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江苏省南通中学2015届高三上学期期中考试数学试题含解析


江苏省南通中学 2015 届高三第一学期期中考试 本试卷是高三试卷,以基础知识和基本技能为为主导,在注重考查运算能力和分析问题解决 问题的能力,知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识,兼顾覆盖面.试题重点考查:不 等式、复数、导数、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、 立体几何等;考查学生解决实际问题的综合能力,是份好试卷. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位 置上.

(? A) 【题文】1.已知全集 U ? {0,1, 2,3} ,集合 A ? {0,1}, B ? {1, 2,3} 则 U
【知识点】集合及其运算 A1 【答案】{2,3} 【解析】
A CU ? {2,3} 则 (?U A)

B?



B ? {2,3}
2

【思路点拨】先求出补集再求结果。 【题文】2.命题: “ ?x ? R, x ? 2 x ? m ? 0 ”的否定是 【知识点】命题及其关系 A2 【答案】 ?x ? R, x ? 2 x ? m ? 0
2



【解析】 “ ?x ? R, x ? 2 x ? m ? 0 ”的否定是 ?x ? R, x ? 2 x ? m ? 0 。
2 2

【思路点拨】根据全称命题存在命题求出否定。 【题文】 3. 若复数 z1=a﹣i, z2=1+i (i 为虚数单位) , 且 z1 ? z2 为纯虚数, 则实数 a 的值为 【知识点】复数的基本概念与运算 L4 【答案】-1 【解析】



z1 ? z2 =(a-i).(1+i) =(a+1)+(a-1)i 因为是纯虚数 所以 a+1 = 0 a = -1

【思路点拨】先化简再纯虚数的定义求出 a. 【题文】4.已知角 ? 终边经过点 P (2sin 2, ?2 cos 2) ,则 sin ? ? 【知识点】角的概念及任意角的三角函数 C1 【答案】-cos2 【解析】r= .

(2sin 2) 2 ? ( ?2 cos 2) 2

=2

y 由任意三角函数的定义:sinα = r =-cos2
【思路点拨】根据任意三角函数的定义求得。 【题文】5. “ a ? 1 ”是“ (a ? 1) x ? 2 对 x ? (1, ??) 恒成立”的 必要、必要不充分、充要” ) . 【知识点】充分条件、必要条件 A2 【答案】充分不必要 【解析】 a ? 1 能推出 (a ? 1) x ? 2 在 x ? (1, ??) 成立, (a ? 1) x ? 2 , x ? (1, ??) ,a<1 也可 条件(填“充分不

能成立。 【思路点拨】根据推出关系判断条件。 【题文】6.已知

?an ? 为等比数列, a1 ? a7 ? 2, a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ?



【知识点】等比数列及等比数列前 n 项和 D3 【答案】-7 【解析】∵a4+a7=2,由等比数列的性质可得,a5a6=a4a7=-8 ∴a4=4,a7=-2 或 a4=-2,a7=4

q3 ? ?
当 a4=4,a7=-2 时,

1 2 ,∴a1=-8,a10=1,

∴a1+a10=-7 当 a4=-2,a7=4 时,q3=-2,则 a10=-8,a1=1∴a1+a10=-7 综上可得,a1+a10=-7 【思路点拨】由 a4+a7=2,及 a5a6=a4a7=-8 可求 a4,a7,进而可求公比 q,代入等比数 列的通项,求 a1,a10,即可

? 【题文】7.已知函数 f ( x) ? 2 f (1) ln x ? x ,则 f ( x) 的极大值为

.

【知识点】导数的应用 B12 【答案】2ln2-2 【解析】f'(x)=2f'(1)/x-1 令 x=1 得: f'(1)=2f'(1)-1 f'(1)=1 所以:f(x)=2lnx-x,f'(x)=2/x-1 f'(x)=2/x-1 的 零点 x=2 所以:0<x<2 时,f'(x)>0,f(x)是增函数 x>2 时,f'(x)<0,f(x)是减函数 所以:x=2 是 f(x) 的极大值点 极大值 f(2)=2ln2-2 【思路点拨】利用求导数,根据单调性求出极大值。 【题文】8.已知 ?ABC 的一个内角为 120 ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则 ?ABC 的面积为_________. 【知识点】解三角形 C8 【答案】15 3 【解析】设三角形的三边分别为 x-4,x,x+4,

x 2 ? ( x ? 4)2 ? ( x ? 4)2 1 ?? 2 x( x ? 4) 2 ,化简得:x-16=4-x,解得 x=10, 则 cos120°=
所以三角形的三边分别为:6,10,14

1 则△ABC 的面积 S= 2 ×6×10sin120°=15 3 .
【思路点拨】先设出边,再根据余弦定理求出边求出面积。 【题文】9.已知向量 a, b, c 中任意两个都不共线 ,且 a ? b 与 c 共线 , b ? c 与 a 共线 ,则向量

a?b?c=



【知识点】单元综合 F4

【答案】 0 【解析】因为( a ? b )// c ,( b ? c )// a ,设 a ? b =α c , b ? c =β a 两式相减得 a - c =α c -β a , 移项得(1+α)c =(1+β)a 因为向量 a 、c 中不平行,所以只有 1+α=0,1+β=0 即 α=-1,β=-1 也就是 a + b =- c 即 a ? b ? c = 0 【思路点拨】先根据向量共线关系找出向量的关系求出结果。 【题文】10.设函数 f ( x) ? cos ? x( ? ? 0 ) ,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 3 个单位长度后, 所得的图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于 【知识点】函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质 C4 【答案】6 .

?

?
【解析】由题意得 3

?

2?

? .k,解得 ? =6k, 则 ? 最小值等于 6

? 【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 3
? 单位长度后,所得的图像与原图像重合,说明了 3 是此函数周期的整数倍。
【题文】 11 .设 f( x )是定义在 (??, ??) 上的奇函数,且在区间 (0, ??) 上单调递增,若

1 f( )?0 2 ,三角形的内角 A 满足 f(cosA)<0,则 A 的取值范围是
【知识点】三角函数的图象与性质 C3



? ? 2? ( , ) ? ( ,? ) 3 【答案】 3 2
【解析】∵f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,

1 1 f (? ) ? 0 f( )?0 2 ∴f(x)在区间(-∞,0)上也单调递增.∵ 2 ,∴ , 1 当 A 为锐角时,cosA>0,∴不等式 f(cosA)<0 变形为 f(cosA)<f( 2 ) , 1 ? ? 0<cosA< 2 , 3 <A< 2

当 A 为直角时,cosA=0,而奇函数满足 f(0)=0,∴A 为直角不成立. 当 A 为钝角时,cosA<0,

1 1 ∴不等式 f(cosA)<0 变形为 f(cosA)<f(- 2 )<cosA<- 2 , 2? ? ? 2? ( , ) ? ( ,? ) 3 <A<π,综上,A 的取值范围为 3 2 3
【思路点拨】根据函数在 R 上的奇偶性和在区间(0,+∞)上的单调性可以判断 f(x)在区间 (-∞,0)的单调性再分角 A 是锐角,直角还是钝角三种情况讨论,cosA 的正负,利用 f(x) 的单调性解不等式 【 题 文 】 12 . 如 图 , 在 等 腰 三 角 形 ABC 中 , 已 知

AB ? AC ? 1, A ? 120?, E , F 分 别 是 边 AB , AC 上 的 点 , 且
AE ? m AB , AF ? n AC , 其 中 m , n ? (0,1), 若 EF , BC 的 中 点 分 别 为

M , N , 且 m ? 4n ? 1, 则 MN 的最小值是
【知识点】单元综合 F4



7 【答案】 7
【解析】连接 AM、AN, ∵等腰三角形 ABC 中,AB=AC=1,A=120°,

1 ∴ AB ? AC =| AB |?| AC |cos120°=- 2
∵AM 是△AEF 的中线,

1 1 ∴ AM = 2 ( AE ? AF )= 2 (m AB +n AC ) 1 同理,可得 AN = 2 ( AB ? AC ) ,由此可得 MN ? AN ? AM 1 1 = 2 (1-m) AB + 2 (1-n) AC . 1 1 1 将此式平方得 MN 2= 4 (1-m)2- 4 (1-m) (1-n)+ 4 (1-n)2, 21 3 1 结合 m+4n=1 消去 m,得 MN 2= 4 n2- 2 n+ 4

1 1 7 ∴当 n= 7 时, MN 2 的最小值为 7 ,所以| MN |的最小值为 7
1 【思路点拨】由等腰△ABC 中,AB=AC=1 且 A=120°,算出 AB ? AC =- 2 .连接 AM、AN,利 1 1 用三角形中线的性质,得到 AM = 2 ( AE ? AF )且 AN = 2 ( AB ? AC ) ,进而得到

MN ? AN ? AM
1 1 = 2 (1-m) AB + 2 (1-n) AC .将此式平方, 1 1 1 代入题中数据化简可得 MN 2= 4 (1-m)2- 4 (1-m) (1-n)+ 4 (1-n)2, 21 3 1 1 结合 m+4n=1 消去 m,得 MN 2= 4 n2- 2 n+ 4 ,结合二次函数的性质可得当 n= 7 时,

1 7 MN 2 的最小值为 7 ,所以| MN |的最小值为 7 .
x a 【题文】13.等差数列 ? n ? 的公差为 d,关于 x 的不等式 2
[0,22],则使数列 ?

d

2

d? ? ? a1 ? ? x 2 ? +c≥0 的解集 +?


an ?

的前 n 项和 S n 最大的正整数 n 的值是

【知识点】等差数列及等差数列前 n 项和 D2 【答案】11

d d 【解析】∵关于 x 的不等式 2 x2+(a1- 2 )x+c≥0 的解集为[0,22],

a1 ?
∴22=

d 2 d 21 d ? 2 ,且 2 <0 即 a1=- 2 d>0,则 a11=a1+10d>0,a12=a1+11d<0

故使数列{an}的前 n 项和 Sn 最大的正整数 n 的值是 11

d d 【思路点拨】根据已知中等差数列{an}的公差为 d,关于 x 的不等式 2 x2+(a1- 2 )x+c≥0 的解
集为[0,22],我们根据不等式解析的形式及韦达定理,易判断出数列的首项为正,公差为负, 及首项与公差之间的比例关系,进而判断出数列项的符号变化分界点,即可得到答案.

【题文】14.已知数列 6,﹣2,6,30},则

?an ? 满足 an?1 ? qan ? 2q ? 2 (q 为常数) a ,a ,a ,a ,若 3 4 5 6 ∈{﹣18,﹣


a1 ?

【知识点】单元综合 D5 【答案】-2,126,-3 【解析】由已知可得,an+1+2=q(an+2) ,n=1,2,…, ①当 an=-2 时,显然有 a3,a4,a5,a6∈{-18,-6,-2,6,30},此时 a1=-2.

q?
②当 an≠-2 时,则

an ?1 ? 2 an ? 2 , (q 为常数) ,

又因为 a3,a4,a5,a6∈{-18,-6,-2,6,30}, 所以 a3+2,a4+2,a5+2,a6+2∈{-16,-4,0,8,32}, 因为 an≠-2,所以 an+2≠0, , 从而 a3+2=32,a4+2=-16,a5+2=8,a6+2=-4,或 a3+2=-4,a4+2=8,a5+2=-16,a6+2=32 故有

1 q=-2 或 q=- 2
代入 an+1=qan+2q-2 得 a1=-3,或 a1=126. 【思路点拨】观察已知式子,移项变形为 an+1+2=q(an+2) ,从而得到 an+2 与 an+1+2 的关 系,分 an=-2 和 an≠-2 讨论,当 an≠-2 时构造等比数列{an+2},公比为 q.计算可得答案. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 【题文】15. (本题满分 14 分)
2 2 已知 p : 实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 , 其中 a ? 0 ; q : 实数 x 满足 2<x≤3

(1) 若 a ? 1, 且 p ? q 为真, 求实数 x 的取值范围; (2) 若 p 是 q 的必要不充分条件, 求实数 a 的取值范围. 【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件 A2 【答案】 (1) 2 ? x ? 3 (2) 1 ? a ? 2 【解析】 (1)p:由原不等式得, (x-3a) (x-a)<0,∵a>0 为,所以 a<x<3a; 当 a=1 时,得到 1<x<3;q:实数 x 满足 2<x≤3; 若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 .

? q, (2) p 是 q 的必要不充分条件,即 q ? p,且 p ?
设 A=

? x p( x)? , B = ? x q( x)? ,
?a ? 2, ? ?3 ? 3a,

则 A ? B,

?

又 B ? (2,3] ,A= (a,3a) ;

所以有

解得 1 ? a ? 2; 所以实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 .

【思路点拨】 (1)先通过解一元二次不等式求出 p 下的 x 的取值范围:a<x<3a,a=1 时, 所以 p:1<x<3.根据 p∧q 为真得 p,q 都真,所以解该不等式组即得 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,解不等式即得 a 的取值范围. 【题文】16. (本题满分 14 分) 如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A= 2AC,D,E,F 分别为线段 AC,A1A,C1B 的中 点. (1)证明:EF∥平面 ABC; (2)证明:C1E⊥平面 BDE. C1 B1 A1

E F D B (第 16 题) 【知识点】 空间中的平行关系垂直关系 G4 G5 【答案】 (1)略(2)略 【解析】 (1)如图,

C

A

取 BC 的中点 G,连结 AG,FG. 1 ∥ C1C. 因为 F 为 C1B 的中点,所以 FG = 2 ∥C1C,且 E 为 A1A 的中点, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A = ∥EA.所以四边形 AEFG 是平行四边形. 所以 FG = 所以 EF∥AG.因为 EF?平面 ABC,AG?平面 ABC, 所以 EF∥平面 ABC. (2)因为在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A⊥平面 ABC,BD?平面 ABC,所以 A1A⊥BD. 因为 D 为 AC 的中点,BA=BC,所以 BD⊥AC.

因为 A1A∩AC=A,A1A?平面 A1ACC1,AC?平面 A1ACC1,所以 BD⊥平面 A1ACC1. 因为 C1E?平面 A1ACC1,所以 BD⊥C1E. 6 根据题意,可得 EB=C1E= 2 AB,C1B= 3AB, 所以 EB2+C1E2=C1B2.从而∠C1EB=90°,即 C1E⊥EB. 因为 BD∩EB=B,BD ?平面 BDE, EB?平面 BDE,所以 C1E⊥平面 BDE. 【思路点拨】根据线线垂直证明线面垂直,根据线面平行判定证明平行。 【题文】17. (本题满分 15 分) 已知向量 a ? (2sin x, cos x), b ? ( 3 cos x, 2 cos x) .

x ? k? ?
(1)若

?
2

,k ?Z

,且 a / / b ,求 2sin x ? cos x 的值;
2 2

? ? ? x ? [0, ] 2 时,函数 (2)定义函数 f ( x) ? a ? b ? 1 ,求函数 f ( x) 的单调递减区间;并求当
f ( x) 的值域.
【知识点】三角函数的图象与性质 C3

2 【答案】 (1) 7 (2) [?1, 2]
【解析】 (1)因为 a / / b ,所以 4sin x cos x ? 3 cos x ? 0 ,
2

x ? k? ?
因为

?
2

,k ?Z

,所以 cos x ? 0 ,即

tan x ?

3 4 ,

2sin 2 x ? cos 2 x ?
所以

2 tan 2 x ? 1 2 ? tan 2 x ? 1 7 .
? 2sin(2 x ? ) 6 ,

?

2 (2) f ( x) ? a ? b ? 1 ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x

2 k? ?


?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

3? ? 2? ,k ?Z k? ? ? x ? k? ? ,k ?Z 2 6 3 ,得 , [ k? ?

?
6

所以函数 f ( x) 的单调递减区间是

, k? ?

2? ], k ? Z 3 .

? ? ? 7? ? 1 x ? [0, ] 2 x ? ? [ , ] sin(2 x ? ) ? [? ,1] 2 ,所以 6 6 6 , 6 2 , 因为

x ? [0, ] 2 时,函数 f ( x) 的值域 [?1, 2] . 所以当
【思路点拨】根据向量的关系求出结果三角函数性质求出值域。 【题文】18. (本题满分 15 分) 经市场调查, 某旅游城市在过去的一个月内 (以 30 天计) , 旅游人数 f (t )(万人) 与时间 t(天)

?

f (t ) ? 4 ?
的函数关系近似满足

1 t ,人均消费 g (t ) (元)与时间 t (天)的函数关系近似满足

g (t ) ? 115? | t ? 15 | .
(Ⅰ)求该城市的旅游日收益 w(t ) (万元)与时间 t (1 ? t ? 30, t ? N ) 的函数关系式; (Ⅱ)求该城市旅游日收益的最小值(万元) 【知识点】函数模型及其应用 B10

1 w(t ) ? f (t ) ? g (t ) ? (4 ? )(115? | t ? 15 |) (1 ? t ? 30, t ? N ) t 【答案】 (Ⅰ) 403
(Ⅱ)

1 3 万元

1 w(t ) ? f (t ) ? g (t ) ? (4 ? )(115? | t ? 15 |) (1 ? t ? 30, t ? N ) t 【解析】 (Ⅰ)由题意得,

1 ? (4 ? )(t ? 100), (1 ? t ? 15, t ? N * ) ? ? t w(t ) ? ? 1 ?(4 ? )(130 ? t ), (15 ? t ? 30, t ? N * ) ? t ? (Ⅱ)因为
1 25 w(t ) ? (4 ? )(t ? 100) ? 4(t ? ) ? 401 ? 4 ? 2 25 ? 401 ? 441 t t ①当 1 ? t ? 15 时, t?
当且仅当

25 t ,即 t ? 5 时等号

1 130 w(t ) ? (4 ? )(130 ? t ) ? 519 ? ( ? 4t ) t t ②当 15 ? t ? 30 时, , 可证 w(t ) 在 t ? [15,30] 上单
调递减,所以当 t ? 30 时, w(t ) 取最小值为

403

1 3

1 1 403 ? 441 403 3 3 万元 由于 ,所以该城市旅游日收益的最小值为

【思路点拨】根据等量关系求出关系式,利用单调性求出最小值。 【题文】19. (本题满分 16 分)
x 2 已知函数 f ( x ) ? a ? x ? x ln a (a ? 0, a ? 1).

(1)求函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x ) 单调递增区间; (3)若存在 x 1 , x 2 ? [?1,1] ,使得 值范围. 【知识点】导数的应用 B12 【答案】⑴ y ? 1 (2) (0, +?) (3)
f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? e ? 1(e

是自然对数的底数) ,求实数 a 的取

1 a ? (0, ] [e, +?) e

x 2 【解析】⑴因为函数 f ( x) ? a + x ? x ln a (a ? 0, a ? 1) , x ? ? 所以 f ( x) ? a ln a + 2 x ? ln a , f (0) ? 0 ,

又因为 f (0) ? 1 ,所以函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 1 .
x x ? ⑵由⑴, f ( x) ? a ln a + 2 x ? ln a ? 2 x + (a ? 1)ln a .

? 因为当 a ? 0, a ? 1 时,总有 f ( x) 在 R 上是增函数, ? ? 又 f (0) ? 0 ,所以不等式 f ( x) ? 0 的解集为 (0, +?) ,
故函数 f ( x) 的单调增区间为 (0, +?) . ⑶因为存在 x1 , x2 ? [?1,1] ,使得 而当 x ? [?1,1] 时,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥ e ? 1

成立, ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ f ( x) max ? f ( x) min

? 所以只要 f ( x) max ? f ( x) min ≥ e ? 1 即可.又因为 x , f ( x) , f ( x) 的变化情况如下表所示:
x

(??,0)

0 0
极小值

(0, +?)

f ?( x)

?
减函数

+
增函数

f ( x)

f x 所以 f ( x) 在 [?1,0] 上是减函数,在 [0,1] 上是增函数,所以当 x ? [?1,1] 时, ? ? 的最小值
f ? x ?min ? f ? 0 ? ? 1


f ? x?

的最大值

f ? x ?max



f ? ?1?



f ?1?

中的最大值.

1 1 f (1) ? f (?1) ? (a + 1 ? ln a) ? ( + 1 + ln a) ? a ? ? 2ln a a a 因为 ,
g (a) ? a ? 1 1 2 1 ? 2ln a(a ? 0) g ?(a) ? 1 + 2 ? ? (1 ? ) 2 ? 0 a a a a ,因为 ,



所以

g (a) ? a ?

1 ? 2ln a a ? 0, ?? ? ? 上是增函数. a 在
g ?a? ? 0
,即 f (1) ? f (?1) ;

而 g (1) ? 0 ,故当 a ? 1 时, 当 0 ? a ? 1 时,

g ?a? ? 0

,即 f (1) ? f (?1) .

所以,当 a ? 1 时, f (1) ? f (0) ≥ e ? 1 ,即 a ? ln a ≥ e ? 1 ,函数 y ? a ? ln a 在 a ? (1, ??) 上是

1 1 ? ln a ≥ e ? 1 y ? ? ln a f ( ? 1) ? f (0) ≥ e ? 1 a ≥ e 0 ? a ? 1 a 增函数, 解得 ; 当 时, , 即a , 函数 0 ? a≤ 1 e.

在 a ? (0,1) 上是减函数,解得

1 a ? (0, ] [e, +?) e 综上可知,所求 a 的取值范围为 .
【思路点拨】根据导数的意义求出切线方程,根据单调性求出参数的范围。 【题文】20. (本题满分 16 分) 在数列

{an }

中,

a1 ? 1

,且对任意的 k ? N ,
*

a2 k ?1 , a2 k , a2 k ?1

成等比数列,其公比为

qk



(1)若

* a a a qk =2( k ? N * ),求 a1 ? a3 ? a5 ? ... ? a2 k ?1 ; (2)若对任意的 k ? N , 2 k , 2 k ?1 , 2 k ? 2

成等差数列,其公差为 ① 求证: ②若

d k ,设

bk ?

1 qk ? 1 .

{bk }

成等差数列,并指出其公差;

d1

=2,试求数列

{d k }

的前 k 项的和

Dk



【知识点】单元综合 D5

【答案】 (1)

a1 ? a3 ? a5 ?

? a2 k ?1 ?

1 ? 4n 1 n k (k ? 3) ? (4 ? 1) Dk ? D ? 2k 2 1? 4 3 2 (2) ,或 k .

a2 k ?1 ?4 qk ? 2 a ,a ,a , a 2 k ? 1 【解析】 (1)因为 ,所以 ,故 1 3 5

, a2 k ?1

是首项

a1 ? 1

,公比为 4 的等

比数列,所以 (2)因为

a1 ? a3 ? a5 ?

? a2 k ?1 ?

1 ? 4n 1 n ? (4 ? 1) 1? 4 3 .

a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等差数列,所以 2 a2 k ?1 ? a2 k ? a2 k ? 2 ,

a2 k ?


a2 k ?1 1 , a2 k ? 2 ? a2 k ?1 ? qk ?1 ? qk ?1 ? 2 qk q k ,所以 , 1 qk ?1 ? 1 ? qk ? bk ? 1 b ? bk ? 1 , qk ? 1 ,即 k ?1

bk ?1 ?
所以 所以

{bk } 成等差数列,其公差为 1.

(3)因为 所以

d1 ? 2 ,所以 a3 ? a2 ? 2 ,即 a2 2 ? a1a3 ? a2 ? 2 ,

a2 ? 2 或 a2 ? ?1 . a2 ? 2 时,
q1 ? a2 1 ?2 b1 ? ?1 b ? 1 ? (k ? 1) ?1 ? k , a1 q ? 1 k ,所以 ,所以 k

(ⅰ)当

a2 k ?1 1 k ?1 2 k ?1 ?k ? qk 2 ? ( ) qk ? q ? 1 a k k .所以 2 k ?1 即 k ,得 ,
a2 k ?1 ? ( k ?1 2 k 2 ) ?( ) ? k k ?1

a2 k ?1 2 ? k (k ? 1) ? ( ) 2 ? a1 ? ( k ? 1) 2 a2 k ? q 1 k , ,
Dk ? k (2 ? k ? 1) k (k ? 3) ? 2 2 .

所以

d k ? a2 k ?1 ? a2 k ? k ? 1 , a2 ? ?1 时,
q1 ?

(ii)当

a2 1 1 1 3 ? ?1 b1 ? ?? bk ? ? ? (k ? 1) ? 1 ? k ? a1 qk ? 1 2, 2 2, ,所以

1 1 k ? a2 k ?1 2 2 )2 qk ? ? qk 2 ? ( 1 3 3 3 a2 k ?1 ?k? k? k? q ?1 2 ,得 2 .所以 2 , 即 k k? 1 3 k? 2 )2 ? ( 2 )2 ? a2 k ?1 ? ( 3 5 k? k? 2 2 k? 1 1? ? ( 2 ) 2 ? a1 ? (2k ? 1) 2 a 3 a2 k ? 2 k ?1 ? (2k ? 1)(2k ? 3) 1? qk 2 , ,
Dk ? k (2 ? 4k ? 2) ? 2k 2 2 .

所以

d k ? a2 k ?1 ? a2 k ? 4k ? 2



综合得

Dk ?

k (k ? 3) D ? 2k 2 . 2 ,或 k

【思路点拨】利用等比数列求和公式求出,数列性质求出。 【题文】数学Ⅱ(附加题) 【题文】21(B) (本题满分 10 分)

?1 ? ?1 0? ? 2 0? ?0 2 ? ? ? ? ,N = ? 0 1? ,试求曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的函数解析式. 已知矩阵 M = ?
【知识点】选修 4-2 矩阵 N2 【答案】 y ? 2 sin 2 x

?1 ? ?1 0? ? ?1 0? ? 2 2 ?0 2 ? ? 0 ? ?0 1 ?? ?=? 【解析】MN = ?

? 0? 2? ?

?1 ? ? x ? ? x1 ? ? x ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? y ? ? y1 ? ? 2 y ? ? 即在矩阵 MN 变换下
即曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的函数解析式为 y ? 2 sin 2 x 【思路点拨】利用矩阵求出函数解析式。 【题文】21(C) (本题满分 10 分) 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴的非负半轴建平面直角

1 ? x? t ? 2 ? ? ? y ? 3 t ?1 ? 2 坐标系,并与极坐标系取相同的单位长度,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,
求直线 l 被曲线 C 截得的线段长度. 【知识点】参数与参数方程 N3 【答案】 15
2 2 【解析】将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程为 x ? y ? 4 y ? 0 , 2 2 即 x ? ( y ? 2) ? 4 ,它表示以 (0, 2) 为圆心,2 为半径的圆,

直线方程的普通方程为 y ? 3 x ? 1 ,

圆 C 的圆心到直线 l 的距离

d?

1 2,

1 2 2 2 ? ( ) 2 ? 15 2 故直线 l 被曲线 C 截得的线段长度为 .
【思路点拨】先把参数方程转化成普通方程,再由勾股定理求出长度。 【题文】22. (本题满分 10 分) 如图所示 , 在棱长为 2 的正方体

AC1 中 ,点 P、Q 分别在棱 BC、CD 上,满足 B1Q ? D1 P , 且

PQ ? 2 .
(1)试确定 P 、 Q 两点的位置. (2)求二面角 A1 B1 C1

C1 ? PQ ? A 大小的余弦值.
D1

A B Q C 第 22 题 P

D

【知识点】空间向量及运算 G9 【答案】(1) P、Q 分别为 BC , CD 中点(2) 【 解 析 】 (1) 以

?

1 3

AB, AD, AA1 为 正 交 基 底 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 A ? xyz , 设

CP ? a (0 ? a ? 2) ,则 CQ ? 2 ? a 2 ,
2 ? P(2, 2 ? a, 0), Q(2 ? 2 ? a 2 , 2, 0) B1Q ? (? 2 ? a , 2, ?2) , D1 P ? (2, ?a, ?2) ,



B1Q ? D1 P ,∴ B1Q ? D1 P ? 0 ,

2 ∴ ?2 2 ? a ? 2a ? 4 ? 0 ,解得 a ? 1 ∴PC=1,CQ=1,即 P、Q 分别为 BC , CD 中点

(2) 设 平 面

C1 PQ 的 法 向 量 为 n ? ( a, b, c) , ∵ PQ ? ( ?1,1, 0), PC1 ? (0,1, 2) , 又

n ? PQ ? n ? PC1 ? 0 ,

??a ? b ? 0 ? b ? 2c ? 0 ,令 c ? ?1 ,则 a ? b ? 2 , n ? (2, 2, ?1) ∵ k ? (0, 0, ?2) 为面 APQ 的一个法向 ∴?
cos ? n, k ??
量,∴

1 1 ? 3 ,而二面角为钝角,故余弦值为 3

【思路点拨】根据空间向量求出法向量求出余弦值。 【题文】23. (本题满分 10 分)
2 已知函数 f ( x) ? (2 x ? 1) ln(2 x ? 1) ? a(2 x ? 1) ? x(a ? 0) .

(1)若函数 f ( x) 在 x ? 0 处取极值,求 a 的值;
1 x ? ? , y ? ?x 2 (2)如图,设直线 将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域(不含边界) ,若

函数 y ? f ( x) 的图象恰好位于其中一个区域内判断其所在的区域并求对应的 a 的取值围; (3)比较 3 ? 4 ? 5 ?
2 3 4

? 20142013 与 23 ? 34 ? 45 ?

? 20132014 的大小,并说明理由.
Ⅰ Ⅱ Ⅱ

【知识点】导数的应用 B12 1 1 a? a? 4 (2) e (3)略 【答案】 (1)
2 【解析】 (1) f ( x) ? (2 x ? 1) ln(2 x ? 1) ? a(2 x ? 1) ? x(a ? 0) ,

y
x Ⅲ

f ? ( x) ? 2 ln(2 x ? 1) ? 4a(2 x ? 1) ? 1 . ? ∵ f ( x) 在 x ? 0 处取极值,∴ f (0) ? ?4a ? 1 ? 0 .

y Ⅰ x 1 Ⅲ Ⅱ O ?
2

x
x


?


1 2

Ⅳ O

x
x



a?

1 1 a? 4 符合题意) 4 (经检验 .

Ⅳ (第 23 题) Ⅲ (第 23 题)

1 (? , ??) (2)因为函数的定义域为 2 ,且当 x ? 0 时, f (0) ? ?a ? 0 .

又直线 y ? ? x 恰好通过原点,所以函数 y ? f ( x) 的图象应位于区域Ⅳ内,
2 于是可得 f ( x) ? ? x ,即 (2 x ? 1)ln(2 x ? 1) ? a(2 x ? 1) ? x ? ? x .

∵ 2 x ? 1 ? 0 ,∴
? 令 h ( x) ? 0 ,得
x?(

a?

2 ? 2 ln(2 x ? 1) ln(2 x ? 1) ln(2 x ? 1) h? ( x) ? h( x ) ? (2 x ? 1) 2 2 x ? 1 ,∴ 2 x ? 1 .令 .

x?

e ?1 1 1 e ?1 x?? x ? (? , ) 2 .∵ 2 ,∴ 2 2 时, m?( x) ? 0 , m( x) 单调递增,

e ?1 e ?1 1 , ??) hmax ( x) ? h( )? ? m ( x ) ? 0 m ( x ) 2 2 e. 时, , 单调递减.∴ a? 1 e.

∴ a 的取值范围是

(3)由(2)知,函数

m( x ) ?

ln(2 x ? 1) e ?1 在x ? ( , ??) 2x ? 1 2 时单调递减,

ln x ∴函数 p(x)= x ,在 x∈(e,+∞)时,单调递减, ln( x ? 1) ln x ∴ x ? 1 < x ,∴xln(x+1)<(x+1)lnx,
∴ln(x+1)x<lnx(x+1) ,即(x+1)x<x(x+1) , ∴令 x=3,4,…,2011,则 43<34,54<45,…,20122011<20112012. 又 32×43<23×34,∴32×43×54×…×20122011<23×34×45×…×20112012. 【思路点拨】根据导数极值求出 a,再利用单调性求出范围证明大小。


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