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2.2.1线面平行的判定


温故知新
直线与平面的位置关系有哪几种?
a a

a
α

α

.P

α

a ??

a

? ?P

a // ?

直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行

直线在平面外

b是平面 ? 外的一条直线,下列条 件中可得出 b // ? 的是 A.b与 ? 内一条直线不相交 B.b与 ? 内两条直线不相交 C.b与 ?内无数条直线不相交
D.b与 ? 内所有直线不相交

实例1:生活中,我们注意到门扇的两边是 这两个实例中你 平行的 . 当门扇绕着一边 们可以得出什么 转动时,观察门扇转动 结论? 的一边l 与门框所在平面 l 的位置关系如何? 实例 2 :若将一本书平放 猜想:如果平面外一条 在桌面上,翻动书的封面, 直线和这个平面内的一 观察封面边缘所在直线l 条直线平行,那么这条 与桌面所在的平面具有怎样 直线和这个平面平行 . 的位置关系?
l l

观察与猜想

直线与平面平行的判定定理: 平面外的一条直线与此平面内的一 条直线平行,则该直线与此平面平行.
? 线面平行) (线线平行?

a b

符号表示:

a ? ?? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

?

1.如图,长方体 ABCD ? A?B?C ?D?中, (1)与AB平行的平面是 平面 A?B?C?D? 平面 CC?D?D ; (2)与 AA?平行的平面是平面 B?BCC? 平面 CC?D?D ; (3)与AD平行的平面是 平面 A?B?C?D? 平面 B?BCC? ;
D? A? B?

练习

C?

D A B

C

练习 2. 判断命题的真假
(1)如果一条直线不在平面内,则这条直 假 线就与这个平面平行.

(2)过直线外一点,可以作无数个平面与 这条直线平行. 真 (3)如果一直线与平面平行,则它与平面 内的任何直线平行. 假
则 a // ?.

(4)若 一 直 线 a和平面 ?内一直线平行,

定理的应用
例1. 如图,空间四边形ABCD中,E、F A 分别是AB,AD的中点. 求证:EF∥平面BCD. F E D B

C

变式
如图,四棱锥A—DBCE中,O为底面 正方形DBCE对角线的交点,F为AE的 中点. 求证: AB//平面DCF. A 分析: 连结OF, F △ABE的中位线, D E 所以得到AB//OF. O C B

反思~领悟:
1. 要证明线面平行,通常可以转化为线线 平行 来处理. 2. 寻找平行直线可以通过三角形的中位 线、梯形的中位线、平行线的判定等 来完成.

3. 证明的书写三个条件“内”、“外”、 “平行”,缺一不可.

巩固练习
1. 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E 为DD1的中点,求证:BD1//平面AEC. 分析:要证BD1// 平面AEC,即要在平 A1 面AEC内找一条直线 与BD1平行.根据已知 条件应该怎样考虑辅 A 助线?

D1 E
D B1

C1

O

C B

2.已知有公共边AB的两个全等的矩形 ABCD和 ABEF不在同一个平面内,P,Q分 别是对角线AE,BD的中点

求证:PQ∥平面BCE。
D Q A F P E C B

已知空间四边形ABCD中,P、Q分别是 平面ABC和平面ACD的重心. 求证:PQ//平面BCD.
A

变式训练

?图中还有哪些线面平行? ?连接CP、CQ,你又能
P E C Q D

找到哪些线面平行?

B

F

思考:设直线a,b为异面直线,经过 直线a可作几个平面与直线b平行?过a, b外一点P可作几个平面与直线a,b都 a 平行? p b a p

b

a

b

反思1:要证明直线与平面平行可以运用判定定理; 线线平行 线面平行

思考

反思2:能够运用定理的条件是要满足六个字:
“面外、面内、平行”

a ?? b??
b // a

a // ?

反思3:运用定理的关键是找平行线;找平行线又经常 会用到三角形中位线定理.

练习

练习

练习
7.判断下列命题是否正确,若正确,请简述 理由,若不正确,请给出反例. (1)如果a、b是两条直线,且a∥b,那么a 平 行于经过b的任何平面;( ) (2)如果直线a、b和平面α 满足a ∥ α, b ∥ α,那么a ∥ b ;( ) (3)如果直线a、b和平面α 满足a ∥ b,a ∥α, b? α, 那么 b ∥ α;( ) (4)过平面外一点和这个平面平行的直线只 有一条.( )

练习
6.以下命题(其中a,b表示直线,?表示平面)

①若a∥b,b??,则a∥? ②若a∥?,b∥?,则a∥b ③若a∥b,b∥?,则a∥? ④若a∥?,b??,则a∥b

其中正确命题的个数是 ( ) A 0个 B 1个 C 2个 D 3个

8.如图,正方体 中,E为DD? 的中点, BD? AEC的位置关系,并说明理由. 试判断 与平面 证明:连接BD交AC于点O, 连接OE, 在 ?DB D?中,E,O分别是
D?
A?

练习 ABCD ? A?B?C ?D?

C?
B?

E
D

DD?, BD 的中点.
? EO // BD?
? ? ' ? BD // 平面AEC EO ? 平面ACE ? ? ' BD ? 平面ACE ?
A

C

O

B

1.证明直线与平面平行的方法: (1)利用定义; 直线与平面没有公共点

小结

(2)利用判定定理. 线线平行 2、证明平面与平面平行的方法: ①定义
3.数学思想方法:转化的思想 平面问题 空间问题

线面平行

②判定定理(线面平行证面面平行)

4.用定理证明线面平行时, 寻找平行直线可 以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平 行线的判定、平行公理等来完成.

思考:


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