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2009年度上学期广州市高中二年级数学学生学业水平测试


个性 专业 周到 2009 学年度广州市高中二年级学生学业水平测试 数 学
本试卷共 4 页. 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置 上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答 案无效. 4. 本次考试不允许使用计算器. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合 题目要求的. 1.设集合 A ? ? 0,1, 2 ? , B ? ?1, 2, 3? ,则 A ? B ? ( A. ? 0,1, 2, 3? B. ? 0, 3? C. ?1, 2 ? ) D. ? )

2.若直线 a x ? y ? 1 ? 0 与直线 2 x ? y ? 2 ? 0 平行,则实数 a 的值为 ( A. 2 B. ? 2 C.
1 2

D. ?

1 2

3. 已知 tan ? ? A.
3 4

1 2

, 则 tan 2? ? ( B.
4 3

)
4 5

C.

D.

5 4

开始

4. 已知向量 a , b 满足 a ? 1 , b =2, a ?b ? ? 1 , 则 a 与 b 的夹角大小是 ( A. 6 0
?

) 是

输入 x

B. 90

?

C. 1 2 0

?

D. 1 5 0

?

5. 在一次射击训练中, 某一小组 10 名成员的成绩如下表: 环数 人数 7 环以下 0 7环 2 8环
x


x ?3

9环 3

10 环
y

① 已知该小组的平均成绩为 8.3 环, 则 x y 的值为 ( A. 0 B. 4 C. 5 D. 6 输出 y )

y ?5

6. 某居民区的物业公司按月向居民收取卫生费, 每月收费方法是:3 人 和 3 人以下 的住户, 每户收取 5 元; 超过 3 人的住户, 每超出 1 人加 收 1 .2 元, 相应收 费系统的流程图如图 1 所示, 则①处应填( ) A. y ? 5 ? 1.2 x B. y ? 1 5 ? 1 .2 x C. y ? 5 ? 1 .2 ? x ? 3 ? 7. 函数 f ? x ? ? e ? e
x ?x

结束 图1

D. y ? 1 5 ? 1 .2 ? x ? 3 ? )

( e 为自然对数的底数 ) (

A.是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数
2 2

B.是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 )
1

8.圆 ? x ? 1 ? ? ? y ? 2 ? ? 1 关于直线 x ? y ? 0 的对称圆的方程为( 地址:海珠区昌岗中路信和广场信和中心 6E 暑期班现正火热报名中!

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A. ? x ? 1 ? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

B. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1 ? ? 1
2 2

C. ? x ? 1 ? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

D. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1 ? ? 1
2 2

?x ? ?y 9. 已知不等式组 ? ?y ?y ?

? 0, ? 0, ? x ? 1, ? 3? x
3 2

表示的平面区域为 D , 则区域 D 的面积为(

)

A. 1

B.

C.

5 2

D.

7 2

10. 某班运动队由足球运动员 18 人、篮球运动员 12 人、乒乓球运动员 6 人组成,现从这些运动员中抽取 1 个容量为 n 的样本,若分别采用系统抽样和分层抽样,则都不用剔除个体;当样本容量为 n ? 1 个时,若 采用系统抽样,则需要剔除 1 个个体,那么样本容量 n 为( ) A. 5 B. 6 C. 12 D. 18 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 已知等差数列 ? a n ? 的首项为 1 ,公差为 2 ,则通项公式 a n ? 12. 在△ A B C 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c , 已知 a ? 1, b ?
2 , sin A ? 1 3
2 2 2 2 2 2

.

4

4

,则 sin B 的值为

. .

2 正视图

2 侧视图

13. 一个几何体的三视图如图 2 所示,那么这个几何体的表面积为 ... 14.已知 a ? 0, b ? 0 ,且三点 A ? 1,1 ? , B ? a , 0 ? , C ? 0, b ? 共线, 则 a ? b 的最小值为 .

图2

俯视图

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin x , x ? R. (1) 求函数 f ? x ? 的最小正周期和最大值; (2) 若 ? 为第一象限的角, 且满足 f ? ? ? ?
3 5

, 求 f ?? ?
?

?

? ?

? 的值. 4 ?

16.(本小题满分 12 分) 有四条线段,其长度分别为 2, 3, 5, 7 . (1)从这四条线段中任意取出两条,求所取出的两条线段的长度之和大于 7 的概率; (2)从这四条线段中任意取出三条,求所取出的三条线段能构成三角形的概率. 地址:海珠区昌岗中路信和广场信和中心 6E 暑期班现正火热报名中! 电话:020-34270468
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17.(本小题满分 14 分)在长方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中, AD ? AA 1 ? 1 ,截面 ABC 1 D 1 为正方形. (1)求长方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 的体积; (2)求证: A1 D ? 平面 ABC 1 D 1 .

1 ? ?1 ? , 18. (本小题满分 14 分) 已知 a ? R, 函数 f ? x ? ? ? x ? ? a ? 1 ? x ? 1, ?

x ? 0, x ? 0.

(1) 求 f ? 1 ? 的值;

(2)证明: 函数 f ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 上单调递增;

(3)求函数 f ? x ? 的零点.

19. (本小题满分 14 分)已知圆 M 经过三点 A ? 2, 2 ? , B ? 2, 4 ? , C ? 3, 3 ? , 从圆 M 外一点 P ? a , b ? 向该圆 引切线 P T , T 为切点,且 P T ? P O ( O 为坐标原点). (1) 求圆 M 的方程; 地址:海珠区昌岗中路信和广场信和中心 6E 暑期班现正火热报名中! 电话:020-34270468
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(2)试判断点 P 是否总在某一定直线上,若是,求出该直线方程;若不是,请说明理由.

20. (本小题满分 14 分)已知二次函数 f ? x ? ? x ? tx ? t ? 0 ? 在区间 ? ? 1, 0 ? 上的最小值为 ? 1 .
2

(1)求 t 的值; (2)记 S n 为数列 ? a n ? 的前 n 项和, 且 a 1 ? 1, a n ? 0 ( n ? N ) ,点
*

?

S n ?1 ?

S n , 2 a n ? 1 在函

?

数 f ? x ? 的图象上, 求 S n 的表达式.

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2009 年度上学期广州市高中二年级学生学业水平测试 数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 C 5 B 6 C 7 A 8 D 9 D 1 0 B

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分. 11. 2 n ? 1 三、解答题 15. 本小题主要考查三角函数和三角恒等变换等基本知识.满分 12 分. 解: (1)∵ 函数 f ? x ? ? sin x , x ? R, ∴函数 f ? x ? 的最小正周期为 2 ? , 最大值为 1. (2) ∵ f ? ? ? ?
? ∴s i n ?
3 5 3

12.

2 3

13. 1 1?

14. 4

……4 分

, ……6 分

.

5

∵ ? 为第一象限角, ∴ co s ? ? ∴ f ?? ?
? ?

1 ? sin ? ?
2

4 5

.

……8 分 ……10 分

? ?

? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? co s ? co s ? sin 4 4 4 ? 4 ? ?
? 3 5 ? 2 2 ? 4 5 ? 2 2 ? ? 2 10

.

……12 分

16. 本小题主要考查古典概型等基本知识.满分 12 分. 解: (1)从这四条线段中任意取出两条,共有 6 种不同的取法:

? 2, 3 ? , ? 2, 5 ? , ? 2, 7 ? , ? 3, 5 ? , ? 3, 7 ? , ? 5, 7 ? ,
其中两条线段的长度之和大于 7 的共有 4 种取法:

……2 分

? 2, 7 ? , ? 3, 5 ? , ? 3, 7 ? , ? 5, 7 ? ,

……4 分
4 6 ? 2 3

∴所取出的两条线段的长度之和大于 7 的概率为 P ?

.

……6 分

(2)从这四条线段中任意取出三条,共有 3 种不同的取法: ? 2, 3, 5 ? , ? 2, 3, 7 ? , ? 2, 5, 7 ? , ? 3, 5, 7 ? …8 分 其中能构成三角形的只有 1 种取法 ? 3, 5, 7 ? , ∴所取出的三条线段能构成三角形的概率为 P ?
1 4

……10 分 .……12 分
2 3

答: (1)所取出的两条线段的长度之和大于 7 的概率为 (2)所取出的三条线段能构成三角形的概率
1 4



.

17. 本小题主要考查空间线面位置关系,几何体体积等基本知识,考查空间想象能力和推理论证能力. 地址:海珠区昌岗中路信和广场信和中心 6E 暑期班现正火热报名中! 电话:020-34270468
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满分 14 分. (1) 解: 在直角三角形 AA 1 D 1 中, AA 1 ? 1 , A1 D 1 ? AD ? 1 , ∴ AD 1 ?
AA 1 ? A1 D 1 ?
2 2

2 .

……2 分

∵截面 ABC 1 D 1 为正方形, ∴ AB ? AD 1 ?
2.

……4 分
2 ?1 ? 2 .

∴长方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 的体积 V = S ABCD ? AA 1 ? 1 ? (2)证法一:∵ ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 为长方体, ∴ AB ? 平面 AA 1 D 1 D . ∵ A1 D ? 平面 AA 1 D 1 D , ∴ AB ? A1 D . ∵ AD ? AA 1 , ∴四边形 AA 1 D 1 D 为正方形. ∴ AD 1 ? A1 D . ∴ A1 D ? 平面 ABC 1 D 1 . 证法二: ∵ ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 为长方体, ∴ AB ? 平面 AA 1 D 1 D . ∵ AB ? 平面 ABC 1 D 1 , ∴平面 ABC 1 D 1 ? 平面 AA 1 D 1 D . ∵ AD ? AA 1 , ∴四边形 AA 1 D 1 D 为正方形. ∴ AD 1 ? A1 D . ∴ A1 D ? 平面 ABC 1 D 1 . ……10 分 ……12 分 ……14 分 ……8 分 ……10 分 ……12 分 ……14 分 ……8 分

……6 分

∵ AB ? AD 1 ? A , AB ? 平面 ABC 1 D 1 , AD 1 ? 平面 ABC 1 D 1 ,

∵平面 ABC 1 D 1 ? 平面 AA 1 D 1 D ? AD 1 , A1 D ? 平面 AA 1 D 1 D ,

18.本小题主要考查函数的性质、函数的零点等基本知识,考查运算求解能力和推理论证能力.满分 14 分. (1)解: 当 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 ? ∴ f ?1 ? ? 1 ?
1 1 ? 0. 1 x

, ……2 分 ……3 分 ……4 分

(2)证明:在 ? 0, ? ? ? 上任取两个实数 x1 , x 2 ,且 x1 ? x 2 , 则 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? ? 1 ?
?
? ? 1 x2 x1 x 2 ?

?

1 ? ?? x1 ?
1 x1

? 1 ? ?1 ? ? x2 ? ?

x1 ? x 2

.

……5 分

∵ 0 ? x1 ? x 2 , ∴ x1 ? x 2 ? 0, x1 x 2 ? 0 . ∴
x1 ? x 2 x1 x 2 ? 0,

即 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? 0 . ……7 分 电话:020-34270468
6

∴ f ? x1 ? ? f ? x 2 ? .

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∴函数 f ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 上单调递增. (3) (ⅰ)当 x ? 0 时, 令 f ? x ? ? 0 , 即 1 ? ∴ x ? 1 是函数 f ? x ? 的一个零点.
1 x

……8 分
? 0 , 解得 x ? 1 ? 0 .

……9 分

(ⅱ)当 x ? 0 时, 令 f ? x ? ? 0 , 即 ? a ? 1 ? x ? 1 ? 0 .(※) ① ∴x ? ② ③ 当 a ? 1 时, 由(※)得 x ?
1 1? a 1 1? a ? 0,

是函数 f ? x ? 的一个零点;

……11 分

当 a ? 1 时, 方程(※)无解; 当 a ? 1 时, 由(※)得 x ?
1 1? a ? 0 ,(不合题意,舍去).
1 1? a

……13 分

综上所述, 当 a ? 1 时, 函数 f ? x ? 的零点是 1 和

; 当 a ? 1 时, 函数 f ? x ? 的零点是 1 . ……14 分

19.本小题主要考查直线和圆等基本知识,考查运算求解能力和抽象概括能力.满分 14 分. (1)解法一:设圆 M 的方程为 x ? y ? D x ? E y ? F ? 0 ,
2 2

……1 分

∵圆 M 经过三点 A ? 2, 2 ? , B ? 2, 4 ? , C ? 3, 3 ? ,
? 2 2 ? 2 2 ? 2 D ? 2 E ? F ? 0, ? 2 2 ∴ ? 2 ? 4 ? 2 D ? 4 E ? F ? 0, ?32 ? 32 ? 3 D ? 3 E ? F ? 0. ?

……4 分

? D ? ? 4, ? 解得 ? E ? ? 6, ? F ? 12. ?
2

……7 分

∴ 圆 M 的方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 3 ? ? 1 .
2

……8 分
2

解法二:设圆 M 的方程为 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r
2 2

?r

? 0? ,

……1 分

∵圆 M 经过三点 A ? 2, 2 ? , B ? 2, 4 ? , C ? 3, 3 ? ,
?? 2 ? a ?2 ? ? 2 ? b ?2 ? r 2 , ? 2 2 ? ∴ ?? 2 ? a ? ? ? 4 ? b ? ? r 2 , ? 2 2 2 ?? 3 ? a ? ? ? 3 ? b ? ? r . ?
? a ? 2, ? 解得 ? b ? 3, ?r ? 1. ?
2

……4 分

……7 分

∴ 圆 M 的方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 3 ? ? 1 .
2

……8 分

解法三:∵ A ? 2, 2 ? , B ? 2, 4 ? , ∴线段 A B 的垂直平分线方程为 y ? 3 , ∵ A ? 2, 2 ? , C ? 3, 3 ? , ……2 分

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∴线段 A C 的垂直平分线方程为 y ? 由?
? y ? 3, ? x ? y ? 5 ? 0.
5 5? ? ? ? ? x ? ? 即 x ? y ? 5 ? 0 , ……4分 2 2? ?

解得圆心 M 的坐标为 ? 2, 3 ? .

……6 分

故圆 M 的半径 r ? A M ?
2

?2 ? 2?

2

? ?3 ? 2 ? ? 1 .
2

∴ 圆 M 的方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 3 ? ? 1 .
2

……8 分

解法四:∵ A B ?
BC ?

?2 ? 2?

2

? ? 2 ? 4 ? ? 2 , AC ?
2

? 2 ? 3?

2

? ? 2 ? 3?

2

?

2,

?2 ? 3?
2

2

? ?4 ? 3?
2

2

?

2,

……2 分

∴ AC

2

? BC

? 4 ? AB

. ……4 分 ……6 分
1 2 AB ? 1 .

∴△ A B C 是直角三角形. ∵圆 M 经过 A , B , C 三点, ∴圆 M 是 Rt△ A C B 的外接圆.

∴圆 M 的圆心 M 的坐标为 A B 的中点 ? 2, 3 ? ,半径 r ? ∴ 圆 M 的方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 3 ? ? 1 .
2 2

……8 分
2

(2)连接 P M ,则 P T ? ∵ PO ?
2 2
2 2

PM

2

?1 ?
2

?a ? 2?

? ?b ? 3? ? 1 ,
2

……10 分

a ? b ,且 P T ? P O ,

∴ a ?b ?

?a ? 2?

2

? ?b ? 3? ? 1 ,
2

……12 分 ……14 分

化简得 2 a ? 3 b ? 6 ? 0 . ∴点 P 总在定直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 上.

20.本小题主要考查函数、数列等基本知识,考查运算求解能力和推理论证能力.满分 14 分.
t ? t ? 解: (1) f ? x ? ? x ? tx ? ? x ? ? ? . 2? 4 ?
2
2 2

……1 分
t 2

① 若 ?1 ? ? 依题意得 ? ② 若?
t 2

t 2
2

? 0 ,即 0 ? t ? 2 ,则当 x ? ?

时, f ? x ? 取得最小值 ? ……3 分

t

2



4

t

? ? 1 ,解得 t ? 2 或 t ? ? 2 (舍去).

4
? ? 1 即 t ? 2 ,则当 x ? ? 1 时, f

? x ? 取得最小值1 ? t ,
……5 分 ……6 分

依题意得 1 ? t ? ? 1 ,解得 t ? 2 (不合舍去). 综合①、②得 t ? 2 . (2)由(1)得 f ? x ? ? x ? 2 x ,
2

∵点 ∴

?

S n ?1 ?

S n , 2 a n ? 1 在函数 f
S n ?1 ? Sn

?

? x ? 的图象上,
n ?1

2 a n ?1 ?

?

∴ 2 ? S n ?1 ? S n ? ? 即2

? ??

S n ?1

?

S n ?1 ?

Sn

S n ?1

? S ? S ?? S ? S ?? ?
2

?

?2
n

?

Sn .

?

n ?1

?

Sn ? 2 , Sn

?

……8 分
S n ?1 ? Sn ? 2 .

n

S n ?1 ?

??

?

∵ an ? 0 , 地址:海珠区昌岗中路信和广场信和中心 6E 暑期班现正火热报名中! 电话:020-34270468
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∴ S n ? 0 ,则 S n ? 1 ? ∴2
Sn ? 0 . S n ?1 ? S n ? 2 ,即 S n ?1 ? 3 Sn ? 2 .

?

S n ?1 ?

Sn

??
n

……10 分

∴ S n ?1 ? 1 ? 3 ∴数列

?

Sn

? S ? 1? . ? 1? 是首项为
n ?1

S 1 ? 1 ? 2 ,公比为 3 的等比数列. ……12 分

∴ Sn ? 1 ? 2 ? 3 ∴ Sn ? ?2 ? 3
n ?1

.
2

? 1? .

……14 分

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