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高二数学选修2-1第一章测试【高考题精华版-附详细解答】


数学选修 2-1 第一章测试(常用逻辑用语)
班级: 一、选择题(请将答案填写到答题卡中) 1、 m “
? 1 2

姓名: )

” “直线( m +2)x+3 m y+1=0 与直线( m +2)x+( m -2)y-3=0 相互垂直” ( 是 的 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要

A、充分不必要条件

2、实数 a、b 满足 a≥0,b≥0,且 ab=0,则称 a 与 b 互补,记 φ(a,b)= a2+b2-a-b, 那么 φ(a,b)=0 是 a 与 b 互补的( ) A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 【解析】选 C.若 φ(a,b)=0,则 a2+b2=a+b,两边平方整理,得 ab=0, 且 a≥0,b≥0,∴a,b 互补. 若 a,b 互补,则 a≥0,b≥0,且 ab=0, 即 a=0,b≥0 或 b=0,a≥0,此时都有 φ(a,b)=0, ∴φ(a,b)=0 是 a 与 b 互补的充要条件. 3、设甲是乙的充分不必要条件,乙是丙的充要条件,丁是丙的必要非充分条件,则甲是丁 的( ) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要 甲是乙的充分而不必要条件:甲 ==> 乙; 乙 =/=> 甲 丙是乙的充要条件: 丙 <==> 乙 丁是丙的必要而不充分条件:丙 ==> 丁; 丁 =/=> 丙 甲 ==> 乙 ==> 丙 ==> 丁 丁 =/=> 甲 (若 丁 ==> 甲,则 丁 ==> 甲 ==> 乙 ==> 丙 ,矛盾) 所以 丁 是 甲 的[ 必要而不充分条件 ] 4、有金盒、银盒、铅盒各一个,只有一个盒子里有肖像.金盒上写有命题 p:肖像在这个 盒子里;银盒上写有命题 q:肖像不在这个盒子里;铅盒上写有命题 r:肖像不在金盒 里.p、q、r 中有且只有一个是真命题,则肖像在 ( ) A.金盒里 B.银盒里 C.铅盒里 D.在哪个盒子里不能确定 2 5、2x -5x-3<0 的一个必要不充分条件是 ( ) A.-
1 2

<x<3

B.-

1 2

<x<0
1 2

C.-3<x<

1 2

D.-1<x<6

D;解析:由 2x2-5x-3<0,解得- 分非必要条件,③C

<x<3,记为 P,则①P ? A,②B P,B 是 P 的充 P,P D,

P,C 既不是 P 的充分条件,也不是 P 的必要条件,④D

D 是 P 的必要不充分条件.

a 6、若函数 f(x)=x2+ (a∈R),则下列结论正确的是 x A.?a∈R,f(x) 在(0,+∞)上是增函数 B.?a∈R,f(x)在(0,+∞)上是减函数 C.?a∈R,f(x)是偶函数 D.?a∈R,f(x)是奇函数 解析:当 a=16 时,f(x)=x2+ 令 f′(x)>0 得 x>2. ∴f(x)在(2,+∞)上是增函数,故 A、B 错. 当 a=0 时,f(x)=x2 是偶函数,故 C 正确. D 显然错误. 7、有四个关于三角函数的命题: x x 1 p1:?x∈R,sin2 +cos2 = 2 2 2 p2:?x,y∈R,sin(x-y)=sinx-siny p3:?x∈, 1-cos2x =sinx 2 ( 16 16 ,f′(x)=2x- 2 , x x

(

)

)

π p4:sinx=cosy?x+y= 2 其中的假命题是 A.p1,p4 B.p2,p4 C.p1,p3 D.p2,p3 ( )

x x 解析:sin2 +cos2 =1 恒成立,p1 错; 2 2 当 x=y=0 时,sin(x-y)=sinx-siny,p2 对; ∵ ∴ 1-cos2x =sin2x,当 x∈,sinx≥0, 2 1-cos2x 2 π =sinx,p3 对;当 x= π,y= 时, 2 3 6

π sinx=cosy 成立,但 x+y≠ ,p4 错. 2 答案:A

8、知命题 p:“?x∈,x2-a≥0”,命题 q:“?x∈R,x2+2ax+2-a=0”.若命题“p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围为 A.a≤-2 或 a=1 C.a≥1 B.a≤-2 或 1≤a≤2 D.-2≤a≤1 ( )

解析:由已知可知 p 和 q 均为真命题,由命题 p 为真得 a≤1,由命题 q 为真得 a≤ -2 或 a≥1,所以 a≤-2,或 a=1. 答案:A

9、下列命题中真命题的个数是 ①?x∈R,x4>x2 ②若 p∧q 是假命题,则 p、q 都是假命题 ③命题“?x∈R,x3+2x2+4≤0”的否定为“?x0∈R,x3+2x2+4>0” 0 0 A.0 B.1 C.2 D.3 解析:只有③是正确的. 答案:B

(

)

1 1 10、若 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“a< 或 b> ”的( b a A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

)

【解析】选 A.∵0<ab<1,∴a,b 同号,且 ab<1. 1 1 当 a>0,b>0 时,a< ;当 a<0,b<0 时,b> . b a 1 1 ∴“0<ab<1”是“a< 或 b> ”的充分条件. b a 1 而取 a=-1,b=1,显然有 a< ,但不能推出 0<ab<1, b 1 1 故“0<ab<1”是“a< 或 b> ”的充分而不必要条件. b a 1 1 11、“sinα= ”是“cos2α= ”的 2 2 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(

)

1 1 1 解析:充分性:如果 sinα= ,则 cos2α=1-2sin2α= ,成立;必要性:如果 cos2α= ,则 2 2 2 1 sinα=± ,不成立,可知是充分而不必要条件. 2 答案:A 12、下列选项中,p 是 q 的必要不充分条件的是 A.p:ac2≥bc2, q:a>b B.p:a>1,b>1, q:f(x)=ax-b(a>0,且 a≠1)的图象不过第二象限 ( )

C.p:x=1, q:x2=x D.p:a>1, q:f(x)=logax(a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上为增函数 解析:a>b?ac2≥bc2,但 ac2≥bc2 a>b. ? 答案:A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题 13、 若命题“?x∈R, 使得 x2+(a-1)x+1<0”是真命题, 则实数 a 的取值范围是 解析:∵?x∈R,使得 x +(a-1)x+1<0 是真命题 ∴(a-1)2-4>0,即(a-1)2>4, ∴a-1>2 或 a-1<-2, ∴a>3 或 a<-1. 答案:(-∞,-1)∪(3,+∞) 14、下列命题中__1234_____为真命题. ①“A∩B=A”的一个必要条件是“A B” ; 2 2 ②“若 x +y =0,则 x,y 全为 0”的否命题; ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题; ④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题.
2

.

15、若“x∈[2,5]或 x∈{x|x<1 或 x>4}”是假命题,则 x 的取值范围是 16、判断下列命题的真假性:

①若 m>0,则方程 x2-x+m=0 有实根 ②若 x>1,y>1,则 x+y>2 的逆命题 ③对任意的 x∈{x|-2<x<4},|x-2|<3 的否定形式 ④△>0 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一负根的充要条件
三、解答题 17、 P :对任意实数 x 都有 ax 2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立; Q :关于 x 的方程 x ? x ? a ? 0 有
2

实数根;如果 P 与 Q 中有且仅有一个为真命题,求实数 a 的取值范围.
?a ? 0 ?? ? 0

解:对任意实数 x 都有 ax 2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立 ? a ? 0 或 ?

? 0 ? a ? 4 ;关于 x 的方程 x ? x ? a ? 0 有实数根 ? 1 ? 4 a ? 0 ? a ?
2

1 4

;如果 P 正

确,且 Q 不正确,有 0 ? a ? 4 , 且 a ?

1 4

?

1 4

? a ? 4 ;如果 Q 正确,且 P 不正确,有

a ? 0或 a ? 4, 且 a ?

1 4

? a ? 0

.所以实数 a 的取值范围为 ? ?

? 1 ? ? ,0 ? ? ? ,4 ? ? 4 ?



18、已知 p: 1 ?

x ?1 3

? 2

,q:

x ? 2x ? 1 ? m
2

2

? 0 ? m ? 0 ? ,若 ? p

是 ? q 的必要不充分

条件,求实数 m 的取值范围。
解:由 p: 1 ?
x ?1 3 ? 2 ? ? 2 ? x ? 10 .

由 q 可得

?x

? 1? ? m
2

2

?m ? 0 ?

所以 1 ? m ? x ? 1 ? m . 所以 ? p : x ? 10 或 x ? ? 2 , ?p : x ? 1 ? m或 x ? 1 ? m, 因为 ? p 是 ? q 的必要不充分条件 故只需满足 所以 m ? 9 . ? 1 ? m ? 10 ? ?1 ? m ? ? 2 , 所以 ? p ? ? q .

19、已知 ab ? 0 ,求证 a ? b ? 1 的充要条件是 a 3 ? b 3 ? ab ? a 2 ? b 2 ? 0 证明:必要性:
? a ? b ? 1, 即 b ? 1 ? a , ?a
3

?b

3

? ab ? a

2

?b

2

? a

3

? ?1 ? a ? ? a ?1 ? a ? ? a
3

2

? ?1 ? a ? ? .... ? 0
2

3 3 2 2 充分性:? a ? b ? ab ? a ? b ? 0

?a

? b? a
2

?

2

? ab ? b
2

2

? ? ?a

2

? ab ? b

2

?? 0

?a
2

? ab ? b

?? a ? b ? 1 ? ? 0 .
b? ? ? ?a ? ? 2? ?
2

即 又 ab ? 0 , 即 a ? 0 , 且 b ? 0 ,
a ? ab ? b
2

?

3b 4

2

? 0 , 只有 a ? b ? 1 . a
3

综上可知

, 当 ab ? 0 , a ? b ? 1的充要条件是

? b ? ab ? a
3

2

?b

2

? 0

20、证明:若 p 2 ? q 2 ? 2 ,则 p ? q ? 2 。 (提示:用逆否命题来证明)


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