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相似三角形专题解答题试题精选一附答案

相似三角形专题解答题试题精选一附答案
一.解答题(共 30 小题) 1. (2015?咸宁)如图,在△ ABC 中,AB=AC,∠A=36°,BD 为角平分线,DE⊥AB,垂 足为 E. (1)写出图中一对全等三角形和一对相似比不为 1 的相似三角形; (2)选择(1)中一对加以证明.

2. (2015?南京)如图,△ ABC 中,CD 是边 AB 上的高,且 (1)求证:△ ACD∽△CBD; (2)求∠ACB 的大小.

=



3. (2015?宁夏)在平行四边形 ABCD 中,E 为 BC 边上的一点.连结 AE. (1)若 AB=AE,求证:∠DAE=∠D; (2)若点 E 为 BC 的中点,连接 BD,交 AE 于 F,求 EF:FA 的值.

4. (2015?滨州)如图,已知 B、C、E 三点在同一条直线上,△ ABC 与△ DCE 都是等边三 角形,其中线段 BD 交 AC 于点 G,线段 AE 交 CD 于点 F,求证: (1)△ ACE≌△BCD; (2) = .

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5. (2015?黄石)在△ AOB 中,C,D 分别是 OA,OB 边上的点,将△ OCD 绕点 O 顺时针 旋转到△ OC′D′. (1)如图 1,若∠AOB=90°,OA=OB,C,D 分别为 OA,OB 的中点,证明:①AC′=BD′; ②AC′⊥BD′; (2)如图 2,若△ AOB 为任意三角形且∠AOB=θ,CD∥AB,AC′与 BD′交于点 E,猜想 ∠AEB=θ 是否成立?请说明理由.

6. (2015?乐山)如图 1,四边形 ABCD 中,∠B=∠D=90°,AB=3,BC=2,tanA= . (1)求 CD 边的长; (2)如图 2,将直线 CD 边沿箭头方向平移,交 DA 于点 P,交 CB 于点 Q(点 Q 运动到点 B 停止) .设 DP=x,四边形 PQCD 的面积为 y,求 y 与 x 的函数关系式,并求出自变量 x 的 取值范围.

7. (2015?上海)已知,如图,平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O,点 E 在边 BC 的延 长线上,且 OE=OB,连接 DE. (1)求证:DE⊥BE; (2)如果 OE⊥CD,求证:BD?CE=CD?DE.

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8. (2015?茂名)如图,Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm.动点 M 从点 B 出 发,在 BA 边上以每秒 3cm 的速度向定点 A 运动,同时动点 N 从点 C 出发,在 CB 边上以 每秒 2cm 的速度向点 B 运动,运动时间为 t 秒(0<t< (1)若△ BMN 与△ ABC 相似,求 t 的值; (2)连接 AN,CM,若 AN⊥CM,求 t 的值. ) ,连接 MN.

9. (2015?厦门)如图,在△ ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,若 DE∥BC,AD=3, AB=5,求 的值.

10. (2015?杭州)如图,在△ ABC 中(BC>AC) ,∠ACB=90°,点 D 在 AB 边上,DE⊥AC 于点 E. (1)若 = ,AE=2,求 EC 的长;

(2)设点 F 在线段 EC 上,点 G 在射线 CB 上,以 F,C,G 为顶点的三角形与△ EDC 有 一个锐角相等,FG 交 CD 于点 P.问:线段 CP 可能是△ CFG 的高线还是中线?或两者都 有可能?请说明理由.

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11. (2015?绥化)如图 1,在正方形 ABCD 中,延长 BC 至 M,使 BM=DN,连接 MN 交 BD 延长线于点 E. (1)求证:BD+2DE= BM. (2)如图 2,连接 BN 交 AD 于点 F,连接 MF 交 BD 于点 G.若 AF:FD=1:2,且 CM=2, 则线段 DG= .

12. (2015?岳阳)如图,正方形 ABCD 中,M 为 BC 上一点,F 是 AM 的中点,EF⊥AM, 垂足为 F,交 AD 的延长线于点 E,交 DC 于点 N. (1)求证:△ ABM∽△EFA; (2)若 AB=12,BM=5,求 DE 的长.

13. (2015?淄博)如图,在△ ABC 中,点 P 是 BC 边上任意一点(点 P 与点 B,C 不重合) , 平行四边形 AFPE 的顶点 F,E 分别在 AB,AC 上.已知 BC=2,S△ ABC=1.设 BP=x,平行 四边形 AFPE 的面积为 y. (1)求 y 与 x 的函数关系式; (2)上述函数有最大值或最小值吗?若有,则当 x 取何值时,y 有这样的值,并求出该值; 若没有,请说明理由.

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14. (2015?大连) 在△ ABC 中, 点 D, E, F 分别在 AB, BC, AC 上, 且∠ADF+∠DEC=180°, ∠AFE=∠BDE. (1)如图 1,当 DE=DF 时,图 1 中是否存在与 AB 相等的线段?若存在,请找出,并加以 证明;若不存在,说明理由; (2)如图 2,当 DE=kDF(其中 0<k<1)时,若∠A=90°,AF=m,求 BD 的长(用含 k, m 的式子表示) .

15. (2015?湘潭)如图,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,△ ACD 沿 AD 折叠,使得点 C 落在斜 边 AB 上的点 E 处. (1)求证:△ BDE∽△BAC; (2)已知 AC=6,BC=8,求线段 AD 的长度.

16. (2015?抚顺)在 Rt△ ABC 中,∠BAC=90°,过点 B 的直线 MN∥AC,D 为 BC 边上一 点,连接 AD,作 DE⊥AD 交 MN 于点 E,连接 AE. (1)如图①,当∠ABC=45°时,求证:AD=DE; (2)如图②,当∠ABC=30°时,线段 AD 与 DE 有何数量关系?并请说明理由; (3)当∠ABC=α 时,请直接写出线段 AD 与 DE 的数量关系. (用含 α 的三角函数表示)

17. (2015?威海) (1) 如图 1, 已知∠ACB=∠DCE=90°, AC=BC=6, CD=CE, AE=3, ∠CAE=45°, 求 AD 的长. (2)如图 2,已知∠ACB=∠DCE=90°,∠ABC=∠CED=∠CAE=30°,AC=3,AE=8,求 AD 的长.

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18. (2015?赤峰)如图,直线 y=﹣2x+4 与坐标轴分别交于 C、B 两点,过点 C 作 CD⊥x 轴,点 P 是 x 轴下方直线 CD 上的一点,且△ OCP 与△ OBC 相似,求过点 P 的双曲线解析 式.

19. (2015?连云港) 如图, 在△ ABC 中, ∠ABC=90°, BC=3, D 为 AC 延长线上一点, AC=3CD, 过点 D 作 DH∥AB,交 BC 的延长线于点 H. (1)求 BD?cos∠HBD 的值; (2)若∠CBD=∠A,求 AB 的长.

20. (2015?泰安)如图,在△ ABC 中,AB=AC,点 P、D 分别是 BC、AC 边上的点,且 ∠APD=∠B. (1)求证:AC?CD=CP?BP; (2)若 AB=10,BC=12,当 PD∥AB 时,求 BP 的长.

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21. (2015?武汉)已知锐角△ ABC 中,边 BC 长为 12,高 AD 长为 8. (1)如图,矩形 EFGH 的边 GH 在 BC 边上,其余两个顶点 E、F 分别在 AB、AC 边上, EF 交 AD 于点 K. ①求 的值;

②设 EH=x,矩形 EFGH 的面积为 S,求 S 与 x 的函数关系式,并求 S 的最大值; (2)若 AB=AC,正方形 PQMN 的两个顶点在△ ABC 一边上,另两个顶点分别在△ ABC 的另两边上,直接写出正方形 PQMN 的边长.

22. (2015?邵阳)如图,某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场 旗杆 AB 的高度,他们通过调整测量位置,使斜边 DF 与地面保持平行,并使边 DE 与旗杆 顶点 A 在同一直线上,已知 DE=0.5 米,EF=0.25 米,目测点 D 到地面的距离 DG=1.5 米, 到旗杆的水平距离 DC=20 米,求旗杆的高度.

23. (2015?陕西)晚饭后,小聪和小军在社区广场散步,小聪问小军:“你有多高?”小军一 时语塞.小聪思考片刻,提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高.于是,两 人在灯下沿直线 NQ 移动,如图,当小聪正好站在广场的 A 点(距 N 点 5 块地砖长)时, 其影长 AD 恰好为 1 块地砖长;当小军正好站在广场的 B 点(距 N 点 9 块地砖长)时,其 影长 BF 恰好为 2 块地砖长.已知广场地面由边长为 0.8 米的正方形地砖铺成,小聪的身高 AC 为 1.6 米, MN⊥NQ, AC⊥NQ, BE⊥NQ. 请你根据以上信息, 求出小军身高 BE 的长. (结 果精确到 0.01 米)

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24. (2015?崇左)一块材料的形状是锐角三角形 ABC,边 BC=120mm,高 AD=80mm,把 它加工成正方形零件如图 1,使正方形的一边在 BC 上,其余两个顶点分别在 AB,AC 上. (1)求证:△ AEF∽△ABC; (2)求这个正方形零件的边长; (3)如果把它加工成矩形零件如图 2,问这个矩形的最大面积是多少?

25. (2015?湖州模拟)如图,在正方形 ABCD 中,E、F 分别是边 AD、CD 上的点, ,连接 EF 并延长交 BC 的延长线于点 G. (1)求证:△ ABE∽△DEF; (2)若正方形的边长为 4,求 BG 的长.

26. (2015?镇江)某兴趣小组开展课外活动.如图,A,B 两地相距 12 米,小明从点 A 出 发沿 AB 方向匀速前进,2 秒后到达点 D,此时他(CD)在某一灯光下的影长为 AD,继续 按原速行走 2 秒到达点 F,此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后,并测得这个影长为 1.2 米,然后他将速度提高到原来的 1.5 倍,再行走 2 秒到达点 H,此时他(GH)在同一灯 光下的影长为 BH(点 C,E,G 在一条直线上) . (1)请在图中画出光源 O 点的位置,并画出他位于点 F 时在这个灯光下的影长 FM(不写 画法) ; (1)求小明原来的速度.

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27. (2015?黄冈校级自主招生)如图,已知锐角△ ABC 的面积为 1,正方形 DEFG 是△ ABC 的一个内接正方形,DG∥BC,求正方形 DEFG 面积的最大值.

28. (2015?青岛模拟)如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,对角线 AC、BD 相交于点 O, 问△ AOB 与△ COD 是否相似?有一位同学解答下: ∵AD∥BC, ∴∠ADO=∠CBO,∠DAO=∠BCO. ∴△AOD∽△BOC. ∴ .

又∵∠AOB=∠DOC, ∴△AOB∽△COD. 请判断这位同学的解答是否正确并说明理由.

29. (2015?大庆模拟)如图,点 C 为线段 AB 上任意一点(不与 A、B 两点重合) ,分别以 AC、BC 为一腰在 AB 的同侧作等腰△ ACD 和等腰△ BDE,CA=CD,CB=CE,∠ACD 与 ∠BDE 都是锐角且∠ACD=∠BCE,连接 AE 交 CD 于点 M,连接 BD 交 CE 于点 N,AE 与 BD 交于点 P,连接 PC. (1)求证:△ ACE≌△DCB; (2)请你判断△ AMC 与△ DPM 的形状有何关系,并说明理由.

30. (2015?常州模拟)如图,在正方形 ABCD 中,E 为边 AD 的中点,点 F 在边 CD 上,且 CF=3FD,△ ABE 与△ DEF 相似吗?为什么?

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相似三角形专题解答题试题精选一附答案
参考答案与试题解析

一.解答题(共 30 小题) 1. (2015?咸宁)如图,在△ ABC 中,AB=AC,∠A=36°,BD 为角平分线,DE⊥AB,垂 足为 E. (1)写出图中一对全等三角形和一对相似比不为 1 的相似三角形; (2)选择(1)中一对加以证明.

【考点】相似三角形的判定;全等三角形的判定. 【分析】 (1)利用相似三角形的性质以及全等三角形的性质得出符合题意的答案; (2)利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法分别得出即可. 【解答】解: (1)△ ADE≌△BDE,△ ABC∽△BCD;
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(2)证明:∵AB=AC,∠A=36°, ∴∠ABC=∠C=72°, ∵BD 为角平分线, ∴∠ABD= ∠ABC=36°=∠A, 在△ ADE 和△ BDE 中 ∵ ,

∴△ADE≌△BDE(AAS) ; 证明:∵AB=AC,∠A=36°, ∴∠ABC=∠C=72°, ∵BD 为角平分线, ∴∠DBC= ∠ABC=36°=∠A, ∵∠C=∠C, ∴△ABC∽△BCD. 【点评】 此题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定, 正确把握判定方法是解题关键. 2. (2015?南京)如图,△ ABC 中,CD 是边 AB 上的高,且
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=



(1)求证:△ ACD∽△CBD; (2)求∠ACB 的大小.

【考点】相似三角形的判定与性质. 【分析】 (1)由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,即可证明△ ACD∽△CBD; (2)由(1)知△ ACD∽△CBD,然后根据相似三角形的对应角相等可得:∠A=∠BCD, 然后由∠A+∠ACD=90°,可得:∠BCD+∠ACD=90°,即∠ACB=90°. 【解答】 (1)证明:∵CD 是边 AB 上的高, ∴∠ADC=∠CDB=90°,
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=



∴△ACD∽△CBD; (2)解:∵△ACD∽△CBD, ∴∠A=∠BCD, 在△ ACD 中,∠ADC=90°, ∴∠A+∠ACD=90°, ∴∠BCD+∠ACD=90°, 即∠ACB=90°. 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质,解题的关键是:熟记相似三角形的判定定理 与性质定理. 3. (2015?宁夏)在平行四边形 ABCD 中,E 为 BC 边上的一点.连结 AE. (1)若 AB=AE,求证:∠DAE=∠D; (2)若点 E 为 BC 的中点,连接 BD,交 AE 于 F,求 EF:FA 的值.

【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质. 【分析】 (1)根据平行四边形的对边互相平行可得 AD∥BC,再根据两直线平行,内错角相 等可得∠AEB=∠EAD,根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB,即可得证; (2)由四边形 ABCD 是平行四边形,可证得△ BEF∽△AFD,即可求得 EF:FA 的值. 【解答】证明: (1)在平行四边形 ABCD 中,AD∥BC, ∴∠AEB=∠EAD, ∵AE=AB, ∴∠ABE=∠AEB, ∴∠B=∠EAD, ∵∠B=∠D,
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∴∠DAE=∠D; (2)∵四边形 ABCD 是平行四边形,

∴AD∥BC,AD=BC, ∴△BEF∽△AFD, ∴ ,

∵E 为 BC 的中点, ∴BE= BC= AD, ∴EF:FA=1:2. 【点评】 此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质. 熟练掌握平行四边形的 性质是解题的关键. 4. (2015?滨州)如图,已知 B、C、E 三点在同一条直线上,△ ABC 与△ DCE 都是等边三 角形,其中线段 BD 交 AC 于点 G,线段 AE 交 CD 于点 F,求证: (1)△ ACE≌△BCD; (2) = .

【考点】相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质. 【专题】证明题. 【分析】 (1)由三角形 ABC 与三角形 CDE 都为等边三角形,利用等边三角形的性质得到 两对边相等,一对角相等,利用等式的性质得到夹角相等,利用 SAS 即可得证; (2)由(1)得出的三角形全等得到对应角相等,再由一对角相等,且夹边相等,利用 ASA 得到三角形 GCD 与三角形 FCE 全等,利用全等三角形对应边相等得到 CG=CF,进而确定 出三角形 CFG 为等边三角形,确定出一对内错角相等,进而得到 GF 与 CE 平行,利用平行 线等分线段成比例即可得证. 【解答】证明: (1)∵△ABC 与△ CDE 都为等边三角形, ∴AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60°, ∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠ACE=∠BCD, 在△ ACE 和△ BCD 中,
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∴△ACE≌△BCD(SAS) , (2)∵△ACE≌△BCD, ∴∠BDC=∠AEC, 在△ GCD 和△ FCE 中, , ∴△GCD≌△FCE(ASA) , ∴CG=CF, ∴△CFG 为等边三角形, ∴∠CGF=∠ACB=60°, ∴GF∥CE, ∴ = .

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,以及等边三角形 的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键. 5. (2015?黄石)在△ AOB 中,C,D 分别是 OA,OB 边上的点,将△ OCD 绕点 O 顺时针 旋转到△ OC′D′. (1)如图 1,若∠AOB=90°,OA=OB,C,D 分别为 OA,OB 的中点,证明:①AC′=BD′; ②AC′⊥BD′; (2)如图 2,若△ AOB 为任意三角形且∠AOB=θ,CD∥AB,AC′与 BD′交于点 E,猜想 ∠AEB=θ 是否成立?请说明理由.

【考点】相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;旋转的性质. 【专题】证明题. 【分析】 (1)①由旋转的性质得出 OC=OC′,OD=OD′,∠AOC′=∠BOD′,证出 OC′=OD′, 由 SAS 证明△ AOC′≌△BOD′,得出对应边相等即可; ②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′,又由对顶角相等和三角形内角和定理得出 ∠BEA=90°,即可得出结论;
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(2) 由旋转的性质得出 OC=OC′, OD=OD′, ∠AOC′=∠BOD′, 由平行线得出比例式 得出



,证明△ AOC′∽△BOD′,得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相等和三角形内

角和定理即可得出∠AEB=θ. 【解答】 (1)证明:①∵△OCD 旋转到△ OC′D′, ∴OC=OC′,OD=OD′,∠AOC′=∠BOD′, ∵OA=OB,C、D 为 OA、OB 的中点,
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∴OC=OD, ∴OC′=OD′, 在△ AOC′和△ BOD′中, ,

∴△AOC′≌△BOD′(SAS) , ∴AC′=BD′; ②延长 AC′交 BD′于 E,交 BO 于 F,如图 1 所示: ∵△AOC′≌△BOD′, ∴∠OAC′=∠OBD′, 又∠AFO=∠BFE,∠OAC′+∠AFO=90°, ∴∠OBD′+∠BFE=90°, ∴∠BEA=90°, ∴AC′⊥BD′; (2)解:∠AEB=θ 成立,理由如下:如图 2 所示: ∵△OCD 旋转到△ OC′D′, ∴OC=OC′,OD=OD′,∠AOC′=∠BOD′, ∵CD∥AB, ∴ ∴ ∴ , , ,

又∠AOC′=∠BOD′, ∴△AOC′∽△BOD′, ∴∠OAC′=∠OBD′, 又∠AFO=∠BFE, ∴∠AEB=∠AOB=θ.

【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质;熟 练掌握旋转的性质,并能进行推理论证是解决问题的关键.

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6. (2015?乐山)如图 1,四边形 ABCD 中,∠B=∠D=90°,AB=3,BC=2,tanA= . (1)求 CD 边的长; (2)如图 2,将直线 CD 边沿箭头方向平移,交 DA 于点 P,交 CB 于点 Q(点 Q 运动到点 B 停止) .设 DP=x,四边形 PQCD 的面积为 y,求 y 与 x 的函数关系式,并求出自变量 x 的 取值范围.

【考点】相似三角形的判定与性质;函数关系式;平移的性质;解直角三角形.

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【分析】 (1)分别延长 AD、BC 相交于 E,在 Rt△ ABE 中,由 tanA= ,AB=3,BC=2,得 到 BE=4,EC=2,AE=5,通过等角的余角相等得到∠A=∠ECD,由 tanA= ,得 cosA= , 于是得到 cos∠ECD= = ,即问题可得; ,得到 ED= ,如图 4,由 PQ∥DC,可知△ EDC~EPQ, , 由 S 四边形 PQCD=S△ EPQ﹣S△ EDC, 于是得到 y= PQ?EP ﹣ = , 于是当 Q 点到达 B 点时,

(2)由(1)可知 tan∠ECD= 得到比例式 ﹣ DC?ED= , 求得 PQ=

点 P 在 M 点处,由 EC=BC,DC∥PQ,得到 DM=ED= ,于是结论可得. 【解答】解: (1)如图(3) ,分别延长 AD、BC 相交于 E, 在 Rt△ ABE 中, ∵tanA= ,AB=3,BC=2, ∴BE=4,EC=2,AE=5, 又∵∠E+∠A=90°,∠E+∠ECD=90°, ∴∠A=∠ECD, 由 tanA= ,得 cosA= , ∴cos∠ECD= ∴CD= ; = ,

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(2)如图 4,由(1)可知 tan∠ECD= ∴ED= , 如图 4,由 PQ∥DC,可知△ EDC~EPQ, ∴ ,





,即 PQ=



∵S 四边形 PQCD=S△ EPQ﹣S△ EDC, ∴y= PQ?EP﹣ DC?ED= ∴当 Q 点到达 B 点时,点 P 在 M 点处, 由 EC=BC,DC∥PQ, ∴DM=ED= , ∴自变量 x 的取值方范围为:0<x≤ . ﹣ = ,

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,平移的性质,求函数的解析式,解直角三角 形,正确的作出辅助线是解题的关键. 7. (2015?上海)已知,如图,平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O,点 E 在边 BC 的延 长线上,且 OE=OB,连接 DE. (1)求证:DE⊥BE; (2)如果 OE⊥CD,求证:BD?CE=CD?DE.

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【考点】相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;平行四边形的性质. 【专题】证明题.

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【分析】 (1)由平行四边形的性质得到 BO= BD,由等量代换推出 OE= BD,根据平行四 边形的判定即可得到结论; (2)根据等角的余角相等,得到∠CEO=∠CDE,推出△ BDE∽△CDE,即可得到结论. 【解答】证明: (1)∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴BO= BD, ∵OE=OB, ∴OE= BD, ∴∠BED=90°, ∴DE⊥BE; (2)∵OE⊥CD ∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°, ∴∠CEO=∠CDE, ∵OB=OE, ∴∠DBE=∠CDE, ∵∠BED=∠BED, ∴△BDE∽△DCE, ∴ ,

∴BD?CE=CD?DE. 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,直角三角形的判定和性质,平行四边形的性 质,熟记定理是解题的关键. 8. (2015?茂名)如图,Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm.动点 M 从点 B 出 发,在 BA 边上以每秒 3cm 的速度向定点 A 运动,同时动点 N 从点 C 出发,在 CB 边上以 每秒 2cm 的速度向点 B 运动,运动时间为 t 秒(0<t< (1)若△ BMN 与△ ABC 相似,求 t 的值; (2)连接 AN,CM,若 AN⊥CM,求 t 的值. ) ,连接 MN.

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【考点】相似三角形的判定与性质;解直角三角形. 【专题】压轴题;动点型. 【分析】 (1)根据题意得出 BM,CN,易得 BN,BA,分类讨论当△ BMN∽△BAC 时,利
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用相似三角形的性质得

,解得 t;当△ BMN∽△BCA 时,

,解得 t,综上所

述,△ BMN 与△ ABC 相似,得 t 的值; (2) 过点 M 作 MD⊥CB 于点 D, 利用锐角三角函数易得 DM, BD, 由 BM=3tcm, CN=2tcm, 易得 CD,利用三角形相似的判定定理得△ CAN∽△DCM,由三角形相似的性质得 解得 t. 【解答】解: (1)由题意知,BM=3tcm,CN=2tcm, ∴BN=(8﹣2t)cm,BA= 当△ BMN∽△BAC 时, ∴ ,解得:t= ; , , 或 ; , =10(cm) , ,

当△ BMN∽△BCA 时, ∴ ,解得:t=

∴△BMN 与△ ABC 相似时,t 的值为

(2)过点 M 作 MD⊥CB 于点 D,由题意得: DM=BMsinB=3t = (cm) ,BD=BMcosB=3t = t(cm) ,

BM=3tcm,CN=2tcm, ∴CD=(8﹣ )cm,

∵AN⊥CM,∠ACB=90°, ∴∠CAN+∠ACM=90°,∠MCD+∠ACM=90°, ∴∠CAN=∠MCD, ∵MD⊥CB, ∴∠MDC=∠ACB=90°, ∴△CAN∽△DCM,

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=

,解得 t=



【点评】本题主要考查了动点问题,相似三角形的判定及性质等,分类讨论,数形结合是解 答此题的关键. 9. (2015?厦门)如图,在△ ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,若 DE∥BC,AD=3, AB=5,求 的值.

【考点】平行线分线段成比例.

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【分析】根据平行线分线段成比例定理得出 【解答】解:∵DE∥BC, ∴ = ,

=

,再根据 AD=3,AB=5,即可得出答案.

∵AD=3,AB=5, ∴ = .

【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理.此题难度不大,解题的关键是注意准确应用 平行线分线段成比例定理与数形结合思想的应用. 10. (2015?杭州)如图,在△ ABC 中(BC>AC) ,∠ACB=90°,点 D 在 AB 边上,DE⊥AC 于点 E. (1)若 = ,AE=2,求 EC 的长;

(2)设点 F 在线段 EC 上,点 G 在射线 CB 上,以 F,C,G 为顶点的三角形与△ EDC 有 一个锐角相等,FG 交 CD 于点 P.问:线段 CP 可能是△ CFG 的高线还是中线?或两者都 有可能?请说明理由.

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【考点】相似三角形的判定与性质. 【专题】分类讨论. 【分析】 (1)易证 DE∥BC,由平行线分线段成比例定理列比例式即可求解; (2)分三种情况讨论:①若∠CFG=∠ECD,此时线段 CP 是△ CFG 的 FG 边上的中线; ②若∠CFG=∠EDC,此时线段 CP 为△ CFG 的 FG 边上的高线;③当 CD 为∠ACB 的平 分线时,CP 既是△ CFG 的 FG 边上的高线又是中线. 【解答】解: (1)∵∠ACB=90°,DE⊥AC, ∴DE∥BC,
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∴ ∵

, ,AE=2,

∴EC=6; (2)①如图 1,若∠CFG=∠ECD,此时线段 CP 是△ CFG 的 FG 边上的中线. 证明:∵∠CFG+∠CGF=90°,∠ECD+∠PCG=90°, 又∵∠CFG=∠ECD, ∴∠CGF=∠PCG, ∴CP=PG, ∵∠CFG=∠ECD, ∴CP=FP, ∴PF=PG=CP, ∴线段 CP 是△ CFG 的 FG 边上的中线; ②如图 2,若∠CFG=∠EDC,此时线段 CP 为△ CFG 的 FG 边上的高线. 证明:∵DE⊥AC, ∴∠EDC+∠ECD=90°, ∵∠CFG=∠EDC, ∴∠CFG+∠ECD=90°, ∴∠CPF=90°, ∴线段 CP 为△ CFG 的 FG 边上的高线. ③如图 3,当 CD 为∠ACB 的平分线时,CP 既是△ CFG 的 FG 边上的高线又是中线.

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【点评】 本题主要考查了平行线分线段成比例定理、 等腰三角形的判定、 三角形的有关概念, 分类讨论,能全面的思考问题是解决问题的关键. 11. (2015?绥化)如图 1,在正方形 ABCD 中,延长 BC 至 M,使 BM=DN,连接 MN 交 BD 延长线于点 E. (1)求证:BD+2DE= BM. (2)如图 2,连接 BN 交 AD 于点 F,连接 MF 交 BD 于点 G.若 AF:FD=1:2,且 CM=2, 则线段 DG= .

【考点】相似三角形的判定与性质;勾股定理;正方形的性质. 【专题】证明题. 【分析】 (1)过点 M 作 MP⊥BC 交 BD 的延长线于点 P,首先证明△ DEN≌△PEM,得到 DE=PE,由△ BMP 是等腰直角三角形可知 BP= BM,即可得到结论; (2)由 AF:FD=1:2,可知 DF:BC=2:3,由△ BCN∽△FDN,可求出 BC=2,再由 △ DFG∽△BMG 即可求出 DG 的长. 【解答】 (1)证明:过点 M 作 MP⊥BC 交 BD 的延长线于点 P, ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠BCD=90°,∠DBC=∠BDC=45°, ∴PM∥CN, ∴∠N=∠EMP,∠BDC=∠MPB=45°,
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∴BM=PM, ∵BM=DN, ∴DN=MP, 在△ DEN 和△ PEM 中 , ∴△DEN≌△PEM, ∴DE=EP, ∵△BMP 是等腰直角三角形 ∴BP= BM ∴BD+2DE= BM. (2)解:∵AF:FD=1:2, ∴DF:BC=2:3, ∵△BCN∽△FDN, ∴ 设正方形边长为 a,又知 CM=2, ∴BM=DN=a+2,CN=2a+2 ∴ ,

解得:a=2, ∴DF= ,BM=4,BD=2 又∵△DFG∽△BMG, ∴ , ,

∴ ∴DG= .



故答案为:



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【点评】 本题主要考查了正方形的性质、 全等三角形的判定与性质、 等腰直角三角形的性质、 相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用, 运用三角形相似求出正方形的边长是解 决第 2 小题的关键. 12. (2015?岳阳)如图,正方形 ABCD 中,M 为 BC 上一点,F 是 AM 的中点,EF⊥AM, 垂足为 F,交 AD 的延长线于点 E,交 DC 于点 N. (1)求证:△ ABM∽△EFA; (2)若 AB=12,BM=5,求 DE 的长.

【考点】相似三角形的判定与性质;正方形的性质. 【分析】 (1)由正方形的性质得出 AB=AD,∠B=90°,AD∥BC,得出∠AMB=∠EAF,再 由∠B=∠AFE,即可得出结论;
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(2)由勾股定理求出 AM,得出 AF,由△ ABM∽△EFA 得出比例式,求出 AE,即可得出 DE 的长. 【解答】 (1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=AD,∠B=90°,AD∥BC, ∴∠AMB=∠EAF, 又∵EF⊥AM, ∴∠AFE=90°, ∴∠B=∠AFE, ∴△ABM∽△EFA; (2)解:∵∠B=90°,AB=12,BM=5, ∴AM= =13,AD=12,

∵F 是 AM 的中点, ∴AF= AM=6.5, ∵△ABM∽△EFA, ∴ 即 , ,

∴AE=16.9, ∴DE=AE﹣AD=4.9. 【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理;熟练掌握正方形 的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键. 13. (2015?淄博)如图,在△ ABC 中,点 P 是 BC 边上任意一点(点 P 与点 B,C 不重合) , 平行四边形 AFPE 的顶点 F,E 分别在 AB,AC 上.已知 BC=2,S△ ABC=1.设 BP=x,平行 四边形 AFPE 的面积为 y. (1)求 y 与 x 的函数关系式; (2)上述函数有最大值或最小值吗?若有,则当 x 取何值时,y 有这样的值,并求出该值; 若没有,请说明理由.

【考点】相似三角形的判定与性质;二次函数的最值;平行四边形的性质. 【分析】 (1)由平行四边形的性质得出 PF∥CA,证出△ BFP∽△BAC,得出面积比等于相
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似比的平方,得出 S△ BFP=

,同理:S△ PEC=(

) ,即可得出 y 与 x 的函数关系式;

2

(2)由﹣ <0 得出 y 有最大值,把(1)中函数关系式化成顶点式,即可得出结果. 【解答】解: (1)∵四边形 AFPE 是平行四边形,
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∴PF∥CA, ∴△BFP∽△BAC, ∴ =( ) ,
2

∵S△ ABC=1, ∴S△ BFP= , ),
2

同理:S△ PEC=(

∴y=1﹣





∴y=﹣

+x;

(2)上述函数有最大值,最大值为 ;理由如下: ∵y=﹣ +x=﹣ (x﹣1) + ,﹣ <0,
2

∴y 有最大值, ∴当 x=1 时,y 有最大值,最大值为 . 【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值;熟练 掌握平行四边形的性质,证明三角形相似得出关系式是解决问题的关键. 14. (2015?大连) 在△ ABC 中, 点 D, E, F 分别在 AB, BC, AC 上, 且∠ADF+∠DEC=180°, ∠AFE=∠BDE. (1)如图 1,当 DE=DF 时,图 1 中是否存在与 AB 相等的线段?若存在,请找出,并加以 证明;若不存在,说明理由; (2)如图 2,当 DE=kDF(其中 0<k<1)时,若∠A=90°,AF=m,求 BD 的长(用含 k, m 的式子表示) .

【考点】相似三角形的判定与性质. 【专题】压轴题. 【分析】 (1)如图 1,连结 AE.先由 DE=DF,得出∠DEF=∠DFE,由∠ADF+∠DEC=180°, 得出∠ADF=∠DEB.由∠AFE=∠BDE,得出∠AFE+∠ADE=180°,那么 A、D、E、F 四点 共圆,根据圆周角定理得出∠DAE=∠DFE=∠DEF,∠ADF=∠AEF.再由
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∠ADF=∠DEB=∠AEF,得出∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED,则∠AEB=∠DEF=∠BAE, 根据等角对等边得出 AB=BE; (2)如图 2,连结 AE.由 A、D、E、F 四点共圆,得出∠ADF=∠AEF,由∠DAF=90°, 得出∠DEF=90°,再证明∠DEB=∠AEF.又∠AFE=∠BDE,根据两角对应相等的两三角形 相似得出△ BDE∽△AFE,利用相似三角形对应边成比例得到 利用勾股定理求出 EF= = = .在直角△ DEF 中,

DF,然后将 AF=m,DE=kDF 代入,计算即

可求解. 【解答】解: (1)如图 1,连结 AE. ∵DE=DF, ∴∠DEF=∠DFE, ∵∠ADF+∠DEC=180°, ∴∠ADF=∠DEB. ∵∠AFE=∠BDE, ∴∠AFE+∠ADE=180°, ∴A、D、E、F 四点共圆, ∴∠DAE=∠DFE=∠DEF,∠ADF=∠AEF. ∵∠ADF=∠DEB=∠AEF, ∴∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED, ∴∠AEB=∠DEF=∠DFE=∠BAE, ∴AB=BE; (2)如图 2,连结 AE. ∵∠AFE=∠BDE, ∴∠AFE+∠ADE=180°, ∴A、D、E、F 四点共圆, ∴∠ADF=∠AEF, ∵∠DAF=90°, ∴∠DEF=90°, ∵∠ADF+∠DEC=180°, ∴∠ADF=∠DEB. ∵∠ADF=∠AEF, ∴∠DEB=∠AEF. 在△ BDE 与△ AFE 中, , ∴△BDE∽△AFE, ∴ = .

在直角△ DEF 中,∵∠DEF=90°,DE=kDF, ∴EF= = DF,

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=

=



∴BD=



【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,四点共圆,圆周 角定理,勾股定理等知识,有一定难度.连结 AE,证明 A、D、E、F 四点共圆是解题的关 键. 15. (2015?湘潭)如图,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,△ ACD 沿 AD 折叠,使得点 C 落在斜 边 AB 上的点 E 处. (1)求证:△ BDE∽△BAC; (2)已知 AC=6,BC=8,求线段 AD 的长度.

【考点】相似三角形的判定与性质;翻折变换(折叠问题) . 【分析】 (1)根据折叠的性质得出∠C=∠AED=90°,利用∠DEB=∠C,∠B=∠B 证明三角 形相似即可; (2)由折叠的性质知 CD=DE,AC=AE.根据题意在 Rt△ BDE 中运用勾股定理求 DE,进 而得出 AD 即可. 【解答】证明: (1)∵∠C=90°,△ ACD 沿 AD 折叠, ∴∠C=∠AED=90°, ∴∠DEB=∠C=90°, 又∵∠B=∠B, ∴△BDE∽△BAC; (2)由勾股定理得,AB=10. 由折叠的性质知,AE=AC=6,DE=CD,∠AED=∠C=90°. ∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4, 在 Rt△ BDE 中,由勾股定理得, 2 2 2 DE +BE =BD , 2 2 2 即 CD +4 =(8﹣CD) , 解得:CD=3,
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在 Rt△ ACD 中,由勾股定理得 AC +CD =AD , 2 2 2 即 3 +6 =AD , 解得:AD= . 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,关键是根据 1、折叠的性质:折叠是一种对 称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化, 对应边和对应角相等;2、勾股定理求解. 16. (2015?抚顺)在 Rt△ ABC 中,∠BAC=90°,过点 B 的直线 MN∥AC,D 为 BC 边上一 点,连接 AD,作 DE⊥AD 交 MN 于点 E,连接 AE. (1)如图①,当∠ABC=45°时,求证:AD=DE; (2)如图②,当∠ABC=30°时,线段 AD 与 DE 有何数量关系?并请说明理由; (3)当∠ABC=α 时,请直接写出线段 AD 与 DE 的数量关系. (用含 α 的三角函数表示)

2

2

2

【考点】相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质. 【专题】压轴题. 【分析】 (1) 首先过点 D 作 DF⊥BC, 交 AB 于点 F, 得出∠BDE=∠ADF, 以及∠EBD=∠AFD, 再得出△ BDE≌△FDA(ASA) ,求出即可; (2) 首先过点 D 作 DG⊥BC, 交 AB 于点 G, 进而得出∠EBD=∠AGD, 证出△ BDE∽△GDA 即可得出答案; (3) 首先过点 D 作 DG⊥BC, 交 AB 于点 G, 进而得出∠EBD=∠AGD, 证出△ BDE∽△GDA 即可得出答案. 【解答】 (1)证明:如图 1,过点 D 作 DF⊥BC,交 AB 于点 F, 则∠BDE+∠FDE=90°, ∵DE⊥AD, ∴∠FDE+∠ADF=90°, ∴∠BDE=∠ADF, ∵∠BAC=90°,∠ABC=45°, ∴∠C=45°, ∵MN∥AC, ∴∠EBD=180°﹣∠C=135°, ∵∠BFD=45°,DF⊥BC, ∴∠BFD=45°,BD=DF, ∴∠AFD=135°, ∴∠EBD=∠AFD, 在△ BDE 和△ FDA 中
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∴△BDE≌△FDA(ASA) , ∴AD=DE; (2)解:DE= AD, 理由:如图 2,过点 D 作 DG⊥BC,交 AB 于点 G, 则∠BDE+∠GDE=90°, ∵DE⊥AD, ∴∠GDE+∠ADG=90°, ∴∠BDE=∠ADG, ∵∠BAC=90°,∠ABC=30°, ∴∠C=60°, ∵MN∥AC, ∴∠EBD=180°﹣∠C=120°, ∵∠ABC=30°,DG⊥BC, ∴∠BGD=60°, ∴∠AGD=120°, ∴∠EBD=∠AGD, ∴△BDE∽△GDA, ∴ = ,

在 Rt△ BDG 中, =tan30°= ∴DE= ,

AD;

(3)AD=DE?tanα; 理由:如图 2,∠BDE+∠GDE=90°, ∵DE⊥AD, ∴∠GDE+∠ADG=90°, ∴∠BDE=∠ADG, ∵∠EBD=90°+α,∠AGD=90°+α, ∴∠EBD=∠AGD, ∴△EBD∽△AGD, ∴ = ,

在 Rt△ BDG 中, =tanα,则 =tanα,

∴AD=DE?tanα.

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【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质,得出 △ EBD∽△AGD 是解题关键. 17. (2015?威海) (1) 如图 1, 已知∠ACB=∠DCE=90°, AC=BC=6, CD=CE, AE=3, ∠CAE=45°, 求 AD 的长. (2)如图 2,已知∠ACB=∠DCE=90°,∠ABC=∠CED=∠CAE=30°,AC=3,AE=8,求 AD 的长.

【考点】相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理. 【分析】 (1)连接 BE,证明△ ACD≌△BCE,得到 AD=BE,在 Rt△ BAE 中,AB=6 AE=3,求出 BE,得到答案;
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(2)连接 BE,证明△ ACD∽△BCE,得到

=

=

,求出 BE 的长,得到 AD 的长.

【解答】解: (1)如图 1,连接 BE, ∵∠ACB=∠DCE=90°, ∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE,即∠BCE=∠ACD, 又∵AC=BC,DC=EC, 在△ ACD 和△ BCE 中, , ∴△ACD≌△BCE, ∴AD=BE,
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∵AC=BC=6, ∴AB=6 , ∵∠BAC=∠CAE=45°, ∴∠BAE=90°, 在 Rt△ BAE 中,AB=6 ,AE=3, ∴BE=9, ∴AD=9; (2)如图 2,连接 BE, 在 Rt△ ACB 中,∠ABC=∠CED=30°, tan30°= = ,

∵∠ACB=∠DCE=90°, ∴∠BCE=∠ACD, ∴△ACD∽△BCE, ∴ = = ,

∵∠BAC=60°,∠CAE=30°, ∴∠BAE=90°,又 AB=6,AE=8, ∴BE=10, ∴AD= .

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质,掌握性质定理 和判定定理是解题的关键,正确作出辅助线是重点. 18. (2015?赤峰)如图,直线 y=﹣2x+4 与坐标轴分别交于 C、B 两点,过点 C 作 CD⊥x 轴,点 P 是 x 轴下方直线 CD 上的一点,且△ OCP 与△ OBC 相似,求过点 P 的双曲线解析 式.

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【考点】相似三角形的判定与性质;一次函数图象上点的坐标特征;待定系数法求反比例函 数解析式. 【分析】由直线 y=﹣2x+4 与坐标轴分别交于 C、B 两点,易得 OC=2,OB=4,再分两种情 况①当∠OBC=∠COP 时, △ OCP 与△ OBC 相似, ②当∠OBC=∠CPO 时, △ OCP 与△ OBC 相似分别求出点的坐标,再求出过点 P 的双曲线解析式. 【解答】解:∵直线 y=﹣2x+4 与坐标轴分别交于 C、B 两点, ∴令 y=0,可得﹣2x+4=0,解得 x=2,即 C(2,0) ,OC=2, 令 x=0,可得 y=4,即 B(0,4) ,OB=4, ①如图 1,当∠OBC=∠COP 时,△ OCP∽△BOC,
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=

,即 =

,解得 CP=1,

∴P(2,﹣1) , 设过点 P 的双曲线解析式 y= ,把 P 点代入解得 k=﹣2, ∴过点 P 的双曲线解析式 y=﹣ , ②如图 2,当∠OBC=∠CPO 时,△ OCP∽△COB,

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在△ OCP 和△ COB 中,

∴△OCP≌△COB(AAS) ∴CP=BO=4, ∴P(2,﹣4) 设过点 P 的双曲线解析式 y= ,把 P 点代入得﹣4= ,解得 k=﹣8, ∴过点 P 的双曲线解析式 y= . .

综上可得,过点 P 的双曲线的解析式为 y=﹣ 或 y=

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质,待定系数求反比例函数,解题的关键是 分两种情况正确画出图形. 19. (2015?连云港) 如图, 在△ ABC 中, ∠ABC=90°, BC=3, D 为 AC 延长线上一点, AC=3CD, 过点 D 作 DH∥AB,交 BC 的延长线于点 H. (1)求 BD?cos∠HBD 的值; (2)若∠CBD=∠A,求 AB 的长.

【考点】相似三角形的判定与性质;解直角三角形.

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【分析】 (1)首先根据 DH∥AB,判断出△ ABC∽△DHC,即可判断出 出 BH 的值是多少,再根据在 Rt△ BHD 中,cos∠HBD= 少即可.
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=3;然后求

,求出 BD?cos∠HBD 的值是多

(2) 首先判断出△ ABC∽△BHD, 推得 所以 AB=3DH;最后根据 【解答】解: (1)∵DH∥AB, ∴∠BHD=∠ABC=90°, ∴△ABC∽△DHC, ∴ =3,

; 然后根据△ ABC∽△DHC, 推得



,求出 DH 的值是多少,进而求出 AB 的值是多少即可.

∴CH=1,BH=BC+CH, 在 Rt△ BHD 中, cos∠HBD= ,

∴BD?cos∠HBD=BH=4. (2)∵∠CBD=∠A,∠ABC=∠BHD, ∴△ABC∽△BHD, ∴ ,

∵△ABC∽△DHC, ∴ ,

∴AB=3DH, ∴ ,

解得 DH=2, ∴AB=3DH=3×2=6, 即 AB 的长是 6. 【点评】 (1)此题主要考查了相似三角形的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要 明确: 寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形; 或依据基本图形对图形 进行分解、组合;或作辅助线构造相似三角形,判定三角形相似的方法有时可单独使用,有 时需要综合运用,无论是单独使用还是综合运用,都要具备应有的条件方可. (2)此题还考查了直角三角形的性质和应用,要熟练掌握. 20. (2015?泰安)如图,在△ ABC 中,AB=AC,点 P、D 分别是 BC、AC 边上的点,且 ∠APD=∠B. (1)求证:AC?CD=CP?BP; (2)若 AB=10,BC=12,当 PD∥AB 时,求 BP 的长.

【考点】相似三角形的判定与性质.

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【分析】 (1)易证∠APD=∠B=∠C,从而可证到△ ABP∽△PCD,即可得到

=

,即

AB?CD=CP?BP,由 AB=AC 即可得到 AC?CD=CP?BP; (2)由 PD∥AB 可得∠APD=∠BAP,即可得到∠BAP=∠C,从而可证到△ BAP∽△BCA, 然后运用相似三角形的性质即可求出 BP 的长. 【解答】解: (1)∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵∠APD=∠B,∴∠APD=∠B=∠C. ∵∠APC=∠BAP+∠B,∠APC=∠APD+∠DPC, ∴∠BAP=∠DPC, ∴△ABP∽△PCD, ∴ = ,

∴AB?CD=CP?BP. ∵AB=AC, ∴AC?CD=CP?BP; (2)∵PD∥AB,∴∠APD=∠BAP. ∵∠APD=∠C,∴∠BAP=∠C. ∵∠B=∠B, ∴△BAP∽△BCA, ∴ = .

∵AB=10,BC=12, ∴ = , .

∴BP=

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三 角形外角的性质等知识,把证明 AC?CD=CP?BP 转化为证明 AB?CD=CP?BP 是解决第(1) 小题的关键,证到∠BAP=∠C 进而得到△ BAP∽△BCA 是解决第(2)小题的关键. 21. (2015?武汉)已知锐角△ ABC 中,边 BC 长为 12,高 AD 长为 8. (1)如图,矩形 EFGH 的边 GH 在 BC 边上,其余两个顶点 E、F 分别在 AB、AC 边上, EF 交 AD 于点 K. ①求 的值;

②设 EH=x,矩形 EFGH 的面积为 S,求 S 与 x 的函数关系式,并求 S 的最大值; (2)若 AB=AC,正方形 PQMN 的两个顶点在△ ABC 一边上,另两个顶点分别在△ ABC 的另两边上,直接写出正方形 PQMN 的边长.

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【考点】相似三角形的判定与性质;二次函数的最值;矩形的性质;正方形的性质. 【专题】压轴题. 【分析】 (1)①根据 EF∥BC,可得 ②首先根据 EH=x,求出 AK=8﹣x,再根据 ,所以 ,据此求出

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的值是多少即可.

= ,求出 EF 的值;然后根据矩形的面积公

式,求出 S 与 x 的函数关系式,利用配方法,求出 S 的最大值是多少即可. (2)根据题意,设正方形的边长为 a,分两种情况:①当正方形 PQMN 的两个顶点在 BC 边上时; ②当正方形 PQMN 的两个顶点在 AB 或 AC 边上时; 分类讨论, 求出正方形 PQMN 的边长各是多少即可. 【解答】解: (1)①∵EF∥BC, ∴ ∴ 即 , = 的值是 . ,

②∵EH=x, ∴KD=EH=x,AK=8﹣x, ∵ = , , +24,

∴EF=

∴S=EH?EF= x(8﹣x)=﹣ ∴当 x=4 时,S 的最大值是 24.

(2)设正方形的边长为 a, ①当正方形 PQMN 的两个顶点在 BC 边上时, , 解得 a= .

②当正方形 PQMN 的两个顶点在 AB 或 AC 边上时, ∵AB=AC,AD⊥BC, ∴BD=CD=12÷2=6,
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∴AB=AC= ∴AB 或 AC 边上的高等于: AD?BC÷AB =8×12÷10 =



∴ 解得 a= 综上,可得 .



正方形 PQMN 的边长是





【点评】 (1)此题主要考查了相似三角形的判定和性质的应用,要熟练掌握,解答此题的关 键是要明确:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条 件, 以充分发挥基本图形的作用, 寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角 形. (2)此题还考查了二次函数的最值的求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:确定 一个二次函数的最值,首先看自变量的取值范围,当自变量取全体实数时,其最值为抛物线 顶点坐标的纵坐标;当自变量取某个范围时,要分别求出顶点和函数端点处的函数值,比较 这些函数值,从而获得最值. (3)此题还考查了矩形、正方形、直角三角形的性质和应用,以及勾股定理的应用,要熟 练掌握. 22. (2015?邵阳)如图,某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场 旗杆 AB 的高度,他们通过调整测量位置,使斜边 DF 与地面保持平行,并使边 DE 与旗杆 顶点 A 在同一直线上,已知 DE=0.5 米,EF=0.25 米,目测点 D 到地面的距离 DG=1.5 米, 到旗杆的水平距离 DC=20 米,求旗杆的高度.

【考点】相似三角形的应用. 【分析】根据题意可得:△ DEF∽△DCA,进而利用相似三角形的性质得出 AC 的长,即可 得出答案. 【解答】解:由题意可得:△ DEF∽△DCA,
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=


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∵DE=0.5 米,EF=0.25 米,DG=1.5m,DC=20m, ∴ = ,

解得:AC=10, 故 AB=AC+BC=10+1.5=11.5(m) , 答:旗杆的高度为 11.5m. 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用,得出△ DEF∽△DCA 是解题关键. 23. (2015?陕西)晚饭后,小聪和小军在社区广场散步,小聪问小军:“你有多高?”小军一 时语塞.小聪思考片刻,提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高.于是,两 人在灯下沿直线 NQ 移动,如图,当小聪正好站在广场的 A 点(距 N 点 5 块地砖长)时, 其影长 AD 恰好为 1 块地砖长;当小军正好站在广场的 B 点(距 N 点 9 块地砖长)时,其 影长 BF 恰好为 2 块地砖长.已知广场地面由边长为 0.8 米的正方形地砖铺成,小聪的身高 AC 为 1.6 米, MN⊥NQ, AC⊥NQ, BE⊥NQ. 请你根据以上信息, 求出小军身高 BE 的长. (结 果精确到 0.01 米)

【考点】相似三角形的应用. 【分析】先证明△ CAD~△ MND,利用相似三角形的性质求得 MN=9.6,再证明△ EFB~ △ MFN,即可解答. 【解答】解:由题意得:∠CAD=∠MND=90°,∠CDA=MDN, ∴△CAD~△ MND,
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∴ ∴

, ,

∴MN=9.6, 又∵∠EBF=∠MNF=90°, ∠EFB=∠MFN, ∴△EFB~△ MFN, ∴ ∴ ∴EB≈1.75, ∴小军身高约为 1.75 米. 【点评】本题考查的是相似三角形的判定及性质,解答此题的关键是相似三角形的判定. ,

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24. (2015?崇左)一块材料的形状是锐角三角形 ABC,边 BC=120mm,高 AD=80mm,把 它加工成正方形零件如图 1,使正方形的一边在 BC 上,其余两个顶点分别在 AB,AC 上. (1)求证:△ AEF∽△ABC; (2)求这个正方形零件的边长; (3)如果把它加工成矩形零件如图 2,问这个矩形的最大面积是多少?

【考点】相似三角形的应用;二次函数的应用. 【专题】压轴题. 【分析】 (1)根据矩形的对边平行得到 BC∥EF,利用“平行于三角形的一边的直线截其他 两边或其他两边的延长线,得到的三角形与原三角形相似”判定即可. (2)根据正方形边的平行关系,得出对应的相似三角形,即△ AEF∽△ABC,
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△ BFG∽△BAD,从而得出边长之比 出正方形的边长;



,得到

,进而求

(3)分别讨论长方形的长和宽在 BC 上的情况,再根据相应得关系式 【解答】解: (1)∵四边形 EGFH 为矩形, ∴BC∥EF, ∴△AEF∽△ABC; (2)设正方形零件的边长为 a 在正方形 EFGH 中,EF∥BC,EG∥AD ∴△AEF∽△ABC,△ BFG∽△BAD ∴ ∴ 即: 解得:a=48 即:正方形零件的边长为 48; (3)设长方形的长为 x,宽为 y, 当长方形的长在 BC 时, 由(1)知: ∵ ∴当 , , ,即 x=60,y=40,xy 最大为 2400
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得出所求.



, ,

当长方形的宽在 BC 时, ∵ ∴当 ,



,即 x=40,y=60,xy 最大为 2400,

又∵x≥y,所以长方形的宽在 BC 时,面积<2400 综上,长方形的面积最大为 2400. 【点评】本题考查了正方形以及矩形的性质,结合了平行线的比例关系求解,注意数形结合 的运用. 25. (2015?湖州模拟)如图,在正方形 ABCD 中,E、F 分别是边 AD、CD 上的点, ,连接 EF 并延长交 BC 的延长线于点 G. (1)求证:△ ABE∽△DEF; (2)若正方形的边长为 4,求 BG 的长.

【考点】相似三角形的判定;正方形的性质;平行线分线段成比例. 【专题】计算题;证明题. 【分析】 (1)利用正方形的性质,可得∠A=∠D,根据已知可得

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,根据有两边对应

成比例且夹角相等三角形相似,可得△ ABE∽△DEF; (2)根据平行线分线段成比例定理,可得 CG 的长,即可求得 BG 的长. 【解答】 (1)证明:∵ABCD 为正方形, ∴AD=AB=DC=BC,∠A=∠D=90°, ∵AE=ED, ∴ ,

∵DF= DC, ∴ ∴ , ,

∴△ABE∽△DEF; (2)解:∵ABCD 为正方形, ∴ED∥BG, ∴ ,
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又∵DF= DC,正方形的边长为 4, ∴ED=2,CG=6, ∴BG=BC+CG=10. 【点评】此题考查了相似三角形的判定(有两边对应成比例且夹角相等三角形相似) 、正方 形的性质、 平行线分线段成比例定理等知识的综合应用. 解题的关键是数形结合思想的应用. 26. (2015?镇江)某兴趣小组开展课外活动.如图,A,B 两地相距 12 米,小明从点 A 出 发沿 AB 方向匀速前进,2 秒后到达点 D,此时他(CD)在某一灯光下的影长为 AD,继续 按原速行走 2 秒到达点 F,此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后,并测得这个影长为 1.2 米,然后他将速度提高到原来的 1.5 倍,再行走 2 秒到达点 H,此时他(GH)在同一灯 光下的影长为 BH(点 C,E,G 在一条直线上) . (1)请在图中画出光源 O 点的位置,并画出他位于点 F 时在这个灯光下的影长 FM(不写 画法) ; (1)求小明原来的速度.

【考点】相似三角形的应用;中心投影. 【分析】 (1)利用中心投影的定义画图; (2) 设小明原来的速度为 xm/s, 则 CE=2xm, AM=AF﹣MF= (4x﹣1.2) m, EG=2×1.5x=3xm, BM=AB﹣AM=12﹣(4x﹣1.2)=13.2﹣4x,根据相似三角形的判定方法得到
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△ OCE∽△OAM,△ OEG∽△OMB,则 = ,然后解方程解决.

=



=

,所以

=

,即

【解答】解: (1)如图,

(2) 设小明原来的速度为 xm/s, 则 CE=2xm, AM=AF﹣MF= (4x﹣1.2) m, EG=2×1.5x=3xm, BM=AB﹣AM=12﹣(4x﹣1.2)=13.2﹣4x, ∵点 C,E,G 在一条直线上,CG∥AB, ∴△OCE∽△OAM,△ OEG∽△OMB, ∴ ∴ = = , ,即 = , = ,解得 x=1.5,

经检验 x=1.5 为方程的解, ∴小明原来的速度为 1.5m/s. 答:小明原来的速度为 1.5m/s.
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【点评】本题考查了相似三角形的应用:从实际问题中抽象出几何图形,然后利用相似比计 算相应线段的长.也考查了中心投影. 27. (2015?黄冈校级自主招生)如图,已知锐角△ ABC 的面积为 1,正方形 DEFG 是△ ABC 的一个内接正方形,DG∥BC,求正方形 DEFG 面积的最大值.

【考点】相似三角形的判定与性质;二次函数的最值;正方形的性质. 【分析】过点 A 作 AN⊥BC 交 DG 于点 M,交 BC 于点 N,设 AN=h,DE=x=MN=DG,根 据 DG∥BC,再由△ ADG∽△ABC 即可求出 x 的表达式,再代入求出三角形的面积即可. 【解答】 解: ∵过点 A 作 AN⊥BC 交 DG 于点 M, 交 BC 于点 N, 设 AN=h, DE=x=MN=DG,
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∴ BC?h=1, ∵DG∥BC, ∴△ADG∽△ABC,故 = ,即 = ,

∴x=


2

设正方形的面积为 S,则 S=x =(

) =(

2

) =[

2

] ≤(

2



= .

【点评】 本题考查的是相似三角形的判定与性质, 根据题意构造出直角三角形是解答此题的 关键. 28. (2015?青岛模拟)如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,对角线 AC、BD 相交于点 O, 问△ AOB 与△ COD 是否相似?有一位同学解答下: ∵AD∥BC, ∴∠ADO=∠CBO,∠DAO=∠BCO. ∴△AOD∽△BOC.
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又∵∠AOB=∠DOC, ∴△AOB∽△COD. 请判断这位同学的解答是否正确并说明理由.

【考点】相似三角形的判定;梯形. 【专题】阅读型. 【分析】仔细检查会发现这们同学的做法是错误的,这也是在做题中常会出现的情况.即错
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在由△ AOD∽△BOC 推出

上,而应该是:∵△AOD∽△BOC,∴

这样,就

不能进一步推出△ AOB∽△COD 了, 因此做题时一定要细心, 避免相同或相似错误的出现. 【解答】解:不正确,错误的原因是由△ AOD∽△BOC 得出 正解是:∵△AOD∽△BOC, ∴ ,而就不能进一步推出△ AOB∽△COD 了. ,

【点评】考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况,要求学生不但要理解更要掌握. 29. (2015?大庆模拟)如图,点 C 为线段 AB 上任意一点(不与 A、B 两点重合) ,分别以 AC、BC 为一腰在 AB 的同侧作等腰△ ACD 和等腰△ BDE,CA=CD,CB=CE,∠ACD 与 ∠BDE 都是锐角且∠ACD=∠BCE,连接 AE 交 CD 于点 M,连接 BD 交 CE 于点 N,AE 与 BD 交于点 P,连接 PC. (1)求证:△ ACE≌△DCB; (2)请你判断△ AMC 与△ DPM 的形状有何关系,并说明理由.

【考点】相似三角形的判定;全等三角形的判定;等腰三角形的性质. 【分析】 (1)证明∠ACE=∠DCB,根据“SAS”证明全等; (2)由(1)得∠CAM=∠PDM,又∠AMC=∠DMP,所以两个三角形相似. 【解答】 (1)证明:∵∠ACD=∠BCE, ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE, ∴∠ACE=∠DCB, 又∵CA=CD,CE=CB, 在△ ACE 和△ DCB 中,
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, ∴△ACE≌△DCB(SAS) . (2)解:△ AMC∽△DMP. 理由:∵△ACE≌△DCB, ∴∠CAE=∠CDB, 又∵∠AMC=∠DMP, ∴△AMC∽△DMP. 【点评】本题考查了相似三角形的判定以及性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的 性质,题目的综合性较强,难度不大,解题的关键是熟记各种相似三角形的判定方法以及全 等三角形的各种判定方法. 30. (2015?常州模拟)如图,在正方形 ABCD 中,E 为边 AD 的中点,点 F 在边 CD 上,且 CF=3FD,△ ABE 与△ DEF 相似吗?为什么?

【考点】相似三角形的判定. 【专题】常规题型. 【分析】先根据正方形的性质得∠A=∠D=90°,AB=AD=CD,设 AB=AD=CD=4a,利用 E
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为边 AD 的中点,CF=3FD,得到 AE=DE=2a,DF=a,则可计算出 于是根据相似三角形的判定方法即可得到△ ABE∽△DEF. 【解答】解:△ ABE 与△ DEF 相似.理由如下: ∵四边形 ABCD 为正方形, ∴∠A=∠D=90°,AB=AD=CD, 设 AB=AD=CD=4a, ∵E 为边 AD 的中点,CF=3FD, ∴AE=DE=2a,DF=a, ∴ ∴ = = =2, , = =2,

=

=2,加上∠A=∠D,

而∠A=∠D, ∴△ABE∽△DEF. 【点评】 本题考查了相似三角形的判定: 两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形 相似.也考查了正方形的性质.

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