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2014-2015学年河北省衡水中学高三(上)第五次调考数学试卷(理科)


2014-2015 学年河北省衡水中学高三 (上) 第五次调考数学试卷 (理科)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.设集合 A={x|﹣1≤x≤2,x∈N},集合 B={2,3},则 A∪B=( ) A. {1,2,3} B. {0,1,2,3} C. {2} D. {﹣1,0,1,2,3} 2.已知复数 1﹣i= A. ﹣1+3i (i 为虚数单位) ,则 z 等于( B. ﹣1+2i ) D. 1﹣2i ) D. 8

C. 1﹣3i

3.公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a4a10=16,则 a6=( A. 1 B. 2 C. 4

4.某商场在国庆黄金周的促销活动中,对 10 月 1 日 9 时至 14 时的销售额进行统计,其频率分布直 方图如图所示.已知 9 时至 10 时的销售额为 3 万元,则 11 时至 12 时的销售额为( )

A. 8 万元

B. 10 万元

C. 12 万元

D. 15 万 )

5.命题甲:f(x)是 R 上的单调递增函数;命题乙:?x1<x2,f(x1)<f(x2) .则甲是乙的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.运行如图所示的程序,若结束时输出的结果不小于 3,则 t 的取值范围为( )

A.

B.

C.

D.

7.为得到函数 y=sin(x+

)的图象,可将函数 y=sinx 的图象向左平移 m 个单位长度,或向右平 )

移 n 个单位长度(m,n 均为正数) ,则|m﹣n|的最小值是(

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A.

B.

C.

D.

8.如图,

= ,

= ,且 BC⊥OA,C 为垂足,设

=λ ,则 λ 的值为(



A.

B.

C.

D.

9.已知 P(x,y)为区域 最大值是( A. 6 ) B. 0

内的任意一点,当该区域的面积为 4 时,z=2x﹣y 的

C. 2

D. 2

10.将一张边长为 6cm 的纸片按如图 1 所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形,将剩余下部分 沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥(底面是正方形,顶点在底面的射影为正方形的中心)模型, 如图 2 放置,若正四棱锥的正视图是正三角形(如图 3) ,则正四棱锥的体积是( )

A.

cm

3

B.

cm

3

C.

cm

3

D.

cm

3

11.已知 O 为原点,双曲线

﹣y =1 上有一点 P,过 P 作两条渐近线的平行线,交点分别为 A,B, ) D.

2

平行四边形 OBPA 的面积为 1,则双曲线的离心率为( A. B. C.

12.已知函数 f(x)= 实数 a 的取值范围是( )

,若关于 x 的方程 f(x)=|x﹣a|有三个不同的实根,则

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A. (﹣ ,0) )

B. (0, )

C. (﹣ , )

D. (﹣ ,0)或(0,

二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上.. 13.二项式( ﹣ ) 的展开式中常数项为
5

(用数字作答)

14.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(2)=1 且对任意 x∈R 都有 f(x+3)=f(x) ,则 f(2014) = . 16. 已知等差数列{an}的通项公式为 an=3n﹣2, 等比数列{bn}中, b1=a1, b4=a3+1, 记集合 A={x|x=an, n∈N},B={x|x=b,n∈N},U=A∪B,把集合 U 中的元素按从小到大依次排列,构成数列{cn},则数 列{cn}的前 50 项和 S50= .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知三棱锥 P﹣ABC 的所有棱长都相等,现沿 PA,PB,PC 三条侧棱剪开,将其表面展开成一 个平面图形,若这个平面图形外接圆的半径为 2 ,则三棱锥 P﹣ABC 的内切球的表面积 为 . 17.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边是 a,b,c,已知 3acosA=ccosB+bcosC (1)求 cosA 的值 (2)若 a=1, ,求边 c 的值.

18.在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1000 元,此作物的市场价格和这块地上的产量均 具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表: 作物产量(kg) 300 500 概率 0.5 0.5 作物市场价格(元/kg) 6 10 概率 0.4 0.6 (Ⅰ)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列; (Ⅱ)若在这块地上连续 3 季种植此作物,求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率. 19.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,四边形 A1ABB1 为菱形,∠A1AB=45°,四边形 BCC1B1 为 矩形,若 AC=5,AB=4,BC=3 (1)求证:AB1⊥面 A1BC; (2)求二面角 C﹣AA1﹣B 的余弦值.

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20.以椭圆 C:

=1(a>b>0)的中心 O 为圆心,以

为半径的圆称为该椭圆的“伴随”.已

知椭圆的离心率为

,且过点



(1)求椭圆 C 及其“伴随”的方程; (2)过点 P(0,m)作“伴随”的切线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,记△ AOB(O 为坐标原点)的面积 为 S△ AOB,将 S△ AOB 表示为 m 的函数,并求 S△ AOB 的最大值. 21.设函数 f(x)=x +aln(x+1) (a 为常数) (Ⅰ)若函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是单凋递增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若函数 y=f(x)有两个极值点 x1,x2,且 x1<x2,求证: .
2

选修题:请考生在第(22) 、 (23) (24)三体中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.选 修 4-1:几何证明选讲 22.如图所示,圆 O 的直径为 BD,过圆上一点 A 作圆 O 的切线 AE,过点 D 作 DE⊥AE 于点 E, 延长 ED 与圆 O 交于点 C. (1)证明:DA 平分∠BDE; (2)若 AB=4,AE=2,求 CD 的长.

2015?南昌校级模拟)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系,直线 l 的参数方程为 , (t 为参数) ,曲线 C1 的方程为 ρ(ρ﹣4sinθ)=12,定点 A(6,0) ,点 P 是

曲线 C1 上的动点,Q 为 AP 的中点. (1)求点 Q 的轨迹 C2 的直角坐标方程; (2)直线 l 与直线 C2 交于 A,B 两点,若|AB|≥2

,求实数 a 的取值范围.

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2015?南昌校级二模)已知函数 f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a (Ⅰ)当 a=0 时,解不等式 f(x)≥g(x) ; (Ⅱ)若存在 x∈R,使得 f(x)≤g(x)成立,求实数 a 的取值范围.

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2014-2015 学年河北省衡水中学高三(上)第五次调考数学试 卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.设集合 A={x|﹣1≤x≤2,x∈N},集合 B={2,3},则 A∪B=( ) A. {1,2,3} B. {0,1,2,3} C. {2} D. {﹣1,0,1,2,3} 考点:并集及其运算. 专题:计算题. 分析:把集合 A 的所有元素和集合 B 的所有元素合并到一起, 得到集合 A∪B. 由此根据集合 A={x| ﹣1≤x≤2,x∈N},集合 B={2,3},能求出 A∪B. 解答: 解:∵集合 A={x|﹣1≤x≤2,x∈N}={0,1,2}, 集合 B={2,3}, ∴A∪B={0,1,2,3}. 故选 B. 点评:本题考查集合的并集的定义及其运算,解题时要认真审题,仔细解答,注意并集中相同的元 素只写一个.

2.已知复数 1﹣i= A. ﹣1+3i

(i 为虚数单位) ,则 z 等于( B. ﹣1+2i

) D. 1﹣2i

C. 1﹣3i

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的运算法则即可得出. 解答: 解:∵复数 1﹣i= ∴ = , =﹣1+3i.

故选:A. 点评:本题考查了复数定义是法则,属于基础题. 3.公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a4a10=16,则 a6=( A. 1 B. 2 C. 4 考点:等比数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由题意结合等比数列的性质可得 a7=4,由通项公式可得 a6. 解答: 解:由题意可得 =a4a10=16,
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) D. 8

又数列的各项都是正数, 故 a7=4,故 a6= = =2

故选 B 点评:本题考查等比数列的通项公式,属基础题. 4.某商场在国庆黄金周的促销活动中,对 10 月 1 日 9 时至 14 时的销售额进行统计,其频率分布直 方图如图所示.已知 9 时至 10 时的销售额为 3 万元,则 11 时至 12 时的销售额为( )

A. 8 万元

B. 10 万元

C. 12 万元

D. 15 万

考点:频率分布直方图. 专题:计算题;概率与统计. 分析:由频率分布直方图得 0.4÷0.1=4,也就是 11 时至 12 时的销售额为 9 时至 10 时的销售额的 4 倍. 解答: 解:由频率分布直方图得 0.4÷0.1=4 ∴11 时至 12 时的销售额为 3×4=12 故选 C 点评:本题考查频率分布直方图,关键是注意纵坐标表示频率比组距,属于基础题. 5.命题甲:f(x)是 R 上的单调递增函数;命题乙:?x1<x2,f(x1)<f(x2) .则甲是乙的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:规律型. 分析:根据函数单调性的定义和性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 解答: 解:根据函数单调性的定义可知,若 f(x)是 R 上的单调递增函数,则?x1<x2,f(x1) <f(x2)成立,∴命题乙成立. 若:?x1<x2,f(x1)<f(x2) .则不满足函数单调性定义的任意性,∴命题甲不成立. ∴甲是乙成立的充分不必要条件. 故选:A. 点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 利用函数单调性的定义和性质是解决本题的关键, 比较基础. )

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6.运行如图所示的程序,若结束时输出的结果不小于 3,则 t 的取值范围为(



A.

B.

C.

D.

考点:循环结构. 专题:计算题. 分析:第一次执行循环结构: n←0+2, 第二次执行循环结构: n←2+2, 第三次执行循环结构: n←4+2, 此时应终止循环结构.求出相应的 x、a 即可得出结果. 解答: 解:第一次执行循环结构:n←0+2,x←2×t,a←2﹣1;∵n=2<4,∴继续执行循环结构. 第二次执行循环结构:n←2+2,x←2×2t,a←4﹣1;∵n=4=4,∴继续执行循环结构, 第三次执行循环结构:n←4+2,x←2×4t,a←6﹣3; 8t ∵n=6>4,∴应终止循环结构,并输出 3 . 由于结束时输出的结果不小于 3, 故 3 ≥3,即 8t≥1,解得 t
8t



故答案为:B. 点评:理解循环结构的功能和判断框的条件是解决问题的关键.属于基础题.

7.为得到函数 y=sin(x+

)的图象,可将函数 y=sinx 的图象向左平移 m 个单位长度,或向右平 ) D.

移 n 个单位长度(m,n 均为正数) ,则|m﹣n|的最小值是( A. B. C.

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:依题意得 m=2k1π+ 而可求得|m﹣n|的最小值. 解答: 解:由条件可得 m=2k1π+ 则|m﹣n|=|2(k1﹣k2)π﹣ 易知(k1﹣k2)=1 时, |m﹣n|min= 故选:B. 点评:本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,得到|m﹣n|=|2(k1﹣k2)π﹣ 转化思想. |是关键,考查 . |, ,n=2k2π+ (k1、k2∈N) , ,n=2k2π+ (k1、k2∈N) ,于是有|m﹣n|=|2(k1﹣k2)π﹣ |,从

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8.如图,

= ,

= ,且 BC⊥OA,C 为垂足,设

=λ ,则 λ 的值为(



A.

B.

C.

D.

考点:平面向量数量积的运算. 分析:利用向量垂直数量积为零找出 λ 满足的方程解之 解答: 解: ∴ ∴ 即 ∴λ= 故选项为 A 点评:向量垂直的充要条件. = = =0 , = ﹣ , ,

9.已知 P(x,y)为区域 最大值是( A. 6 ) B. 0

内的任意一点,当该区域的面积为 4 时,z=2x﹣y 的

C. 2

D. 2

考点:简单线性规划. 专题:数形结合;不等式的解法及应用. 分析:由约束条件作出可行域,求出使可行域面积为 4 的 a 值,化目标函数为直线方程的斜截式, 数形结合可得最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案. 解答: 解:由 作出可行域如图,

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由图可得 A(a,﹣a) ,B(a,a) , 由 ,得 a=2.

∴A(2,﹣2) , 化目标函数 z=2x﹣y 为 y=2x﹣z, ∴当 y=2x﹣z 过 A 点时,z 最大,等于 2×2﹣(﹣2)=6. 故选:A. 点评:本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 10.将一张边长为 6cm 的纸片按如图 1 所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形,将剩余下部分 沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥(底面是正方形,顶点在底面的射影为正方形的中心)模型, 如图 2 放置,若正四棱锥的正视图是正三角形(如图 3) ,则正四棱锥的体积是( )

A.

cm

3

B.

cm

3

C.

cm

3

D.

cm

3

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:根据图形正四棱锥的正视图是正三角形,正视图的底面边长为 a,高为 为 a,运用图 1 得出; 解答: 解: ×6= ,a=2 ,计算计算出 a,代入公式即可. a,正四棱锥的斜高

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∵正四棱锥的正视图是正三角形,正视图的底面边长为 a,高为

a,

∴正四棱锥的斜高为 a, ∵图 1 得出:∵将一张边长为 6cm 的纸片按如图 1 所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形 ∴ ×6= ,a=2 , a×
2

∴正四棱锥的体积是

a=



故选:A 点评:本题综合考查了空间几何体的性质,展开图与立体图的结合,需要很好的空间思维能力,属 于中档题.

11.已知 O 为原点,双曲线

﹣y =1 上有一点 P,过 P 作两条渐近线的平行线,交点分别为 A,B, ) D.

2

平行四边形 OBPA 的面积为 1,则双曲线的离心率为( A. B. C.

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:求出|OA|,P 点到 OA 的距离,利用平行四边形 OBPA 的面积为 1,求出 a,可得 c,即可求 出双曲线的离心率. 解答: 解:渐近线方程是:x±ay=0,设 P(m,n)是双曲线上任一点, 过 P 平行于 OB: x+ay=0 的方程是: x+ay﹣m﹣an=0 与 OA 方程: x﹣ay=0 交点是 A ( , ) ,

|OA|=|

|

,P 点到 OA 的距离是:d=

∵|OA|?d=1, ∴| | ? =1,

∵ ∴a=2,∴c=

, ,
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∴e=



故选:C. 点评:本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础.

12.已知函数 f(x)= 实数 a 的取值范围是( A. (﹣ ,0) ) ) B. (0, )

,若关于 x 的方程 f(x)=|x﹣a|有三个不同的实根,则

C. (﹣ , )

D. (﹣ ,0)或(0,

考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析:由题意,关于 x 的方程 f(x)=|x﹣a|有三个不同的实根转化为函数图象的交点问题,从而作 图解答. x 解答: 解:直线 y=x﹣a 与函数 f(x)=e ﹣1 的图象在 x≥0 处有一个切点, 切点坐标为(0,0) ;此时 a=0; 2 直线 y=|x﹣a|与函数 y=﹣x ﹣2x 的图象在 x<0 处有两个切点, 切点坐标分别是(﹣ , )和(﹣ , ) ; 此时相应的 a= ,a=﹣ ; 观察图象可知,方程 f(x)=|x﹣a|有三个不同的实根时, 实数 a 的取值范围是 (﹣ ,0)或(0, ) ; 故选 D.

点评:本题考查了函数的图象与方程的根的关系,属于中档题.
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二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上.. 13.二项式( ﹣ ) 的展开式中常数项为 ﹣10 (用数字作答)
5

考点:二项式系数的性质. 专题:二项式定理. 分析:先求出二项式展开式的通项公式,再令 x 的幂指数等于 0,求得 r 的值,即可求得展开式中的 常数项的值. 解答: 解:二项式( ﹣ ) 的展开式的通项公式为 Tr+1= =﹣10,
5

?(﹣1) ?

r





=0,求得 r=3,可得展开式中常数项为﹣

故答案为:﹣10. 点评:本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,属于基础 题. 14.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(2)=1 且对任意 x∈R 都有 f(x+3)=f(x) ,则 f(2014) = 1 . 考点:函数奇偶性的性质. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析:由 f(x+3)=f(x)知,f(x)是以周期为 3 的周期函数.可得 f(2014)=f(1)=f(﹣2) , 再由偶函数的定义,结合条件,即可得到所求值. 解答: 解:由 f(x+3)=f(x)知, f(x)是以周期为 3 的周期函数. 所以 f(2014)=f(671×3+1)=f(1) =f(3﹣2)=f(﹣2) 由于 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 则有 f(﹣2)=f(2)=1. 故答案为:1. 点评:本题考查函数的奇偶性和周期性的运用:求函数值,考查运算能力,属于基础题. 16. 已知等差数列{an}的通项公式为 an=3n﹣2, 等比数列{bn}中, b1=a1, b4=a3+1, 记集合 A={x|x=an, n∈N},B={x|x=b,n∈N},U=A∪B,把集合 U 中的元素按从小到大依次排列,构成数列{cn},则数 列{cn}的前 50 项和 S50= 3321 . 考点:数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由已知得 bn=2 .数列{an}的前 50 项所构成的集合为{1,4,7,10,…,148},数列{bn}的 前 8 项构成的集合为{1,2,4,8,16,32,64,128},数列{cn}的前 50 项应包含数列{an}的前 46 项和数列{bn}中的 2,8,32,128 这 4 项.由此能求出 S50.
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n﹣1

解答: 解:设等比数列{bn}的公比为 q, 3 ∵b1=a1=1,b4=a3+1=8,则 q =8,∴q=2, n﹣1 ∴bn=2 . 根据数列{an}和数列{bn}的增长速度, 数列{cn}的前 50 项至多在数列{an}中选 50 项, 数列{an}的前 50 项所构成的集合为{1,4,7,10,…,148}, n﹣1 由 2 <148 得,n≤8, 数列{bn}的前 8 项构成的集合为{1,2,4,8,16,32,64,128}, 其中 1,4,16,64 是等差数列{an}中的项,2,8,32,128 不是等差数列中的项, a46=136>128, ∴数列{cn}的前 50 项应包含数列{an}的前 46 项和数列{bn}中的 2,8,32,128 这 4 项. ∴S50= +2+8+32+128=3321.

故答案为:3321. 点评:本题考查数列的前 50 项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等差数列、等比数列 的性质的合理运用. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知三棱锥 P﹣ABC 的所有棱长都相等,现沿 PA,PB,PC 三条侧棱剪开,将其表面展开成一 个平面图形, 若这个平面图形外接圆的半径为 2 , 则三棱锥 P﹣ABC 的内切球的表面积为 3π . 考点:棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题:综合题;空间位置关系与距离. 分析:根据平面图形外接圆的半径求出三棱锥的棱长,再根据棱长求出高,设内切球的球心为 O', 半径为 r,连接三棱锥的四个顶点得到四个小三棱锥的体积相等,然后根据等积法计算得到半径 r, 再由球的表面积公式计算即可得到. 解答: 解:根据题意几何体为正三棱锥,如图,设棱长为 a, PD= a,OD= a+ a×
2

a,OP= a= a=9, a=2

= ?a=3

a. ,

则 OD+PD= V 棱锥= ×

设内切球的球心为 O',半径为 r, 连接三棱锥的四个顶点得到四个小三棱锥的体积相等, 即为 4× × a r=
2

×18r=6 r,

r.

由等积法,可得,9=6 解得,r= .

则内切球的表面积为 S=4πr =3π. 故答案为:3π.

2

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点评:本题主要考查球的表面积的求法,考查等积法的运用,考查三棱锥的体积公式的运用,考查 运算能力,属于中档题. 17.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边是 a,b,c,已知 3acosA=ccosB+bcosC (1)求 cosA 的值 (2)若 a=1, ,求边 c 的值.

考点:正弦定理;同角三角函数基本关系的运用. 专题:计算题. 分析: (1)利用正弦定理分别表示出 cosB,cosC 代入题设等式求得 cosA 的值. (2)利用(1)中 cosA 的值,可求得 sinA 的值,进而利用两角和公式把 cosC 展开,把题设中的等 式代入,利用同角三角函数的基本关系求得 sinC 的值,最后利用正弦定理求得 c. 解答: 解: (1)由余弦定理可知 2accosB=a +c ﹣b ;2abcosc=a +b ﹣c ; 代入 3acosA=ccosB+bcosC; 得 cosA= ; (2)∵cosA= ∴sinA= cosB=﹣cos(A+C)=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣ cosC+ 又已知 cosB+cosC= cosC+ sinC=
2 2 2 2 2 2 2

sinC



代入 ③
2

,与 cos C+sin C=1 联立

解得 sinC= 已知 a=1

正弦定理:c=

=

=

点评:本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用.考查了基础知识的综合运用.

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18.在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1000 元,此作物的市场价格和这块地上的产量均 具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表: 作物产量(kg) 300 500 概率 0.5 0.5 作物市场价格(元/kg) 6 10 概率 0.4 0.6 (Ⅰ)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列; (Ⅱ)若在这块地上连续 3 季种植此作物,求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率. 考点:离散型随机变量及其分布列;相互独立事件的概率乘法公式. 专题:概率与统计. 分析: (Ⅰ)分别求出对应的概率,即可求 X 的分布列; (Ⅱ)分别求出 3 季中有 2 季的利润不少于 2000 元的概率和 3 季中利润不少于 2000 元的概率,利 用概率相加即可得到结论. 解答: 解: (Ⅰ)设 A 表示事件“作物产量为 300kg”,B 表示事件“作物市场价格为 6 元/kg”, 则 P(A)=0.5,P(B)=0.4, ∵利润=产量×市场价格﹣成本, ∴X 的所有值为: 500×10﹣1000=4000,500×6﹣1000=2000, 300×10﹣1000=2000,300×6﹣1000=800, 则 P(X=4000)=P( )P( )=(1﹣0.5)×(1﹣0.4)=0.3, P(X=2000)=P( )P(B)+P(A)P( )=(1﹣0.5)×0.4+0.5(1﹣0.4)=0.5, P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2, 则 X 的分布列为: X 4000 2000 800 P 0.3 0.5 0.2 (Ⅱ)设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2000 元”(i=1,2,3) , 则 C1,C2,C3 相互独立, 由(Ⅰ)知,P(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3) , 3 3 季的利润均不少于 2000 的概率为 P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.8 =0.512, 3 季的利润有 2 季不少于 2000 的概率为 P ( C2C3) +P (C1 C3 ) +P (C1C2 ) =3×0.8 ×0.2=0.384,
2

综上:这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为:0.512+0.384=0.896. 点评:本题主要考查随机变量的分布列及其概率的计算,考查学生的计算能力. 19.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,四边形 A1ABB1 为菱形,∠A1AB=45°,四边形 BCC1B1 为 矩形,若 AC=5,AB=4,BC=3 (1)求证:AB1⊥面 A1BC; (2)求二面角 C﹣AA1﹣B 的余弦值.

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考点:与二面角有关的立体几何综合题. 专题:综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)证明 AB1⊥面 A1BC,只需证明 AB1⊥A1B,CB⊥AB1,证明 CB⊥平面 AA1B1B,利 用四边形 A1ABB1 为菱形可证; (2)过 B 作 BD⊥AA1 于 D,连接 CD,证明∠CDB 就是二面角 C﹣AA1﹣B 的平面角,求出 DB, CD,即可求二面角 C﹣AA1﹣B 的余弦值. 解答: (1)证明:在△ ABC 中 AC=5,AB=4,BC=3, 所以∠ABC=90°,即 CB⊥AB, 又因为四边形 BCC1B1 为矩形,所以 CB⊥BB1, 因为 AB∩BB1=B, 所以 CB⊥平面 AA1B1B, 又因为 AB1?平面 AA1B1B, 所以 CB⊥AB1, 又因为四边形 A1ABB1 为菱形, 所以 AB1⊥A1B, 因为 CB∩A1B=B 所以 AB1⊥面 A1BC; (2)解:过 B 作 BD⊥AA1 于 D,连接 CD 因为 CB⊥平面 AA1B1B, 所以 CB⊥AA1, 因为 CB∩BD=B, 所以 AA1⊥面 BCD, 又因为 CD?面 BCD, 所以 AA1⊥CD, 所以,∠CDB 就是二面角 C﹣AA1﹣B 的平面角. 在直角△ ADB 中,AB=4,∠DAB=45°,∠ADB=90°,所以 DB=2 在直角△ CDB 中,DB=2 ,CB=3,所以 CD= , 所以 cos∠CDB= = .

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点评:本题考查线面垂直的判定,考查面面角,考查学生分析解决问题的能力,正确运用线面垂直 的判定,作出面面角是关键.

20.以椭圆 C:

=1(a>b>0)的中心 O 为圆心,以

为半径的圆称为该椭圆的“伴随”.已

知椭圆的离心率为

,且过点



(1)求椭圆 C 及其“伴随”的方程; (2)过点 P(0,m)作“伴随”的切线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,记△ AOB(O 为坐标原点)的面积 为 S△ AOB,将 S△ AOB 表示为 m 的函数,并求 S△ AOB 的最大值. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1) 由椭圆 C 的离心率, 结合 a, b, c 的关系, 得到 a=2b, 设椭圆方程, 再代入点 ,

即可得到椭圆方程和“伴随”的方程; (2)设切线 l 的方程为 y=kx+m,联立椭圆方程,消去 y 得到 x 的二次方程,运用韦达定理和弦长 公式,即可得到 AB 的长,由 l 与圆 x +y =1 相切,得到 k,m 的关系式,求出三角形 ABC 的面积, 运用基本不等式即可得到最大值. 解答: 解: (1)椭圆 C 的离心率为 由 c =a ﹣b ,则 a=2b, 设椭圆 C 的方程为 ∵椭圆 C 过点 ∴b=1,a=2,以 , ,∴ 为半径即以 1 为半径, ,
2 2 2 2 2

,即 c=



∴椭圆 C 的标准方程为 椭圆 C 的“伴随”方程为 x +y =1. (2)由题意知,|m|≥1.
2 2



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易知切线 l 的斜率存在,设切线 l 的方程为 y=kx+m,







设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) , 则 , .

又由 l 与圆 x +y =1 相切,所以

2

2

,k =m ﹣1.

2

2

所以

=





,|m|≥1.

(当且仅当

时取等号)

所以当 时,S△ AOB 的最大值为 1. 点评:本题考查椭圆的方程和性质,考查联立直线方程和椭圆方程,消去未知数,运用韦达定理和 弦长公式的运用,考查直线与圆相切的条件,考查运算能力,属于中档题. 21.设函数 f(x)=x +aln(x+1) (a 为常数) (Ⅰ)若函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是单凋递增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若函数 y=f(x)有两个极值点 x1,x2,且 x1<x2,求证: .
2

考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:转化思想. 分析: (Ⅰ)已知原函数的值为正,得到导函数的值非负,从而求出参量的范围; (Ⅱ)利用韦达定理,对所求对象进行消元,得到一个新的函数,对该函数求导后,再对导函数求 导,通过对导函数的导导函数的研究,得到导函数的最值,从而得到原函数的最值,即得到本题结 论. 解答: 解: (Ⅰ)根据题意知:f′(x)= 即 a≥﹣2x ﹣2x 在区间[1,+∞)上恒成立. 2 ∵﹣2x ﹣2x 在区间[1,+∞)上的最大值为﹣4, ∴a≥﹣4;
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2

在[1,+∞)上恒成立.

经检验:当 a=﹣4 时, ∴a 的取值范围是[﹣4,+∞) . (Ⅱ)
2

,x∈[1,+∞) .

在区间(﹣1,+∞)上有两个不相等的实数根,

即方程 2x +2x+a=0 在区间(﹣1,+∞)上有两个不相等的实数根.

记 g(x)=2x +2x+a,则有

2

,解得

























. 在 当 而 k′(x)在 ∵ ∴当 ∴k(x)在 单调递减, , 使得 p′(x0)=0. ,p′(x)<0;当 x∈(x0,0)时,p′(x)>0. 单调递减,在(x0,0)单调递增, ,

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点评:本题考查的是导数知识,重点是利用导数法研究函数的单调性、究极值和最值,难点是多次 连续求导,即二次求导,本题还用到消元的方法,难度较大. 选修题:请考生在第(22) 、 (23) (24)三体中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.选 修 4-1:几何证明选讲 22.如图所示,圆 O 的直径为 BD,过圆上一点 A 作圆 O 的切线 AE,过点 D 作 DE⊥AE 于点 E, 延长 ED 与圆 O 交于点 C. (1)证明:DA 平分∠BDE; (2)若 AB=4,AE=2,求 CD 的长.

考点:相似三角形的判定. 专题:立体几何. 分析: (1) 由于 AE 是⊙O 的切线, 可得∠DAE=∠ABD. 由于 BD 是⊙O 的直径, 可得∠BAD=90°, 因此∠ABD+∠ADB=90°,∠ADE+∠DAE=90°,即可得出∠ADB=∠ADE. . (2) 由 (1) 可得: △ ADE∽△BDA, 可得
2

, BD=2AD. 因此∠ABD=30°. 利用 DE=AEtan30°. 切

割线定理可得:AE =DE?CE,即可解出. 解答: (1)证明:∵AE 是⊙O 的切线,∴∠DAE=∠ABD, ∵BD 是⊙O 的直径,∴∠BAD=90°, ∴∠ABD+∠ADB=90°, 又∠ADE+∠DAE=90°, ∴∠ADB=∠ADE. ∴DA 平分∠BDE. (2)由(1)可得:△ ADE∽△BDA,∴ ∴ ,化为 BD=2AD. ,

∴∠ABD=30°. ∴∠DAE=30°. ∴DE=AEtan30°= .
2

由切割线定理可得:AE =DE?CE, ∴ 解得 CD= . ,

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点评:本题考查了弦切角定理、圆的性质、相似三角形的性质、直角三角形的边角公式、切割线定 理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 2015?南昌校级模拟)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系,直线 l 的参数方程为 , (t 为参数) ,曲线 C1 的方程为 ρ(ρ﹣4sinθ)=12,定点 A(6,0) ,点 P 是

曲线 C1 上的动点,Q 为 AP 的中点. (1)求点 Q 的轨迹 C2 的直角坐标方程; (2)直线 l 与直线 C2 交于 A,B 两点,若|AB|≥2

,求实数 a 的取值范围.

考点:简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析: (1)首先,将曲线 C1 化为直角坐标方程,然后,根据中点坐标公式,建立关系,从而确 定点 Q 的轨迹 C2 的直角坐标方程; (2)首先,将直线方程化为普通方程,然后,根据距离关系,确定取值范围. 解答: 解: (1)根据题意,得 2 2 曲线 C1 的直角坐标方程为:x +y ﹣4y=12, 设点 P(x′,y′) ,Q(x,y) , 根据中点坐标公式,得 ,代入 x +y ﹣4y=12, 得点 Q 的轨迹 C2 的直角坐标方程为: (x﹣3) +(y﹣1) =4, (2)直线 l 的普通方程为:y=ax,根据题意,得 ,
2 2 2 2

解得实数 a 的取值范围为:[0, ]. 点评:本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程,直线与圆的位置关系等知识,考查比较 综合,属于中档题,解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解. 2015?南昌校级二模)已知函数 f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a (Ⅰ)当 a=0 时,解不等式 f(x)≥g(x) ; (Ⅱ)若存在 x∈R,使得 f(x)≤g(x)成立,求实数 a 的取值范围. 考点:绝对值不等式的解法;带绝对值的函数. 专题:不等式的解法及应用. 2 分析: (Ⅰ)当 a=0 时,由 f 不等式可得|2x+1|≥x,两边平方整理得 3x +4x+1≥0,解此一元二次不 等式求得原不等式的解集.

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(Ⅱ) 由f (x) ≤g (x) 得 a≥|2x+1|﹣|x|, 令 h (x) =|2x+1|﹣|x|, 则 h (x) =



求得 h(x)的最小值,即可得到从而所求实数 a 的范围. 2 解答: 解: (Ⅰ)当 a=0 时,由 f(x)≥g(x)得|2x+1|≥x,两边平方整理得 3x +4x+1≥0, 解得 x≤﹣1 或 x≥﹣ ∴原不等式的解集为 (﹣∞,﹣1]∪[﹣ ,+∞)

(Ⅱ) 由f (x) ≤g (x) 得 a≥|2x+1|﹣|x|, 令 h (x) =|2x+1|﹣|x|, 即 h (x) =



故 h(x)min=h(﹣ )=﹣ ,故可得到所求实数 a 的范围为[﹣ ,+∞) . 点评:本题主要考查带有绝对值的函数,绝对值不等式的解法,求函数的最值,属于中档题.

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