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2013高中新课程数学(苏教版必修四) 第十三课 三角函数的性质教案


第十三课时 三角函数的性质 教学目标: 理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义,会求简单函数的定 义域、值域、最小正周期和单调区间;渗透数形结合思想,培养辩证唯物主义观点. 教学重点: 正、余弦函数的性质 教学难点: 正、余弦函数性质的理解与应用 教学过程: Ⅰ.课题导入 上节课,我们研究了正、余弦函数的图象,今天,我们借助它们的图象来研究它们有哪 些性质. (1)定义域: 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集 R[或(-∞,+∞)] ,分别记作: y=sinx,x∈R y=cosx,x∈R (2)值域 因为正弦线、 余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度, 所以|sinx|≤1, |cosx| ≤1,即 -1≤sinx≤1,-1≤cosx≤1 也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1]. 其中正弦函数 y=sinx,x∈R π ①当且仅当 x= +2kπ ,k∈Z 时,取得最大值 1. 2 π ②当且仅当 x=- +2kπ ,k∈Z 时,取得最小值-1. 2 而余弦函数 y=cosx,x∈R ①当且仅当 x=2kπ ,k∈Z 时,取得最大值 1. ②当且仅当 x=(2k+1)π ,k∈Z 时,取得最小值-1. (3)周期性 由?

?sin(x ? 2k? ) ? sin x (k∈Z) ?cos(x ? 2k? ) ? cos x

知:正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的. 一般地,对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时, 都有 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期. 由此可知,2π ,4π ,…,-2π ,-4π ,…2kπ (k∈Z 且 k≠0)都是这两个函数的周 期. 对于一个周期函数 f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正 数就叫做 f(x)的最小正周期. 根据上述定义,可知: 正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ (k∈Z 且 k≠0)都是它的周期,最小正周期是 2 π. (4)奇偶性

正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数. (5)单调性 π 3π 从 y=sinx,x∈[- , ]的图象上可看出: 2 2 π π 当 x∈[- , ]时,曲线逐渐上升,sinx 的值由-1 增大到 1. 2 2 π 3π 当 x∈[ , ]时,曲线逐渐下降,sinx 的值由 1 减小到-1. 2 2 结合上述周期性可知: 正弦函数在每一个闭区间[- 增大到 1;在每一个闭区间[ -1. 余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π ,2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 增加到 1;在每一个闭区间[2kπ ,(2k+1)π ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1. [例 1]求使下列函数取得最大值的自变量 x 的集合,并说出最大值是什么. (1)y=cosx+1,x∈R; (2)y=sin2x,x∈R. 解:(1)使函数 y=cosx+1,x∈R 取得最大值的 x 的集合,就是使函数 y=cosx,x∈R 取得最大值的 x 的集合{x|x=2kπ ,k∈Z}. 函数 y=cosx+1,x∈R 的最大值是 1+1=2. (2)令 Z=2x,那么 x∈R 必须并且只需 Z∈R,且使函数 y=sinZ,Z∈R 取得最大值的 Z π 的集合是{Z|Z= +2kπ ,k∈Z} 2 π π 由 2x=Z= +2kπ ,得 x= +kπ 2 4 π 即:使函数 y=sin2x,x∈R 取得最大值的 x 的集合是{x|x= +kπ ,k∈Z}. 4 函数 y=sin2x,x∈R 的最大值是 1. [例 2]求下列函数的定义域: 1 (1)y=1+ sinx (2)y= cosx π π +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 2 2

π 3π +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到 2 2

解:(1)由 1+sinx≠0,得 sinx≠-1 3π 即 x≠ +2kπ (k∈Z) 2 3π ∴原函数的定义域为{x|x≠ +2kπ ,k∈Z} 2 (2)由 cosx≥0 π π 得- +2kπ ≤x≤ +2kπ (k∈Z) 2 2 π π ∴原函数的定义域为[- +2kπ , +2kπ ](k∈Z) 2 2 [例 3]求下列函数的单调递增区间:

π π x ①y=cos(2x+ );②y=3sin( - ) 6 3 2 π 解:①设 u=2x+ ,则 y=cosu 6 当 2kπ -π ≤u≤2kπ 时 y=cosu 随 u 的增大而增大 π 又∵u=2x+ 随 x∈R 增大而增大 6 π π ∴y=cos(2x+ )当 2kπ -π ≤2x+ ≤2kπ (k∈Z) 6 6 7π π 即 kπ - ≤x≤kπ - 时,y 随 x 增大而增大 12 12 π ∴y=cos(2x+ )的单调递增区间为: 6 7π π [kπ - π ,kπ - ](k∈Z) 12 12 π x ②设 u= - ,则 y=3sinu 3 2 π 3π 当 2kπ + ≤u≤2kπ + 时,y=3sinu 随 x 增大在减小, 2 2 π x 又∵u= - 随 x∈R 增大在减小 3 2 π x π π x 3π ∴y=3sin( - )当 2kπ + ≤ - ≤2kπ + 3 2 2 3 2 2 7π π 即-4kπ - ≤x≤-4kπ - 时,y 随 x 增大而增大 3 3 π x 7π π ∴y=3sin( - )的单调递增区间为 [4kπ - ,4kπ - ](k∈Z) 3 2 3 3 Ⅲ.课堂练习 课本 P33 1~7 Ⅳ.课时小结 通过本节学习,要初步掌握正、余弦函数的性质以及性质的简单应用,解决一些相关问 题. Ⅴ.课后作业 课本 P46 习题 2、3、4 课后练习: 1.给出下列命题: ①y=sinx 在第一象限是增函数; π ②α 是锐角,则 y=sin(α + )的值域是[-1,1] ; 4 ③y=sin|x|的周期是 2π ; ④y=sin2x-cos2x 的最小值是-1; 其中正确的命题的序号是_____. 分析:①y=sinx 是周期函数,自变量 x 的取值可周期性出现,如反例:

π π 令 x1= ,x2= +2π ,此时 x1<x2 3 6 而 sin π π >sin( +2π ) 3 6

∴①错误; π π π π ②当α 为锐角时, <α + < + 4 4 2 4 由图象可知 2 π <sin(α + )≤1 2 4

∴②错误; ③∵y=sin|x|(x∈R)是偶函数. 其图象是关于 y 轴对称,可看出它不是周期函数. ∴③错误; ④y=sin2x-cos2x=-cos2x,最小值为-1 ∴④正确. 答案:④ 评述:函数的单调性是函数的局部选择,是针对区间而言的;我们不能说某函数在某象 限内是增函数还是减函数,而只能说某函数在某区间上是增函数还是减函数. 2.求下列函数的定义域和值域: (1)y=lg(sinx- 3 ) 2 (2)y=2 2cos3x-1

分析:根据函数有意义列不等式,求 x 的范围即为定义域.求值域时要注意正弦函数和 余弦函数的值域. 解:(1)要使 lg(sinx- 3 3 )有意义,必须且只须 sinx> , 2 2

π 2π 解之得:2kπ + <x<2kπ + ,k∈Z 3 3 又∵0<sinx- ∴lg(sinx- 3 3 ≤1- 2 2

3 3 )≤lg(1- ) 2 2

π 2π ∴定义域为(2kπ + ,2kπ + ),(k∈Z) 3 3 值域为(-∞,lg(1- 3 )]. 2

1 (2)要使 2 2cos3x-1 有意义,必须且只须 2cos3x-1≥0,即 cos3x≥ , 2 π π 解之得 2kπ - ≤3x≤2kπ + 3 3 即 2kπ π 2kπ π - ≤x≤ + ,k∈Z. 3 9 3 9

又 0≤2cos3x-1≤1 故 0≤2 2cos3x-1 ≤2

2kπ π 2kπ π ∴定义域为[ - , + ] ,k∈Z 3 9 3 9 值域为[0,2] 评述:求由正弦函数和余弦函数组成复合函数的定义域、值域问题,要充分考虑基本的 正弦函数和余弦函数的单调性和值域. 4.比较下列各组数的大小: (1)sin195°与 cos170°; 3 1 7 (2)cos ,sin ,-cos 2 10 4 3π 3π (3)sin(sin ),sin( ). 8 8 分析:化为同名函数,进而利用单调性来比较函数值的大小. 解:(1)sin195°=sin(180°+15°)=-sin15° cos170°=cos(180°-10°)=-cos10°=-sin80° ∵0°<15°<80°<90° 又∵y=sinx 在[0°,90°]上是递增函数, ∴sin15°<sin80° ∴-sin15°>-sin80° ∴sin195°>cos170°. (2)∵sin 1 π 1 =cos( - )? 10 2 10

7 7 -cos =cos(π - ) 4 4 π 1 3 又∵ - =1.47<1.5= 2 10 2 7 π 1 3 π - =1.39<1.4< - < 4 2 10 2 而 y=cosx 在[0,π ]上是减函数, 7 π 1 3 由π - < - < <π 4 2 10 2 3 π 1 7 得 cos <cos( - )<cos(π - ) 2 2 10 4 3 1 7 即 cos <sin <-cos . 2 10 4 3π π (3)∵cos =sin 8 8 3π 3π ∴0<cos <sin <1 8 8 而 y=sinx 在[0,1]内递增 3π 3π ∴sin(cos )<sin(sin ). 8 8


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