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2011年高考数学试题分类汇编——不等式


不等式
安徽理(4)设变量 x, y 满足 x + y ≤ 1, 则 x + 2 y 的最大值和最小值分别为 安徽理 (A)1,-1 (B)2,-2 (C)1,-2 (D)2,-1
[来源:Z|xx|k.Com]

(4)B【命题意图】本题考查线性规划问题.属容易题. 【解析】不等式 x + y ≤ 1 对应的区域如图所示,

当目标函数过点(0,-1)(0,1)时,分别取最小或最大值,所以 x + 2 y 的最大值和最小 , 值分别为 2,-2.故选 B. (19) (本小题满分 12 分)
[来源:学科网 ZXXK]

(Ⅰ)设 x ≥ 1, y ≥ 1, 证明

x+ y+
(Ⅱ) 1 ≤ a ≤ b ≤ c ,证明

1 1 ≤ + xy , xy x

log a b + log b c + log c a ≤ log b a + log c b + log a c

?x + y ≤ 1, ? 安徽文(6)设变量 x,y 满足 ?x ? y ≤ 1 ,则 x + 2 y 的最大值和最小值分别为 安徽文 ?x ≥ 0 ?
说明:若对数据适当的预处理,可避免对大数字进行运算. (A) 1, ? 1 (B) 2, ? 2 (C ) 1, ? 2 (D)2, ? 1 (6)B【命题意图】本题考查线性目标函数在线性约束条件下的最大值与最小值问题.属中 等难度题.
[来源:学科网]

1

【解析】 x + y = 1, x ? y = 1, x = 0 三条直线的交点分别为(0,1)(0,-1)(1,0) , , ,分别代 入 x + 2 y ,得最大值为 2,最小值为-2.故选 B.

?x + y ≥ 2 ? 上的一 福建理 8.已知 O 是坐标原点,点 A( ?1 , 1) ,若点 M ( x , y ) 为平面区域 ? x ≤ 1 . ?y ≤ 2 ?
个动点,则 OA ? OM 的取值范围是 A. [ ?1 , 0] B. [0 , 1] C. [0 , 2] D. [ ?1 , 2]

uuu uuuu r r

C

21.(3) (本小题满分 7 分) 选修 4-5:不等式选讲 设不等式 | 2 x ? 1|< 1 的解集为 M. (Ⅰ) 求集合 M; (Ⅱ) 若 a , b ∈M,试比较 ab + 1 与 a + b 的大小. 解:(Ⅰ)由 | 2 x ? 1|< 1 ? ?1 < 2 x ? 1 < 1 ? 0 < x < 1 所以 M = (0,1) 由 (Ⅱ)由(Ⅰ)及 a , b ∈M 知 0 < a < 1,0 < b < 1 ,所以

(ab + 1) ? (a + b) = (a ? 1)(b ? 1) > 0 ,故 ab + 1 > a + b
福建文 16.商家通常根据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价 a、 最高销售限价 b(b>a)以及实数 x(0<x<1)确定实际销售价格 c=a+x(b-a),这里, x 被称为乐观系数。 经验表明, 最佳乐观系数 x 恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项。 据此可得,最佳乐观系数 x 的值等于 。 5-1 2

?0 ≤ x ≤ 2 ? 广东理 5.已知平面直角坐标系 xOy 上的区 域 D 由不等式组 ? y ≤ 2 给定.若 M(x,y)为 ? ? x ≤ 2y uuuu uuu r r y D 上动点,点 A 的坐标为( 2 ,1).则 z = OM ? OA 的最大值为
A. 4 2 B. 3 2 C.4 D.3
2 1 C B

解:如图,区域 D 为四边形 OABC 及其内部区域,
?1

A 1 2 x

O ?1

2

z = ( x, y ) ? ( 2 ,1) = 2 x + y, 即z为直线则y = ? 2 x + z 的纵截距, 显然当直线y = ? 2 x + z经过点B( 2 ,2)时, z取到最大值, 从而z max = ( 2 ) 2 + 2 = 4, 故选C.
9.不等式 x + 1 ? x ? 3 ≥ 0 的解集是______.

解析 : x + 1 ? x ? 3 ≥ 0 ? ( x + 1)2 ≥ ( x ? 3) 2 ,∴原不等式的解集为[1, +∞).
广东文 5.不等式 2 x 2 ? x ? 1 > 0 的解集是( A. (? ) D

1 ,1) 2

B (1, +∞) D. ( ?∞, ? ) ∪ (1, +∞ )

C. (?∞,1) ∪ (2, +∞ )

1 2

湖北理 8.已知向量 a = ( x + z ,3) ,b = (2, y ? z ) ,且 a⊥b.若 x, y 满足不等式 x + y ≤ 1 , 则 z 的取值范围为 A.

[? 2,2]

B. [? 2,3]

C. [? 3,2]

D. [? 3,3] y A(0,1)

【答案】D 解析: 解析:因为 a⊥b, 2( x + z ) + 3( y ? z ) = 0 , 则 z = 2 x + 3 y , x, y 满足不等式 x + y ≤ 1 , D(-1,0) 则点 ( x, y ) 的可行域如图所示, 当 z = 2 x + 3 y 经过点 A(0,1) 时, z = 2 x + 3 y 取得最大值 3 当 z = 2 x + 3 y 经过点 C (0,?1) 时, z = 2 x + 3 y 取得最小值-3 所以选 D. O

l1
B(1,0) x

C(0,-1)

l2

?x ≥ 0 ?y ≥ 0 ? 表示的平面区域的公共点有 湖北文 8. 直线 2 x + y ? 10 = 0 与不等式组 ? ? x ? y ≥ ?2 ?4 x + 3 y ≤ 20 ?
A.0 个;B.1 个、 ;C.2 个;D.无数个 B

? y≥x ? 湖南文 14.设 m > 1, 在约束条件 ? y ≤ mx 下,目标函数 z = x + 5 y 的最大值为 4,则 m 的 ? ?x + y ≤ 1
值为 .

3

答案:3 解析:画出可行域,可知 z = x + 5 y 在点 (

1 m , ) 取最大值为 4,解得 m = 3 。 1+ m 1+ m

?y ≥ x ? 在约束条件 ? y ≤ mx 下, 目标函数 z = x + my 的最大值小于 2, m 则 湖南理 7. 设 m > 1 , ?x + y ≤ 1 ?
的取值范围为( A. (1,1 + 2) 答案:A 解析:画出可行域,可知 z = x + 5 y 在点 ( 得1 < m < ) B. (1 + 2, +∞) C. (1,3) D. (3, +∞)

1 m 1 m2 , ) 取最大值,由 + < 2解 1+ m 1+ m 1+ m 1+ m

2 + 1。
1 1 )( 2 + 4 y 2 ) 的最小值为 2 y x


10.设 x, y ∈ R ,则 ( x 2 + 答案:9

解析:由柯西不等式可知 ( x 2 +

1 1 )( + 4 y 2 ) ≥ (1 + 2) 2 = 9 。 y 2 x2

江苏附加 D.选修 4-5:不等式选讲 (本小题满分 10 分) 解不等式: x + | 2 x ? 1|< 3 .

解:原不等式可化为 ?

?2 x ? 1 ≥ 0 ?2 x ? 1 < 0 或? ? x + (2 x ? 1) < 3 ? x ? (2 x ? 1) < 3

解得:

1 4 1 4 ≤ x < 或 ?2 < x < ,所以原不等式得解集为 {x | ?2 < x < } 2 3 2 3

(2) (不等式选做题) . 对于实数 x , y , x ? 1 ≤ 1 , y ? 2 ≤ 1 , x ? 2 y + 1 若 则 江西理 15 的最大值为 【答案】5 【解析】 .

x ? 2 y + 1 = ( x ? 1) ? 2( y ? 2) ? 2 ≤ ( x ? 1) ? 2( y ? 2) + 2 ≤ x ?1 + 2 y ? 2 + 2 = 5
江西文 15.对于 x ∈ R ,不等式 x + 10 ? x ? 2 ≥ 8 的解集为________

4

答案: {x x ≥ 0}

解析:两种方法,方法一:分三段, 当 x<-10 时, 当 ? 10 ≤ x ≤ 2 时, 当 x>2 时, -x-10+x-2 ≥ 8 , x+10-x+2 ≥ 8 , x+10-x+2 ≥ 8 ,

φ
0≤ x≤2
x>2

∴综上:x ≥ 0
方法二:用绝对值的几何意义,可以看成到两点-10 和 2 的距离差大于等于 8 的所有点的集 合,画出数轴线,找到 0 到-10 的距离为 d1 = 10,到 2 的距离为 d 2 = 2, d1 ? d 2 = 8 ,并当 x 往右移动,距离差会大于 8,所以满足条件的 x 的范围是 x ≥ 0 . (PS: 此题竟出现在填空的最后一道压轴题,不知道神马情况。。。更加肯定考试考的都是 。。 基础) 辽宁理 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 辽宁理 24. 已知函数 f (x) =|x-2| ? | x-5|. (I)证明: ? 3 ≤ f ( x) ≤3; (II)求不等式 f ( x) ≥x2 ? 8 x+15 的解集. 24.解:

x ≤ 2, ??3, ? (I) f ( x) =| x ? 2 | ? | x ? 5 |= ?2 x ? 7, 2 < x < 5, ?3, x ≥ 5. ?
当 2 < x < 5时, ?3 < 2 x ? 7 < 3. 所以 ?3 ≤ f ( x ) ≤ 3. (II)由(I)可知, 当 x ≤ 2时, f ( x) ≥ x 2 ? 8 x + 15 的解集为空集; 当 2 < x < 5时, f ( x ) ≥ x 2 ? 8 x + 15的解集为{x | 5 ? 3 ≤ x < 5} ; 当 x ≥ 5时, f ( x ) ≥ x 2 ? 8 x + 15的解集为{x | 5 ≤ x ≤ 6} . 综上,不等式 f ( x ) ≥ x 2 ? 8 x + 15的解集为{x | 5 ? 3 ≤ x ≤ 6}. …………10 分 ………………5 分

辽宁文 11.函数 f ( x) 的定义域为 R , f (?1) = 2 ,对任意 x ∈ R , f ′( x) > 2 , 则 f ( x) > 2 x + 4 的解集为 A. ? 1 ,1) ( C. ? ∞ , ? 1 ) ( B. ? 1 ,+ ∞ ) ( D. ? ∞ ,+ ∞ ) ( B

全国Ⅰ 全国Ⅰ理(13)若变量 x, y 满足约束条件 ?

?3 ≤ 2 x + y ≤ 9, 则 z = x + 2 y 的最小值为 ?6 ≤ x ? y ≤ 9,

-6

5

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) = x ? a + 3 x ,其中 a > 0 。 (Ⅰ)当 a = 1 时,求不等式 f ( x ) ≥ 3 x + 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x ) ≤ 0 的解集为 { x | x ≤ ?1 (24)解: 解 (Ⅰ)当 a = 1 时, f ( x ) ≥ 3 x + 2 可化为

}

,求 a 的值。

| x ? 1|≥ 2 。
由此可得

x ≥ 3 或 x ≤ ?1 。

故不等式 f ( x ) ≥ 3 x + 2 的解集为

{x | x ≥ 3 或 x ≤ ?1} 。
( Ⅱ) 由 f ( x ) ≤ 0 得

x ? a + 3x ≤ 0
此不等式化为不等式组

?x ≥ a ? ? x ? a + 3x ≤ 0 ?x ≥ a ? ? a 即 x≤ ? ? 4

或?

?x ≤ a ?a ? x + 3x ≤ 0

?x ≤ a ? ? a 或 a≤? ? ? 2
a 2

因为 a > 0 ,所以不等式组的解集为 { x | x ≤ ? 由题设可得 ?

}

a = ?1 ,故 a = 2 2

全国Ⅰ ABCD 的三个顶点为 A(-1,2) ,B(3,4) ,C(4,-2) ,点(x, 全国Ⅰ文(11)已知 y)在 ABCD 的内部,则 z=2x-5y 的取值范围是 (A) (-14,16) (B) (-14,20) (C) (-12,18) (D) (-12,20)

B

? lg x1 ,0< x≤10 ? (12)已知函数 f(x)= ? 1 x + 6, x > 0 ? 2
值范围是

若 a,b,c 均不相等,且 f(a)= f(b)= f(c),则 abc 的取

6

(A) (1,10) (B)(5,6) (C)(10,12) (D)(20,24)

C (24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 ∫ ( x) = 2 x ? 4 + 1。 (Ⅰ)画出函数 y= ∫ ( x) 的图像: (Ⅱ)若不等式 ∫ ( x) ≤ax 的解集非空,求 n 的取值范围
[来源:学科网]

( Ⅱ)由函数 y = f ( x ) 与函数 y = ax 的图像可知,当且仅当 a < ?2 时,函数 y = f ( x ) 与函数 y = ax 的图像有交点。故不等式 f ( x ) ≤ ax 的解集非空时,a 的取值范围为

( ?∞, ?2 ) ∪ ? ?

1 ? , +∞ ? 。 ?2 ?

……10 分

全国Ⅱ 全国Ⅱ理 (3)下面四个条件中,使 a > b 成立的充分而不必要的条件是 (A) a > b +1 (B) a > b -1 (C) a > b
2 2

(D) a > b

3

3

【答案】 :A 【命题意图】 :本小题主要考查充分必要条件及不等式等有关知识。 【解析】 :由 a > b +1,得 a > b ;反之不成立。 全国Ⅱ 全国Ⅱ文

?x + y ≤ 6 ? (4) 若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y ≤ ?2 ,则 z = 2 x + 3 y 的最小值为 ?x ≥ 1 ?
(A)17 (B)14 (C)5 (D)3
7

【答案】C 【解析】作出可行域,分析可知当 x = 1, y = 1 , zmin = 5 山东理

山东文
2 2 2 (5)已知 a,b,c∈R,命题“若 a + b + c =3,则 a + b + c ≥3”,的否命题是

(A)若 a+b+c≠3,则 a 2 + b 2 + c 2 <3 (B)若 a+b+c=3,则 a 2 + b 2 + c 2 <3 (C)若 a+b+c≠3,则 a 2 + b 2 + c 2 ≥3 (D)若 a 2 + b 2 + c 2 ≥3,则 a+b+c=3 A

?x + 2 y ? 5 ≤ 0 ? (7)设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ≤ 0 ,则目标函数 z = 2 x + 3 y + 1 的最大值为 ?x ≥ 0 ?
(A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5

B
陕西理 15. 考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) A. (不等式选做题)若关于 x 的不等式 | a |… x + 1| + | x ? 2 | 存在实数解,则实数 a 的取值 | 范围是 .

【分析】先确定 | x + 1| + | x ? 2 | 的取值范围,再使得 a 能取到此范围内的值即可. 【解】当 x ? ?1 时, | x + 1| + | x ? 2 |= ? x ? 1 ? x + 2 = ?2 x + 1 …3 ; 当 ?1 < x ? 2 时, | x + 1| + | x ? 2 |= x + 1 ? x + 2 = 3 ;

8

当 x > 2 时, | x + 1| + | x ? 2 |= x + 1 + x ? 2 = 2 x ? 1 > 3 ; 综上可得 | x + 1| + | x ? 2 |…3 ,所以只要 | a |…3 ,解得 a ? ?3 或 a …3 , 即实数 a 的取值范围是 ( ?∞, ?3] U [3, +∞ ) . 【答案】 ( ?∞, ?3] U [3, +∞ ) 陕西文 3.设 0 < a < b ,则下列不等式中正确的是 ( ) (A) a < b <

a+b 2 a+b (c) a < ab < b < 2 ab <

(B) a < (D)

a+b <b 2 a+b ab < a < <b 2 ab < ab < a+b ,比较 a 与 2 ab , 因 为

【分析】根据不等式的性质,结合作差法,放缩法,基本不等式或特殊值法等进行比较. 【解】选 B (方法一)已知 a<b 和

a 2 ? ( ab ) 2 = a (a ? b) < 0 , 所 以 a < ab , 同 理 由 b 2 ? ( ab ) 2 = b(b ? a ) > 0 得 a+b b?a a+b a+b = > 0, 所以 <b, 综上可得 a < ab < < b; 2 2 2 2 a+b a+b 故选 B. (方法二)取 a = 2 , b = 8 ,则 ab = 4 , = 5 ,所以 a < ab < < b. 2 2 ab < b ; 作差法:b ?
12.如图,点 ( x, y ) 在四边形 ABCD 内部和边界上运动,那么 2x ? y 的最小值为________. 【分析】本题为线性规划问题,采用数形结合法解答,解答本题的关键是确 定目标函数过哪一个点时取得最小值. 【解】 目标函数 z = 2 x ? y , x = 0 时,z = ? y , 当 所以当 y 取得最大值时,

z 的值最小;移动直线 2 x ? y = 0 ,当直线移动到过点 A 时, y 最大,即 z
的值最小,此时 z = 2 × 1 ? 1 = 1 . 【答案】1 15. 考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) 一题评分) (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分 A. (不等式选做题)若不等式 | x + 1| + | x ? 2 |…a 对任意 x ∈ R 恒成立,则 a 的取值范围 是 .

【分析】先确定 | x + 1| + | x ? 2 | 的取值范围,则只要 a 不大于 | x + 1| + | x ? 2 | 的最小值即 可. 【解】当 x ? ?1 时, | x + 1| + | x ? 2 |= ? x ? 1 ? x + 2 = ?2 x + 1 …3 ; 当 ?1 < x ? 2 时, | x + 1| + | x ? 2 |= x + 1 ? x + 2 = 3 ;

9

当 x > 2 时, | x + 1| + | x ? 2 |= x + 1 + x ? 2 = 2 x ? 1 > 3 ; 综上可得 | x + 1| + | x ? 2 |…3 ,所以只要 a ? 3 , 即实数 a 的取值范围是 ( ?∞,3] . 【答案】 ( ?∞,3] 上海理 4.不等式

x +1 ≤ 3 的解为 x

. x<0或x≥

1 2
)D

15. 若 a, b ∈ R ,且 ab > 0 ,则下列不等式中,恒成立的是( (A) a + b > 2ab .
2 2

(B) a + b ≥ 2 ab .

(C)

1 1 2 b a + > . (D) + ≥ 2 . a b a b ab

上海文 6、不等式

1 < 1 的解为 x

x < 0 或 x >1;

9、若变量 x, y 满足条件 ?

? 3x ? y ≤ 0 ,则 z = x + y 得最大值为 ?x ? 3y + 5 ≥ 0

5 2

四川理 9. 某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人, 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量 有 为 6 吨的乙型卡车.某天需运往 A 地至 少 72 吨的货 物,派用的每辆车需满载且只运送一 次.派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每辆乙型卡车需 配 1 名工人,运送一次可得利润 350 元,该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得 最大利润为 (A)4650 元 (B)4700 元 (C)4900 元 (D)5000 元 答案:C 解析: 设派用甲型卡车 x (辆) 乙型卡车 y , (辆) 获得的利润为 u , (元) u = 450 x + 350 y , ,
? x + y ≤ 12, ? 2 x + y ≤ 19, ? ? 由题意, 、 满足关系式 ?10 x + 6 y ≥ 72, 作出相应的平面区域,u = 450 x + 350 y = 50(9 x + 7 y ) x y ?0 ≤ x ≤ 8, ? ?0 ≤ y ≤ 7, ? ? x + y ≤ 12, 在由 ? 确定的交点 (7,5) 处取得最大值 4900 元,选 C. ? 2 x + y ≤ 19 四川文 22. (本小题共 l4 分) 2 1 已知 函数 f ( x) = x + , h( x) = x . 3 2 (Ⅰ)设函数 F(x)=18f(x)-x2[h(x)]2,求 F(x)的单调区间与极值; 3 3 (Ⅱ)设 a ∈ R ,解关于 x 的方程 lg[ f ( x ? 1) ? ] = 2lg h(a ? x) ? 2 lg h(4 ? x) ; 2 4

10

1 . 6 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识,考查数形结合、 函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力. 解: (Ⅰ) F ( x) = 18 f ( x) ? x 2 [ h( x)]2 = ? x3 + 12 x + 9( x ≥ 0) ,

(Ⅲ)设 n ∈ N* ,证明: f (n)h(n) ? [h(1) + h(2) + L + h(n)] ≥

∴ F ′( x) = ?3x 2 + 12 . 令∴ F ′( x) = 0 ,得 x = 2 ( x = ?2 舍去) . 当 x ∈ (0, 2) 时. F ′( x) > 0 ;当 x ∈ (2, +∞) 时, F ′( x) < 0 , 故当 x ∈ [0, 2) 时, F ( x) 为增函数;当 x ∈ [2, +∞) 时, F ( x) 为减函数. x = 2 为 F ( x) 的极大值点,且 F (2) = ?8 + 24 + 9 = 25 . 3 3 (Ⅱ)方法一:原方程可化为 log 4 [ f ( x ? 1) ? ] = log 2 h(a ? x) ? log 2 h(4 ? x) , 2 4 ? x < a, a?x 即为 log 4 ( x ? 1) = log 2 a ? x ? log 2 4 ? x = log 2 ,且 ? 4? x ?1 < x < 4, a?x ①当 1 < a ≤ 4 时, 1 < x < a ,则 x ? 1 = ,即 x 2 ? 6 x + a + 4 = 0 , 4?x 6 ± 20 ? 4a ? = 36 ? 4( a + 4) = 20 ? 4a > 0 ,此时 x = = 3 ± 5 ? a ,∵ 1 < x < a , 2 此时方程仅有一解 x = 3 ? 5 ? a . a?x ② 当 a > 4 时 , 1 < x < 4 , 由 x ?1 = , 得 x2 ? 6x + a + 4 = 0 4?x ? = 36 ? 4( a + 4) = 20 ? 4a ,



若 4 < a < 5 ,则 ? > 0 ,方程有两解 x = 3 ± 5 ? a ; 若 a = 5 时,则 ? = 0 ,方程有一解 x = 3 ; 若 a ≤ 1 或 a > 5 ,原方程无解. 方法二:原方程可化为 log 4 ( x ? 1) + log 2 h(4 ? x) = log 2 h(a ? x) ,
1 即 log 2 ( x ? 1) + log 2 4 ? x = log 2 2

? x ? 1 > 0, ?1 < x < 4 ? 4 ? x > 0, ? ? a ? x ,? ? ? ? x < a, ? a ? x > 0, ? 2 ? a = ?( x ? 3) + 5. ?( x ? 1)(4 ? x) = a ? x. ?

①当 1 < a ≤ 4 时,原方程有一解 x = 3 ? 5 ? a ; ②当 4 < a < 5 时,原方程有二解 x = 3 ± 5 ? a ; ③当 a = 5 时,原方程有一解 x = 3 ; ④当 a ≤ 1 或 a > 5 时,原方程无解. (Ⅲ)由已知得 h(1) + h(2) + L + h(n)] = 1 + 2 + L + n , 1 4n + 3 1 f ( n) h( n) ? = n? . 6 6 6 1 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn = f ( n)h(n) ? ( n ∈ N* ) 6 4k + 3 4k ? 1 从而有 a1 = S1 = 1 ,当 2 ≤ k ≤ 100 时, ak = Sk ? Sk ?1 = k? k ?1 . 6 6 1 1 (4k + 3)2 k ? (4k ? 1) 2 (k ? 1) 又 ak ? k = [(4k + 3) k ? (4k ? 1) k ? 1] = ? 6 6 (4k + 3) k + (4k ? 1) k ? 1

11

=

1 1 ? > 0. 6 (4k + 3) k + (4k ? 1) k ? 1

即对任意 k ≥ 2 时,有 ak > k ,又因为 a1 = 1 = 1 ,所以 a1 + a2 + L + an ≥ 1 + 2 + L + n . 则 Sn ≥ h(1) + h(2) + L + h(n) ,故原不等式成立. 天津理

x>0 ? log 2 x, ? 8.设函数 f ( x ) = ?log ( ? x ) , x < 0 若 f ( a ) > f ( ? a ) ,则实数 a 的取值范围是( 1 ? 2 ?
A. ( ?1, 0 ) U ( 0 ,1) C. ( ?1, 0 ) U (1, +∞ ) B. ( ?∞ , ?1) U (1, +∞ ) D. ( ?∞ , ?1) U ( 0 ,1)

) .

【解】若 a > 0 ,则 log 2 a > log 1 a ,即 2 log 2 a > 0 ,所以 a > 1 , 解
2

若 a < 0 则 log 1 ( ? a ) > log 2 ( ?a ) ,即 2 log 2 ( ? a ) < 0 ,所以 0 < ?a < 1 , ?1 < a < 0 。
2

所以实数 a 的取值范围是 a > 1 或 ?1 < a < 0 ,即 a ∈ ( ?1, 0 ) U (1, +∞ ) .故选 C.
9.设集合 A = x x ? a < 1, x ∈ R , B = x x ? b > 2, x ∈ R .若 A ? B ,则实数 a, b 必

{

}

{

}

满足(

) . B. a + b ≥ 3 C. a ? b ≤ 3 D. a ? b ≥ 3

A. a + b ≤ 3

【解】 A = x a ? 1 < x < a + 1, x ∈ R , B = x x < b ? 2或x > b + 2, x ∈ R . 解
B A a-1 a+1 b-2 b+2 a-1 B A a+1

{

}

{

}

若 A ? B ,则满足 a + 1 ≤ b ? 2 或 a ? 1 ≥ b + 2 ,因此有

a ? b ≤ ?3 或 a ? b ≥ 3 ,即 a ? b ≥ 3 .故选D.
天津文

? x + y ≤ 3, ? 2 .设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≥ ?1, 则目标函数 ? y ≥ 1, ?
z = 4 x + 2 y 的最大值为(
A. 12 B. 10 ) . C. 8 D. 2

【解】画出可行域如图,直线 z = 4 x + 2 y 经过 B ( 2,1) 解 时,目标函数取得最大值,

12

所以 zmax = 4 × 2 + 2 × 1 = 10 .故选B.

?x ? 4 y + 3 ≤ 0 ? 浙江理 15.已知 O 是坐标原点, A( 2,1) , P ( x, y ) 满足 ? 3 x + 5 y ≤ 25 ,则 OP 在 OA 方向 ? x ?1 ≥ 0 ?
上的投影的最大值等于 ▲ .

12 5 5

? x + 2 y ? 5 ≥ 0, ? 浙江文(3)若实数 x,y 满足不等式组 ?2 x + y ? 7 ≥ 0, 则 3x+4y 的最小值是 浙江文 ? x ≥ 0, y ≥ 0, ?
A.13 A (16)若实数 x, y 满足 x 2 + y 2 + xy = 1 ,则 x + y 的最大值是________________。 重庆理(7)已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y= 重庆理 (A) B.15 C.20 D.28

2 3 3

7 2

(B)4

1 4 + 的最小值是 a b 9 (C) (D) 5 2

C

重庆文(2)设

,

,则 (B) , , ,

A

(A) , (C) , , ,

(D)

(15)若实数 , , 满足 是 . 2 ? log 2 3

,则 的最大值

13

2011 高考数学分类汇编

14


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