?
于是 sin 4? ? 2sin 2? cos 2? ? 2 ?

5 ? 12 ? 120 ; ??? ? ? ? 13 ? 13 ? 169
2

120 sin 4? 120 ? 5 ? 119 ? 169 ? ? ; tan 4? ? . cos 4? ? 1 ? 2sin 2 2? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 119 cos 4? 119 ? 13 ? 169 169 ?

4 2 A ? 2B)的值。 例 2.在△ABC 中, cos A ? , tan B ? 2, 求 tan( 5
解:方法一:在△ABC 中,由 cosA=

4 ,0<A<π,得 5

4 2 3 sinA= 1 ? cos A ? 1 ? ( ) ? . 5 5
2

sin A 3 5 3 所以 tanA= = × = , cos A 5 4 4 3 2? 2 tan A 4 ? 24 tan2A= ? 3 2 7 1 ? tan2 A 1? ( ) 4
又 tanB=2,

2 tan B 2? 2 4 ? ? ? . 所以 tan2B= 2 2 3 1 ? tan B 1 ? 2

24 4 ? tan2 A ? tan 2 B 44 7 3 于是 tan(2A+2B)= ? ? . 24 4 1 ? tan2 A tan 2 B 177 1 ? ? (? ) 7 3 4 方法二:在△ABC 中,由 cosA= ,0<A<π,得 5
sinA= 1 ? cos A ? 1 ? ( ) ?
2 2

4 5

3 . 5

sin A 3 5 3 ? × = .又 tanB=2, cos A 5 4 4 3 ?2 tan A ? tan B 11 所以 tan(A+B)= ? 4 ?? 3 1 ? tan A tan B 2 1? ? 2 4
所以 tanA= 于是 tan(2A+2B)=tan[2(A+B)]

11 ) 2 tan(A ? B) 2 ? 44 . = ? 11 117 1 ? tan2 ( A ? B) 1 ? (? ) 2 2 2 ? (?

四、[变式演练,深化提高]
1.不查表,求值:sin15° +cos15° .?

6 解:原式= (sin15 ? cos15 ) ? sin 15 ? 2 sin 15 ? cos 15 ? 2
? ? 2 2 ? ? 2 ?

2. 求 sin10°sin30°sin50°sin70°的值.
解:原式=cos80° cos60° cos40° cos20°

2 3 ? sin 20? cos20? cos 40? cos80? = 2 3 ? 2 sin 20? sin 160? sin 20? 1 ? ? = 16sin 20 ? 16sin 20? 16.

3. 已知 cosα=

1 13 ? ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< , 7 14 2

(1)求 tan2α 的值; (2)求 β. 1 2 4 3 1 ? 2 解:(1)由 cosα= ,0<α< ,得 sinα= 1 ? cos a = 1 ? ( ) ? . 7 2 7 7
∴tanα=

sin a 4 3 7 2 t an a 2? 4 3 8 3 = ? ? ? . ? =4 3 .于是 tan2α= 2 2 cos a 47 7 1 1 ? t an a 1 ? t an a

(2)由 0<α<β<

?
2

,得 0<α-β<

?
2

.

又∵cos(α-β)= 由 β=α-(α-β),得

13 2 3 3 13 2 . ,∴sin(α-β)= 1 ? cos (a ? ? ) ? 1 ? ( ) ? 14 14 14
1 13 4 3 1 3 3 × + = . ? 7 14 2 7 14

cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)= ∴β=

?
3

.

五、[反思小结,观点提炼]
1.先由学生回顾本节课都学到了什么?有哪些收获?对前面学过的两角和公式有 什么新的认识?对三角函数式子的变化有什么新的认识?怎样用二倍角公式进行 简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明. 2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导,明白从一般到特殊 的思想,并要正确熟练地运用二倍角公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称 、角的关系,一个题目能给出多种解法,从中比较最佳解决问题的途径,以达到 优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的.

六、[作业精选,巩固提高] 1.课本第135页练习第1,2,3,4,5题
2.课本第138页习题3.1A组第14,15,16,17,18,19,题B组第1 题.