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研究性学习课题报告[高中函数解题]


研究性学习课题结题报告 课题题目 指导教师 课题组成员
高中函数解题技巧

组别 组长

16 级 11 班、12 班 白孜文、田艺航

李俊玲

白孜文、陈建鹏、王琼、屈树浩、张淮浦、田艺航、苏航、聂倩倩

目标: 提高解题能力和数学思维,灵活运用知识 内容: 总结函数类问题的规律性解题技巧 目的与意义:方便同学学习数学,提高解题能力和数学思维,灵活运用知识

任务分工:论文撰写:白孜文

PPT 设计整理:田艺航

资料查询:全体课题组成员 活动计划: 3 月 29 日—3 月 31 日:讨论研究内容,确定主题 4 月 1 日—4 月 3 日:拟订实施方案 4 月 4 日—4 月 5 日:人员分工 4 月 6 日—4 月 11 日:开展研究课题 方 法:

1:课题组成员分工,思考平时做题时遇到的易错点和典型题。 2:通过网络,书籍等方式搜查相关资料。 3:将网络书籍中的相关内容,数据加以分析整理。 4:根据整理内容设立相关报告。 5:修改、整理报告与论文

可行性:分工明确,组员可就自己能力完成相关事务,将报告完成。 预期的成果:论文,PPT

总结与体会:在研究性学习中,同学们锻炼了实践组织能力,不仅在学习上更加努力, 也对数学学习有了新的认识和理解。希望同学们能通过本次研究性学习让自己有意识的 对题目进行归纳总结。

研究性学习报告
课题:高中函数解题技巧
摘要:本文是我们小组 11 位同学综合实践活动的成果,阐述了高中函数的知识点、基本 题型和部分结题技巧。 关键词:数学 函数 解题技巧 知识点梳理 正文: 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性” 。 2.进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 3. 用补集思想解决问题(排除法、间接法) 4. 映射 f:A→B, A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性。 (一对一,多对一,允许 B 中有元素无原象。 ) 注意映射个数的求法。如集合 A 中有 m 个元素,集合 B 中有 n 个元素,则从 A 到 m B 的映射个数有 n 个。 5. 函数的三要素(定义域、对应法则、值域) 6. 相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) 7.函数定义域求法: ? 分式中的分母不为零; ? 偶次方根下的数(或式)大于或等于零; ? 指数式的底数大于零且不等于一;对数式的底数大于零且不等于一,真 数大于零。 ? 正切函数 y ? tan x

? ? ? ? x ? R, 且x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

8.求复合函数的定义域 已知 y ? f ( x) 的定义域为 ?m, n ? , 求 y ? f ?g ( x)? 的定义域, 可由 m ? g ( x) ? n 解出 x 的范围,即为 y ? f ?g ( x)? 的定义域。 9.函数值域的求法 【1】直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。

例 求函数 y=

1 的值域 x

【2】配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例、求函数 y= x 2 -2x+5,x ? [-1,2]的值域。 【3】判别式法 对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题 型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面 【4】反函数法 直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值 域。 【5】函数有界性法 直接求函数的值域困难时, 可以利用已学过函数的有界性, 来确定函数的值域。 我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。 【6】函数单调性法 通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容 【7】换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数, 其题型特征是函数解析式含根式或 三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中 同样发挥作用。 【8】数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等 等。 【9】不等式法 利用基本不等式 a+b≥2 ab ,a+b+c≥3 3 abc (a,b,c∈

R

?

) ,求函数的

最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不 过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 【10】倒数法 有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况 10. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域。 切记:做题,特别是做大题时, 一定要注意附加条件,如定义域、单位等. 11 . 如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负) 12 判断函数单调性的方法有三种: (1)定义法: (2)参照图象:(3)利用单调函数的性质: 13 函数 f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? (f(x)定义域关于原点对称)

若f (?x) ? ?f ( x) 总成立 ? f ( x) 为奇函数 ? 函数图象关于原点对称 若f (?x) ? f ( x) 总成立 ? f ( x) 为偶函数 ? 函数图象关于y轴对称
注意如下结论:

(1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函 数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

(2)若f(x) 是奇函数且定义域中有原点,则f(0) ? 0。
14 判断函数奇偶性的方法 一、 定义域法 一个函数是奇(偶)函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇(偶)函数的 必要条件.若函数的定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数. 二、 奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,计算 f (? x) ,然后根据函数的奇偶性 的定义判断其奇偶性.

这种方法可以做如下变形 f(x)+f(-x) =0 f(x)-f(-x)=0 f(x) ?1 f(-x) f(x) ? ?1 f(-x)
三、 f(g) 奇 奇 偶 偶

奇函数 偶函数 偶函数 奇函数

复合函数奇偶性 g(x) 奇 偶 奇 偶 f[g(x) ] 奇 偶 偶 偶 f(x)+g(x ) 奇 非奇非偶 非奇非偶 偶 f(x)*g(x ) 偶 奇 奇 偶

15. 周期函数的定义

(若存在实数T(T ? 0),在定义域内总有f ?x ? T? ? f ( x) ,则f ( x) 为周期
函数,T 是一个周期。 )

如:若f ?x ? a? ? ?f (x),则

(答:f ( x) 是周期函数,T ? 2a为f ( x) 的一个周期)
16. 常用的图象变换

f (x)与f (?x)的图象关于 y轴 对称 联想点(x,y),(-x,y)
f (x)与 ? f (x)的图象关于 x轴 对称 联想点(x,y),(x,-y) f (x)与 ? f (?x)的图象关于 原点 对称 联想点(x,y),(-x,-y)
f ( x) 与f ?1 ( x) 的图象关于 直线y ? x 对称
联想点(x,y),(y,x)

f (x)与f (2a ? x)的图象关于 直线x ? a 对称 联想点(x,y),(2a-x,y) f (x)与 ? f (2a ? x)的图象关于 点(a,0) 对称 联想点(x,y),(2a-x,0)

左移a(a?0) 个单位 y ? f ( x ? a) 将y ? f ( x) 图象 ???????? ?? 右移a(a?0) 个单位 y ? f ( x ? a) 上移b( b?0) 个单位 y ? f ( x ? a) ? b ???????? ?? 下移b( b?0) 个单位 y ? f ( x ? a) ? b
17 如何解抽象函数问题? (赋值法、结构变换法) 1、 2、 3、 代 y=x, 令 x=0 或 1 来求出 f(0)或 f(1) 求奇偶性,令 y=—x;求单调性:令 x+y=x1

18.几类常见的抽象函数 1. 正比例函数型的抽象函数 f(x)=kx(k≠0)---------------f(x±y)=f(x)±f(y) 2. 幂函数型的抽象函数

f(x)=xa----------------f(xy)= f(x)f(y) ;f(
3. 指数函数型的抽象函数

x f ( x) )= y f ( y)

f(x)=ax------------------- f(x+y)=f(x)f(y) ;f(x-y)=
4. 对数函数型的抽象函数

f ( x) f ( y)

f(x)=logax(a>0 且 a≠1)-----f(x·y)=f(x)+f(y) ;f(
-f(y) 5. 三角函数型的抽象函数

x )= f(x) y

f(x)=tgx-------------------------- f(x+y)=

f ( x) ? f ( y ) 1 ? f ( x) f ( y )

f(x)=cotx------------------------ f(x+y)=

f ( x) f ( y ) ? 1 f ( x) ? f ( y )

以上调查研究报告,只是我们 11 位同学在课余时间内所做的一点粗浅的研究,这是我们进 入高中阶段在综合实践活动课上的第一次尝试, 其中有很多不足之处, 希望老师和同学们给 予指正。在此要感谢老师对我们精心指导和大力帮助,也对曾经帮助过我们的同学、老师和 家长表示由衷的感谢。 参考资料:百度文档《高中函数解题方法高考专版》 。 《五年高考三年模拟》 《高中数学解题题典》 《高中数学解题技巧》


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