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湖南省株洲市第二中学2015-2016学年高二数学上学期第三次月考试题 文


高二年级第三次月考文科数学试题
时量:120 分钟 满分:150 分

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目 要求的.)

(1 ? i ) 2 1、 已知复数 z ? ( i 为虚 数单位) ,则复数 z ? ( 1? i
A、 1 ? i B、 1 ? i C、

) D、 ?1 ? i

?1 ? i

x

2. 下列函数中,既不是奇函数,也 不是偶函数的是( A. y ? x ? sin x
2

B. y ? x ? cos x
2

C. y ? 2 ?

1 2x


D. y ? x ? sin 2 x

3. 在区间 [?2,3] 上随机选取一个数 X ,则 X ? 1 的概率为(

A.

4 5
0.6

B.

3 5
1.5 0.6

D.

2 3

D.

1 5
)

4. 设 a ? 0.6 ,b ? 0.6 ,c ? 1.5 , 则 a,b,c 的大小关系是( A. a<b<c B. a<c<b C. b<a<c D. b<c<a

(4 x ? 5. 要得到函数 y ? sin

? ) 的图象,只需要将函数 y ? sin4 x 的图象( ) 3
B.向右平移

A.向左平移

? 个单位 12

? 个单位 12

C.向左平移

? 个单位 3

D.向右平移

? 个单位 3
)

6. 设 a, b 为正实数, 则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( A.充要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D .既不 充分也不必要条件

7. 某几何体的三视图如图所示 (单位: , 则该几何体的体积是 ( cm ) A. 8 cm3 B. 12 cm3
2



C.

32 cm3 3

D. )

40 cm3 3

8. .函数 f (x) = log 2 (x +2x - 3) 的定义域是( A. [- 3,1] B. (- 3,1)

C. (??, ?3] ? [1, ??)

D. (??, ?3) ? (1, ??)

1

9. 已知非零向量 a, b 满足 |b|=4|a|,且a ? (2a +b ) 则 a与b 的夹角为( A.

? ?

?

?

?

? ?

?

?



? 3
? ?

B.

? 2

C.

2? 3

D.

5? 6


10. 函数 f ? x ? ? ? x ?

1? ? cos x ( ?? ? x ? ? 且 x ? 0 )的图 象可能为( x?

11. 设函数 f ( x) ? ?

?3x ? b, x ? 1 5 ,若 f ( f ( )) ? 4 ,则 b ? ( x 6 ? 2 , x ?1
C.

)

A. 1

B.

7 8

3 4

D.

1 2

? 2 x ? y ? 10 ? 12. 设实数 x,y 满足 ? x ? 2 y ? 14 ,则 xy 的最大值为( ?x ? y ? 6 ?
A.

)

25 2

B.

49 2

C.12

D.14

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 20 分 13. lg

5 1 ? 2 lg 2 ? ( ) ?1 ? 2 2

. .

? ? 14. 在 ?ABC 中, AB ? 6 , ?A ? 75 , ?B ? 45 ,则 AC ?

15. 已知数列 ?an ? 是首项、公比都为正数的等比数列,数列 ?

?

1 ? ? 的前 n 项和为 ? an ? an?1 ?

( 8 4 n ? 1) ,则数列 {an } 的通项公式为 3

.

16. 在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 y ? 2a 与函数 y ?| x ? a | ?1 的图像只有一个交点, 则 a 的值为 .

2

三.解答 题:本大题共 6 小题,共 70 分 17. 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)2 ? cos 2x (Ⅰ)求 f ( x ) 最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值和最小值.

18. 设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27,9,18,先采用分层抽样的方法从 这三个协会中抽取 6 名运动员参加比赛. (I)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数; (II)将抽取的 6 名运动员进行编号,编号分别为 A 1 , A2 , A 3 , A4 , A 5, A 6 ,从这 6 名运动员中 随机抽取 2 名参加双打比赛. (i)用所给编号列出所有可能的结果; (ii) 设 A 为事件“编号为 A5 , A6 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件 A 发生的概率.

19. 如图,已知 AA1 ? 平面

ABC, BB1 ? AA1 , AB=AC=3, BC ? 2 5, AA 1 ? 7 ,, BB 1 ? 2 7, 点 E,F 分别是 BC, AC 的中点. 1
(I)求 证:EF ? 平面 A 1B 1BA ; (II)求证:平面 AEA 1 ? 平面 BCB1 . (III)求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小.

3

20..已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ? an -1 ? 2 ( n ? 2 ) (I)求数列 ?an ? 的通项公式和它的前 n 项和 Sn ; (II)设 bn ? ? an ? 1? ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
a

21. 已知函数 f ( x) ? 4x ? x4 , x ? R, (I)求 f ( x ) 的单调区间; (II)设曲线 y = f ( x) 与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y = g ( x) , 求证:对于任意的正实数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) ; ( III ) 若 方 程 f ( x)=a(a为实数) 有 两 个 正 实 数 根 x1,x2,且 x1 < x2 , 求

a 1 证: x2 -x1 < - + 4 3 . 3

22. 平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

3 x2 y2 ,且 + 2 =1(? > b >0) 的离心率为 2 2 ? b

点( 3 ,

1 )在椭圆 C 上. 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 E :

x2 y2 + =1 , P 为椭圆 C 上任意一点 ,过点 P 的直线 y = kx + m 4a 2 4b 2

交椭圆 E 于 A, B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q .

(i)求

|OQ | 的值; |OP |

(ii)求 ?ABQ 面积的最大值.

4

高二年级第四次月考文科数学试题 一、 选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.) 1. D 2. A 3. B 4. C 5. B 6. A 7. C 8. D 9. C 10. D 11. D 12.

A
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 20 分 13. -1 14. 2

?1? 15. an ? ? ? ?2?

n

16. ?

1 . 2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分 17. 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)2 ? cos 2x (Ⅰ)求 f ( x ) 最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值和最小值.

18. 设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27,9,18,先采用分层抽样的方法从 这三个协会中抽取 6 名运动员参加比赛. (I)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数; (II)将抽取的 6 名运动员进行编号,编号分别为 A 1 , A2 , A 3 , A4 , A 5, A 6 ,从这 6 名运动员中 随机抽取 2 名参加双打比赛. (i)用所给编号列出所有可 能的结果;

5

(ii) 设 A 为事件“编号为 A5 , A6 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件 A 发生的概率. 【答案】 (I)3,1,2;(II) (i)见试题解析;(ii)

3 5

( ii ) 编 号 为 A5 , A6 的 两 名 运 动 员 至 少 有 一 人 被 抽 到 的 结 果 为 ? A 1, A 5? , ? A 1, A 6? ,

? A2 , A5? , ? A2 , A6? , ? A3 , A5? , ? A3 , A6? , ? A4 , A5? , ? A4 , A6? , ? A5 , A6? ,共 9
A 发生的概率 P ? A ? ?

种,所以事件

9 3 ? . 15 5

19. 如图,已知 AA1 ? 平面 ABC, BB1 ? AA1 ,

AB=AC=3, BC ? 2 5, AA 1 ? 7 ,, BB 1 ? 2 7, 点 E,F 分别是 BC, AC 的中点. 1
(I)求证:EF ? 平面 A 1B 1BA ; (II)求证:平面 AEA 1 ? 平面 BCB1 . (III)求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小. 【答案】 (I )见试题解析;(II)见 试题解析;(III) 30? 【解析】

( II)因为 AB=AC,E 为 BC 中点 ,所以 AE ? BC , 因为 AA1 ? 平面 ABC, BB1 ? AA1 , 所以

AE ? 平 面 BCB BB1 ? 平 面 ABC, 从 而 BB 1 ? AE , 又 BC ? BB 1 ? B ,所以 1 ,又因为 AE ? 平面 AEA1 ,所以平面 AEA1 ? 平面 BCB1 .
6

(III) 取 BB1 中点 M 和 B1C 中点 N,连接 A 1C ,BC 中点, 1M , A 1 N , NE , 因为 N 和 E 分别为 B 所以 NE ? BB1 , NE ?

1 BB1 ,故 NE ? AA1 , NE ? AA1 ,所以 A1 N ? AE , A1 N ? AE ,又 2

因为 AE ? 平面 BCB1 ,

20.已知数列 ?an ? 是首项为正数的等差数列,数列 ? (I)求数列 ?an ? 的通项公式;

?

1 ? n . ? 的前 n 项和为 2n ? 1 ? an ? an ?1 ?

(II)设 bn ? ? an ? 1? ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
a

【答案】 (I) an ? 2n ?1. (II) Tn ? 【解析】

4 ? (3n ? 1) ? 4n?1 . 9

7

21. 已知函数 f ( x) = 4x - x4 , x ? R, (I)求 f ( x ) 的单调区间; (II)设曲线 y = f ( x) 与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y = g ( x) ,求 证:对于任意的正实数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) ; (III)若方程 f ( x)=a(a为实数) 有两个正实数根 x1,x2, 且 x1 < x2 ,求 证: x2 -x1 < -

a 1 + 43 . 3

【答案】 (I) f ? x ? 的单调递增区间是 ? ??,1? ,单调递减区间是 ?1, ?? ? ;(II)见试题解 析; (III)见试题解析. 【解析】

8

由于 f ? ( x) = 4- 4x3 在 ? ??, ??? 单 调 递 减 , 故 F ? ? x ? 在 ? ??, ??? 单 调 递 减 , 又 因为

F ? ? x0 ? ? 0 ,所以当 x ? ? ??, x0 ? 时 , F ? ? x ? ? 0 , 所以当 x ? ? x0 , ??? 时 , F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x?
在 ? ??, x0 ? 单 调 递 增 , 在

? x0 , ???

单调递减,所以对任意的实数

x, F ? x ? ? F ? x0 ? ? 0 ,对于任意的正实数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) .
3 ? 4 ( III ) 由 ( II ) 知 g ? x? ? ?1 2? x ? , 设 方 程 g ? x? ? a

? ?

1

? ?

的 根 为 x2? , 可 得

x2? ? ?

1 a ? 43 , 因 为 g ? x? 12



? ??, ???

单 调 递 减 , 又 由 ( II ) 知

g? 2 x? ?

?f ? 2 x?

,所以 ? a ?g x x2 ? x2? .类似的,设曲线 y ? f ? x ? 在原点处的切线 2
4

? ?

为 y ? h ? x ? , 可得 h ? x? ? 4 x , 对任意的 x ? ? ?? , ?? ? , 有 f ? x? ? h ? x? ? ?x ? 0 即

f ? x? ? h ? x?

. 设 方 程 h ? x? ? a 的 根 为 x1? , 可 得 x1? ? 单 调 递 增 , 且 h x1? ? a ? f ? x1 ? ? h ? x1 ?
1

? ??, ???

? ?

a , 因 为 h ? x? ? 4 x 在 4
所 以

, 因 此 , x1? ? x1 ,

a x2 ? x1? ? x2 ? ?x ? ? 43 . 1? 3
22. 平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

3 x2 y2 ,且 + 2 =1(? > b >0) 的离心率为 2 2 ? b

点( 3 ,

1 )在椭圆 C 上. 2

9

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 E :

x2 y2 + =1 , P 为椭圆 C 上任意一点 ,过点 P 的直线 y = kx + m 4a 2 4b 2

交椭圆 E 于 A, B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q .

(i)求

|OQ | 的值; |OP |

(ii)求 ?ABQ 面积的最大值.

【答案】 (I)

x2 | OQ | ? y 2 ? 1; ?2; (II) (i) (ii) 6 3. 4 | OP |

(i)设 P( x0 , y0 ),

| OQ | ? ? , 由题意知 Q(?? x0 , ?? y0 ) . | OP |

10

11


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