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广东省台山市2012-2013学年度第一学期期末高二数学(文科)试卷

2012-2013 学年度第一学期期末学业水平调研测试 高二数学(文科)试卷 (必修 5、选修 1-1 的第 1、2 章)
说明:1.本试卷共 4 页,考试时间为 120 分钟,满分 150 分; 2.各题均在答题卷指定位置上作答,否则无效;考试结束时,只交回答 题卷.

第Ⅰ卷(选择题部分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出的 4 个选项 中只有一个是正确的,请将所选选项的字母填写在答题卷相应的位置上) 1.抛物线 y 2 ? ?4x 的焦点坐标为 A. (0,?2) B. (?2,0) C. (0,?1) D. (?1,0)

2.命题“ ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是 A. ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 C. ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 B. ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 D. ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0

3.若条件 p : x ? 4 ,条件 q : x 2 ? 16 ,则 p 是 q 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案,则第 n 个图 案中有白色地面砖的块数是
???
第1个 第2个 第3个

A. 4n ? 2

B. 4n ? 2

C. 2n ? 4

D. 3n ? 3

高二数学(文科)试卷

第1页

(共 8 页)

5. 到椭圆

x2 y2 ? ? 1 左焦点的距离与到定直线 x ? 2 距离相等的点的轨迹方程是 8 4

A. y 2 ? 4 x

B. y 2 ? ?4x

C. y 2 ? 8x

D. y 2 ? ?8x

6.已知四个命题:① ?x ? R , 使 x 3 ? 1 ;② ?x ? Q , 使 x 2 ? 2 ;③ ?x ? N , 有
x 3 ? x 2 ;④ ?x ? R , 有 x 2 ? 1 ? 0 .其中的真命题是

A.①④ 7.已知双曲线

B.②③

C.①③

D.②④

x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,若过点 F 且倾斜角为 60 0 2 a b

的直线与双曲线有且只有一个交点,则此双曲线离心率等于 A.2 B. 2 C.3 D. 3

8.若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 30,且 a1 ? 8 ,则公差 d ? A. ? 3 9.已知椭圆 B. ? 2 C. ? 1 D.1

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,点 P 在椭圆上,若点 P 、 16 9

F1 、 F2 是一个直角三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为
A.

9 5

B.3

C.

9 7 7

D.

9 4

10.在 ?ABC中, ?A ? 60 0 , b ? 1 ,这个三角形的面积为 3 ,则 ?ABC的外接 圆的直径为 A.

2 39 3

B.

26 3 3

C. 3 3

D.

29 2

高二数学(文科)试卷

第2页

(共 8 页)

第Ⅱ卷(非选择题部分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把下列各题的正确答案 填写在答题卷相应的位置上) 11.已知 {an } 是等比数列, a2 ? 2 , a5 ?

1 ,则公比 q ? 4



?x ? y ? 1 ? 12.设 x , y 满足约束条件: ? y ? x ,则其可行域所围成的面积是 ?y ? 0 ?



13.双曲线 mx2 ? y2 ? 1的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ? 14.已知 a ? 0 ,b ? 0 ,a 与 b 的等差中项为 的最小值是 .



1 1 1 ,设 x ? a ? , y ? b ? ,则 x ? y 2 a b

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .

1 (1)已知 a ? 2 , c ? 3 , cos B ? ,求 b 的值; 3
(2)求证
a 2 ? b 2 sin 2 A ? sin 2 B ? . c2 sin 2 C

16. (本小题满分 12 分) 已知命题 p :不等式 a 2 ? 5a ? 0 恒成立;命题 q :方程 x 2 ? ax ? 4 ? 0 在实数 集内没有解;若 p 和 q 都是真命题,求 a 的取值范围。

17. (本小题满分 14 分) 已知等差数列 {an } , a2 ? 9 , a5 ? 21. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? 2a n ,求数列 {bn }的前 n 项和 S n .
高二数学(文科)试卷 第3页 (共 8 页)

18. (本小题满分 14 分) 围建一个面积为 1000m 2 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧 墙需维修),其它三面围墙要新建,如图所示,已知旧墙的维修费用为 20 元/ m , 新墙的造价为 80 元/ m .设利用的旧墙的长度为 xm ,修建此矩形场地围墙的总 费用为 y 元. (1)将 y 表示为 x 的函数: (2)试确定 x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 中, a1 ? ?10 , an ?1 ? 2an ? 2n ?1 , n ? N * .

a (1)求证数列 { n } 是等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; 2n
(2)求数列 {an } 的最小项的值.

20. (本小题满分 14 分)
x2 y2 1 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点 F2 (1,0) ,离心率为 ,已知点 M 的 a b 2

坐标是 (0,3) ,点 P 是椭圆 C 上的动点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 PM ? PF2 的最大值及此时点 P 的坐标.

高二数学(文科)试卷

第4页

(共 8 页)

2012-2013 学年度第一学期期末学业水平调研测试 高二数学(文科)参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) DCAAD AACDA

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11.

1 2

12.

1 4

13. ?

1 4

14.5

三、解答题: 15.(1)解:由余弦定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,得

b2 ? 22 ? 32 ? 2 ? 2 ? 3 ?
解得 b ? 3 (2)证明:根据正弦定理,设

1 3

????4 分 ????6 分

a b c ? ? ?k sin A sinB sinC

∴ a ? k sin A , b ? k sinB , c ? k sinC ∴
a 2 ? b 2 k 2 sin 2 A ? k 2 sin 2 B ? c2 k 2 sin 2 C ? sin 2 A ? sin 2 B sin 2 C

????8 分

????12 分

16.解:不等式 a 2 ? 5a ? 0 的解为 a ? 0 或 a ? 5 ∴命题 p 是真命题时,有 a ? 0 或 a ? 5 ????4 分

若方程 x 2 ? ax ? 4 ? 0 在实数集内没有解,则有 ? ? a 2 ? 16 ? 0 ,解得

?4? a ? 4
∴命题 q 是真命题时,有 ? 4 ? a ? 4 ∵ {a a ? 0 或 a ? 5} ? {a ? 4 ? a ? 4} ? {a ? 4 ? a ? 0} ∴若 p 和 q 都是真命题,则 a 的取值范围是 ? 4 ? a ? 0 17.解:(1)设等差数列 {an } 的公差为 d 由 a5 ? a2 ? 3d ,得 9 ? 3d ? 21
高二数学(文科)试卷 第5页 (共 8 页)

????8 分

????12 分

????2 分

解得 d ? 4 ∴ an ? a2 ? (n ? 2)d ,即 an ? 4n ? 1 (2)∵ bn ? 2 an ? 2 4 n ?1
bn ?1 2 4( n ?1) ?1 ? 4 n ?1 ? 16 ∴ bn 2

????4 分 ????6 分 ????8 分 ????10 分

∴数列 {bn }是以首项为 b1 ? 25 ? 32,公比是 16 的等比数列 ∴数列 {bn }的前 n 项和 S n ?
32 ? (1 ? 16 n ) 32 ? (16 n ? 1) 1 ? 16 15

???14 分

18.解:(1)依题意可知,矩形的一边长为 xm ,另一边长为 则有 y ? 20x ? 80? ( x ? 2 ? 整理得 y ? 100 x ? ( (2)∵ x ? 0 ∴ y ? 100 x ? ( 当且仅当 x ?

1000 m x

1000 ) x
????6 分

1600 ) x

1600 1600 ) ? 200 x ? ? 8000 x x

????9 分 ????12 分

1600 ,即 x ? 40 (m) 时,等号成立 x

∴当 x ? 40m 时,修此矩形场地建围墙的总费用最小,最小总费用是 8000 元 19.(1)证明:∵ an ?1 ? 2an ? 2n ?1 ∴ ???14 分

an?1 an a a ? n ? 1 ,即 n?1 ? n ? 1 n?1 n?1 2 2 2 2n

???2 分

∴数列 {

an a } 是首项是 1 ? ?5 ,公差为 1 的等差数列 ???4 分 n 2 2
???6 分 ???7 分 ???9 分



an ? ?5 ? (n ? 1) ?1 2n

解得 a n ? 2 n ( n ? 6) (2)解:∵ a n ?1 ? a n ? 2 n ?1 (n ? 5) ? 2 n (n ? 6) ? 2 n (n ? 4)
高二数学(文科)试卷 第6页 (共 8 页)

当 n ? 4 时, a n ?1 ? a n ? 2 n (n ? 4) ? 0 ,即 an?1 ? an 当 n ? 4 时, a n ?1 ? a n ? 2 n (n ? 4) ? 0 ,即 an?1 ? an 当 n ? 4 时, a n ?1 ? a n ? 2 n (n ? 4) ? 0 ,即 an?1 ? an ∴ a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? ?? ∴数列 {an } 的最小项是 a 4 和 a5 ,且 a4 ? a5 ? ?32 ???14 分 ???12 分

(计算: a1 ? ?10 , a2 ? ?16 , a3 ? ?24, a4 ? a5 ? ?32;当 a ? 6 时, an ? 0 可得 结论) 20.解:(1)∵椭圆 C 的右焦点为 F2 (1,0) ,离心率为 ∴ c ?1, e ? ∴a ?2 ∴ b ? a2 ? c2 ? 3 ∴椭圆 C 的方程为
x2 y2 ? ?1 4 3

1 2

c 1 ? a 2

???4 分 ???5 分 ???7 分

(2)设椭圆的左焦点为 F1 (?1,0) ,则有 PF1 ? PF2 ? 4 ∴ PM ? PF2 ? PM ? 4 ? PF1 ? MF1 ? 4

当 点 P 是 MF1 延 长 线 与 椭 圆 的 交 点 时 , PM ? PF1 取 得 最 大 值

MF ? 10 ,即 PM ? PF2 的最大值是 10 ? 4 1
x y 此时直线 MF1 的方程为 ? 1 ? 3 ? 1,即 y ? 3 x ? 3

???9 分 ???10 分

? y ? 3x ? 3 ? 解联立方程组 ? x 2 y 2 ,消去 y ,得 13 x 2 ? 24 x ? 8 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4
解得 x ?

? 12 ? 2 10 ? 12 ? 2 10 或x ? (舍去) 13 13

???12 分

将x ?

? 12 ? 2 10 3 ? 6 10 代入 y ? 3 x ? 3 得 y ? 13 13
高二数学(文科)试卷 第7页 (共 8 页)

此时点 P 的坐标为 (

? 12 ? 2 10 3 ? 6 10 , ) 13 13

???14 分

高二数学(文科)试卷

第8页

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