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集合讲义


集合(1)
1、 教学目的:理解集合、子集的概念,能利用集合中元素的性质解决问题,掌握集合问题的常规处理方 法. 。 2、 教学重难点:集合中元素的 3 个性质,集合的 3 种表示方法,集合语言、集合思想的运用. 3、 教学过程; 【知识要点】 一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合中元素的特性:1.确定性; 2.互异性; 3.无序性 3、常用数集及其记法: 非负整数集---N 正整数集--N 或 N 整数集--Z 有理数集--Q 实数集---R 二、集合间的基本关系 1.子集:对于两个集合 A 与 B ,如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素,则集合 A 是集合
B 的子集。记作 A ? B .任何一个集合是它本身的子集。A?A
* +

2.集合相等:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,同时,集合 B 的任 何一个元素都是集合 A 的元素,我们就说集合 A 等于集合 B,即:A=B 3.真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A 4. 空集:不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 【典例分析】 例 1 . 已 知 集 合 P ? { y ? x 2 ? 1} , Q ? { y | y ? x 2 ? 1} , E ? { x | y ? x 2 ? 1} , F ? {( x , y ) | y ? x 2 ? 1} ,
G ? { x | x ? 1} ,则
( A) P ? F (B) Q ? E (C ) E ? F

B(或 B

A)



D



(D ) Q ? G

解法要点:弄清集合中的元素是什么,能化简的集合要化简.

例 2.设集合 M ? { x | x ?
( A) M ? N

k 2

?

1 4

, k ? Z } , N ? {x | x ?

k 4

?

1 2

, k ? Z } ,则



B



(B) M ? N ?

(C ) M ? N

(D ) M ? N ? ?

解法一:通分; 解法二:从
1 4

开始,在数轴上表示.

2 例 3.若集合 A ? ? x | x ? a x ? 1 ? 0, x ? R ? ,集合 B ? ?1, 2? ,且 A ? B ,求实数 a 的取值范围.

解: (1)若 A ? ? ,则 ? ? a ? 4 ? 0 ,解得 ? 2 ? a ? 2 ;
2

1

(2)若 1 ? A ,则 1 ? a ? 1 ? 0 ,解得 a ? ? 2 ,此时 A ? {1} ,适合题意;
2

(3)若 2 ? A ,则 2 ? 2 a ? 1 ? 0 ,解得 a ? ?
2

5 2

,此时 A ? {2, } ,不合题意;
2

5

综上所述,实数 m 的取值范围为 [ ? 2, 2) 【课堂练习】 1.集合{1,2,3}的真子集共有( A、5 个 B、6 个 ) C、7 个 D、8 个

2. 已知集合 A ? { x | x ( x ? 2 ) ? 0 } ,那么 A. 0∈A B. 2 ? A C.-1∈A

( D. 0 ? A
( )



3.已知集合 A={a,b,c},下列可以作为集合 A 的子集的是 A. a B. {a,c} C. {a,e}

D.{a,b,c,d} ( )

4. 如果集合 A={x|ax 2 + 2 x+ 1=0}中只有一个元素,则 a 的值是 A.0 B.0 或 1
b a

C.1
2

D.不能确定
2003

5.含有三个实数的集合既可表示成 { a ,

,1} ,又可表示成 { a , a ? b , 0} ,则 a

?b

2004

?

.

集合的运算
教学目标:理解交集、并集、全集、补集的概念,掌握集合的运算性质,能利用数轴或文氏图进行集合的 运算,进一步掌握集合问题的常规处理方法. 教学重点:交集、并集、补集的求法,集合语言、集合思想的运用.
2

教学过程: 知识点:集合的运算 1.交集的定义:一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集. 记作 A∩B(读作"A 交 B"),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. 2、并集的定义:一般地,由所有属于 A 或属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集。记作:A∪ B(读作"A 并 B"),即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}. 3、全集与补集 (1)补集:设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 A ? S ) ,由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集 合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集)记作:CSA 即 CSA ={x ? x?S 且 x?A} (3)性质:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U

主要方法: 1.求交集、并集、补集,要充分发挥数轴或文氏图的作用; 2.含参数的问题,要有讨论的意识,分类讨论时要防止在空集上出问题; 3.集合的化简是实施运算的前提,等价转化常是顺利解题的关键. 【典例分析】 例 1.设全集 U ? ? x | 0 ? x ? 1 0, x ? N ? ? ,若 A ? B ? ? 3? , A ? C U B ? ?1, 5, 7 ? , C U A ? C U B ? ? 9 ? ,则
A ? ?1, 3, 5, 7 ? , B ?

? 2, 3, 4, 6, 8? .

解法要点:利用文氏图.

【课堂练习】1. A={1,2,x},集合 B={2,4,5},若 A ? A. 2. 1 B. 3 C. 4
2

B

={1,2,3,4,5},则 x=( D. 5



已 知 全 集 U ? {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} , A ? { x | x ? 3 x ? 2 ? 0} , B ? { x | 1 ? x ? 5, x ? Z } ,

C ? { x | 2 ? x ? 9, x ? Z } .

(1)求 A ? ( B ? C ) ;

(2)求 ?C U B ? ? ?C U C ?

例 2 A ? ? x | 2 ? x ? 4? , B ? ? x | 3 x ? 7 ? 8 ? 2 x ? , 求 A ? B , A ? B , C R A ? B .

3

例 3 已知集合 A= ? x 3 ? x ? 7 ? ,B={x|2<x<10},C={x | x<a},全集为实数集 R. (1) 求 A∪B,(CRA)∩B;(2) 如果 A∩C≠φ ,求 a 的取值范围。

【课堂练习】.函数 y ?

2? x 2x ? 3x ? 2
2

的定义域为(



A、 ? ? ? , 2 ?
课后作业:

B、 ? ? ? ,1 ?

C、 ? ? ? ,
?

?

1? ?1 ? ? ? ? ,2? 2? ?2 ?

D、 ? ? ? ,
?

?

1? ?1 ? ?? ? ,2? 2? ?2 ?

1.全集 U = {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 }, A= {3 ,4 ,5 }, B= {1 ,3 , 6 },那么集合 { 2 ,7 ,8}是 A.
A?B

( B. A ? B C.
CU A ? CU B



D. C U A ? C U B )

2.设集合 M ? { m ? Z | ? 3 ? m ? 2} , N ? { n ? Z | ? 1 ≤ n ≤ 3}, 则 M ? N ? (
1? A. ? 0, 0 1? B. ? ? 1,, 1, C. ? 0, 2? 0 1, D. ? ? 1,, 2 ?

3.用适当的符号填空: (1) ? (3){1}
{x x
2

? 1 ? 0} ; ? x}

(2){1,2,3} (4)0
{x x
2

N;
? 2 x} .

{x x

2



4. 已 知 集 合 U ? { x | ? 3 ? x ? 3} , M ? { x | ? 1 ? x ? 1} , C U N ? { x | 0 ? x ? 2} 那 么 集 合
N ?

, M ? (C U N ) ?

,M ? N ?

.

2 5.已知全集 U= ? 2 , 3 , a ? 2 a ? 3? ,若 A= ? b , 2? , C U A ? ? 5? ,求实数的 a ,b 值

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