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江西省红色六校2014届高三年级第一次联考文科数学试题参考答案

江西省 2014 届高三六校联考文科数学试题参考答案
(分宜中学、南城一中、瑞金一中、莲花中学、任弼时中学、遂川中学)2013,09,29

(Ⅱ)证明:设 AC ? BD ? O , 取 BE 中点 G ,连结 FG, OG , // 1 所以, OG ? DE 2
// 因为 AF // DE , DE ? 2 AF ,所以 AF ? OG , 从而四边形 AFGO 是平行四边形, FG // AO 因为 FG ? 平面 BEF , AO ? 平面 BEF , 所以 AO // 平面 BEF ,即 AC // 平面 BEF ??????????(8 分) (Ⅲ)解:因为 DE ? 平面 ABCD 所以 DE ? AB 因为正方形 ABCD 中, AB ? AD , 所以 AB ? 平面 ADEF 因为 AF // DE , DE ? DA ? 2 AF ? 2 , 1 所以 ?DEF 的面积为 ? ED ? AD ? 2 , 2 1 4 所以四面体 BDEF 的体积 ? S ?DEF ? AB ? ????????(12 分) 3 3 19、解:由 f ( x) ? (an ? an ?1 ? an ? 2 ) x ? an ?1 ? cos x - an ? 2 ? sin x ? ? f(x) an - an ?1 ? an ? 2 - an ?1 ? sin x - an ? 2 ? cos x

一,选择题:1-------10:BDADB,DCBAD 二,填空题:11、 (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)?(n ? n) ? 2 ?1? 3 ? 5?? (2n ?1) 3 12、 13、 -1, } 14、 4 {0, -2 15、R 2 三,解答题: 16、解: (I)将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,4;2 道一类题依次编号为 5.6,任取 2 道题,基本事件为: {1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6}, {2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4}, {3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6},共 15 个,?????????(4 分) 而且这些基本事件的出现是等可能的.用 A 表示“都是甲类题”这一事件,则 A 包含的 基本事件有{1,2},{1,3},{1,4}, {2,3},{2,4},{3,4}, 6 2 ? ? . ???????????????????(8 分) 共 6 个,所以 所以P(A) 15 5 (II)用 B 表示“不是同一类题”这一事件,则 B 包含的基本事件有 {1,5},{1,6},{2,5},{2,6}, {3,5},{3,6},{4,5},{4,6}, 8 ? ??????????????(12 分) 共 8 个 所以P(B) 15 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc 17、解:由余弦定理,得 cosA ? , 2bc 2bc 5? 又因为0<A<? , 所以A ? .................................................................. 6分) ( 6 1 3 b c 由( )得 sin A ? , 又由正弦定理及a= 3得, ? 1 ? 1 sin B sin C 2 2 1 1 1 S= bc sin A ? ? 2 3 sin B ? 2 3 sin C ? ? 3sin B sin C 2 2 2 所以S ? 3cos B cos C ? 3(sin B sin C ? cos B cos C ) ? 3cos( B ? C )
n

??an ? 是等差数列. 所以 a1 ? 2 , d ? 1

f '( ) ? an - an ?1 ? an ? 2 - an ?1 ? 0 2 所以, 2an ?1 ? an ? an ? 2 ???????????????????(3 分)

?

时,S ? 3cos B cos C取最大值3...........................(12分) 12 18、解:(Ⅰ)证明:因为 DE ? 平面 ABCD , 所以 DE ? AC 因为 ABCD 是正方形, 所以 AC ? BD , 因为 DE ? BD ? D 所以 AC ? 平面 BDE ??(4 分) F
G A O B

所以当B ? C ?

?

E

? an ? 2 ? n -1 ?1 ? n ? 1 ?????????????????(6 分) ( ) 1 1 1 (2) bn ? (an ? an ) (n ? 1 ? n ?1 ) (n ? 1) n 2 ?2 ?2 ? 2 2 2 1 1 ( n) 1(2 ? n ? 1 n 2 2 ) 2 Sn ? ? 1 2 12 1 1 =(n ? 3) 1- n ? n 2 ? 3n ? 1- n ?????????????? (12分) n ? 2 2 0?c?2 3 2 20、解:(1)依题意 d ? ,解得 c ? 1 (负根舍去) ? 2 2 ? 抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y ; ???????(4 分) (2)设点 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) , P( x0 , y0 ) ,
由 x2 ? 4 y ,即 y ?
1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2

1
D

C

x ∴抛物线 C 在点 A 处的切线 PA 的方程为 y ? y1 ? 1 ( x ? x1 ) , 2 x x 1 1 即 y ? 1 x ? y1 ? x12 . ∵ y1 ? x12 , ∴ y ? 1 x ? y1 . 4 2 2 2 x ∵点 P( x0 , y0 ) 在切线 l1 上, ∴ y 0 ? 1 x0 ? y1 . ① 2 x 同理, y 0 ? 2 x0 ? y 2 . ② 2 x 综合①、②得,点 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ? x 0 ? y . 2 ∵经过 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 两点的直线是唯一的, x ∴直线 AB 的方程为 y 0 ? x 0 ? y ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ; ?????(9 分) 2 (3)由抛物线的定义可知 AF ? y1 ?1, BF ? y2 ?1 ,

求导得 h′(x)=-lnx-2=-(lnx-lne-2),x∈(0,+∞), 所以当 x∈(0,e-2)时,h′(x)>0,函数 h(x)单调递增; 当 x∈(e-2,+∞)时,h′(x)<0,函数 h(x)单调递减. 所以当 x∈(0,+∞)时,h(x)≤h(e-2)=1+e-2. 1 又当 x∈(0,+∞)时,0<ex<1, 1 所以当 x∈(0,+∞)时,exh(x)<1+e-2,即 g(x)<1+e-2.综上所述结论成立.

所以 AF ? BF ? ? y1 ?1?? y2 ?1? ? y1 ? y2 ? y1 y2 ?1

? x2 ? 4 y 2 联立 ? ,消去 x 得 y 2 ? ? 2 y0 ? x0 ? y ? y0 2 ? 0 , ? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 2 2 ? y1 ? y2 ? x0 ? 2 y0 , y1 y2 ? y0 ? x0 ? y0 ? 2 ? 0
2 2 2 ? AF ? BF ? y0 ? 2 y0 ? x0 ? 1=y0 ? 2 y0 ? ? y0 ? 2 ? ? 1 2

1? 9 ? =2 y ? 2 y0 +5=2 ? y0 ? ? + 2? 2 ? 1 9 ?????(13) ? 当 y0 ? ? 时, AF ? BF 取得最小值为 2 2 lnx+k 1-kx-xlnx 21,解:(1)由 f(x)= ex ,得 f′(x)= ,x∈(0,+∞), xex 由于曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线与 x 轴平行,所以 f′(1)=0,因此 k=1. 1 (2)由(1)得 f′(x)=xex(1-x-xlnx),x∈(0,+∞), 令 h(x)=1-x-xlnx,x∈(0,+∞), 当 x∈(0,1)时,h(x)>0; 当 x∈(1,+∞)时,h(x)<0.又 ex>0, 所以 x∈(0,1)时,f′(x)>0; x∈(1,+∞)时,f′(x)<0. 因此 f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (3)证明:因为 g(x)=xf′(x), 1 所以 g(x)=ex(1-x-xlnx),x∈(0,+∞), 由(2)h(x)=1-x-xlnx,x∈(0,+∞),
2 0

2

2


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