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高中数学概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(三)数列


三、数 列 数列的概念: (或它的有限子集 {1,2,3, …,n} ) 1、数列的概念:数列是一个定义域为正整数集 N* 的特殊函数,数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如(1)已知

n 1 (n ∈ N * ) ,则在数列 {an } 的最大项为__(答: ) (2)数列 {a n } 的通 ;( n + 156 25 an 项为 a n = ,其中 a, b 均为正数,则 a n 与 a n +1 的大小关系为___(答: an < a n +1 ) ; bn + 1 (3)已知数列 {an } 中, an = n 2 + λ n ,且 {an } 是递增数列,求实数 λ 的取值范围(答: λ > ?3 ) (4)一给定函数 y = f (x ) 的图象在下列图中,并且对任意 a1 ∈ (0,1) ,由关系 ;( 式 a n +1 = f ( a n ) 得到的数列 {a n } 满足 a n +1 > a n ( n ∈ N * ) ,则该函数的图象是 () 答: ( A) an =
2

A B C D 2.等差数列的有关概念: 2.等差数列的有关概念: 等差数列的有关概念 或 等差数列的判断方法: 定义法 an +1 ? an = d (d 为常数) an +1 ? an = an ? an ?1 (n ≥ 2) 。 ( 1) 等差数列的判断方法: 如设 {an } 是等差数列,求证:以 bn=

a1 + a 2 + ? + a n n ∈ N * 为通项公式的数列 {bn } 为 n
(答: 2n + 10 );(2)首项为-24 的等差数列, (

等差数列。 ( 2) 等差数列的通项: n = a1 + (n ? 1)d 或 an = am + (n ? m)d 。 (1)等差数列 {an } 中, 等差数列的通项:a 如(1)

a10 = 30 , a20 = 50 ,则通项 an =

8 < d ≤ 3) 3 n(a1 + an ) n(n ? 1) ,S n = na1 + d 。 ( 1) 数列 {an } ( 3) 等差数列的前 n 和:S n = 如 2 2 1 3 15 * 中,an = an ?1 + ( n ≥ 2, n ∈ N ) ,an = , n 项和 S n = ? 前 , a1 =_,n =_ 则 (答: 2 2 2 a1 = ?3 , n = 10 );(2)已知数列 {an } 的前 n 项和 S n = 12n ? n 2 ,求数列 {| an |} 的前 (
从第 10 项起开始为正数,则公差的取值范围是______(答:

?12n ? n 2 (n ≤ 6, n ∈ N * ) ? n 项和 Tn (答: Tn = ? 2 ). * ?n ? 12n + 72(n > 6, n ∈ N ) ? a+b 。 2 提醒: 提醒 (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 d 、 n 、 an
(4)等差中项:若 a, A, b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A = 等差中项: 及 Sn ,其中 a1 、 d 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。 2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…, ( a ? 2d , a ? d , a, a + d , a + 2 d … ( 公 差 为 d ) 偶 数 个 数 成 等 差 , 可 设 为 … , ;

a ? 3d , a ? d , a + d , a + 3d ,…(公差为 2 d )
3.等差数列的性质: 3.等差数列的性质: 等差数列的性质 (1)当公差 d ≠ 0 时,等差数列的通项公式 an = a1 + (n ? 1)d = dn + a1 ? d 是关于 n 的 一次函数,且斜率为公差 d ;前 n 和 S n = na1 +

n(n ? 1) d d d = n 2 + (a1 ? )n 是关于 n 的 2 2 2

二次函数且常数项为 0. (2)若公差 d > 0 ,则为递增等差数列,若公差 d < 0 ,则为递减等差数列,若公差 d = 0 ,则为常数列。 (3)当 m + n = p + q 时,则有 a m + a n = a p + a q ,特别地,当 m + n = 2 p 时,则有 (答:27)(2)在等差数列 {an } 中, a10 < 0, a11 > 0 ,且 a11 >| a10 | , S n 是其前 n 项和, ; 则 A、S1 , S 2 ? S10 都小于 0,S11 , S12 ? 都大于 0 都大于 0 B、S1 , S 2 ? S19 都小于 0,S 20 , S 21 ? D、 S1 , S 2 ? S 20 都小于 0, C、 S1 , S 2 ? S5 都小于 0, S6 , S7 ? 都大于 0

am + an = 2a p .如(1)等差数列 {an } 中,S n = 18, an + an ?1 + an ? 2 = 3, S3 = 1 ,则 n =____ 如

S 21 , S 22 ? 都大于 0 (答:B) (4) 若 {an } 、 {bn } 是等差数列,则 {kan } 、 {kan + pbn } ( k 、 p 是非零常数)、

{a p + nq }( p, q ∈ N * ) 、 S n , S 2 n ? S n , S3n ? S 2 n ,…也成等差数列,而 {a an } 成等比数列;若
{an } 是等比数列,且 an > 0 ,则 {lg an } 是等差数列. 如等差数列的前 n 项和为 25,前 2n
。 (答:225) 项和为 100,则它的前 3n 和为 (5) 在等差数列 {an } 中, 当项数为偶数 2n 时,S偶-S奇 = nd ; 项数为奇数 2n ? 1 时,

S奇 ? S偶 = a中 , S 2 n ?1 = (2n ? 1) ? a中 (这里 a中 即 an ) S奇 : S偶 = (k + 1) : k 。如(1)在 ; 如
等差数列中,S11=22,则 a6 =______(答:2)(2)项数为奇数的等差数列 {an } 中,奇 ; 数项和为 80,偶数项和为 75,求此数列的中间项与项数(答:5;31). ( 6 ) 若 等 差 数 列 {an } 、 {bn } 的 前 n 和 分 别 为 An 、 Bn , 且

an (2n ? 1)an A2 n ?1 = = = f (2n ? 1) .如设{ a n }与{ bn }是两个等差数列,它们的前 n 项和 如 bn (2n ? 1)bn B2 n ?1 a S 6n ? 2 3n + 1 ,那么 n = ___________(答: ) 分别为 S n 和 Tn ,若 n = bn 8n ? 7 Tn 4n ? 3

An = f (n) , 则 Bn

(7)“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和; “首负”的递 增等差数列中,前 n 项和的最小值是所有非正项之和。法一:由不等式组
? a n ≥ 0 ? ? a n ≤ 0 ? 确定出前多少项为非负(或非正) ;法二:因等差数列前 n 项是关 ?或? ? ? ? ? ? a n +1 ≤ 0? ? a n +1 ≥ 0 ?

于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性 n ∈ N 。上述两 种方法是运用了哪种数学思想? (函数思想) 由此你能求一般数列中的最大或最小项吗? , 如(1)等差数列 {an } 中, a1 = 25 , S9 = S17 ,问此数列前多少项和最大?并求此最大值。
*

(答: 13 项和最大, 前 最大值为 169) 2) {an } 是等差数列, ; 若 首项 a1 > 0, a2003 + a2004 > 0 , (

a2003 ? a2004 < 0 ,则使前 n 项和 Sn > 0 成立的最大正整数 n 是 (答:4006) (8)如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,

且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意 注意:公共项仅是公共的项,其 项数不一定相同,即研究 an = bm . 4.等比数列的有关概念: 4.等比数列的有关概念: 等比数列的有关概念 等比数列的判断方法: 定义法 (1) ) 等比数列的判断方法:

an +1 a a , = q(q为常数) 其中 q ≠ 0, an ≠ 0 或 n +1 = n an an an ?1

如 ( ( n ≥ 2) 。如 1)一个等比数列{ an }共有 2n + 1 项,奇数项之积为 100,偶数项之积为 120, 则 an +1 为____ 答: ) 2) ( ; 数列 {an } 中, n =4 an ?1 +1 ( n ≥ 2 )且 a1 =1, bn = a n +1 ? 2a n , ( 若 S 求证:数列{ bn }是等比数列。 等比数列的通项: n = a1q n ?1 或 an = am q n ? m 。 设等比数列 {an } 中, 1 + an = 66 , a ( 2) 等比数列的通项: 如 a

5 6

1 或 2) 2 a (1 ? q n ) (3)等比数列的前 n 和:当 q = 1 时, S n = na1 ;当 q ≠ 1 时, S n = 1 ) 1? q a ?a q = 1 n 。如(1)等比数列中, q =2,S99=77,求 a 3 + a 6 + ? + a 99 (答:44)(2) ; 如 1? q
a2 an ?1 = 128 ,前 n 项和 Sn =126,求 n 和公比 q . (答: n = 6 , q =

∑ (∑ C
n =1 k = 0

10

n

k n

; ) 的值为__________(答:2046)

特别提醒: 特别提醒:等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前 n 项和时,首先 要判断公比 q 是否为 1,再由 q 的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比 q 是否为 1 时,要对 q 分 q = 1 和 q ≠ 1 两种情形讨论求解。 提醒:不是 (4)等比中项:若 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项。提醒 等比中项: 提醒 任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个 ± ab 。如已知两个正 数 a, b( a ≠ b) 的等差中项为 A,等比中项为 B,则 A 与 B 的大小关系为______(答:A>B) 提醒: 提醒 (1)等比数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 q 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 q 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2; 2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为…, (

a a a a 3 , , a, aq, aq 2 …(公比为 q ) ;但偶数个数成等比时,不能设为… 3 , , aq, aq ,…, 2 q q q q
因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为 q 2 。如有四个数,其中前三 如 个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三 个数的和为 12,求此四个数。 (答:15,,9,3,1 或 0,4,8,16) 5.等比数列的性质 等比数列的性质: 5.等比数列的性质: (1)当 m + n = p + q 时,则有 am ian = a p i aq ,特别地,当 m + n = 2 p 时,则有

am ian = a p 2 .如(1)在等比数列 {an } 中, a3 + a8 = 124, a4 a7 = ?512 ,公比 q 是整数, 如
则 a10 =___ ( 答 : 512 ) ( 2 ) 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 {an } 中 , 若 a5 ? a6 = 9 , 则 ;

log 3 a1 + log 3 a2 + ? + log 3 a10 =

(答:10) 。

(2) 若 {an } 是等比数列,则 {| an |} 、 {a p + nq }( p, q ∈ N ) 、 {kan } 成等比数列;若
*

a {an }、 n } 成等比数列, {anbn } 、 n } 成等比数列; 若 {an } 是等比数列, {b 则 { 且公比 q ≠ ?1 , bn 则数列 S n , S 2 n ? S n , S3n ? S 2 n ,…也是等比数列。当 q = ?1 ,且 n 为偶数时,数列 S n , S 2 n ? S n , S3n ? S 2 n ,…是常数数列 0,它不是等比数列. 如(1)已知 a > 0 且 a ≠ 1 ,
设 数 列 {xn } 满 足 log a xn +1 = 1 + log a xn (n ∈ N *) , 且 x1 + x2 + ? + x100 = 100 , 则

x101 + x102 + ? + x200 =

. (答: 100a

100

) (2)在等比数列 {a n } 中, S n 为其 ;

前 n 项和,若 S 30 = 13S10 , S10 + S 30 = 140 ,则 S 20 的值为______(答:40) (3)若 a1 > 0, q > 1 ,则 {an } 为递增数列;若 a1 < 0, q > 1 , 则 {an } 为递减数列;若

a1 > 0, 0 < q < 1 , {an } 为递减数列; a1 < 0, 0 < q < 1 , 则 {an } 为递增数列; q < 0 , 则 若 若
则 {an } 为摆动数列;若 q = 1 ,则 {an } 为常数列.

? a1 n a q + 1 = aq n + b ,这里 a + b = 0 ,但 a ≠ 0, b ≠ 0 , 1? q 1? q 这是等比数列前 n 项和公式的一个特征,据此很容易根据 Sn ,判断数列 {an } 是否为等比
(4) 当 q ≠ 1 时, S n = 数列。如若 {an } 是等比数列,且 Sn = 3 n + r ,则 r = 如 若 S n +1 , S n , S n + 2 成等差数列,则 q 的值为_____(答:-2) (6) 在等比数列 {an } 中,当项数为偶数 2n 时, S偶 = qS奇 ;项数为奇数 2n ? 1 时, (答:-1) (5) S m+ n = S m + q m S n = S n + q n S m .如设等比数列 {a n } 的公比为 q ,前 n 项和为 Sn , 如

S奇 = a1 + qS偶 .
数列 {an } 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。 设数列 { an } 的前 n 如 (7)如果数列 {an } 既成等差数列又成等比数列,那么数列 {an } 是非零常数数列,故常数

是等差数列又是等比数列;②若 S n = a n 2 + b n ( a 、 ∈ R ) ,则 { an } 是等差数列;③若 b
n

项和为 S n( n ∈ N ) 关于数列 { an } 有下列三个命题: , ①若 a n = a n +1

(n ∈ N) ,则 { an } 既

S n = 1 ? ( ? 1 ) ,则 { an } 是等比数列。这些命题中,真命题的序号是 (答:②③) 6.数列的通项的求法 数列的通项的求法: 6.数列的通项的求法: ⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。如已知数列

1 1 1 1 1 3 ,5 ,7 ,9 , ? 试写出其一个通项公式:__________(答: an = 2n + 1 + n +1 ) 2 4 8 16 32 S ,(n = 1) ⑵已知 Sn (即 a1 + a2 + ? + an = f ( n) )求 an ,用作差法: an = 1 。 S n ? S n ?1 ,(n ≥ 2)
如①已知 {an } 的前 n 项和满足 log 2 ( S n + 1) = n + 1 ,求 an (答:

1 1 1 {an } 满足 a1 + 2 a2 + ? + n an = 2n + 5 ,求 an (答: 2 2 2

{ 3, n = 1 a ={ 2 ,n ≥ 2 14, n = 1 a ={ 2 ,n ≥ 2
n n

) ②数列 ;②

n

n +1



? f (1), (n = 1) ? f ( n) 。如数列 {a n } , (n ≥ 2) 如 ? f (n ? 1) ? 61 2 中, a1 = 1, 对所有的 n ≥ 2 都有 a1 a 2 a3 ? a n = n ,则 a 3 + a 5 = ______(答: ) 16 ⑷若 an +1 ? an = f ( n) 求 an 用累加法: an = ( an ? an ?1 ) + (an ?1 ? an ? 2 ) + ? + ( a2 ? a1 ) 1 + a1 (n ≥ 2) 。 如 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 = 1 , a n ? a n ?1 = (n ≥ 2) , 则 n +1 + n a n =________(答: an = n + 1 ? 2 + 1 ) a a a a ⑸已知 n +1 = f ( n) 求 an ,用累乘法: an = n ? n ?1 ? ? ? 2 ? a1 ( n ≥ 2) 。如已知数 如 an an ?1 an ? 2 a1 4 2 列 {a n } 中, a1 = 2 ,前 n 项和 S n ,若 S n = n a n ,求 a n (答: an = ) n(n + 1) ⑹已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列) 。特别地, 1 ) 形如 (
⑶已知 a1 ia2 i?ian = f ( n) 求 an ,用作商法: an = ?

an = kan ?1 + b 、 an = kan ?1 + b n ( k , b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公
比为 k 的等比数列后, 再求 an 。 ①已知 a1 = 1, an = 3an ?1 + 2 , an 求 (答: n = 2i3 a 如 ②已知 a1 = 1, an = 3an ?1 + 2 ,求 an (答:an = 5i3
n n ?1 n ?1

?1 ) ;

? 2n +1 )(2)形如 an = ;

an ?1 的 kan ?1 + b

递 推 数 列 都 可 以 用 倒 数 法 求 通 项 。 如 ① 已 知 a1 = 1, an =

an =

1 ) ②已知数列满足 a1 =1, an ?1 ;② 3n ? 2 注意: 用 你注意到此等式成立的条件了吗? 注意 (1) a n = S n ? S n ?1 求数列的通项公式时,

an ?1 , 求 an ( 答 : 3an ?1 + 1 1 ? an = an an ?1 ,求 an (答: an = 2 ) n

( n ≥ 2 ,当 n = 1 时, a1 = S1 )(2)一般地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时, ; 常需运用关系式 a n = S n ? S n ?1 , 先将已知条件转化为只含 an 或 Sn 的关系式, 然后再求解。 如数列 {an } 满足 a1 = 4, S n + S n +1 =

5 4, n = 1 an +1 ,求 an (答: an = ) 3i4n ?1 , n ≥ 2 3

{

7.数列求和的常用方法: 7.数列求和的常用方法: 数列求和的常用方法 (1)公式法 公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式,特别声明 特别声明:运用等比数 公式法 特别声明 列求和公式,务必检查其公比与 1 的关系,必要时需分类讨论.;③常用公式:

1 + 2 + 3 + ? + n = 1 n(n + 1) , 12 + 22 + ? + n 2 = 1 n(n + 1)(2n + 1) , 2 6 n(n + 1) 2 13 + 23 + 33 + ? + n3 = [ ] .如 ( 1 ) 等比数列 {an } 的前 n 项和 S n =2 n -1,则 如 2 4n ? 1 2 2 2 a12 + a 2 + a 3 + ? + a n =_____(答: )(2)计算机是将信息转换成二进制数进 ; 3 行处理的。二进制即“逢 2 进 1” ,如 (1101) 2 表示二进制数,将它转换成十进制形式是

1× 23 +1× 22 + 0 × 21 +1× 20 = 13, 那么将二进制 (111?11) 2 转换成十进制数是_______ 答: (
2005 个1

?1 ) (2)分组求和法 分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先 分组求和法 n 合并在一起,再运用公式法求和. 如 求: S n = ?1 + 3 ? 5 + 7 ? ? + ( ?1) (2n ? 1) (答: 2
2005

(?1)n ? n )
(3)倒序相加法 倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合 倒序相加法 数相关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n 和 公式的推导方法). 如 ① 求证: Cn + 3Cn + 5Cn + ? + (2n + 1)Cn = ( n + 1)i 2 ;②已知 ②
0 1 2 n n

f ( x) =

x2 1 1 1 7 ,则 f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + f ( ) + f ( ) + f ( ) =______(答: ) 2 1+ x 2 3 4 2

(4)错位相减法 错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项 错位相减法 相乘构成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法). 如(1) 设 {an } 为等比数列, n = na1 + (n ? 1)a2 + ? + 2an ?1 + an , T 已知 T1 = 1 , 2 = 4 , T ①求数列 {an } 的首项和公比;②求数列 {Tn } 的通项公式.(答:① a1 = 1 , q = 2 ;② Tn = 2
n +1

?n?2) ;

2 (2)设函数 f ( x ) = ( x ? 1) ,g ( x ) = 4( x ? 1) ,数列 {a n } 满足: a1 = 2, f ( an ) = (an ?
2 a n+1 ) g (a n )(n ∈ N + ) , ①求证: 数列 {a n ? 1} 是等比数列; ②令 h( x ) = ( a1 ? 1) x + ( a2 ? 1) x 8 8 8 + ? + (an ? 1) x n ,求函数 h(x) 在点 x = 处的导数 h ′( ) ,并比较 h ′( ) 与 2n 2 ? n 的大 3 3 3 8 8 n 2 小。 (答:①略;② h′( ) = ( n ? 1)i2 + 1 ,当 n = 1 时, h ′( ) = 2n ? n ;当 n = 2 时, 3 3 8 8 h ′( ) < 2n 2 ? n ;当 n ≥ 3 时, h ′( ) > 2n 2 ? n ) 3 3

(5)裂项相消法 裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相 裂项相消法 关联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有:

1 1 =1? 1 ; ② = 1 (1 ? 1 ) ; n(n + 1) n n + 1 n(n + k ) k n n + k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ③ 2 < 2 = ( ? ), ? = < 2< = ? ; k k ?1 2 k ?1 k +1 k k + 1 (k + 1)k k (k ? 1)k k ? 1 k n 1 1 1 1 1 1 = [ ? ④ ] ;⑤ = ? ; n(n + 1)(n + 2) 2 n(n + 1) (n + 1)(n + 2) (n + 1)! n ! (n + 1)! 2 2 ⑥ 2( n + 1 ? n ) = < 1 < = 2( n ? n ? 1) . n + n +1 n n + n ?1 n 1 1 1 (答: )(2)在数 ; + +? + = 如(1)求和: 1× 4 4 × 7 (3n ? 2) × (3n + 1) 3n + 1 1 列 {an } 中, a n = ,且 Sn=9,则 n=_____(答:99) ; n + n +1
① (6)通项转换法 通项转换法:先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和。 通项转换法 (答: 如 ① 求 数 列 1 × 4 , 2 × 5 , 3 × 6 , … , n × ( n + 3) , … 前 n 项 和 Sn =

n(n + 1)(n + 5) 1 1 1 )②求和: + ; + +? + = 1 1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 +? + n 3

(答:

2n ) n +1

分期付款” 森林木材” 8. “分期付款”“森林木材”型应用问题 、 (1)这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中,务必“卡手 指” ,细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统 常选用“ 常选用 统一法” 一到“最后”解决. 一到“最后”解决. (2)利率问题:①单利问题:如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:若每期存入 本金 p 元,每期利率为 r ,则 n 期后本利和为: S n = p (1 + r ) + p (1 + 2r ) + ? p (1 + nr )

n(n + 1) r ) (等差数列问题) ;②复利问题:按揭贷款的分期等额还款(复利)模 2 型:若贷款(向银行借款) p 元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年) 后为第一次还款日,如此下去,分 n 期还清。如果每期利率为 r (按复利) ,那么每期等额 n n ?1 n?2 还款 x 元应满足:p (1 + r ) = x(1 + r ) + x(1 + r ) + ? + x(1 + r ) + x(等比数列问题) . = p(n +


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数列【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】
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易误点及应试技巧总结
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