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莆田市2012年高中毕业班教学质量检查文数


莆田市 2012 年高中毕业班教学质量检查

数 学 试 题(文)

参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A) ·P(B) 样本数据 x1 , x 2 ,L x n 的标准差 锥体体积公式

S=

1 [( x1 ? x) 2 + ( x 2 ? x) 2 + L + ( x n ? x) 2 ] n

V =

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数

第 I 卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题意要求的,把答案填写在答题卷的相应位置。 1.已知集合 U = {1, 2, 3, 4,5, 6}, A = {1, 2, 3} ,则 CU A = A.{1,3,5} B.{2,4,6} C.{1,2,3} ( )

D.{4,5,6} ( )

2.已知 i 是虚数单位,则复数 = A.i B.-i C.1

1 i

D.-1 ( )

3.已知 p : x > 0, y > 0, q : xy > 0 ,则 p 是 q 的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

4.若四边形 ABCD 满足 AD + CB = 0 ,则该四边形一定不是 .... A.梯形 B.菱形 C.矩形

uuur uuu r





D.正方形 )

5.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x > 0 时, f ( x ) = log 2 x, 则 f ( ?2) 的值等于(

A.1

B.-1

C.2

D.-2

? 1 x ?( ) ? 2, x < 0, 6.函数 f ( x ) = ? 2 所有零点的和等于 ? x ? 1, x ≥ 0 ?
A.-2 B.-1 C.0





D.1

7.某厂节能降耗技术改造后,在生产过程中记录了产量 x(吨) 与相应的生产能耗 y(吨)的几组对应数据如右表所示,根

? 据右表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为 y = 0.7 x + a ,那么 a 的值等于(
A.0.35 B.3.15 C.3.5 D.0.4



8.如图(1)是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图,那么该四棱锥的直观图 是下列各图中的 ( )

9.若点 (m, n) 在直线 4 x + 3 y ? 10 = 0 上,则 m + n 的最小值是
2 2





A.2

B. 2 2

C.4

D. 2 3

10.已知角α的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边与单位圆交点的横坐标为 ?

3 ,若 5

a ∈ (0, π ) ,则 tan α =
A.

( B. ?



3 4

3 4

C.

4 3

D. ?

4 3

11.如图是定义在[-4,6]上的函数 f ( x ) 的图象,若 f ( ?2) = 1 , 则不等式 f ( ? x 2 + 1) < 1 的解集是 A. ( ?∞, ? 3) ∪ ( 3, +∞) C. ( ?2,1)





B. (? 3, 3) D. (-1,1)

12.如图,F 是抛物线 E : y = 2 px( p > 0) 的焦点,A 是抛物线 E 上任意一点。
2

现给出下列四个结论: ①以线段 AF 为直径的圆必与 y 轴相切; ②当点 A 为坐标原点时,|AF|为最短; ③若点 B 是抛物线 E 上异于点 A 的一点,则当直线 AB 过焦点 F 时, |AF|+|BF|取得最小值; ④点 B、C 是抛物线 E 上异于点 A 的不同两点,若|AF|、|BF|、|CF|成等差数列,则点 A、B、 C 的横坐标亦成等差数列。 其中正确结论的个数是 A.1 个 B.2 个 C.3 个 ( )

D.4 个

第 II 卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在答题卷的相应位置。 13.已知函数 f ( x) = 1 ? 2sin 2 x, 则f ( x) 的周期 T= 。

14.已知双曲线

x2 3 ? y 2 = 1 (a > 0) 的一条渐近线方程为 y = x, 则 a= 2 a 3



15.某同学统计某道试题(满分 4 分)的得分情况并 作成频率分布条形图,如图所示,请你根据图中 的数据信息,估计该道试题的得分率

(得分率=

平均得分 ×100% )等于 满分值



16.设集合 W 是满足下列两个条件的无穷数列 {an } 的集合:①
*

an + an + 2 ≤ an +1 ;② an ≤ M ,其 2
2

中 n ∈ N ,M 是与 n 无关的常数。现给出下列的四个无穷数列: (1) an = 2n ? n ; (2)

1 an = 3n ? 2n;(3) n = 2n;(4) n = 3 ? ( ) n , a a 写出上述所有属于集合 W 的序号 3



三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把答案 写在答题卷的相应位置上。 17. (本小题满分 12 分) 某同学用“五点法”画函数 f ( x ) = A sin(ω x + ? )(ω > 0,| ? |< 列表并填入的部分数据如下表:

π
2

) 在某一个周期内的图象时,

(1)请将上表数据补全,并直接写出函数 f ( x ) 的解析式; (2)当 x ∈ [

π 5π

, ] 时,求函数 f ( x) 的值域。 3 12

18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P—ABC 中, ?PAC , ?ABC 分别是以 A、B 为直角顶点的等腰直角三角形, AB=1。 (1)现给出三个条件:① PB =

3 ;② PB ⊥ BC ;③平面 PAB ⊥ 平面 ABC。试从中任意

选取一个作为已知条件,并证明: PA ⊥ 平面 ABC; (2)在(1)的条件下,求三棱锥 P—ABC 的体积。

19. (本小题满分 12 分) 如图,椭圆 C :

x2 + y 2 = 1 的上顶点 B,M、N 是椭圆 C 上异于点 B 的两个动点。 4

(1)若 M 为椭圆 C 的下顶点,N 为椭圆 C 的右顶点,求 ?BMN 外接圆的方程; (2)若动点 M、N 关于原点中心对称,试求直线 BM 与 BN 的斜率之积。

20. (本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,已知 a1 = 1 ,等式 an + an + 2 = 2an +1 对任意 n ∈ N 均成立。
*

(1)若 a4 = 10 ,求数列 {an } 的通项公式; (2)若 a2 = 1 + t ,且存在 m ≥ 3( m ∈ N * ) ,使得 am = S m 成立,求 t 的最小值。

21. (本小题满分 12 分) 某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上,高一、高二、高三各代表队人数分别为 120 人、120 人、n 人。为了活跃气氛,大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动,并用分层抽样的方法从三 个代表队中共抽取 20 人在前排就坐,其中高二代表队有 6 人。 (1)求 n 的值; (2)把在前排就坐的高二代表队 6 人分别记为 a,b,c,d,e,f,现随机从中抽取 2 人上台 抽奖。求 a 和 b 至少有一人上台抽奖的概率。 (3)抽奖活动的规则是:代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的均匀随机数 x, y,并按如右所示的程序框图执行。若电脑显示“中奖” ,则该代表中奖;若电脑显示“谢谢” , 则不中奖,求该代表中奖的概率。

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) = ln x + x 2 ? mx. (1)若 m=3,求函数 f ( x ) 的极小值; (2)若函数 f ( x ) 在定义域内为增函数,求实数 m 的取值范围; (3)若 m=1, ?ABC 的三个顶点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ) 在函数 f ( x ) 的图象上,且

x1 < x2 < x3 ,a、b、c 分别为 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边。求证: a 2 + c 2 < b 2 .


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