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高中数学第一章不等式和绝对值不等式1.2绝对值不等式1.2.2绝对值不等式的解法教案新人教A版选修4_5

1.2.2 绝对值不等式的解法 课堂探究 几个特殊的含绝对值的不等式的区别 剖析:(1)|x-4|-|x-3|>a 有解,则 a 的取值范围是______; (2)|x-4|-|x-3|>a 的解集为 R,则 a 的取值范围是______; (3)|x-4|+|x-3|<a 的解集为 ? ,则 a 的取值范围是______; (4)|x-4|+|x-3|>a 的解集为 R,则 a 的取值范围是______. 处理以上问题, 我们可以与函数 y=|x-4|-|x-3|, y=|x-4|+|x-3|的最值(值域) 等联系起来,第一个函数的值域为[-1,1],而第二个函数的最小值为 1,即|x-4|+|x- 3|≥1,所以(1)|x-4|-|x-3|>a 有解,只需 a<1;|x-4|-|x-3|>a 的解集是 R,则 说明是恒成立问题,所以 a<[|x-4|-|x-3|]min=-1,即 a<-1;|x-4|+|x-3|<a 的解集为 ? , 说明 a≤[|x-4|+|x-3|]min=1, 所以 a≤1; |x-4|+|x-3|>a 的解集为 R, 说明 a<[|x-4|+|x-3|]min=1.以上这几种不等式问题,实质是与两种函数的值域或最值 相联系的问题,当然也可以借助函数的图象,用数形结合来解得 a 的范围.而理解这几种表 述方式对掌握本节知识有很好的帮助. 题型一 解|ax+b|≥c(c>0)和|ax+b|≤c(c>0)型的不等式 【例 1】不等式|3x-2|>4 的解集是( A.{x|x>2} 2 C.{x|x<- 或 x>2} 3 ) 2 B.{x|x<- } 3 2 D.{x|- <x<2} 3 解析: 可以利用|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法进行等价转化, 或者利用数形结合法. 方法一:由|3x-2|>4, 2 得 3x-2<-4 或 3x-2>4.即 x<- 或 x>2. 3 ? ? ? 2 所以原不等式的解集为?x?x<- 或x>2 3 ? ? ? ? ? ?. ? ? 方法二:(数形结合法) 2 3x-2,x≥ , ? ? 3 画出函数 y=|3x-2|=? 2 2-3x,x< ? ? 3 的图象,如下图所示: 1 2 由|3x-2|=4,解得 x=2 或 x=- .在同一坐标系中画出直线 y=4,所以交点坐标为 3 ? 2 ? (2,4)与?- ,4?. ? 3 ? 2 所以|3x-2|>4 时,x<- 或 x>2. 3 ? ? ? 2 所以原不等式的解集为?x?x<- 或x>2 3 ? ? ? ? ? ?. ? ? 答案:C 【例 2】不等式|5x-x |<6 的解集为( A.{x|x<2 或 x>3} B.{x|-1<x<2 或 3<x<6} C.{x|-1<x<6} D.{x|2<x<3} 解析:可以利用|x|<a(a>0)的结论进行转化,然后解一元二次不等式,取交集可得结 果,本题还可以用数形结合法求结果. 方法一:由|5x-x |<6,得|x -5x|<6. ∴-6<x -5x<6. ∴? ?x -5x+6>0, ? ? ?x -5x-6<0 ? ?x<2或x>3, ?-1<x<6. ? 2 2 2 2 2 2 ) ?? ?(x-2)(x-3)>0, ? ? ?(x-6)(x+1)<0 ?? ∴-1<x<2 或 3<x<6. ∴原不等式的解集为{x|-1<x<2 或 3<x<6}. 方法二:作函数 y=x ―5x 的图象,如下图所示. 2 2 |x ―5x|<6 表示函数图象中直线 y=―6 和直线 y=6 之间相应部分的自变量的集合. 解方程 x ―5x=6,得 x1=―1,x2=6. 解方程 x ―5x=―6,得 x1′=2,x2′=3. 即得到不等式的解集是{x|-1<x<2 或 3<x<6}. 答案:B 反思 形如|f(x)|<a,|f(x)|>a(a∈R)型不等式的简单解法: 2 2 2 ①当 a>0 时,|f(x)|<a ? -a<f(x)<a. |f(x)|>a ? f(x)>a 或 f(x)<-a. ②当 a=0 时,|f(x)|<a 无解. |f(x)|>a ? |f(x)|≠0. ③当 a<0 时,|f(x)|<a 无解. |f(x)|>a ? f(x)有意义. 题型二 解|f(x)|>g(x)型的不等式 【例 3】解不等式|x-x -2|>x -3x-4. 解:∵|x-x -2|=|x -x+2|, 2 2 2 2 ? 1?2 7 2 而 x -x+2=?x- ? + >0, ? 2? 4 ∴|x-x -2|=|x -x+2|=x -x+2, 故原不等式等价于 x -x+2>x -3x-4. ∴x>-3.∴原不等式的解集为{x|x>-3}. 反思 本题形如|f(x)|>g(x),我们可以借助形如|ax+b|>c 的解法转化为 f(x)<- 2 2 2 2 2 g(x)或 f(x)>g(x),当然|f(x)|<g(x) ? -g(x)<f(x)<g(x).而如果 f(x)的正负能确 定的话,也可以直接去掉绝对值再解不等式. 题型三 解|x+a|+|x+b|≥c(c>0)型的不等式 【例 4】解不等式|x+1|+|x-1|≥3. 分析:本题可以用分段讨论法或数形结合法求解,对于形如|x+a|+|x+b|的代数式, 3 可以认为是分段函数. 解法一:如下图,设数轴上与-1,1 对应的点分别为 A,B,则 A,B 两点间的距离为 2, 因此区间[-1,1]上的数都不是不等式的解.设在 A 点左侧有一点 A1 到 A,B 两点的距离和 为 3,A1 对应数轴上的 x. 3 所以-1-x+1-x=3,得 x=- . 2 同理设 B 点右侧有一点 B1 到 A,B 两点的距离和为 3,B1 对应数轴上的 x, 3 所以 x-1+x-(-1)=3.所以 x= . 2 从数轴上可看到,点 A1,B1 之间的点到

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