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吉林省东北师范大学附属中学高中数学 2.3.3.1两直线的交点坐标教案 新人教A版必修2


课题:2.3.3.1 两直线的交点坐标
课 型:新授课 教学目标: 知识与技能:1.直线和直线的交点 2.二元一次方程组的解 过程和方法: 1.学习两直线交点坐标的求法,以及判断两直线位置的方法. 2.掌握数形结合的学习法。 3.组成学习小组,分别对直线和直线的位置进行判断,归纳过定点的直线系方程。 情态和价值: 1.通过两直线交点和二元一次方程组的联系,从而认识事物之间的内 的联系。 2.能够用辩证的观点看问题。 教学重点:判断两直线是否相交,求交点坐标 教学难点:两直线相交与二元一次方程的关系 教学过程: 一、情境设置,导入新课 用大屏幕打出直角坐标系中两直线,移动直线,让学生观察这两直线的位置关系。 课堂设问一:由直线方程的概念,我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系,那么 如果两直线相交于一点,这一点与这两条直线的方程有何关系? 二.新课讲授 1.分析任务,分组讨论,判断两直线的位置关系 已知两直线 L1:A1x+B1y +C1=0,L2: A2x+B2y+C2=0 如何判断这两条直线的关系? 教师引导学生先从点与直线的位置关系入手,看表一,并填空。 几何元素及关系 代数表示 点A 直线 L 点 A 在直线上 直线 L1 与 L2 的交点 A A(a,b) L:Ax+By+C=0

课堂设问二: 如果两条直线相交, 怎样求交点坐标?交点坐标与二元一次方程组有什关系? 学生进行分组讨论,教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关 系? 1.若二元一次方程组有唯一解,L 1 与 L2 相交。 2.若二元一次方程组无解,则 L 1 与 L2 平行。 3.若二元一次方程组有无数解,则 L 1 与 L2 重合。 课后探究:两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系? 例题讲解: 例 1:求下列两直线交点坐标 L1 :3x+4y-2=0 L1:2x+y +2=0 解:解方程组

?3x ? 4 y ? 2 ? 0 ? ?2 x ? 2 y ? 2 ? 0


x=-2,y=2 所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M(-2,2) 。 教师可以让学生自己动手解方程组,看解题是否规范,条理是否清楚,表达是否简洁,然后
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才进行讲解。 同类练习:书本 104 页第 1,2 题。 例 2 :判断下列各对直线的位置关系。如果相交,求出交点坐标。 (1)L1:x-y=0,L2:3x+3y-10=0 (2)L1:3x-y=0,L2:6x-2y=0 (3)L1:3x+4y-5=0,L2:6x+8y-10=0 这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。 课堂设问:当 ? 变化时,方程 3x+4y-2+ ? (2x+y+2)=0 表示何图形,图形有何特点?求出 图形的交点坐标。 (1)运用信息技术,当 ? 取不同值时,通过各种图形,经过观察,让学生从直观上得出结 论,同时发现这些直线的共同特点是经过同一点。 (2)找出或猜想这个点的坐标,代入方程,得出结论。 (3)结论:方程表示经过这两条直线 L1 与 L2 的交点的直线的集合。 例 3.已知 a 为实数,两直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 , l 2 : x ? y ? a ? 0 相交于一点,求证交点 不可能在第一象限及 x 轴上. 分析:先通过联立方程组将交点坐标解出,再判断交点横纵坐标的范围.

a2 ?1 a ?1 >0,则 a >1.当 a >1 时,- <0,此时交点在第二象限内. a ?1 a ?1 a2 ?1 2 又因为 a 为任意实数时,都有 a ? 1 ? 1>0,故 ≠0 a ?1
解:解方程组若 因为 a ≠1(否则两直线平行,无交点) ,所以,交点不可能在 x 轴上 ,得交点(-
新疆

王新敞
学案

a ?1 a2 ?1 , ) a ?1 a ?1
例 4.(1)求经过直线 y=2x+3 和 3x-y+2=0 的交点,且垂直于第一条直线的直线的方程. (2) 设正数 a, b 满足 2ab=a+b,直线 课堂练习: (1)已知三点 A(2, –3), B(4, 3), C(5,

x y ? ? 1 总过一定点,求定点的坐标。 a b
m )在同一直线上,则 m 的值为 2
(C)(2, 3) (D)(-2, 3)

(2)不论 m 为何实数,直线(m-1)x-y+2m+1=0 恒过定点 (A)(1, -

1 ) 2

(B)(-2, 0)

(3)直线方程为(3m+2)x+y+8=0, 若直线不过第二象限,则 m 的取值范围是 (4)光线从 M(-2,3)射到 x 轴上的一点 P(1,0)后被 x 轴反射,求反射光线所在的直线 方程。 (5)求满足下列条件的直线方程:经过两直线 2x-3y+10=0 与 3x+4y-2=0 的交点,且和直线 3x-2y+4=0 垂直 归纳小结:直线与直线的位置关系,求两直线的交点坐标,能将几何问题转化为代数问题来 解决,并能进行应用。 作业布置:109 页 2、3、4、5 题 课后记:

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