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机械优化设计作业题目2013-06-03

序号 1—6 的同学
1、 min f ? ? 4 x 1 ? x 2
? ? x1 ? 2 x 2 ? 4 ? ? 2 x 1 ? 3 x 2 ? 12 s ?t ? ? x1 ? x 2 ? 3 ? x ,x ? 0 1 2 ?

2、 min f ? ? x 1 x 2 x 3

s ? t : 0 ? x 1 ? 2 x 2 ? 2 x 3 ? 72

3、 min f ? ( x 1 ? 2 ) ? ( x 2 ? 1)
2

2

s ? t : x1 ? 2 x 2 ? 2 ? 0

4、 min f ? ( x 1 ? 3 ) ? x 2
2

2

? 4 ? x 12 ? x 2 ? 0 ? s ?t ? x2 ? 0 ? x ? 0 .5 ? 0 1 ?

5、求函数

f ( x1 , x 2 ) ? 3 x1 ? 2 x1 x 2 ? (1 ? 5 x 2 )
4

2

的极小点。

6、求表面积为 150 m 的体积最大的长方体体积。 7、某车间生产甲(如轴) 、乙(如齿轮)两种产品。生产甲种产品每件需要用材料 9 ㎏,3 个工时、4kw 电,可获利 60 元;生产乙种产品每件需要用材料 4 ㎏、10 个工时, 5kw 电,可获利 120 元。若每天能供 应材料 360 ㎏,有 300 个工时,能供电 200kw 电,问每天生产甲、乙两种产品各多少件,才能够获得最大 的利润。 8、已知:轴一端作用载荷 p=1000N/ cm,扭矩 M=100N· m;轴长不得小于 8cm;材料的许用弯曲应力 [σ w]=120MPa,许用扭剪应力 [τ ]= 80MPa,许用挠度 [f] = 0.01cm;密度[ρ ] = 7.8t /m,弹性模量 E=2× 105MPa。要求:设计销轴,在满足上述条件的同时,轴的质量应为最轻。

2

1/7

序号 7—12 的同学
1、 min f ? x 1 ? x 2 ? x 3
? x 1 ? 2 x 2 ? 3 x 3 ? 15 ? s ? t ? 2 x 1 ? x 2 ? 5 x 3 ? 20 ? x1 , x 2 ? 0 ?

2 2、 min f ? 0 . 5 x 12 ? x 2 ? x 1 x 2 ? 2 x 1 ? 6 x 2

? x1 ? x 2 ? 2 ? ? ? x1 ? 2 x 2 ? 2 s ?t ? ? 2 x1 ? x 2 ? 3 ? x ,x ? 0 1 2 ?
? x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? 1 .5 ? 0 s ?t ? ? x 1 x 2 ? 10 ? 0 ?

3、 min f ? e ( 4 x 1 ? 2 x 2 ? 4 x 1 x 2 ? 2 x 2 ? 1)
x1 2 2

4、计算下面函数在区间(0,1)内的最小值。
f (x ) ? x ? c o sx ? x l o gx
3

e

x

5、某厂生产甲、乙两种产品,已知制成一吨产品甲需用 A 资源 3 吨,B 资源 4m3;制成一吨产品乙需用 A 资源 2 吨,B 资源 6m3,C 资源 7 个单位。若一吨产品甲和乙的经济价值分别为 7 万元和 5 万元,三种 资源的限制量分别为 90 吨、200m3 和 210 个单位。试应生产这两种产品各多少吨才能使创造的总经济价 值最高? 6、已知:制造一体积为 100m3,长度不小于 5m,不带上盖的箱盒,试确定箱盒的长 x1,宽 x2,高 x3, 使箱盒用料最省。 7、机床主轴是机床中重要零件之一,一般为多支承空心阶梯轴。为了便于使用材料力学公式进行结构分 析,常将阶梯轴简化成以当量直径表示的等截面轴。在设计时有两个重要因素需要考虑,即主轴的自重和 伸出端 C 点的挠度。图 1 所示的为一根简化的机床主轴。要求以主轴的自重为目标,对该主轴进行优化设 计。已知条件:主轴材料为 45#,内径 d=30mm,外力 F=15000N,许用挠度 y0=0.05mm,材料的弹性模量 E=210GPa,许用应力[σ ]=180MPa,材料的密度为 ? ? 7 8 0 0 kg / m 。 300≤ l ≤650, 60≤ D ≤110,
3

90≤ a ≤150。l 、 D 、 a 的量纲均为毫米。试建立机床主轴以主轴自重最轻为目标的优化设计数学模型。
y ? Fa
2

?l

? a?

I ?

?
64

其中,C 点的挠度:

3 EI



?D

4

?d

4

?



2/7

序号 13—18 的同学
min f ? 3 x 1 ? 2 x 2 ? 4 x 1 x 2 ? 3 x 1 ? 4 x 2
2 2

1、

? 2 x1 ? x 2 ? 4 ? s ? t ? ? x1 ? 2 x 2 ? 4 ? x ,x ? 0 1 2 ?

2、 min e ( 4 x 1 ? 2 x 2 ? 4 x 1 x 2 ? 2 x 2 ? 1)
x1 2 2

? x1 ? x 2 ? 0 ? ? ? x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? 1 .5 s.t .? ? x 1 x 2 ? ? 10 ? ? 10 ? x , x ? 10 1 2 ?

3、 min f ? ? x 1 x 2 x 3 4、求函数

s ? t : 2 ( x 2 x 3 ? x 1 x 3 ? x 1 x 2 ) ? 150
2 2

f ( x ) ? x1 ? x 2 ? 2 x1 ? x 2 ? 2 x 1 x 2

的极小值。

5、 min f ? x 1 ? x 2 ? x 3

? x 1 ? 2 x 2 ? 3 x 3 ? 15 ? ? 2 x 1 ? x 2 ? 5 x 3 ? 20 s ?t ? ? x 1 ? 4 x 2 ? 2 x 3 ? 10 ? x1 , x 2 ? 0 ?

6、有一块边长为 6m 的正方形铝板,四角截去相等的边长为 x 的方块并折转,造一个无盖的箱子,问如何 截法(x 取何值)才能获得最大容器的箱子。 7、任务分配问题:某车间有甲、乙两台机床,可用于加工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别 为 800 和 900,三种工件的数量分别为 400、600 和 500,且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所 需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务,才能既满足加工工件的要求,又使加工费用 最低? 车床 类 型 甲 乙 单位工件所需加工台时数 工件 1 0.4 0.5 工件 2 1.1 1.2 工件 3 1.0 1.3 单位工件的加工费用 工件 1 13 11 工件 2 9 12 工件 3 10 8 可用台 时数 800 900

8、已知:轴的一端作用载荷 P=1000N,扭矩 M=100N· m;轴长不得小于 8cm;材料的许用弯曲应力 [σ w]=120MPa,许用扭剪应力 [τ ]= 80MPa,许用挠度 [f] = 0.01cm;密度[ρ ] = 7.8t /m,弹性模量 E=2× 105MPa。 要求:设计销轴,在满足上述条件的同时,轴的质量应为最轻。

3/7

序号 19—24 的同学
1、 min f ? x 1 ? 2 x 2 ? 4 x 1 x 2 ? x 1 ? x 2
2 2

? 2 x1 ? x 2 ? 2 ? s ? t ? ? x1 ? 2 x 2 ? 2 ? x ,x ? 0 1 2 ?

2、

m ax f ? x1 ? 2 x 2 ? x 3

? 2 x1 ? x 2 ? x ? 2 3 ? ? ? 2 x1 ? x 2 ? 5 x 3? ? 6 s .t . ? ? 4 x1 ? x 2 ? x 3? 6 ? x ? 0 , i ? 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 ? i

3、 min f ? ( x 1 ? x 4 ) ? ( x 2 ? x 5 ) ? ( x 3 ? x 6 )
2 2

2

2 ? x 12 ? x 2 ? x 32 ? 5 ? 2 2 ?( x 4 ? 3) ? x 5 ? 1 s ?t ? x6 ? 8 ? ? 4 ? x4 ? 0 ?

4、 min f ? 0 . 5 ( x 1 ? x 2 / 3 )
2 2

s ? t :0

x1 ? x 2 ? 1 ? 0

5、求函数

f ( x1 , x 2 ) ? 3 x1 ? 2 x1 x 2 ? (1 ? 5 x 2 )
4

2

的极小点。

6、某工厂有一张边长为 5 m 的正方形的铁板,欲制成一个方形无盖水槽,问在该铁板的 4 个角处剪去多大 的相等的正方形才能使水槽的容积最大? 7、某车间生产甲(如轴) 、乙(如齿轮)两种产品。生产甲种产品每件需要用材料 9 ㎏,3 个工时、4kw 电,可获利 60 元;生产乙种产品每件需要用材料 4 ㎏、10 个工时, 5kw 电,可获利 120 元。若每天能供 应材料 360 ㎏,有 300 个工时,能供电 200kw 电,问每天生产甲、乙两种产品各多少件,才能够获得最大 的利润。 8、 已知: 轴上作用均布载荷 q=100N/ cm, 扭矩 M=100N· 轴长不得小于 8cm; m; 材料的许用弯曲应力 [σ w]=120MPa,许用扭剪应力 [τ ]= 80MPa,许用挠度 [f] = 0.01cm;密度[ρ ] = 7.8t /m,弹性模量 E=2× 105MPa。要求:设计销轴,在满足上述条件的同时,轴的质量应为最轻。

4/7

序号 25—30 的同学
1、 min f ? x 1 ? x 2 ? x 1 x 2 ? 3 x 1
2 2

? ? x1 ? x 2 ? ? 2 s ?t ? ? x1 , x 2 ? 0
? x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? ? 1 .5 ? s ?t ? x 1 x 2 ? ? 10 2 ? x1 ? x 2 ? 1 ?

2、 min f ? e ( 4 x 1 ? 2 x 2 ? 4 x 1 x 2 ? 2 x 2 ? 1)
x1 2 2

3、

m in f ( x ) ? x 2 ? x1

? ln x1 ? 0 s ?t ? ? x1 ? x 2 ? 1

4、求函数

f ( x1 , x 2 ) ? x1 ? 2 x 2 ? 2 x 1 x 2 ? 4 x 1 ? x 2
2 2

的极小点。

5、已知某汽车行驶速度 x 与每公里耗油量的函数关系为 f(x)=x + 20/x,试用 0.618 法确定速度 x 在每分钟 0.2~1 公里时的经济速度 x*。 6、确定具有最小表面面积圆柱体的尺寸,此圆柱体的金属可以浇铸半径为 10 mm 的金属球体。 7、喜糖问题:需要购买甲乙两种喜糖,喜糖甲 20 元/斤,喜糖乙 10 元/斤。要求花钱不超过 200 元,总斤 数不少于 10 斤,甲糖不少于 5 斤。问:(1) 购买甲糖、乙糖分别多少斤,才能在满足要求的条件下花钱最 少?(2) 购买甲糖、乙糖分别多少斤,才能在满足要求的条件下所买的糖最多? 解:甲糖,乙糖分别为 x1,x2 斤,则 8、 由两根实心圆杆组成对称的两杆桁架, 其顶点承受负载 2p=500000N, 两支座之间的水平距离 2L=160cm, 杆的密度ρ =7800kg/m3,弹性模量为 E=2.1×105MPa,许用压应力σ y=420MPa。求在桁架压应力不超过 许用压应力和失稳临界应力的条件下,使桁架重量最轻的桁架高度 h 及圆杆直径 d。

5/7

序号 31—36 的同学
min f ? x 1 ? 2 x 2 ? x 3 ? 2 x 1 x 2 ? x 3
2 2 2

1、

? x1 ? x 2 ? x 3 ? 4 s ?t ? ? 2 x1 ? x 2 ? x 3 ? 2

2、

m in f ( x ) ? x1 ? x 2 ? 2 x1 ? 1
2 2

s ?t

3 ? x2 ? 0

3、

m in

f ( X ) ? ( x1 ? 2 ) ? x 2
2

2

s .t .

g 1 ( X ) ? ? x1 ? 0 g 2 ( X ) ? ? x2 ? 0 g 3 ( X ) ? ? x1 ? x 2 ? 1 ? 0
2 2

4、 min f ? e ( 4 x 1 ? 2 x 2 ? 4 x 1 x 2 ? 2 x 2 ? 1)
x1 2 2

? x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? 1 .5 ? 0 s ?t ? ? x 1 x 2 ? 10 ? 0 ?

5、

m ax f ( x ) ? 2 2 0 x1 ? 2 5 0 x 2
s .t . x1 ? 2 x1 ? x2 + x 3 ? x2 +x 4 ? 1200 1800

x1 ? x 5 = 8 0 0 x2 + x6 = 1 0 0 0

6、喜糖问题:需要购买甲乙两种喜糖,喜糖甲 10 元/斤,喜糖乙 20 元/斤。要求花钱不超过 300 元,总斤 数不少于 15 斤,乙糖不少于 10 斤。问:(1) 购买甲糖、乙糖分别多少斤,才能在满足要求的条件下花钱 最少?(2) 购买甲糖、乙糖分别多少斤,才能在满足要求的条件下所买的糖最多?

7、一根长 L 的铅丝截成两段,一段弯成圆圈,另一段弯折成方形,问应以怎样的比例截断铅丝,才能使 圆和方形的面积之和为最大? 8、 由两根空心圆杆组成对称的两杆桁架, 其顶点承受负载 2p=300000N, 两支座之间的水平距离 2L=152cm, 圆杆的壁厚 B=0.25cm,杆的密度ρ =7800kg/m3,弹性模量为 E=2.1×105MPa,许用压应力σ y=420MPa。 求在桁架压应力不超过许用压应力和失稳临界应力的条件下,使桁架重量最轻的桁架高度 h 及圆杆平均直 径 d。

6/7

序号 37—42 的同学
1、求函数 2、
f ( x1 , x 2 ) ? x1 ( x1 ? 2 x 2 ? 5) ? x 2 (3 x 2 ? 7 )

的极小值

m ax f ( X ) ? 2 x1 ? x 2 ? 2 x 3
s .t . x 1 ? x 2 ? 2 x 3 ? 5 x1 ? 3 x 2 ? x 3 ? 3 x1 , x 2 , x 3 ? 0

3、

m in f ( x ) ? ( x1 ? 5) ? 4 ( x 2 ? 6 )
2

2

s .t . g 1 ( x ) ? 6 4 ? x 1 ? x 2 ? 0
2 2

g 2 ( x ) ? x 2 ? x1 ? 1 0 ? 0 g 3 ( x ) ? x1 ? 1 0 ? 0

4、

m in f ( x ) ? ( x1 ? 1) ? ( x 2 ? 2 ) ? 1
2 2

s .t .

g 1 ( x ) ? 2 x1 ? x 2 ? 1 g 2 ( x ) ? x1 ? x 2 ? 2 g 3 ( x ) ? ? x1 ? 0 g4(x) ? ? x2 ? 0

5、确定具有最小表面面积圆柱体的尺寸,此圆柱体的金属可以浇铸半径为 10 mm 的金属球体。 6、某工厂要生产两种规格的电冰箱,分别用Ⅰ和Ⅱ表示。生产电冰箱需要两种原材料 A 和 B,另外需设 备 C。生产两种电冰箱所需原材料、设备台时、资源供给量及两种产品可获得的利润如表 1-1 所示。问工 厂应分别生产Ⅰ、Ⅱ型电冰箱多台,才能使工厂获利最多? 表 1.1 资源需求与限制 资源 设备 原料 A 原料 B 单位产品获利 产品Ⅰ用原料 限制 Ⅰ 1 2 0 220 元
? 800 千克

Ⅱ 1 1 1 250 元

资源限制 1200 台时 1800 千克 1000 千克 求最大收益

7、已知:轴一端作用载荷 p=1000N/ cm,扭矩 M=100N· m;轴长不得小于 8cm;材料的许用弯曲应力 [σ w]=120MPa,许用扭剪应力 [τ ]= 80MPa,许用挠度 [f] = 0.01cm;密度[ρ ] = 7.8t /m,弹性模量 E=2× 105MPa。要求:设计销轴,在满足上述条件的同时,轴的质量应为最轻。

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